八年级奥数一元二次方程2
八年级数学一元二次方程2
不解方程选择合适的解法（二）
（1）3x2 2x 1 （2）x2 2 2x 4 0 （3）2x2 6x 3 0
(2)
ax2 bx c 0
(4)x2 2x x2 1
1、若关于x的方程 m2 1x2 4x 2 0
是一元二次方程，则（ D ）
A.m 1 B.m1 C .m 4 D.m 1
2、方程 m 4x m 2 8x 1 0
4 是一元二次方程，则m=
白色的比赛场地构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的ｌ场上，让洒满金辉的ｌ场在纯蓝色的天空和淡红色的云朵映衬下越发怪异夺目……ｌ场四周悬浮着十几处色彩造型 各不相同的看台，看台上坐满了将近四十亿前来观看的师生，他门都穿着节日的盛装，远远看去就像一片片不断变幻色彩的云海……所有前来观看的师生都带着一只备 有压缩彩屏的三维，虽然只有拇指大小，但彩屏展开后最大面积却可达到只十英寸，使用时只要把插到座席前的折叠桌上，就可以从各种角度和距离观看现场所有的超 清晰立体景像。这毕竟是几十年都难得一见的盛大表演！虽然宇宙之大无奇不有，但敢拿万倍学资玩跳级的学生并不多见！所以整个ｌ场的气氛显得十分热烈高涨…… 在场地中央悬浮着一片几乎透明的巨大碟形草坪，草坪上盛长着厚羊绒般柔软而富有弹力的暗黑色的桃毛雾冰草和墨黑色的枣眼夜柔花，还有亮黑色的梅腿霞嫩草…… 远远看去，整个场地中央的花草被修剪得如锦缎一样光华美丽……微风吹来，三种细软柔滑的花草，就像三种梦幻的湖波漪涟向八方漾去。放眼看去，ｌ场东南方的看 台之间暗黑色的小胸谷和浅红色的圣心桃，其中还有片片亮黑色的梅腿霞嫩草，就像仙女绚丽的长裙在风中飘舞。再看场地西南方的看台之间，那里生种植橙白色的雄 胆桐和深橙色的松泪樱，中间还夹杂着纯黑色的豺臂藤，从远处看去就像一幅美妙的立体油画在波动。ｌ场的西北向，那里生长着暗黑色的小胸谷和浓黑色的桑头神丝 花，另外还有一些纯黑色的豺臂藤，给人的感觉犹如一片宁静而神奇的海洋。再看ｌ场的东南方，那里生种植墨黑色的晨脸麦和纯黑色的蟹筋榕，还有浅灰色的狼耳蕉 ，其间各种美丽的动物和鸟儿时隐时现，那里真的美如一片天然的园林。在场地中央矗立着一座辉煌夺目、高耸入云的巨硕烟状塔体，这个巨硕烟状塔体由四个仙人球 形的高低错落的深橙色 和一座高达三百多米的，深绿色的双球心形的骨架构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的巨硕烟状塔体上，让洒满金辉的巨硕烟状塔在淡紫色的 天空和白象牙色的云朵映衬下越发怪异夺目。远远看去。巨硕烟状塔的底部，九十根墨灰色的狗眉桐和很多粗大的橙白色弯月形龙骨将巨硕烟状塔高高托起，巨硕烟状 塔周围浪瓣球形的祖光水晶雕塑闪着美丽的奇光。巨硕烟状塔中部的耍体，全部用透出一种奇异的缕缕清香并能发出美妙歌声的，土黄色飞弧蛋形的夜闪绿翡翠镶嵌。 而豪华气派的框架则采用了好像晶莹剔透闪着珍珠光泽水珠的亿景水滴形的雷闪纯金制成。巨硕烟状塔顶部是一个超大的，火橙色的千球仙人球形的亿光纯金宝石体。 那是用能
八年级数学一元二次方程的解法
主 讲
一元二次方程的解法
1) 2) 3) 4)
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
例 x2-16=0 x2-16=0 解: (x-4)(x+4)=0 我们知道０的一个特性，０与 任何数相乘都等于０． 如果两个数相乘积等于０，那么 这两个数中至少有一个为０．
所以上式可转化为 x-4=0 或 x+4=0 x1=4 x2=-4 因此，我们把方程的左边因式分解， 这样将一元二次方程转化为两个一 元一次方程来求解的方法叫做因式 分解法．
2 x =x
∴
２) 解：把方程两边同除x, 得 x=1 大家讨论一下，这样解方程是否 正确？为什么？
2 x =x
答案：不正确 因为方程两边同除x,就把 x=0这个解丢失了．因此，方程 的两边不能除以含有未知数的 整式，否则会失根．
形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号） ax2=-c c 2 x =- a (a*c<0) 我们用直接开平方法求解． 当a*c>0时，此时原方程没有 实数解（根）．
例 解：把方程的左边因式分解 得 (x-2)(x-3)=0 因此 ，有 x-2=0 或 x-3=0 解得 x1=2 x2=3
2 x -5x+6=0
交流
１） 解：x(x+3)=0 因此有 x=0或 (x+3)=0 解得 x1=0 ，x2=-3
2 x +3x=0
２） 解：x2-x=0 x(x-1)=0 x=0 或 x-1=0 x1=0 x2=1
形如
2 ax +bx=0
0 或 ax+b=0 b x1=0 x2=- a
作业： Ｐ46 5
八年级数学一元二次方程的解法
岳飞在《登黄鹤楼有感》中道，“风尘恶。兵安在？膏锋锷。民安在？填沟壑。何日请缨提锐旅，一鞭直渡清河洛”。他的抗金策略在于“积极防御、主动出击，以战取胜”。拼将10万头颅血，须 把乾坤力挽回。球迷网
上书请战：将士的使命，就得维护国家的尊严。可叹！王朝在历史的行进中，总有许多极不光彩的事情。临安的梦魂，已经在昭示必将会为一场六月雪叫屈喊冤。
奋力抗金的岳飞仰天长啸了，南宋已经得了软骨病。不，真正的军事家是在绝望中诞生的强者，是善于扼住命运咽喉的大英雄。岳飞向朝廷再次申述自己的一贯主张，反对“和议”，坚持抗敌，收 复河东、河北，直捣燕云。岳飞也许没有多想，一个靠宫廷政变而上台的帝王，对武将理所当然地怀有一种本能的猜忌，特别是对功高威重的武将，那猜忌的目光更会阴冷。赵构对岳飞连上四奏，表示 不受。“岳飞抱负宏远，就提升为开府议同三司吧”，高宗赵构是一脸笑意。
绍兴8年，曾被金兵俘虏过的秦桧放回大宋后，在宋高宗赵构面前多嘴多舌了。这位北宋的主战派秦桧，腾出手来拉开家中的窗帘，拉开得无遮无拦，也有意无意地改变着南宋的命运，还有岳飞的 命运。成为投降派的秦桧以宰相的身份接受了金国的议和诏书，向金称臣，每年进贡银子25万两、绢25万匹。当谗言、党争与昏庸在骄奢淫逸中纷纷粉墨登场时，战争对于金国来说，已经把胜负关系演 绎成一道无懈可击的方程式了。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)--二次方程与方程组
第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab b a b a --++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
(仅供参考)(奥数班)一元二次方程奥数题
(x 1)(x 2) (x 2)(x 3) 3
（2）
（3）
（x1=-4/3（舍去），x2=12/7）
（x1=162（舍去），x2=2）
1
B 常考题型
一：判断方程根的情况：用判别式（ b2 4ac）易
1. 已知方程 2x2 2ax 3a 4 0 没有实数根，则代数式 a 2 8a 16 2 a ___ 2 __ 2a x ax 1
12. 已知关于 x 的方程 ax2 bx c 0 的两根分别为 3 和 1，则方程 bx2 cx a 0 的两根为 1 或 1/2
13. 已知 m 、 n 是有理数，方程 x 2 mx n 0 有一个根是 5 2 ，则 m n 的值为___3____ 14. 设 a，b 是整数，方程 x2 ax b 0 有一个实数根是 7 4 3 ，则a b ___ 3 ___ .
4. 关于 x 的方程 kx 2 +(k+2)x+ k =0 有两个不相等的实数根， 4
a) 求 k 的取值范围； k＞-1 ,且 k≠0 b) 是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在求出 k 的值；不存在说明理由。
（k=-2 不符合要求，故 k 不存在）
5. 已知四边形 ABCD 中，AB ∥ CD ，且 AB 、CD 的长是关于 x 的方程 x 2 2mx (m 1 )2 7 0 24
20.
已知 a2 2004a 1 0 ，则 2a 2
4007a
2004 a2 1
_____
2002
____ （降次）
21.
x2 已知 是方程
x1 4
3 1
0 的一个根，则
3
的值为
22. 已知 x2 5x 2000 0 ，则 x 23 x 12 1 的值是
八年级数学一元二次方程的解法2
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q
3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2 = -q+( )2
)2 =
-q
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
求根公式 : X=
3、代入求根公式 : (a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0
有两个相等的实数解
2、 6t2 -5 =13t （t1 = ，t2 = ）
例
用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = =
八年级数学 第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法(1) 数学
x(x2－ -36x)2==-09
因式分解法的基本步骤：
x1 3,x2 3
（1）将方程变形(biàn xíng)，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方 12/9/2021
程转化为解两个一元一次方程。
第五页，共十五页。
回顾(huígù)复习：
解：
移项(yí
x2 2
xiànɡ)，得
2x20
即 x222x( 2)20
即 (x 2)2 0 解得 x1 x2 2
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辨一辨:下列(xiàliè)解一元二次方程的方法对吗?
解方程: ( x 2)2 2x( x 2) x22x ( x 解:方程(fāngchéng)两边都除以 2 ) 得:
已知m(m≠0）是方程x2+nx+3m=0的一个根，求m、n间 的数量(shùliàng)关系？
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2.2 一元二次方程的解 法 (1) (jiě fǎ)
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试一试:你能说出下列(xiàliè)方程的解吗？
(x2)(x5)0 x12,x25
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总结
注意：当方程(fāngchéng)的一边为0时，另一边容易分解成两个 一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解(yīn shì fēn jiě)法解一元二次方程的基本步骤： （1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转 化为解两个一元一次方程.
八年级奥数17一元二次方程
八年级奥数17一元二次方程（二）1、已知206<<k k 为的整数，如果方程02)12(2=-+--k x k kx ，两根均为有理数， 则=k （ ）A. 8B. 9C.11D.122、已知c b a ,,是不全为零的三个实数，那么关于x 的方程0)(2222=++++++c b a x c b a x的根的情况是（ ） A.有二个负根 B. 有二个正根 C. 有二个异号的实根 D. 无实根3、已知二次方程)0(02≠=++ac c bx ax 有两异号实根,,m m n m <且 那么二次方程0)(2=--+a ax n m cx 的根的情况（ ） A.有二个负根 B. 有二个正根 C.二根异号D. 无实根4、当=k时，方程0882=-+-k kx x 两根互为相反数。
5、已知,96=+q p 且二次方程02=++q px x 的根都是整数，则其最大根是 。
6、设m 为整数，且,404<<m 方程）32(22--m x 081442=+-+m m x 有两个整数根，则此方程的根为 。
7、解方程：①;272)4()244=-++x x （ ②;023*******=++-+x x x x③0112346123452=+-x x ④24)4)(3)(2)(1(=++++x x x x8、解关于x 的方程：0)(2)1(2223=-+--+t t tx x t x9、求所有正实数,a 使得方程042=+-a ax x仅有整数根。
10、已知βα，是方程0722=-+x x的两个实数根，不解方程求ββα4322++的值。
11、已知21,x x 是方程092=--x x的两个实数根，求代数式663722231-++x x x 的值。
12、已知b a ,是方程0252=++x x 的两个实数根，求b a a b +的值。
13、已知)(,0200558,020055822n m n n m m≠=-+=-+，求①22n m +②nm 11+14、设b a ,是相异两实数，满足,34,3422+=+=b b a a 求a b b a 22+的值。
八年级数学一元二次方程2(1)
1、用配方法解方程2x² +4x +1 =0，配方后得到的方程
是
。
2、一元二次方程ax² +bx +c =0，
若x=1是它的一个根，则a+b+c= ，
若a -b+c=0，则方程必有一根为
。
3、若9a m2 4m4与5a9是同类项，则 m
4.已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____ 它的另一个根______.
例3 某电脑销售商试销一品牌电脑(出厂 为3000元/台) , 以4000元/台销售时,平均每月销 售100台.现为了扩大销售, 销售商决定降价销 售,在原来1月份平均销售量的基础上, 经2月份 的市场调查, 3月份调整价格后, 月销售额达到 576000元. 已知电脑价格每台下降100元, 月销 售量将上升10台, (1)求1月份到3月份销售额的平均增长率: (2)求3月份时该电脑的销售价格.
第十九章 一元二次方程复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程
一元二次方程的定义
一
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
元 二
直接开平方法：适应于形如（x-k）² =h（h>0）型
次
配方法：
一元二次方程的解法
方
公式法：
程
适应于任何一个一元二次方程 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，
Байду номын сангаас
3
一次项系 常数项 数
0
-1
-8
4
例1 解方程: (x2-5x)2=36
练习：用最好的方法求解下列方程
1)（3x -2）²-49=0
一元二次方程的初中奥数问题
一元二次方程的初中奥数问题一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1-20%)(1+x)2=193.6，即(1+x)2=1.21，解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1(舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mn.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件?每件商品应定价多少?解根据题意，得(a-21)(350-10a)=400，整理，得a2-56a+775=0，解这个方程，得a1=25，a2=31.因为21×(1+20%)=25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350-10a=350-10×25=100(件).答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理，得90x2+145x-3=0.解这个方程，得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈-1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗?解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)・x=1.8，整理，得x2+0.8x-1.8=0.解这个方程，得x1=-1.8(舍去)，x2=1.所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄).大江东去浪淘尽，千古风流数人物;而立之年督东吴，早逝英年两位数;十位恰小个位三，个位平方与寿符;哪位学子算得快，多少年华属周瑜?解设周瑜逝世时的`年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3.则根据题意，得x2=10(x-3)+x，即x2-11x+30=0，解这个方程，得x=5或x=6.当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去;当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄龄为36岁.说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局，共计n(n-1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n-1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n-1)=1980，得n2-n-1980=0，解得n1=45，n2=-44(舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.。
浙教版数学八年级下册 第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法.docx
浙教版八年级下册第2章一元二次方程2．2 一元二次方程的解法因式分解法专题练习题1．用因式分解法解方程3x(2x－1)＝4x－2，则原方程应变为( )A．6x2－7x＋2＝0 B．(2x－1)(3x＋2)＝0C．(2x－1)(3x－2)＝0 D．3x＝22．一元二次方程x2－2x＝0的根是( )A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝23．一元二次方程x2＝－6x－9的根是( )A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝－3C．x1＝3，x2＝－3 D．x1＝－3，x2＝14．方程(x－2)2＝3(x－2)的根是( )A．5 B．2 C．－2或5 D．2和55．下列方程，不适合用因式分解法解方程的是( )A．x2＝3x B．3(x－3)2＝x2－9C．(2x＋1)2＝(x－1)2 D．x(x＋4)＝26．方程x2＝x的解是，方程x(x－3)＝x的根是；方程(x－2)2＝6－3x的根是；方程(2x－3)2＝(2－3x)2的根是．7．当x＝时，代数式x2＋5的值与－25x的值相等．8．一元二次方程x2－7x＋12＝面积是．9．解下列方程：(1)16x2＝(x－2)2；(2)3x(x－1)＝2－2x；(3)y2＝43(y－3)．10．关于x的方程ax(x－b)＋(b－x)＝0的根是( )A．x1＝b，x2＝a B．x1＝b，x2＝1aC．x1＝a，x2＝1bD．x1＝a2，x2＝b211．已知关于x的方程x2－ax＋b＝0的两个根是x1＝－3，x2＝4，那么二次三项式x2－ax＋b可分解为( )A．(x＋3)(x－4) B．(x－3)(x＋4) C．(x－3)(x－4) D．(x＋3)(x＋4) 12．已知实数x，y满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)＝0，则x2＋y2的值是( )A．1 B．－2 C．2或－1 D．－2或113．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是( )A．12 B．9 C．13 D．12或914．根据图中的程序，当输入一元二次方程x2－2x＝0的解x时，输出的结果y ＝．15. 阅读下面的解题过程，请判断是否正确，若有错误，请写出正确的解题过程．解方程x 2＋2x ＝3x ＋6，解：x(x ＋2)＝3(x ＋2)，两边都除以x ＋2，得x ＝3.16. 定义一种运算“※”，规则为a ※b ＝(a －1)2－b 2，根据这个规则，求方程(x ＋3)※5＝0的解．17. 已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，若x ＝－1为关于x 的一元二次方程(c －b)x 2－2(b －a)x ＋(a －b)＝0的根．(1)△ABC 是等腰三角形吗？△ABC 是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；(2)若代数式子a －2＋2－a 有意义，且b 为方程y 2－8y ＋15＝0的根，求△ABC 的周长． 答案：1---5 CDBDD6. x 1＝0，x 2＝1x 1＝0，x 2＝4x 1＝2，x 2＝－1x 1＝－1，x 2＝17. － 58. 6或3729. (1) 解：x 1＝－23，x 2＝25(2) 解：x 1＝1，x 2＝－23(3) 解：y 1＝y 2＝2 310---13 BAAA14. －4或215. 解：不正确．正确解法如下：x(x ＋2)＝3(x ＋2)，x(x ＋2)－3(x ＋2)＝0，(x ＋2)(x －3)＝0，x ＋2＝0或x －3＝0，∴x 1＝－2，x 2＝316. 解：由题意，可知(x ＋3－1)2－52＝0，即(x ＋2)2－52＝0，(x ＋7)(x －3)＝0，故x ＋7＝0或x －3＝0，解得x 1＝－7，x 2＝317. 解：(1) △ABC 是等腰三角形，△ABC 不是等边三角形；理由如下：∵x ＝－1为方程(c －b)x 2－2(b －a)x ＋(a －b)＝0的根，∴(c －b)＋2(b －a)＋(a －b)＝0，∴c ＝a ，∵a ，b ，c 是△ABC 的三条边长∴△ABC 为等腰三角形，∵c －b ≠0，∴c ≠b ，∴△ABC 不是等边三角形(2) 依题意，得⎩⎨⎧a －2≥0，2－a ≥0，∴a ＝2，∴c ＝a ＝2， 解方程y 2－8y ＋15＝0得y 1＝3，y 2＝5；∵b 为方程y 2－8y ＋16＝0的根，且b ＜a ＋c ，∴b 的值为3，∴△ABC 的周长为7初中数学试卷。
八年级数学下册 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法课件
（5）(x-1)(x+1)=x
（6）x (2x+5)=2 (2x+5)
一元二次方程的解法(jiě fǎ)
第一页，共三十六页。
一元二次方程的一般(yībān)形式
a2x b xc0（a≠0）
一元二次方程 （关于x）
3x²-1=0
3x（x-2）=2（x2）
一般形式
3x²-1=0
3x²-8x+4=0
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
3
0 -1
3 -8 4
第二页，共三十六页。
例2. 解方程 ① (x+1)(x-1)=2x ②(2m+3)2=2(4m+7)
③ 3t(t+2)=2(t+2) ④ 2(x-2)2+5(x-2)-3=0
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简 单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整 理为一般形式再选取(xuǎnqǔ)合理的方法。
那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
第二十页，共三十六页。
方程的左边是完全平方式,右边是非(shìfēi)负数;
即形如x2=a(a≥0)
x1 a,x2a
(7x-7)(-x-1)=0
7x-7=0或-x-1=0
x14322,x24322
x1 = -1， x2 =1
第三十一页，共三十六页。
做一做
2、请Байду номын сангаас选择最恰当的方法(fāngfǎ)解下列一元二次方程
初中数学八年级下册《2.2 一元二次方程的解法》PPT课件 (12)
4.用开平方法，解得答案。
b2-4ac 4a2
2.移项，得 x2+ bax= - ca
3.方程两边都加上(
b 2a
)2 ，得
x2+
xba+( )22=ba
b2-4ac 4a2
4.用开平方法，解得答案。
练一练
1.用配方法解下列方程: (1) 2x2+6x+3=0 (2) 2x2-7x+5=0
练一练
2.用配方法解下列方程:
(1)0.2x2+0.4x=1
2.2一元二次方程的解法(2)
x 2 bx c 0
复习回顾
一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的 区别与联系.
开平方法：形如x2=b（b≥0）;（x+a）2=b（b≥0）。
配方法:①先把方程x2+bx+c=0移项得x2+bx=-c. ②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
即：
x2+bx+ (x+ b2)2=
(
b2)2b=2-4-cc + 4
( b2)2
③当 b2-4c>0 时，就可以通过开平方法求出
方程的根.
做一做
解下列一元二次方程: 1.x2- 6x=- 8 2.x2=10x - 30 3.- x2+5x+6=0
试一试
解方程 5x2=10x+1
遇到二次项系数不是1的一元二次方程，只要将方程的 两边都除以二次项系数，转化为我们能用配方法解二 次项系数是1的一元二次方法。
x2-8/3x-1=0 移项，得 x2-8/3x=1 方程两边都加上16/9，得
x2-8/3x+16/9=25/9 即：（x-4/3)2=25/9
初中八年级数学课件 一元二次方程2
①方程两边都是整式
1、一元二次方程的定义
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2次Βιβλιοθήκη 2、一元二次方程的一般式：
ax2 bx c 0
（a≠0）
3、一元二次方程的根的含义(a+b+c=0和a-
b+c=0的含义）
4、一个公式 b a(1 x)n
探索一元二次方程的解法 你会解下列方程吗？
4 (3) (2n 1)2 (2n 1)2
=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n.2 =8n
把下列各式因式分解
（1）（4 x 3)2 x(x 3)
（2)x2 6x 9 (3)4x2 4x 1 (4)x2 2 3x 3
（1）y（y 3） 0
（2）（3x 2)(2x 8) 0
（3）x2 9 6x
因式分解: 把一个多项式化成几个整 式的积的形式
主要方法: (1)提取公因式法 (2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2
做一做:分解因式
(1) 16a2 9b2 =(4a+3b)(4a-3b) (2) 1 a2b2 c2 =(c+1/2 ab)(c-1/2ab)
练习2：用因式分解的方法解下列方程：
x2 2 3x 3;
练一练
用因式分解法解下列方程： (1) 9x2 ( x 1)2 (2)( x 2)2 2x( x 2)
(3)(2x 1)2 8x
说说看
因式分解法解一元二次方程的基本步骤
（1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解；
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八年级奥数 一元二次方程（二） 一、选择题：
1、关于x 的一元二次方程()022=-++m mx x 的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
2、下列命题：
① 若0a b c ++=，则240b ac -≥；
② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等实数根； ④ 若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）
Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．
3、已知方程20x bx a ++=有一个根是()0a a -≠，
则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A.ab
B.a b
C.a b +
D.a b - 4、关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
5、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0，
则m 的值等于（ ）
A.1
B.2
C.1或2
D.0
6、已知206<<k k 为的整数，方程02)12(2=-+--k x k kx ，两根为有理数，则=k （ ）
A. 8
B. 9
C.11
D.12
7、已知c b a ,,是不全为零的三个实数，那么关于x 的方程0)(2222=++++++c b a x c b a x 的根的情况是（ ）
A.有二个负根
B. 有二个正根
C. 有二个异号的实根
D. 无实根
二、填空题：
8、已知α，β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_______
9、已知3-=+b a ，1=ab ，则=+b a 83 10、已知实数m 、n 满足0142=--m m ，0142=--n n 。
则=+m
n n m 11、若p 、q 是方程01)2(2=+-+x m x 的两个实根，则=++++)1)(1(22mq q mp p
12、当=k 时，方程0882=-+-k kx x 两根互为相反数。
13、已知,96=+q p 且二次方程02=++q px x 的根都是整数，则其最大根是 。
14、设m 为整数，且,404<<m 方程）
32(22--m x 081442=+-+m m x 有两个整数根，则此方程的根为 。
三、解答题：
15、设方程023)2(2=-+++r x r rx 有且只有整数根，试确定满足条件的一切有理数.r
16、已知b a ,是方程0252=++x x 的两个实数根，求b a a b +的值。
17、求所有正实数,a 使得方程042=+-a ax x 仅有整数根。
18、已知βα，是方程0722=-+x x 的两个实数根，不解方程求ββα4322++的值。
19、已知)(,0200558,020055822n m n n m m ≠=-+=-+，求① 22n m + ②n m 11+
20、设方程03)6(2=-+++m x m x 有两个不同的奇数根，求整数m 的值？。