【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变换量双基限时练27(含解析)新人教A版必修4
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变形双基限时练29(含解析)北师大版必修4
双基限时练(二十九) 二倍角的三角函数(二)一、选择题 1．cos2π8－12的值为( ) A ．1 B.12 C.22D.24解析 cos 2π8－12＝2cos2π8－12＝cos π42＝24. 答案 D2.1＋co s100°－1－cos100°＝( ) A ．－2sin5° B ．2sin5° C ．－2cos5°D ．2cos5°解析 原式＝1－sin10°－1＋sin10°＝|cos5°－sin5°|－|cos5°＋sin5°|＝－2sin5°.答案 A3．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析 方法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ，∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 方法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin2θ.∴4＝2sin2θ，故sin2θ＝12.答案 D4．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 ∵f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝a·b 的最小正周期是π. 答案 B5．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数解析 f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin2x .∴f (x )为奇函数，且周期为π. 答案 B 6．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析 ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故2cos2θ≤0，∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又cos2θ＝1－2sin 2θ，∴sin 2θ＝1－cos2θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝916，∴sin θ＝34，故选D.答案 D 二、填空题7．已知tan α＝13，则sin2α＋cos 2α＝__________.解析 sin2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1tan 2α＋1＝2×13＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1＝32. 答案 328．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝__________.解析 f (sin x )＝3－cos2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .答案 3＋cos2x9．若sin α2＝1＋sin α－1－sin α，0≤α≤π，则tan α的值是________．解析 两边平方得sin 2α2＝2－21－sin 2α， ∴1－cos α2＝2－2|cos α|.① 当0≤α≤π2时，①式为1－cos α2＝2－2cos α，∴cos α＝1，∴α＝0，∴tan α＝0.当π2<α≤π时，①式为1－cos α2＝2＋2cos α， ∴cos α＝－35，∴sin α＝45.∴tan α＝－43答案 0或－43三、解答题10．已知cos θ＝－35，并且180°<θ<270°，求tan θ2.解 解法一：因为180°<θ<270°，所以90°<θ2<135°，即θ2是第二象限角，所以tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 解法二：因为180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－2，或tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 11．化简： ＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．解 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22|cos α2|∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，故cos α2<0，∴上式＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2－2cosα2＝cos2α2－sin 2α2＝cos α. 12．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12， (1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的单调增区间．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a －32＝32，a ＋b 2－32＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝1.∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝3·1＋cos2x 2＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－512π＋k π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )．13．已知向量a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最大值及相应的x 值； (2)若f (θ)＝85，求cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2θ的值．解 (1)因为a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＋1.因此，当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋1.(2)由f (θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f (θ)＝85得sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得1－sin4θ＝925，即sin4θ＝1625.因此，cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1625.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变形双基限时练24(含解析)北师大版必修4
双基限时练(二十四) 同角三角函数的基本关系(一)一、选择题1．已知α为第四象限角，且cos α＝1213，则sin α等于( )A.513 B ．－513C.512D ．－512解析 ∵α为第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－513.答案 B2．下列等式中正确的是( ) A ．sin2α2＋cos 2α2＝12B ．若α∈(0,2π)，则一定有tan α＝sin αcos αC ．sin π8＝±1－cos2π8D ．sin α＝tan α·cos α(α≠k π＋π2，k ∈Z )解析 选项A 中，sin2α2＋cos 2α2＝1，所以选项A 不正确；利用同角的三角函数基本关系时一定要注意其隐含条件，对于选项B 中cos α≠0，也即α≠k π＋π2(k ∈Z )，因而选项B 不正确；因为0<π8<π2，所以sin π8>0，所以选项C 不正确．答案 D3．若tan α＝3，π<α<32π，则cos α－sin α的值为( )A ．－3＋12B.1－32 C.3－12D.3＋12解析 ∵π<α<32π，tan α＝3，∴sin α＝－32，cos α＝－12. ∴cos α－sin α＝3－12. 答案 C4．设A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 由sin A ＋cos A ＝23，得1＋2sin A cos A ＝49，∴sin A cos A ＝－518<0，又0<A <π，∴sin A >0，cos A <0，∴A ∈(π2，π)，故△ABC 为钝角三角形．答案 B5．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32 B.34 C ．－32D ．±32解析 ∵π4<α<π2，∴cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－32. 答案 C6．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 4θ等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析 由sin θ＋sin 2θ＝1，解sin θ＝1－sin 2θ，即cos 2θ＝sin θ， 所以cos 2θ＋cos 4θ＝sin θ＋sin 2θ＝1. 答案 B 二、填空题7．已知f (sin α)＝cos 2α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析 f (sin α)＝cos 2α＝1－sin 2α，∴f (x )＝1－x 2，故f (12)＝1－14＝34.答案 348．若α为锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝________.解析 由4x 2＋x －3＝0，得x ＝－1，或x ＝34，又α为锐角，∴tan α＝34，∴sin α＝35.答案 359．设α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，则1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α＝________. 解析 ∵－π4≤α≤π4，∴sin α<cos α，sin α＋cos α>0，故原式＝ sin α－cos α 2＋ sin α＋cos α 2＝cos α－sin α＋sin α＋cos α ＝2cos α. 答案 2cos α10．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.解析 ∵α是第二象限的角， ∴cos α<0.又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.答案 －255三、解答题11．已知A 是△ABC 的内角，且tan A ＝－54，求sin A ，cos A .解 ∵tan A ＝－54，A 为△ABC 内角∴A 为钝角．又tan A ＝sin A cos A ＝－54，代入sin 2A ＋cos 2A ＝1中，解得sin A ＝54141，cos A ＝－44141.12．已知cos α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求α的其他三角函数值． 解 因为cos α＝m (m ≠0，m ≠±1)，所以sinα＝±1－m2. 若α在第一、二象限，则sinα＝1－m2，tanα＝1－m2 m.若α在第三、四象限，则sinα＝－1－m2，tanα＝－1－m2 m.13．若θ为锐角，且tanθ＋1tanθ＝2，求：(1)sinθ·cosθ的值；(2)求sinθ＋cosθ的值．解(1)由tanθ＋1tanθ＝2，得sinθcosθ＋cosθsinθ＝2，即sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝2，sinθ·cosθ＝12.(2)∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝2，又θ为锐角，∴sin＋cosθ＝ 2.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变换单元同步测试(含解析)新人教A版必修4
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变换单元同步测试（含解析）新人教A 版必修4(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34 D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案 D4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65. 答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2. 答案 D 7．设a ＝22(si n17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°， b ＝2cos 213°－1＝cos26°， c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2解析 原式＝－－sin20°sin70°＝＋－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1. 答案 114．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解析 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.α＋＋α＋2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712.18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42α＋sin 2α2α－sin 2α＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos α－sin α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝α＋cos α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α.∴原等式成立．19．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得 22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x2，－sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0， 即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝0，则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )， ∴x 值的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z. (2)|a －c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12＝cos23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3，则|a －c |2的最大值为9. ∴|a －c |的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12.当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2. 22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx . 所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 三角恒等变换单元测评 新人教A版必修4
三角恒等变换(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255解析：由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35.∴cos β2＝±1＋cos β2＝± 15＝±55. 答案：A2．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2³3＝6. 答案：D3．函数y ＝cos2x ＋sin2x cos2x －sin2x 的最小正周期为A ．2πB ．π C.π2D.π4解析：y ＝1＋tan2x 1－tan2x ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴T ＝π2. 答案：C4．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析：a ＝2sin59°，b ＝2sin61°，c ＝2sin60°， ∴a ＜c ＜b . 答案：D5．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图像的一个对称中心是 A.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，－3解析：y ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－3＝12sin2x ＋32²cos2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x＋π3＝k π，x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，－32. 答案：B6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是 A. 2 B ．2 C ．4D.22解析：PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则 |PQ →|＝β－cos α2＋β－sin α2＝2－α－β，故|PQ →|的最大值为2. 答案：B7．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)的值为 A.14 B.12C ．4D ．12 解析：由已知得：4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，即tan α－tan β1＋tan αtan β＝4，所以tan(α－β)＝4. 答案：C8．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3²⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．答案：B9．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x 的一个单调递增区间是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤512π，1312πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其增区间是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的减区间，即π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：B10．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)的值为A ．－2B ．－1C ．－211D.211解析：由sin2α＝35，且π2＜2α＜π，可得cos2α＝－45，所以tan2α＝－34，所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－α－β1＋tan2αα－β＝－2.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．若π4<α<β<π2，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则a ，b 的大小关系是__________．解析：sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，sin β＋cos β＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，因为π4<α<β<π2，所以π2<α＋π4<β＋π4<3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，所以a >b .答案：a >b12．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值为__________． 解析：由已知条件可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin2θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可知θ＋π4＋2θ＝3π，即θ＝11π12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 13π6＝12. 答案：1213．已知cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－35，β是第二象限角，则tan2β＝__________.解析：由已知可得，cos β＝－35，可求tan β＝－43，∴tan2β＝247.答案：24714．关于函数f (x )＝cos2x －23sin x cos x ，下列命题：①存在x 1，x 2，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增；③函数f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形；④将函数f (x )的图像向左平移5π12个单位长度后将与y ＝2sin2x 的图像重合．其中正确命题的序号是__________(注：把你认为正确的序号都填上)． 解析：∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，∴周期T ＝π，故①正确；∵π2≤2x ＋5π6≤3π2，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是其递减区间，故②错误；∵对称中心的横坐标满足2x ＋5π6＝k π(k ∈Z )⇒x ＝k π2－5π12(k ∈Z )，当k ＝1时，得③正确；应该是向右平移，故④不正确． 答案：①③三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A ＜B ＜C ，sin B ＝45，cos(2A ＋C )＝－45，求cos2A 的值．解：∵A ＜B ＜C ，A ＋B ＋C ＝π， ∴0＜B ＜π2，A ＋C ＞π2，0＜2A ＋C ＜π.∵sin B ＝45，∴cos B ＝35.∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45，cos(A ＋C )＝－35.(4分)∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35.(8分)∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35³⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45³45 ＝725. ∴cos2A ＝1－2sin 2A ＝527625.(12分)16．(12分)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }．(4分)f (x )的最小正周期为π2.(6分)(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．(8分)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.(10分)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.(12分)17．(13分)设f (x )＝6cos 2x －3sin2x . (1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫45α的值．解：(1)f (x )＝6³1＋cos2x2－3sin2x＝3＋3cos2x －3sin2x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32cos2x －12sin2x ＋3＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3，(4分) 故f (x )的最大值为23＋3.最小正周期T ＝2π2＝π.(6分)(2)由f (α)＝3－23，得23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋3＝3－23，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－1.(8分) 又由0＜α＜π2，得π6＜2α＋π6＜7π6，故2α＋π6＝π， 解得α＝512π.(10分)从而tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫45α＝tan π3＝ 3.(13分) 18．(13分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x .(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解：f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.(1)令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )．(4分)(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋2π3，k ∈Z }．(8分)(3)f (x )＝65即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.(13分)。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变形双基限时练25(含解析)北师大版必修4
双基限时练(二十五) 同角三角函数的基本关系(二)一、选择题1.1－sin 260°＝( ) A ．±32 B ．±12C ．－32D.12解析1－sin 260°＝cos 260°＝|cos60°|＝12.答案 D2．已知α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析 ∵α为第三象限角，∴cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.答案 B3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34 C ．1D.54解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.答案 B4．计算sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ的结果为( ) A.14 B.12 C.32D ．1解析 原式＝sin 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，故选D. 答案 D5.sin A 1＋cos A ＋1＋cos Asin A 化简后的最简结果为( )A.sin A2 B ．sin A C.2sin AD.1sin A解析sin A 1＋cos A ＋1＋cos A sin A ＝1－cos A sin A ＋1＋cos A sin A ＝2sin A.答案 C6．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α²cos α等于( )A.25 B ．－25C.25或－25D ．－15解析 由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α得sin α＝－2cos α. ∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴(－2cos α)2＋cos 2α＝1. ∴cos 2α＝15.∴sin α²cos α＝(－2cos α)²cos α＝－2cos 2α＝－2³15＝－25.答案 B7．若sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，则tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316D ．－2316解析 由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，得tan α－23tan α＋5＝－5，得tan α＝－2316.答案 D 二、填空题 8.1－2sin40°cos40°sin40°－1－sin 240°＝________.解析 原式＝ sin40°－cos40° 2sin40°－cos40°＝cos40°－sin40°sin40°－cos40°＝－1.答案 －19．已知2sin α＝cos α，则2cos 2α＋2sin αcos αcos 2α的值是________． 解析 2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2＋2tan α1＝2＋2³12＝3. 答案 310.sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ的值为________． 解析sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ＝sin θ 1－sin θ －sin θ 1＋sin θ 1－sin 2θ＝－2sin 2θcos 2θ ＝－2tan 2θ. 答案 －2tan 2θ 三、解答题 11．化简下列各式．(1)1－2sin α²cos αcos 2α－sin 2α²1＋2sin α²cos α1－2sin 2α； (2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．解 (1)原式＝ sin α－cos α 2cos 2α－sin 2α² sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α ＝cos α－sin αcos α＋sin α²sin α＋cos αcos α－sin α＝1.(2)原式＝1cos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α－ 1＋sin α21－sin 2α＝－1cos α＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.12．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解 由已知，tan α＝12，所以，(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α)＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3³⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 13．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. 解 ∵右边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α) ＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边， ∴原式成立．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变换量双基限时练28(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(二十八)1．已知cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α2的值为( ) A.55 B ．－55C.255D ．－255解析 ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0.由cos α＝2cos2α2－1＝－35，得cos 2α2＝15， ∴cos α2＝－55.答案 B2．设α∈(π，2π)，则 1－π＋α2等于( ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析 ∵α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α2<0. ∴1－cos π＋α2＝1＋cos α2＝|cos α2| ＝－cos α2.答案 D3．函数y ＝8sin x cos x cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A ．T ＝π，A ＝4 B ．T ＝π2，A ＝4C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝π2，A ＝2解析 y ＝8sin x cos x cos2x ＝4sin2x cos2x ＝2sin4x ， ∴最小正周期T ＝2π4＝π2，最大值A ＝2.答案 D4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103 B.53 C.23D ．－2解析 ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝10913＝103. 故应选择A. 答案 A5．若f (x )＝cos2x ＋8sin x ，则它的最大值和最小值分别是( ) A ．最大值是9，最小值是－9 B ．最大值不存在，最小值为7 C ．最大值是7，最小值是－9 D ．最大值是7，最小值不存在解析 f (x )＝cos2x ＋8sin x ＝1－2sin 2x ＋8sin x ＝－2(sin 2x －4sin x )＋1＝－2(sin x －2)2＋9. ∵x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝1时，f (x )有最大值7； 当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9. 答案 C6．使f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( )A ．－π3B.π3C.23π D.43π 解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，当θ取－π3时，为奇函数，但在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上递增；θ取π3和43π时为非奇非偶函数；当θ取2π3时，f (x )＝－2sin2x 符合题意． 答案 C7.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2的值等于__________．解析 原式＝1＋sin α＋2·1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α2＝1＋sin α＋1－sin α ＝2. 答案 28．函数y ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －32的最大值为________．解析 y ＝32sin2x ＋3×1＋cos2x 2－32＝32sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤ 3.答案39．化简：sin A ＋sin2A1＋cos A ＋cos2A ＝________.解析 原式＝sin A ＋2sin A cos Acos A ＋2cos 2A ＝sin A 1＋2cos Acos A 1＋2cos A＝tan A .答案 tan A10．若tan x ＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析 2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝1－22＋1＝22－3. 答案 22－311．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.解2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ， ∵tan2θ＝－22，∴2tan θ1－tan 2θ＝－2 2. ∴2tan 2θ－tan θ－2＝0.∴tan 2θ－22tan θ－1＝0. ∴tan θ＝2或tan θ＝－22.∵π<2θ<2π， ∴π2<θ<π，∴tan θ<0. ∴tan θ＝－22.∴原式＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－221－22＝3＋2 2.12.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，试求其外接矩形EFGH 面积的最大值． 解 设∠CBF ＝θ，则∠EAB ＝θ，EB ＝a sin θ，BF ＝b cos θ，AE ＝a cos θ，HA ＝b sin θ， 所以S矩形EFGH＝(b sin θ＋a cos θ)(b cos θ＋a sin θ)＝b 2sin θcos θ＋ab sin 2θ＋ab cos 2θ＋a 2sin θcos θ＝a 2＋b 22sin2θ＋ab .由|sin2θ|≤1，知当θ＝45°时，S 矩形EFGH取得最大值为12(a 2＋b 2)＋ab .13．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin2α的值．分析 (1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式．再求解．(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．解 (1)由已知f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知，f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.∴cos α－sin α＝325，平方得1－sin2α＝1825.∴sin2α＝725.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变形双基限时练28(含解析)北师大版必修4
双基限时练(二十八) 二倍角的三角函数(一)一、选择题1．已知cos2α＝14，则sin 2α＝( )A.34B.14C.58D.38解析 ∵cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝1－cos2α2＝1－142＝38.答案 D2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析 角θ的终边在直线y ＝2x 上，∴sin θ＝±255.∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－85＝－35. 答案 B3．函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π的奇函数． 答案 C4．已知sin θ＋cos θ＝15，π2≤θ≤34π，则cos2θ的值为( )A.725B ．±725C ．－725D.1625解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，得sin2θ＝－2425.又π2≤θ≤34π，∴π≤2θ≤32π， ∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－725.答案 C5．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝( ) A ．－16B.16C.56D ．－56解析 原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12. 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，得1＋tan α1－tan α＝2，得tan α＝13，∴原式＝13－12＝－16.答案 A6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α的值是( ) A ．－79B ．－13C.13D.79解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－79.答案 A7．已知cos2α＝35，则sin 4α＋cos 4α等于( )A.925B.35C.75D.1725解析 sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12(1－cos 22α)＝12＋12cos 22α＝1725. 答案 D 二、填空题8．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x 的值为________．解析 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，得tan x ＝13，tan x tan2x ＝tan x2tan x1－tan 2x＝1－tan 2x 2＝49.答案 499.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α＝__________. 解析 原式＝2sin2α2cos 2α·cos 2αcos2α＝tan2α. 答案 tan2α10．函数f (x )＝sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin 23πcos2x 的最大值为________，最小正周期为________．解析 f (x )＝sin x ·cos x ＋32cos2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)，∴f (x )max ＝1，T ＝2π2＝π. 答案 1 π 三、解答题11．已知0＜α＜π2，sin α＝45，(1)求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求tan2α的值．解 ∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35，sin2α＝2425，cos2α＝1－2sin 2α＝－725，tan α＝sin αcos α＝43.(1)sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2425⎝ ⎛⎭⎪⎫352－725＝402＝20. (2)tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－169＝－247. 12．求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin2α.证明 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边， ∴原式成立．13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图像的对称轴方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－cos2x ＝cos2x cos π3＋sin2x sin π3－cos2x＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵－π12≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π6≤56π，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 导数及其应用双基限时练15(含解析)新人教A版选修1-1
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 导数及其应用双基限时练15（含解析）新人教A 版选修1-11．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝( ) A ．3 B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δx答案 D2．当自变量x 由x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 1处的导数C ．在区间[x 0，x 1]上的导数D ．在x 处的平均变化率 答案 A3．对于函数f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )为( ) A ．0 B ．1 C ．c D ．不存在答案 A4．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋ΔxD ．1解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx ＝lim Δx →0 1＋Δx 2－1Δx ＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. 答案 B5．已知函数f (x )＝2x 2的图象上点P (1,1)及邻近点Q (1＋Δx,1＋Δy )，则lim Δx →0ΔyΔx＝( )A ．4xB ．4C ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2 1＋Δx 2－2Δx ＝lim Δx →0 (4＋2Δx )＝4. 答案 B6．某质点的运动方程是S ＝t －(2t －1)2，则在t ＝1 s 时的瞬时速度为________．解析 ΔS ＝S (1＋Δt )－S (1)＝[1＋Δt －(2＋2Δt －1)2]－[1－(2－1)2] ＝4(Δt )2－3Δt ，∴lim Δt →0 ΔS Δt ＝lim Δt →0 (4Δt －3)＝－3. 答案 －37．函数y ＝x 2－2x ＋3在2到94之间的平均变化率为________．解析 Δy Δx ＝[ 94 2－2×94＋3]－ 22－2×2＋394－2＝94.答案 948．若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →0 f x 0 －f x 0＋Δx2Δx＝________.解析 lim Δx →0f x 0 －f x 0＋Δx2Δx＝－12·lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝－12·f ′(x 0)＝－1.答案 －19．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v －1，v －2，v －3，则三者的大小关系为________．解析 v －1＝s t 1 －s t 0 t 1－t 0＝k OA ，v －2＝s t 2 －s t 1 t 2－t 1＝k AB ，v －3＝s t 3 －s t 2 t 3－t 2＝k BC ，又∵k BC >k AB >k OA ，∴v －3>v －2>v －1. 答案 v －3>v －2>v －110．甲、乙二人慢跑的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：(1)甲、乙二人慢跑时，________跑得快；(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，________跑得较快． 答案 乙 乙11．比较函数f (x )＝2x与g (x )＝3x，当x ∈[1,2]时，平均增长率的大小． 解 设f (x )＝2x在x ∈[1,2]时的平均变化率为k 1，则k 1＝f 2 －f 12－1＝2，设g (x )＝3x在x ∈[1,2]时的平均变化率为k 2，则k 2＝g 2 －g 12－1＝6，∵k 1<k 2，故当x ∈[1,2]时，g (x )的平均增长率大于f (x )的平均增长率． 12．已知f (x )＝ax 2＋2，若f ′(1)＝4，求a 的值． 解 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋2－(a ×12＋2) ＝2a ·Δx ＋a (Δx )2，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (2a ＋a ·Δx )＝2a ＝4 ∴a ＝2.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 不等式双基限时练19(含解析)北师大版必修5
双基限时练(十九)一、选择题1．(2x －1)(3x ＋1)>0的解集为( ) A ．{x |x <－13或x >12}B ．{x |－13<x <12}C ．{x |x >12}D ．{x |x >－13}解析 由(2x －1)(3x ＋1)>0，得x >12，或x <－13.答案 A2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－4≤0}，则∁U M ＝( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |－2≤x ≤2} C ．{x |x <－2或x >2}D ．{x |x ≤－2或x ≥2}解析 由x 2－4≤0，得－2≤x ≤2， ∴∁U M ＝{x |x >2，或x <－2}． 答案 C3．设集合A ＝{x |－12<x <2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1≤x <2}B ．{x |－12<x ≤1}C ．{x |x <2}D ．{x |1≤x <2}解析 由x 2≤1，得－1≤x ≤1.A ∪B ＝{x |－12<x <2}∪{x |－1≤x ≤1}＝{x |－1≤x <2}．答案 A4．(x －2)(3x ＋5)<0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－53，2)解析 由(x －2)(3x ＋5)<0，得－53<x <2，故选D.答案 D5．若(x －a )(x ＋1)>0的解集为M,3∈M ，则a 的取值范围是( )A ．a <3B ．a >3C ．a ≥3D ．不能确定解析 由题可知(3－a )·(3＋1)>0，得a <3. 答案 A6．若关于x 的不等式(x －a )(x ＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则a 的值为( )A ．大于4B ．小于4C ．等于4D ．不能确定解析 由题可知－1,4是方程(x －a )(x ＋1)＝0的根． 答案 C 二、填空题7．若不等式4x 2＋9x ＋2<0的解集与不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则a －b ＝________.解析 由4x 2＋9x ＋2<0，得－2<x <－14，由题意得方程ax 2＋bx －2＝0有两根－2，－14，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－14＝－ba ，－－14＝－2a，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9，∴a －b ＝5.答案 58．若不等式x 2＋bx ＋1<0无解，则b 的取值范围是________． 解析 由题可知x 2＋bx ＋1≥0恒成立，∴Δ＝b 2－4≤0，得－2≤b ≤2. 答案 [－2,2]9．若不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则不等式bx 2＋ax ＋1<0的解集为________．解析 由题意得x 2＋ax ＋b ＝0有两根－2，－12，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2－12＝－a ，－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.∴bx 2＋ax ＋1<0可化为x 2＋52x ＋1<0.即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x ＋2)<0. 得－2<x <－12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12 三、解答题10．若A 、B 分别表示x 2－3x ＋2≤0与不等式－2x 2＋3x ＋5>0的解集，求A ∩B ，A ∪B . 解 A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |－2x 2＋3x ＋5>0}＝{x |2x 2－3x －5<0}＝{x |－1<x <52}．∴A ∪B ＝{x |1≤x ≤2}∪{x |－1<x <52}＝{x |－1<x <52}，A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}∩{x |－1<x <52}＝{x |1≤x ≤2}．11．已知x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解 ∵x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，∴－12，13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.∴不等式qx 2＋px ＋1>0可化为－16x 2＋16x ＋1>0，即x 2－x －6<0，∴－2<x <3，∴不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}．12．(1)若不等式x 2－mx ＋1>0恒成立，求m 的取值范围； (2)若不等式x 2＋(m －3)x ＋m <0有解，求m 的取值范围． 解 (1)由题意得Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2. 故当－2<m <2时，不等式x 2－mx ＋1>0恒成立． (2)由题意得Δ＝(m －3)2－4m >0， 即m 2－10m ＋9>0得m >9，或m <1，∴当m >9，或m <1时，不等式x 2＋(m －3)x ＋m <0有解．思维探究13．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，若实数x满足x⊙(x－2)<0，求实数x 的取值范围．解∵a⊙b＝ab＋2a＋b，∴x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2.由x⊙(x－2)<0，得x2＋x－2<0，得－2<x<1.∴实数x的取值范围是(－2,1)．。
名师一号北师大高中数学必修：第三章 三角恒等变形 单元同步测试
阶段性检测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共有10个小题，每小题5分，共50分) 1．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.12解析 原式＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin30°＝12. 答案 D2．已知tan(π4＋α)＝－3，则sin α·cos α的值为( ) A.25 B ．－25 C ．－12D.12解析 tan(π4＋α)＝－3，∴1＋tan α1－tan α＝－3，即cos α＋sin αcos α－sin α＝－3，1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝9，∴sin αcos α＝25. 答案 A3．y ＝(sin x －cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 解析 y ＝－2sin x cos x ＝－sin2x . 答案 D4．已知锐角α满cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α等于( )A.12 B ．－12 C.22D ．－22解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，π4－α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又cos2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，∴2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0. ∴α＝π12或α＝－π4(舍)． ∴sin2α＝sin π6＝12，故选A. 答案 A5．若sin α·cos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( ) A.12 B ．－12 C.14D ．－14解析 ∵π4<α<π2，∴cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－12.答案 B6．求值cos20°cos35°1－sin20°等于( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析 原式＝cos 210°－sin 210°cos35°(cos10°－sin10°)＝cos10°＋sin10°cos35°＝2sin55°cos35°＝ 2.答案 C7．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，若a ∥b ，则3sin θ＋4cos θsin θ－2cos θ的值为( )A.197 B ．－197 C.137D ．－137解析 由a ∥b 知，2sin θ＝cos θ－2sin θ，得tan θ＝14，∴3sin θ＋4cos θsin θ－2cos θ＝3tan θ＋4tan θ－2＝3×14＋414－2＝－197. 答案 B8．已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )A.3365B.6365C ．－3365D ．－6365解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)． ∴sin(α－β)＝45，cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365. 答案 A9．使函数y ＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在[0，π4]上为减函数的θ的一个值为( )A.53πB.43πC.23πD.π3解析 y ＝2sin(2x ＋θ＋π3)，逐个检验． 答案 C10．设a ＝tan15°＋tan30°＋tan15°·tan30°，b ＝2cos 210°－sin70°，c ＝16cos20°·cos40°·cos60·cos80°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＝cB ．a ≠b ，b ＝cC ．a ＝b ，b ≠cD ．a ＜b ＜c解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)．∴sin(α－β)＝45，cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365. 答案 A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知tan α＝12，tan β＝13，且0＜α＜π2，π＜β＜3π2，则α＋β＝__________.解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－16＝1，∵0＜α＜π2，π＜β＜32π，∴π＜α＋β＜2π. ∴α＋β＝54π. 答案：54π12．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)＝________.解析 f (x )＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝4sin2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8. 答案 813．设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则角C ＝________.解析 m ·n ＝3sin A cos B ＋3sin B cos A ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )． 又∠A ，∠B ，∠C 为△ABC 的内角， ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.故sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， ∴原式可化为3sin C ＋cos C ＝1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，π6＜∠C ＋π6＜76π， ∴∠C ＋π6＝56π. ∴∠C ＝23π. 答案 23π14.1sin10°－3sin80°的值为________． 解析 原式＝cos10°－3sin10°sin10°·cos10° ＝2(cos60°·cos10°－sin60°·sin10°)sin20°2＝4cos70°sin20°＝4. 答案 415．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，有下列说法： ①f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间[π24，1324π]上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图像向左平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确说法的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12 故①②正确，又将y ＝2cos2x 图像向左平移π24个单位得到的是y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12的图像，故④不正确．又当π24≤x ≤1324π时，0≤2x －π12≤π，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，1324π上单调递减，故③正确．答案 ①②③三、解答题(本大题共6道题，共75分)16．(12分)已知tan α2＝12，求1＋sin2α1＋sin2α＋cos2α的值．解 ∵tan α2＝12，tan α＝2tan α21－tan 2α2＝11－14＝43，∴1＋sin2α1＋sin2α＋cos2α＝1＋2sin αcos α1＋2sin αcos α＋2cos 2α－1 ＝cos 2α＋sin 2α＋2sin αcos α2sin αcos α＋2cos 2α ＝1＋tan 2α＋2tan α2tan α＋2＝(tan α＋1)22(tan α＋1) ＝tan α＋12 ＝73×2＝76. 17．(12分)已知α，β都为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．解 因为α是锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝35.所以0<α<π4，又0<β<π2，所以－π2<α－β<π4. 又tan(α－β)＝－13，所以－π2<α－β<0. 由sin (α－β)cos (α－β)＝tan(α－β)＝－13， 且sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1， 得sin(α－β)＝－110，cos(α－β)＝310，从而cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×310－110×35＝91050.18．(12分)求证：2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α.证明 ∵左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)(cos 2α＋sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α－sin 2α ＝(cos α＋sin α)2(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝右边． ∴等式成立．19．(13分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋74π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34π x ∈R ，(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋74π－2π＋cos ⎝ ⎛x －π4－⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )min ＝－2.(2)证明：由已知cos αcos β＋sin αsin β＝45，cos αcos β－sin αsin β＝－45. 两式相加2cos αcos β＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin π42－2＝0.20．(13分)如图，在一块半径为R 的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD ，使其一边CD 落在圆的直径上，问应该怎样截取，才可以使矩形ABCD 的面积最大？并求出这个矩形的面积．解 如图所示，设∠AOD ＝θ，则OD ＝OA cos θ＝R cos θ，AD ＝OA sin θ＝R sin θ，∴矩形ABCD 的面积为S 矩形ABCD ＝CD ·AD ＝2OD ·AD ＝2R cos θ·R sin θ＝R 2sin2θ≤R 2，其中等号成立的条件是sin2θ＝1，即2θ＝90°，于是θ＝45°，此时这个矩形的长度为2：1，C ，D 距O 的距离为22R 时，(S矩形ABCD )max＝R 2.21．(13分)已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x ，(1)求函数f (x )的最大值；(2)求函数f (x )的零点的集合．解 (1)因为f (x )＝3sin2x －(1－cos2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，函数f (x )取得最大值1.(2)解法一：由(1)及f (x )＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12，所以2x ＋π6＝2k π＋π6，或2x ＋π6＝2k π＋5π6，即x ＝k π，或x ＝k π＋π3(k ∈Z )．故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋π，k∈Z}．3解法二：由f(x)＝0，得23sin x cos x＝2sin2x，于是sin x＝0，或3cos x＝sin x，由sin x＝0可知x＝kπ；由3cos x＝sin x，即tan x＝3可知x＝kπ＋π，k∈Z，3，k∈Z}．故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋π3。
【名师一号】高中数学 第三章 三角恒等变换量双基限时练27(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(二十七)1．sin15°sin75°的值为( )A.12B.14C.32D.34解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12×2sin15°cos15°＝12sin30°＝14. 答案 B2．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0 B.22C ．1D ．－22解析 cos 4π8－sin 4π8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.答案 B3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos2α的值等于( )A ．－725 B.725 C.325 D ．－325解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.答案 A4．化简1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ的结果为( )A ．2cos2θB ．－cos2θC ．sin2θD ．－sin2θ解析 1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝－sin2θ. 答案 D5．若sin x ·tan x <0，则1＋cos2x 等于( ) A.2cos xB ．－2cos x C.2sin x D ．－2sin x解析 ∵sin x ·tan x <0，∴x 为第二或第三象限的角．∴cos x <0，∴1＋cos2x ＝2cos 2x ＝2|cos x | ＝－2cos x .答案 B6．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3解析 ∵sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝ 3. 答案 D7．已知tan2α＝12，则tan α的值为________． 解析 由tan2α＝2tan α1－tan 2α＝12，整理可得：tan 2α＋4tan α－1＝0. 解得：tan α＝－2± 5.答案 －2± 58．cos π5cos 2π5＝________. 答案 149．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x 的值为________． 解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x 2＝1－192＝49. 答案 4910．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝________. 解析 方法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35， ∴22(cos x ＋sin x )＝35， ∴12(1＋2sin x cos x )＝925，∴sin2x ＝－725. 方法二：sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝2×925－1＝－725. 答案 －72511．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期． (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ， 所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π， 所以－32≤sin2x ≤1， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 12．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值． 解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α， 所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13. (2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α＝sin α2α－cos2α＝sin αcos2αcos2α ＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110， 又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010. 13．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α 证明 方法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．方法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝ 12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变形双基限时练26(含解析)北师大版必修4
双基限时练(二十六) 两角和与差的正弦、余弦函数一、选择题1．cos80°cos20°＋sin80°sin20°的值为( ) A.22B.32C.12D ．－22解析 cos80°cos20°＋sin20°sin80°＝cos60°＝12.答案 C2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( )A.4＋3310 B.4－3310 C.4＋335D.4－334解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos α＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsinπ3＝4－3310，故选B.答案 B3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中一定成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．sin(α－β)>sin α－sin β C ．cos(α＋β)<cos α＋cos β D ．cos(α－β)<cos α－cos β解析 α，β为任意锐角，在(0，π)上余弦函数是减函数，显然cos α>0，cos β>0，cos(α＋β)<cos α，所以C 一定成立．答案 C4.12sin15°－32cos15°的值为( ) A.22B ．－22C.12D ．－12解析 原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos15°－12sin15°＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－22.答案 B5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形解析 由条件知：2cos B sin A ＝sin(A ＋B )，即2cos B sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.∴A ＝B .故选C.答案 C6．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，则tan αtan β等于( )A ．－17B.17 C ．－7D ．7解析 由sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，得sin αcos β＋cos αsin β＝14，①sin αcos β－cos αsin β＝13.②①＋②，得sin αcos β＝724；①－②，得cos αsin β＝－124. 所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－7.答案 C 7．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋cos2x 的最小正周期为( )A.2πB ．πC ．2πD ．4π解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋cos2x ＝cos π3cos2x ＋sin π3sin2x ＋cos2x ＝32cos2x ＋32sin2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，周期T ＝π. 答案 B 二、填空题8．sin105°的值为________．解析 sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案6＋249．sin π12－3cos π12＝________.解析 sin π12－3cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝－2sin π4＝－ 2. 答案 － 210．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255，则cos(α－β)＝________.解析 由|a －b |＝255知，(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝45，即2－2cos(α－β)＝45，cos(α－β)＝35.答案 35三、解答题11．已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值． 解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－31010. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π.∴A ＋B ＝7π4.12．已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解 因为π4<α<3π4，0<β<π4，所以－π2<π4－α<0，3π4<3π4＋β<π.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5665. 13．已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a ·b ，(1)求f (x )的表达式；(2)求函数f (x )的周期、值域、单调区间． 解 (1)f (x )＝a ·b ＝(3，－1)·(sin x ，cos x ) ＝3sin x －cos x (x ∈R )． (2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π6－cos x ·sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]，由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，23π＋2k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤x －π6≤32π＋2k π，得f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π＋2k π，53π＋2k π(k∈Z)．。
高中数学 第三章 三角恒等变形双基限时练29(含解析)北师大版必修4
双基限时练(二十九) 二倍角的三角函数(二)一、选择题 1．cos2π8－12的值为( ) A ．1 B.12 C.22D.24解析 cos 2π8－12＝2cos2π8－12＝cos π42＝24. 答案 D2.1＋co s100°－1－cos100°＝( ) A ．－2sin5° B ．2sin5° C ．－2cos5°D ．2cos5°解析 原式＝1－sin10°－1＋sin10°＝|cos5°－sin5°|－|cos5°＋sin5°|＝－2sin5°.答案 A3．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析 方法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ，∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 方法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin2θ.∴4＝2sin2θ，故sin2θ＝12.答案 D4．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 ∵f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝a·b 的最小正周期是π. 答案 B5．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数解析 f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin2x .∴f (x )为奇函数，且周期为π. 答案 B 6．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析 ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故2cos2θ≤0，∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又cos2θ＝1－2sin 2θ，∴sin 2θ＝1－cos2θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝916，∴sin θ＝34，故选D.答案 D 二、填空题7．已知tan α＝13，则sin2α＋cos 2α＝__________.解析 sin2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1tan 2α＋1＝2×13＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1＝32. 答案 328．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝__________.解析 f (sin x )＝3－cos2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .答案 3＋cos2x9．若sin α2＝1＋sin α－1－sin α，0≤α≤π，则tan α的值是________．解析 两边平方得sin 2α2＝2－21－sin 2α， ∴1－cos α2＝2－2|cos α|.① 当0≤α≤π2时，①式为1－cos α2＝2－2cos α，∴cos α＝1，∴α＝0，∴tan α＝0.当π2<α≤π时，①式为1－cos α2＝2＋2cos α， ∴cos α＝－35，∴sin α＝45.∴tan α＝－43答案 0或－43三、解答题10．已知cos θ＝－35，并且180°<θ<270°，求tan θ2.解 解法一：因为180°<θ<270°，所以90°<θ2<135°，即θ2是第二象限角，所以tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 解法二：因为180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－2，或tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 11．化简： ＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．解 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22|cos α2|∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，故cos α2<0，∴上式＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2－2cosα2＝cos2α2－sin 2α2＝cos α. 12．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12， (1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的单调增区间．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a －32＝32，a ＋b 2－32＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝1.∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝3·1＋cos2x 2＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－512π＋k π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )．13．已知向量a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最大值及相应的x 值； (2)若f (θ)＝85，求cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2θ的值．解 (1)因为a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＋1.因此，当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋1.(2)由f (θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f (θ)＝85得sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得1－sin4θ＝925，即sin4θ＝1625.因此，cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1625.。
高中数学 第三章 三角恒等变换量双基限时练25(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(二十五)1．已知α，β都是锐角，下列不等式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α－cos α<1C ．sin(α＋β)>sin(α－β)D ．cos(α＋β)>cos(α－β)解析 令α＝β＝30°，则cos(α＋β)＝12，cos(α－β)＝1，故cos(α＋β)<cos(α－β)．因此选项D 是不成立的．答案 D2．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A. 2 B.22 C.12D.32解析 原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)－cos(65°－x )·sin(20°－x )＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )·sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin45°＝22. 答案 B3.在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B . ∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0. 即sin(B －A )＝0. 又∵0<A <π，0<B <π， ∴A ＝B ，故选A. 答案 A4．sin15°＋cos15°的值是( ) A.32B.22C.62D ．－62解析 sin15°＋cos15°＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32－22×12＋22×32＋22×12＝62. 答案 C5．已知sin α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值等于( )A.4－26 B.4＋26C.2－46D ．－4＋26解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝13，∴cos α＝－223， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223－22×13＝－4＋26. 答案 D 6.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析 ∵sin47°＝sin(17°＋30°)＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°，∴sin47°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.答案 C7．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值是____．解析 ∵在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，∴sin A ＝45，sin B ＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )] ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－35×513＋45×1213＝3365.答案33658．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 解析 原式＝cosπ3cos α－sin π3sin α＋sin π6cos α＋cos π6sin α＝12cos α－32sin α＋12cos α＋32sin α＝cos α.答案 cos α9.12cos15°＋32sin15°＝________. 答案2210．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最小正周期为________，最大值为________． 解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴最小正周期T ＝2π，最大值为2. 答案 2π 211．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，β是第三象限的角，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4的值． 解 sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，∴sin β＝－45.又β是第三象限的角， ∴cos β＝－35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝sin βcos π4＋cos βsin π4 ＝－45×22－35×22＝－7210.12．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0＜α＜π4＜β＜3π4，求cos(α＋β)的值．解 ∵0＜α＜π4＜β＜3π4，∴3π4＜3π4＋α＜π，－π2＜π4－β＜0. 又已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝－45.∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－3365.13．求证：sin2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.由待证式知sin α≠0，故两边同除以sin α得 sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.。
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双基限时练(二十七)
1．sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32
D.34
解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12³2sin15°cos15°＝12sin30°＝1
4.
答案 B 2．cos
4
π8－sin 4π
8
等于( ) A ．0 B.2
2 C ．1 D ．－
22
解析 cos 4
π8－sin 4π8
＝⎝
⎛
⎭⎪⎫cos
2
π8＋sin 2π8⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 2π8－sin 2π8 ＝cos π4＝2
2.
答案 B
3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3
5
，则cos2α的值等于( )
A ．－7
25
B.725
C.325
D ．－325
解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3
5，得cos α＝35，
∴cos2α＝2cos 2
α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.
答案 A
4．化简1－2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4－θ的结果为( )
A ．2cos2θ
B ．－cos2θ
C ．sin2θ
D ．－sin2θ
解析 1－2cos 2
⎝
⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2θ＝－sin2θ.
答案 D
5．若sin x ²tan x <0，则1＋cos2x 等于( ) A.2cos x B ．－2cos x C.2sin x
D ．－2sin x
解析 ∵sin x ²tan x <0，∴x 为第二或第三象限的角． ∴cos x <0，∴1＋cos2x ＝2cos 2
x ＝2|cos x | ＝－2cos x . 答案 B
6．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2
α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )
A.2
2
B.33
C. 2
D. 3
解析 ∵sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2
α＝14.∴cos α＝±12.
又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝ 3.
答案 D
7．已知tan2α＝1
2，则tan α的值为________．
解析 由tan2α＝2tan α1－tan 2
α＝12
，整理可得：tan 2
α＋4tan α－1＝0. 解得：tan α
＝－2± 5.
答案 －2± 5
8．cos π5cos 2π
5＝________.
答案 1
4
9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x 的值为________．
解析 ∵tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.
∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2
x ＝1－tan 2
x
2＝1－192＝49
. 答案 49
10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝3
5，则sin2x ＝________.
解析 方法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝3
5
，
∴
22(cos x ＋sin x )＝3
5
， ∴12(1＋2sin x cos x )＝925，∴sin2x ＝－725. 方法二：sin2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x －1＝2³925－1＝－725.
答案 －725
11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期．
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．
解 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ， 所以函数f (x )的最小正周期为π. (2)由－π6≤x ≤π2⇒－π
3≤2x ≤π，
所以－
3
2
≤sin2x ≤1， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 12．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝2.
(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin α
cos2α
的值．
解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝
1＋tan α1－tan α
，
所以1＋tan α
1－tan α
＝2,1＋tan α＝2－2tan α，
所以tan α＝1
3
.
(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2
α－sin αcos2α
＝sin α
2
α
－
cos2α
＝sin αcos2α
cos2α
＝sin α.
因为tan α＝1
3，所以cos α＝3sin α，
又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2
α＝110，
又α为锐角，所以sin α＝
1010
， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010.
13．求证：
cos 2
α
1tan
α2
－tan α2＝1
4sin2α
证明 方法一：左边＝cos 2
α
cos α2sin α2－sin
α2cos
α2
＝cos 2
α
cos 2α2－sin 2α2sin α2cos
α2＝cos 2
αsin α2cos α2cos 2α2－sin
2α2
＝cos 2
αsin α2cos
α2
cos α
＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝1
4sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法二：左边＝cos 2
αtan α21－tan 2α2＝12cos 2
α²2tan
α21－tan
2α
2＝
12cos 2α²tan α＝12cos αsin α＝1
4sin2α＝右边． ∴原式成立．。