小学奥数训练课程一

极致数学小学奥数程课第1讲同余问题第2讲因数与倍数第3讲数的互化和大小比较第4讲四则运算和简便计算第5讲常见的量第6讲式和方程第7讲平面图形的周长和面积第8讲立体图形的表面积和体积第9讲统计第10讲一般整数、小数应用题第11讲一般分数、百分数应用题第12讲列方程解应用题第13讲比和比例问题第14讲行程问题第15讲工程问题第16讲浓度问题第17讲利润、利率、税率和折扣问题第18讲时钟与时间问题第19讲抽屉原理第20讲最大和最小问题第21讲牛吃草问题第22讲列举法解题第一讲 同余问题1． 整除：如果整数a 除以自然数b ,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a 能被b 整除或b 能整除a 。

2． 同余：如果两个整数的a 、b 除以同一个自然数m 所得的余数相同，那么就说a 、b 对于m 是同余的，记为a =‎h （mod m ）。

我们把m 称为模。

如果a 、b 对于m 是同余的，那么a 与b 的差能被m 整除；反之，如果a 与b 的差能被M 整除，那么a 、b 对于m 是同余的。

3． 规律、方法应用。

（1） 反身性规律：a 和a 对于m 同余。

（2） 对称性规律：a 和b 对于m 同余，那么b 和a 对于m 同余。

（3） 传递性规律：如果a 和b 对于m 同余，b 和c 对于m 同余，那么a 和c 对于m 同余。

（4） 同余的加减法、乘法规律：如果a 和b 对于m 同余，c 和d 对于m 同余，那么a ＋c ，和b ＋d ，a －c 和b－d ，a c 和bd 对于m 同余。

（5） 同余的乘方规律：如果a 和b 对于m 同余，那么n a 和n b 也对于m 同余。

（6） 同余的连加规律：1a 和1b 对于m 同余，2a 和2b 对于m 同余，3a 和3b 对于m 同余……n a 和n b 对于m 同余，那么123n a a a a +++ 和123n b b b b +++ 也对于m 同余。

例1． 有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？变式一 如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?变式二 一个自然数除以10余7，除以6余3，除以4余1.这个自然数最小是多少？例2．求200359⨯除以7的余数。

变式一 求189********⨯⨯除以13的余数。

变式二 求281432338752413289786⨯⨯⨯-⨯除以11的余数。

变式三 求123456789123456789++++++++的结果除以3的余数。

例3．10010被7除的余数是多少？ 变式一 10002除以13的余数是多少？变式二 今天是星期日，过19912天是星期几？变式三（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005年1月1日是星期六）（2）2008年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008年1月1日是星期二）练习题1．已知69,90,125被N 除余数相同，求81被N 除的余数是（ ）Ａ．４ Ｂ．７ Ｃ．５ Ｄ．２２．1991和1769除以某一个自然数n ,余数分别为2和1,n 的最小值是( )Ａ．23 Ｂ．13 Ｃ．17 Ｄ．183．16173738⨯⨯⨯除以13的余数是（ ）Ａ．12 Ｂ．11 Ｃ．9 Ｄ．74．19991999除以3所得的余数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．35． 今天是星期二，再过200299天是星期（ ）Ａ．三 Ｂ．四 Ｃ．五 Ｄ．六6． 19991998的个位数字是（ ）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．67． 19979951025111317⨯⨯的个位数字是（ ）Ａ．3 Ｂ．1 Ｃ．9 Ｄ．68． 505152533457+++的个位数字是（ ）Ａ．3 Ｂ．1 Ｃ．9 Ｄ．59． 在小于2002的自然数中，被18及33除以余数相同的数有（ ）个。

Ａ．17 Ｂ．198 Ｃ．34 Ｄ．5110． 一个三位数，它的29倍加上5能被2002整除，这个三们数是（ ）。

Ａ．345 Ｂ．121 Ｃ．150 Ｄ．26711． 一个整数乘以13后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（ ）。

Ａ．157 Ｂ．253 Ｃ．942 Ｄ．47112． 用1，9，8，8这四个数能排出（ ）个被11除余8的四位数。

Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．613． 7142719⨯的积被7除的余数是（ ）。

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．514. 某年的10月有五个星期六，4个星期日，这年的10月1日是星期几？15． 求乘积34374143⨯⨯⨯除以13所得的余数。

16．今天是星期五，再过364365天是星期几？ 17．求12343979除以39所得的余数。

18．求32319991999323+的个位数字。

19．131415131132133++除以13余几？ 20． 试证明：1990199034+是5的倍数。

21． 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。

这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数被6除余几？22． 2002年全年有几个星期日？全年有几个月有5个星期日？（2002年1月1日是星期二）第二讲 因数与倍数知识点拨：一、因数与倍数如果a 和b 的乘积是c ，即a ｘb=c ，那么a 和b 都是c 的因数，c 是a 和b 的倍数。

一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的。

一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；一个数的倍数的个数是无限的。

二、公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a 、b 的最大公因数记作（a 、b ）。

求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和短除法等方法。

三、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

我们可以把自然数a、b的最小公倍数记作〔a、b〕。

四、质数与合数1、质数和合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数（或素数）。

一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。

1既不是质数，也不是合数。

2、质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫这个合数的质因数。

3、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫分解质因数。

4、互质数：如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。

当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。

两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b例题：例1.求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

15和12 90和45 42和70 39和65例2.一块长方体木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米，请你把它锯成同样大小的正方体木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩。

算一算可以锯成几块？例3. 用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？例4. 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数的和是多少？例5. 三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。

一个星期一，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇？例6.有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1.这个自然数最小是多少？练习题1、一个合数的质因数是10以内所有的质数，这个合数是（）。

2、有两个质数，它们的和既是一个小于100的奇数，又是17的倍数，这两个质数是（）和（）。

3、如果a=2ｘ2ｘ3，b=2ｘ3ｘ5，那么a，b两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

4、把自然数a和b分解质因数，得到a=2ｘ5ｘ7ｘm，b=3ｘ5ｘm。

如果a和b的最小公倍数是2730，那么m=（）。

5、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，这两个数分别是（）和（）。

6、在1—20的自然数中，既是偶数又是质数的数是（），既是奇数又是合数的数是（）。

7、2 6 是一个四位数，他既是3的倍数，又是5的倍数，则 内应同时填上的数字是（）。

8、一个四位数是8 5 ，它既能被2整除，又有因数5，同时又是3的倍数，这样的四位数中最小的是（）。

9、已知A=2⨯2⨯3⨯5，那么A的因数有（）个。

10、一个自然数除以10余7，除以6余3，除以4余1 。

这个自然数最小是（）。

11、教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工。

问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？12、一张长方形的纸，长为96厘米，宽为60厘米，把它裁成同样大小且边长为整厘米数的正方形而无剩余，问至少可以裁多少张？13、有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？14、加工机器零件，要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时完成3个，第二道工序每个工人每小时完成12个，第三道工序每个工人每小时完成5个，要使生产顺利进行，又不浪费人力、时间，三道工序至少各分配几人？15、有一批书大约300到400本。

包成每包12本，剩下11本；每包18本，缺1本；每包15本，就有7包，每包各多2本，这批书有多少本？16、从甲地到乙地原来每隔45米栽一根电线杆，连同两端共有53根电线杆，现在改为每隔60米栽一根电线杆。

除两端的两根不需移动，中间还有多少根不需移动？17、大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一个方向分别用脚步测量一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。

问：这个花圃的周长是多少米？第三讲数的互化和大小比较一、数的互化1、小数化成分数：把小数直接写成分母是10,100,1000，……的分数，再化简。

2、分数化成小数：用分子除以分母，能除尽的就化成有限小数，不能除尽的根据需要按“四舍五入”法保留一定的小数位数。

一个最简分数，如果分母的质因数只有2和5，这个分数就能化成有限小数；如果分母含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

3、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位（位数不够时，用“0”补足），同时在后面添上百分号。

4、百分数化成小数：只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位（位数不足时，用“0”补足）。

5、百分数化成分数：把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。