3.3 3.3.1 函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数-题型分类讲解
4.(1)若函数f (x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k >0)的单调递减区间为
(0,4)，求k的值. (2)若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增，求a的取值范围. (3)若函数 f (x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，求实数m的
取值范围. 1 (4)已知函数 f ( x ) 2ax 2 , x 0,1 ，若 f (x)在(0,1]上是增
) B．单调递减
1 1 C．在0，e上单调递减，在 e，5上单调递增 1 1 D．在0， e上单调递增，在 e，5上单调递减
解析：
函数的定义域为(0，＋∞)． 1 令 y′<0，得 x< . e
1 因为 y′＝ln x＋1，令 y′>0，得 x> ； e 所以函数 y＝xln x
1 (2)由于 f(x)＝4x＋ x，则函数的定义域是{x|x≠0}， 1 而 f′(x)＝4－x2，令 f′(x)＞0， 1 1 解得 x＞2或 x＜－2； 1 1 令 f′(x)＜0，解得 0＜x＜2或－2＜x＜0， 故函数
1 1 f(x)的单调递增区间是2，＋∞和－∞，－2；
3.3.1
函数的单调性与导数 题型
费县二中高二数学
侯庆东
1.用函数的导数判断函数单调性的法则 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数； (2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数．
即函数 f (x)在区间(a, b)内： f ( x ) 0 f(x)在(a, b)内单调递增
《3.3.1函数的单调性与导数》学案(第1课时) (2)
§3.3.1函数的单调性与导数(第 1课时)[自学目标]:1. 会熟练求导，求函数单调区间，证明单调性。
2. 会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况 [重点]: 会熟练用求导，求函数单调区间 [难点]: 证明单调性 [教材助读]:1、复习回顾：求导公式和运算法则 （1）常函数： （2）幂函数 ：（3）三角函数 ： （4）对数函数的导数: （5）指数函数的导数:运算法则：2、函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果________,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调________. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是________。
[预习自测]1、 已知导函数()f x ' 的下列信息: 当1 < x < 4 时, ()0;f x '> 当 x > 4 , 或 x < 1时, ()0;f x '< 当 x = 4 , 或 x = 1时, ()0.f x '= 试画出函数()f x 的图象的大致形状.探究一：利用单调性求单调区间判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:32(1) ()3; (2) ()23;f x x x f x x x =+=--(3) ()sin ,(0,); f x x x x π=-∈ 32(4) ()2312 1.f x xx x =+-+（5） x x y ln = （6）33xy e x =-探究二：利用单调性判断函数图象如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.如图,函数()y f x = 在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”,在(,)b +∞ 或(,)a -∞ 内的图象平缓.2设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）．A0 xy 12 xyB 012xyC0 12xyD0 1221xy'()y f x =[当堂检测]1判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:2(1) ()24; (2) ();x f x x x f x e x =-+=-332(3) ()3; (4) ().f x x x f x x x x =-=--[拓展提升]1.讨论二次函数 的单调区间.2 .求证: 函数 在（0，2）内是减函数.3 判定函数1+-=x e y x的单调区间)0()(2≠++=a c bx ax x f 762)(23+-=x x x f4. 求函数xxxf ln2)(2-=的单调减区间6.设函数)()(23Rxcxbxxxf∈++=，已知)()()(/xfxfxg-=是奇函数（1）求cb,的值；（2）求)(xg的单调区间。
函数的单调性与导数（获奖教案
函数的单调性与导数（获奖教案3.3.1函数的单调性与导数教材分析“函数单调性与导数”是⾼中数学（选修1-1）第三章导数及其应⽤的第三节，本节的教学内容属导数的应⽤，是在学⽣学习了导数的概念、计算、⼏何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，⼜可为后⾯研究函数的极值和最值打好基础.由于学⽣在⾼⼀已经掌握了单调性的定义，并能⽤定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学⽣体验到，⽤导数判断单调性要⽐⽤定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数⽽⾔），充分展⽰了导数解决问题的优越性.课时分配本节内容⽤1课时完成，主要经历从⽣活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到⼀般的数学思想，体现了数学知识来源于⽣活，⼜服务于⽣活.教学⽬标重点：利⽤导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何⽤导数判断函数的单调性.知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;2.会利⽤导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.能⼒点：1.通过本节的学习，掌握⽤导数研究单调性的⽅法.2.在探索过程中培养学⽣的观察、分析、概括的能⼒渗透数形结合思想、转化思想.教育点：通过在教学过程中让学⽣多动⼿、多观察、勤思考、善总结，培养学⽣的探索精神，引导学⽣养成⾃主学习的学习习惯.⾃主探究点：通过问题的探究，体会知识的类⽐迁移.以已知探求未知，从特殊到⼀般的数学思想⽅法.考试点：利⽤导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，⽽不是导数的单调性决定函数的单调性.教具准备：多媒体课件,三⾓板课堂模式：学案导学⼀.引⼊新课y 的单调性，如何进⾏？师：判断函数的单调性有哪些⽅法？⽐如判断2x⽣：⽤定义法、图像法.师：因为⼆次函数的图像我们⾮常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想⼀下，有没有需要注意的地⽅？⽣：注意定义域.师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？师：定义是解决问题的最根本⽅法，但定义法较繁琐,⼜不能画出它的图像，那该如何解决呢？揭⽰并板书课题：函数的单调性与导数【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断⼆次函数的单调性）⼊⼿，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最⼤值或最⼩值等性质是⾮常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有⼀个基本的了解．函数的单调性与函数的导数⼀样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?⼆．探究新知师：如图（1），它表⽰跳⽔运动中⾼度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表⽰⾼台跳⽔运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最⾼点，以及从最⾼点到⼊⽔这两段时间的运动状态有什么区别？⽣：通过观察图像，可以发现：（1）运动员从起点到最⾼点，离⽔⾯的⾼度h 随时间t 的增加⽽增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最⾼点到⼊⽔，运动员离⽔⾯的⾼度h 随时间t 的增加⽽减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【设计意图】从具体的实际情景出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系.为学⽣提供⼀个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学⽣；让学⽣完成对函数单调性与导数关系的第⼀次认识，明确研究课题.师：导数的⼏何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下⾯函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数x y =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数01/>=y ；（2）函数2x y =的定义域为R ，在),(+∞-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增；⽽x y 2/=，当0x 时，其导数0/>y ；当0=x 时，其导数0/=y ．（3）函数3x y =的定义域为R ，在定义域上为增函数；⽽2/3x y =，若0≠x ，则其导数032>x ，当0=x 时，其导数032=x ；（4）函数x y 1=的定义域为),0()0,(+∞?-∞，在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递减,⽽2/1xy -=，因为0≠x ,所以0/师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/内单调递减.【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运⽤.让学⽣体会从特殊到⼀般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学⽣在⽼师的引导下⾃主学习和探索，提⾼学习的成就感和⾃信⼼.三. 理解新知师：如图，导数'0()f x 表⽰函数)(x f 在点00(,)x y 处的切线的斜率．观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？⽣:在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数)(x f 在0x 附近单调递增；在1x x =处，0)(1/师⽣共同总结：函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/【设计意图】通过导数的⼏何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成⼀般性结论.让学⽣经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系.四．运⽤新知例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的⼤致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点⽐较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的⼤致形状如图所⽰．学⽣思考，并在纸上画出函数图像教师投影若⼲学⽣的作业情况,学⽣共同分析.【设计意图】让学⽣通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的,这是今后利⽤导函数研究函数的必备技能.这⾥让学⽣切实理解，为今后学习扫清障碍. 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1所⽰．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图2所⽰．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3所⽰．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x >，即时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图4所⽰．学⽣练（3）、（4）【设计意图】让学⽣初步体会⽤导数的⽅法确定函数单调性的简便. 【师⽣活动】总结求()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．例3．已知函数xx y 1+=，试讨论出此函数的单调区间. 解：2222//)1)(1(111)1(x x x x x x x x y +-=-=-=+=２令0)1)(1(2>+-xx x . 解得11-<>x x 或∴xx y 1+=的单调增区间是：),1()1-,(+∞-∞和令0)1)(1(2<+-x x x ，解得1001<<<<-x x 或∴xx y 1+=的单调减区间是：)1,0()0,1(和-练习：93P 1题五.课堂⼩结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间【设计意图】通过师⽣共同反思，优化学⽣的认知结构.六. 布置作业必做：课本８9P A 组 1,2 选做：1、求下列函数的单调区间： (1) 76223+-=x x y (2) x xy 21+=(3) []π2,0,sin ∈=x x y (4) x x y ln = 2、已知32()f x x bx cx d =+++的图像过点(0,2)P 且在1x =-处的切线⽅程为670x y -+=，求（1）()f x 的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间.3、已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学⽣动⼿练习,加强学⽣的应⽤意识.七.教后反思1. 本节课的亮点：教学过程中教师指导启发学⽣以已知的熟悉的⼆次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从⽽到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推⼴到⼀般.这个过程中既让学⽣获得了关于新知的内容，更可贵的是让学⽣体会到如何研究⼀个新问题，即探究⽅法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想⽅法,培养了学⽣的探索精神，积累了探究经验.2. 不⾜之处：学⽣对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练.⼋、板书设计。
2014年人教A版选修1-1课件 3.3 导数在研究函数中的应用
3.1 变化率与导数
3.2 导数的计算
3.3 导数在研究函数中的应用 3.4 生活中的优化问题举例 第三章 小结
函
3.3.1 函数的单调性与导数(第一课时) 3.3.1 函数的单调性与导数(第二课时)
3.3.2 函数的极值与导数
3.3.3 函数的最大(小)值与导数
3.3.1
函数的单调性 与导数
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息: 当 1<x<4 时, f (x)>0; 当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0; 当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0. 试画出函数 f(x) 图象的大致形状. 解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0, y 则在这区间内函数是增函数; 在区间 (-∞, 1)与(4, +∞) 内, f (x)<0, 则在 (-∞, 1) 及 (4, +∞) o 1 两区间内函数是减函数; 当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0, 曲线在这两点的切线平行于 x 轴, 这两点是曲线在那一段的顶点.
∴函数在区间 (-∞, +∞)上是增函数. o x
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x; (2) f(x)=x2-2x-3; (3) f(x)=sinx-x, x(0, p); y (4) f(x)=2x3+3x2-24x+1. 解: (2) f (x) = 2x-2, 解不等式 2x-2>0 得 x>1, 即 x(-∞, 1) 时, f (x)<0, 函数是减函数; x(1, +∞) 时, f (x)>0, 函数是增函数. o
导数基础知识点总结
导数基础知识点总结一、导数的定义1.1 导数的定义函数f(x)在点x处的导数可以理解为函数在该点处的变化率。
导数表示了函数变化的速度。
导数的定义如下：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
1.2 导数的几何意义导数在几何上的意义可以理解为函数图像在某一点处的切线的斜率。
切线的斜率即为函数在该点处的导数。
导数也可以理解为曲线在该点处的瞬时斜率。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也具有重要的物理意义。
比如，位移函数对时间的导数表示速度；速度对时间的导数表示加速度。
二、导数的计算方法2.1 使用导数的定义进行计算通过导数的定义可以计算函数在某一点处的导数。
需要注意的是，导数的计算中需要考虑极限的计算，因此需要对函数进行分析和运算。
2.2 常见函数的导数常见函数的导数计算可以通过一些基本的导数规则进行计算。
常见函数的导数如下：- 常数函数的导数为0- 幂函数的导数为x^n的导数是nx^(n-1) （n为任意实数）- 指数函数的导数为e^x的导数为e^x- 对数函数的导数为lnx的导数为1/x- 三角函数的导数为sinx的导数为cosx，cosx的导数为-sinx，tanx的导数为sec^2x2.3 复合函数的导数对于复合函数的导数，可以使用链式法则进行计算。
链式法则是导数计算中的一个重要的规则，可以应用于复合函数的导数计算。
2.4 隐函数的导数对于隐函数的导数计算，可以通过求导的方式进行计算。
在求导的过程中，需要利用隐函数的特定性质和求导的基本规则进行计算。
2.5 参数方程的导数对于参数方程描述的函数，可以通过参数消去的方法进行计算。
参数消去是求导的一种特殊方法，可以将参数方程描述的函数转化为一个常规的函数形式，从而通过基本导数规则进行计算。
三、导数的性质3.1 导数存在的条件函数在某一点处的导数存在的条件是函数在该点处可导。
数学：3.3《函数的单调性与导数》课件(新人教版A选修1-1)
上面是否可得下面一般性的结论:
1.回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何 意义，研究单调性的定义与其导数正负的关 系？ 在某个区间（a,b）内， ①如果f’(x)>0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递增. ②如果f’(x)<0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递减.
1.如果在某个区间内恒有f’(x)＝0，那么函数f(x) 有什么特性？
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
练习2 若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
已知函数f (x)= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0,
解：f (x)=2ax - x3在（ 0， 1]上是增函数， f '(x)=2a - 3x 0在（ 0， 1]上恒成立， 3 2 即：a x 在（0， 1]上恒成立， 2 3 2 3 而g( x ) x 在（0， 1]上的最大值为 ， 2 2 3 a 。 3 2 [ , )
练习: 已知 x 1 ，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
单调性的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或 单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的 单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
解: (3) 因为
, 所以
因此, 函数
在
3.3.1 函数的单调性与导数
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1������ = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
������ 2
,(-t,+∞),递减区间为
������ 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
������ 2
,
+
∞
,递减区间为
-������,
������ 2
.
迁移与应用 已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,
函数的单调性与导数
(a>0)
f′(x)＝ ex
1 f′(x)＝ xln a (a>0 且 a≠1) 1 f′(x)＝ x
探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系 问题 1 观察高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10 的图象， 及 h′(t)＝－9.8t＋6.5 的 图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运 动状态有什么区别.
3.3.1
小结 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这 个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个 区间内单调递减.
问题 3
若恒有 f′(x) ＝0,则函数 f(x)有什么特性？
答 函数 f(x)是常函数，不具有单调性
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2 x3 3x2 24 x 1.
3.3.1 例 2 求函数 f(x)＝3x2－2ln x 的单调区间： 3 3 ∴f(x)的单调递增区间为( ， ＋∞)， 单调递减区间为(0， ). 3 3
3.3.1
(2，＋∞) ，减区间为 4.(1) 函数 y ＝ x2 － 4x ＋ a 的增区间为 _________ (－∞，2) __________.
解析 y′＝2x－4，令 y′>0，得 x>2；令 y′<0，得 x<2，
所以 y＝x2－4x＋a 的增区间为(2，＋∞)，
减区间为(－∞，2).
3.3.1
随堂检测
1.函数 f(x)＝x＋ln x 在(0,6)上是 A.单调增函数 B.单调减函数 1 1 C.在0， 上是减函数，在 ，6 上是增函数 e e 1 1 D.在0， 上是增函数，在 ，6 上是减函数 e e 1 解析 ∵f′(x)＝1＋ >0， x ∴函数在(0,6)上单调递增. ( A )
3.3函数的单调性、凹凸性与极值
o
x
o
x
22
2.4 导数的应用(118)
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A
B
到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的
曲线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸 的分界点, 我们称为拐点.
A
• C
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点 对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸
x0
2.4 导数的应用(118)
16
当 xk
1 1 ( 2k ) 2
时， f ( x k ) 1
4 1 ( 2k ) 2
0
1 当 xk 时， 2 k
f ( xk ) 1 0
注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻 域内，f ( x ) 都不单调递增．
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
2.4 导数的应用(118)
15
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0
1 lim f (0) x0(1 2 x sin ) 1 0 x
1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
小结与思考题1
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个 数和证明不等式.
【数学】3.3.1《函数的单调性和导数》教案(新人教A版选修1-1)
§3.3.1函数的单调性与导数【成功细节】严俏华谈导数的计算的方法本节主要是用函数的导数研究函数的单调性，学习过程中要深刻理解相关的结论以及方法，要学好本节内容，我认为应注意以下几个细节入手：（1）函数在某点处的单调性与该点处的切线的斜率（即函数在该点处的导数值）的符号相关；若导数值大于零，则函数在此处为增函数；（2）若函数在某个闭区间上的导数值恒为零，则该函数为常数函数；（3）在求函数的单调区间时，可直接解关于导数的不等式；（4）深刻理解函数的单调性与函数的导数之间的关系，包括连个方面：导数的符号说明函数的单调性，某区间内，导数值为正，则函数为增函数；导数绝对值得大小反映了函数图象的变化速度，绝对值越大，函数图象越陡峭。
如 这个题主要考查导数的基本运算以及应用导数解决函数的单调性，是一个简单题，可直接求解即可.1()ln ln 1f x x x x x'=+⨯=+，令()0f x '>可解得1x e>，所以函数的单调递增区间是1(,)e +∞.【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
——叶圣陶【精读·细化】1.用10分钟的时间阅读教材89～91页, 函数的单调性与导函数正负之间有怎样关系？某个区间内函数的平均变化率的几何意义与导数之间的联系呢？如果在某个区间恒有()f x '=0，那么函数有什么特征？细节提示:把握住单调性定义中y 的变化量与x 的变化量的比值与导数的定义之间的关系。
【提升·解决】1.在某个开区间内，导数值大于零，则函数在这个区间内单调递增，导数值小于零，则函数在这个区间内单调递减；若函数在某个区间内恒有导数值等于零，则函数为常数函数.【关注·思考】2.阅读课本92～93页，理解函数变化的快慢程度与函数导数值的绝对值的大小之间的关系.细节提示:函数图象，不仅体现函数的增减，还可以体现函数值变化的快慢.【提炼·发现】2.函数导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”，反之就“平缓”一些.（2007年广东 文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 2007年广东省文科状元严俏华【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的应用知识点1 函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.86.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？ 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】函数的单调性可简单的认为是:若2121()()f f x x xx-->0则函数f(x)为增函数.可把2121()()f f x x x x--看作y x∆∆=2121()()f f x x x x--.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数y x =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数10y '=>； （2）函数2y x =的定义域为R ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增； 而2()2y x x ''==，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>；当0x =时，0y '=。
函数的单调性与导数的关系
详细描述
例如，函数$f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$上是单调递减的，而在区间$(0, +infty)$上是单调递增的。
导数与单调性实例
总结词
通过导数判断函数的单调性
详细描述
如果一个函数在某区间的导数大于0，则该 函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数单调递减。例如，对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$在所有实数范 围内都大于0，因此$f(x) = x^3$在全实数 范围内都是单调递增的。
感谢您的观看
表示函数在该区间内单调 递减。
表示函数在该区间内单调 递增。
导数大于零
导数小于零
导数等于零
导数在判断单调性中的应用
导数测试法
通过计算函数在某一点的导数值，判断函数在 该点附近的单调性。
导数符号法
通过判断导数符号的正负，确定函数的增减性。
导数切线法
通过观察函数图像在某点的切线斜率，判断函数在该点附近的单调性。
单调性与函数值的变化
单调性决定ห้องสมุดไป่ตู้函数值的变化趋势
增函数意味着函数值随自变量的增加而增加，减函数则表示函数值随自变量的增加而减小。
单调性对于函数的极值和最值问题有重要影响
单调性可以帮助确定函数的极值点，进而求得最值。
02 导数的概念与性质
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量 变化的速率。
减函数
对于函数$f(x)$，如果在其定义域内任意两点$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$）上， 都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$为减函数。
导数与函数的单调性、极值、最值
[变式训练] (2017·北京卷)已知函数 f(x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)因为 f(x)＝excos x－x，所以 f(0)＝1， f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，所以 f′(0)＝0， 所以 y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 y＝1. (2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，令 g(x)＝f′(x)，
考点 2 利用导数求函数的最值(讲练互动) 【例】 (2019·广东五校联考)已知函数 f(x)＝ax＋ln x，其中 a 为常数． (1)当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值； (2)若 f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求 a 的值． 解：(1)易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋1x＝1－x x， 令 f′(x)＝0，得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)>0；当 x>1 时，f′(x)<0.
由题设知 f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得 a＝1. 此时 f(1)＝3e≠0. 所以 a 的值为 1. (2)f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex ＝(ax－1)(x－2)ex. 若 a>12，则当 x∈(1a，2)时，f′(x)<0； 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，即 x＝ln a， 当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞) 上单调递增，故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值且极小值为 f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大 值．
导数与单调性
2）求出函数 f(x)的导数 f′(x)；
3）解 f′(x)＞0，在定义域内解不等式， 求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递增区间；
4）解 f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式， 求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递减区间．
1 1 所以 f(x)的增区间是( ，＋∞)；减区间为(0， )． 2 2
例1
求下列函数的单调区间． (2)f(x)＝2x－lnx；
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
ax (3)f(x)＝ 2(a≠0)(－1＜x＜1)． 1－x
a1－x2－ax－2x a· 1＋x2 (3)解：f′(x)＝ ＝ 2 2 2 2， 1－x 1－x
单调减区间（a, b)
如果 f′(x)＝0 恒成立，那么 f(x)在这个区间内是常函数 ________．
无单调区间
例：设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如下左图所示， 则导函数 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示， 则 y＝f(x)的图像最有可能的是(
2 x ＋1 2 2 2 ∵x∈(－1,1)，∴(1－x ) ＞0，x ＋1＞0. ∴ 2 2＞0. 1－x
∴当 a＞0 时，f′(x)＞0；当 a＜0 时，f′(x)＜0. ∴当 a＞0 时，f(x)增区间为(－1,1)； 当 a＜0 时，f(x)减区间为(－1,1)．
总结：
利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的基本步骤： 1）确定函数 f(x)的定义域；
例1
求下列函数的单调区间． (2)f(x)＝2x－lnx；
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
ax (3)f(x)＝ 2(a≠0)(－1＜x＜1)． 1－x
(2)解：由 x>0，得函数定义域为(0，＋∞)． 1 f′(x)＝2－x. 1 1 1 1 由 2－x>0 解得 x> ； 由 2－x<0，得 0<x<2. 2
高中数学选修1课件1-3.3.1函数的单调性与导数
解析：方法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1.
当 a－1≤1，即 a≤2 时，对于任意的 x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0， 即函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当 a－1＞1，即 a＞2 时，函数 f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞) 上单调递增，在[1，a－1]上单调递减， 依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而 4≤a －1≤6，故 5≤a≤7. 综上，实数 a 的取值范围为[5,7]．
(3)要特别注意函数的定义域．
跟踪训练 2 求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex； (2)y＝x3－2x2＋x；
(3)y＝12x＋sin x，x∈(0，π)．
解析：(1)∵y＝(1－x)ex， ∴y′＝－xex，∴y′＞0 时 x＜0，y′＜0 时 x＞0， ∴函数 y＝(1－x)ex 的增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞)． (2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，x∈R， ①令 3x2－4x＋1＞0，得 x＞1 或 x＜13. ②令 3x2－4x＋1＜0，得13＜x＜1.
状元随笔
如图，函数 y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内 “平缓”．
说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出 函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢 后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．
[小试身手]
1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增区间是
状元随笔 先求导数，再利用二次函数知识求 a.
3．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值
函数与导数函数的单调性与极值点的几何意义分析示例
函数与导数函数的单调性与极值点的几何意义分析示例函数与导数函数是微积分中重要的概念，它们在数学和物理领域中有着广泛的应用。
本文将通过详细的分析与实例，探讨函数与导数函数的单调性以及极值点的几何意义。
一、函数的单调性与导数函数函数的单调性描述了函数在定义域上的增减情况。
若定义域内的任意两个自变量x1、x2，满足x1<x2，则函数f(x1)<f(x2)时，称函数在该定义域上是递增的；若f(x1)>f(x2)，则称函数在该定义域上是递减的。
导数函数是函数f(x)在其定义域内的任意点x处的导数值构成的新函数。
导数函数可以用来研究函数的单调性。
若导数函数在某个定义域上恒大于0，则原函数在该定义域上是递增的；若导数函数在某个定义域上恒小于0，则原函数在该定义域上是递减的。
二、函数单调性的几何意义函数的单调性在几何意义上可以理解为曲线的上升或下降趋势。
当函数递增时，其对应的曲线随着自变量的增大逐渐上升；当函数递减时，其对应的曲线则随着自变量的增大逐渐下降。
以一元函数f(x)为例，当其在某个定义域上是递增的时，可以理解为曲线向上延伸，表示曲线在这个区间内的斜率是正的。
这意味着曲线的切线在每一点的斜率都是正的，从而在几何上可以理解为曲线向上倾斜；同样，函数在某个定义域上是递减的时候，对应的曲线则是向下倾斜的。
三、极值点的几何意义极值点是指函数的取值在某一区间内达到最大值或最小值的点。
在数学上，极值点可以通过函数的导数求解得到。
当函数导数在某个点处等于零，并且该点的导数存在两侧变号，那么该点就是函数的极值点。
在几何上，极值点可以理解为曲线的拐点。
当曲线从上方或下方逼近极值点时，曲线的方向会发生变化，从而在几何上形成一个拐点。
拐点的左右两侧曲线的斜率会发生变化，而极值点正好位于曲线拐点的位置。
四、实例分析我们以函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x为例，来分析函数的单调性与极值点的几何意义。
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所以函数 f1(x)在区间(－1,0]内单调递减． ②f2′(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)， 由于 a∈[－2,0]，所以当 0<x<1 时，f2′(x)<0；当 x>1 时，f2′(x)>0，即函数 f2(x) 在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增． 综合①②及 f1(0)＝f2(0)，可知函数 f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞) 内单调递增．
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3.3
导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
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考
纲
定
位
重
难
突
破
1.掌握函数的单调性与导数的关 重点：利用导数确定函数的单调性及求函数的单 系． 2.能利用导数研究函数的单调性． 调区间． 3.会求函数的单调区间(其中多项 难点：1.利用导数证明一些简单不等式． 2.常与不等式、方程等结合命题. 式函数一般不超过三次).
单调递减．
答案：③
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探究一 [典例 1] 求下列函数的单调区间．
求函数的单调区间
(1)f(x)＝2x3－6x2＋7； (2)f(x)＝－ln x＋2x2.
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[解析]
(1)∵f′(x)＝6x2－12x，令 f′(x)>0，得 x>2 或 x<0; 令 f′(x)<0，得 0<x<2.
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2．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( A．是增函数 C．有最大值
解析：∵cos x≤1，∴f
)
B．是减函数 D．有最小值
′(x)＝2－cos x>0 恒成立，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
答案：A
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3．在下列命题中，真命题是________(填序号)． ①若 f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意 x∈(a，b)，都应有 f ②若在(a，b)内 f ′(x)存在，则 f(x)必为单调函数；
[答案]
C
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[感悟提高]
构造函数是解决许多问题的常用方法，如比较大小、证明不等式、解不
等式恒成立及最值问题等，关键是根据条件如何构造恰当的函数，再用导数工具解 决问题．
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1 2 1．函数 y＝ x － ln x 的单调减区间是 ( 2 A．(0,1) C．(－∞， 1)
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二、用导数研究函数单调性的一般步骤 1．确定函数 f(x)的定义域 ； 2．求 f′(x)，令 f′(x)＝0 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
3． 把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的 顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义域分成若干个小区间； 4． 确定 f′(x)在各小开区间内的 符号， 根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在各个相应小 开区间内的增减性．
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[双基自测] 1．函数 f(x)＝ex－x 的单调递增区间是( A．(－∞，1] C．(－∞，0] B．[1，＋∞) D．(0，＋∞) )
解析：∵f(x)＝ex－x，∴f 由f
′(x)＝ex－1，
′(x)>0，得 ex－1>0，即 x>0.
答案：D
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答案：C
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探究二 [典例 2] 判断函数的单调性
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1 设函数 f(x)＝x－x－aln x(a∈R)，讨论 f(x)的单调性．
[解析] f
f(x)的定义域为(0，＋∞)．
2 1 a x －ax＋1 ′(x)＝1＋x2－x＝ . x2
令 g(x)＝x2－ax＋1， 其判别式 Δ＝a2－4. ①当|a|≤2 时，Δ≤0，f ′(x)≥0.
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(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)恒
成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足 题意． ②先令 f ′(x)>0(或 f ′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时
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探究三 [典例 3]
已知单调性求参数范围
1 (2016· 高考全国Ⅰ卷)若函数 f(x)＝x－ sin 2x＋ asin x 在 (－∞，＋∞)单调 3 )
1 B.－1， 3 1 D.－1，－ 3
递增，则 a 的取值范围是( A. － 1， 1
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1．函数 y＝xsin x＋cos x 在下面哪个区间为增函数( π 3π A． ( 2 ， 2 ) 3π 5π C． ( 2 ， 2 ) B．(π，2π) D．(2π，3π)
)
解析：y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x. 3π 5π 结合选项知函数在( 2 ， 2 )上为增函数．
x
上不是单调函数，故 A，B 选项不正确．
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ex x－ 1 ex 设 g(x)＝ (0＜ x＜ 1)，则 g′(x)＝ . x x2 又 0＜ x＜ 1，∴ g′ (x)＜ 0. ∴函数 g(x)在 (0,1)上是减函数． 又 0＜ x1＜ x2＜1，∴ g(x1)＞ g(x2)，∴x2ex1＞ x1e x2.
∵f(x)在(1，＋∞)内是增函数， ∴3x2＋a≥0 对 x∈(1，＋∞)恒成立， 即 a≥－3x2 对 x∈(1，＋∞)恒成立． 又－3x2<－3， ∴a≥－3.
答案：[－3，＋∞)
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构造函数法比较大小 [典例] 若 0＜x1＜x2＜1，则( )
A．ex2－ex1＞ln x2－ln x1 B．e x1－ex2＜ln x2－ln x1 C．x2e x1＞x1e x2 D．x2e x1＜x1e x2
a2－4 a＋ a2－4 上单调递减． ， 2 2
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利用导数证明或判断函数单调性的思路
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2．设 a∈[－2,0]，已知函数 f(x)＝ x3－a＋5x，x≤0， 3 a＋3 2 x － 2 x ＋ax，x>0. 证明 f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．
a＋3 2 证明：设函数 f1(x)＝x －(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝x － 2 x ＋ax(x≥0)，
3 3
①f1′(x)＝3x2－(a＋5)，由于 a∈[－2,0]， 从而当－1<x≤0 时，f1′(x)＝3x2－(a＋5)<3－a－5≤0，
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)
B． (0,1)∪ (－∞，－ 1) D． (－∞，＋∞)
1 2 1 1 解析：∵y＝2x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－x，令 y′<0，即 x－x<0， 解得：0<x<1 或 x<－1.又∵x>0，∴0<x<1，故选 A.
答案：A
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2．已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)为增函数，则( A．b2－4ac≤0 C．b＝0，c>0
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′(x)>0；
③若在(a，b)内对任意 x 都有 f ④若可导函数在(a，b)内有 f
′(x)>0，则 f(x)在(a，b)内是增函数； ′(x)<0，则在(a，b)内有 f(x)<0.
′(x0)＝0 不影响区间内函数的单调性；对于②，
解析：对于①，可以存在 x0，使 f 导数 f
′(x)符号不确定， 函数不一定是单调函数； 对于④， f ′(x)<0 只能得到 f(x)
f(x)是否满足题意． (2)恒成立问题的重要思路 ①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max. ②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
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3．设函数 f(x)＝x3＋ax－2 在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数 a 的取值范围是 ________．
解析：f ′(x)＝3x2＋a，
故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
人教A版数学 ·选修1-1
②当 a<－2 时， Δ>0， g(x)＝0 的两根都小于 0.在(0， ＋∞)上， f ＋∞)上单调递增． ③当 a>2 时，Δ>0，g(x)＝0 的两根为 a－ a2－4 a＋ a2－4 x1＝ ，x2＝ . 2 2 当 0<x<x1 时，f 故
∴函数的递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，递减区间为(0,2)． 1 1 1 (2)∵函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－x，令 f′(x)>0，得 x>2或－2<x<0(舍 1 1 去)；令 f′(x)<0，得 0<x<2或 x<－2(舍去)． 1 1 ∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(0，2)．