第三章 三角恒等变换.

第三章三角恒等变换

密云县编写组

第一部分：第三章的教学设计

一、教材分析

1．教学内容

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.

2．在模块内容体系中的地位和作用

在第一章三角函数的学习的基础上，学习简单的三角变换是对三角函数的进一步深化也是为必修5中的解三角形做铺垫.

3．总体教学目标

（1）了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；

（2）理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

(3)运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公

式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，

体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.

4.重点、难点分析

本章内容的重点是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法，同时也是难点.

5．其他相关问题

本章内容安排贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”的理念，严格控制了三角变换及应用的繁、难程度，尤其注意了不以半角公式，积化和差以及和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.

二、教学方式概述

应以教师为主导学生为主体的启发式教学为主，以学生为主体探究式教学为辅.

三、教学资源概述

充分利用多媒体课件

四、教学内容及课时安排建议 1．本章知识结构如下图：

2．教学内容

本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”. （1）三角恒等变换的学习以代数变换与同角三角函数式的变换的学习基础，和其他数学变换一样，它包括变换的对象，变换的依据和方法等要素.本章变换的对象要由只含一个角的三角函数拓展为包含两个角的三角函数式，因此建立起一套包含两个角的三角函数式变换的公式.

（2）本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式，具体过程如下： ()()()()222,,C C S T C S T αβαβαβαβααε-+±±→→→→

（3）本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，使他们能够依据三角函数的特点，逐渐明确三角变换不仅包括式子结构形式变换，还包括式子中的角的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了引导的层次性和渐进性. 3．课时分配

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约4课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约1课时

§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、学习目标：

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、教学重点与难点

1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；

2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明. 三、教学内容安排

3.1.1 两角差的余弦公式

两角差的余弦公式的推导是本节的重点和难点，尤其是要引导学生通过主动参与，独立探索，自己得出结果更是难点.

教科书Ｐ136章前图由实际例子引出已知两个角的正弦、余弦、正切来研究这两个角和、差的正弦、余弦、正切.这是实际的需要是为了解决实际问题所以我们要研究两角差的余弦公式()cos ?αβ-=、两角和的余弦公式()cos ?αβ+=两角差的正弦公式()sin ?αβ-=、两角和的正弦公式()sin ?αβ+=等知识.

探究过程：1.通过展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索

()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到

cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.

2．引导用向量法证明两角差余弦公式.

然后通过两个例题来巩固所学公式

例1利用和、差角余弦公式求cos 75o 、cos15o

的值. 解：分析：把15o

构造成两个特殊角的和、差.

()1cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302=-=+=

=o o o o o o o 点评：本例说明差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形.

实际上，由于公式对任意角都成立，因此在使用公式时应当根据需要对角进行灵活表示.例如：

()cos15cos 6045=-o o o ，要学会灵活运用.

本例结束后思考如何求sin 75o

，引导用诱导公式sin()cos 2

π

αα-=，为后面推导出正

弦两角和与差公式做准备. 例2已知4sin 5α=

，5,,cos ,213παπββ⎛⎫

∈=- ⎪⎝⎭

是第三象限角，求()cos αβ-的值.

解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=

由此得3cos 5α===-

又因为5cos ,13ββ=-

是第三象限角，所以12sin 13β===-

所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=+=-⨯-

+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

本例是运用两角差的基础题，主要训练学生思维的有序性，逐步培养学生良好思维习惯. §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

本节课以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒

等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.

通过上节课的学习推导出了两角差的余弦，引导学生推导两角和的余弦公式，然后引导学生推出两角和与差的正弦公式和正切公式. 例3已知3sin ,5

αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛

⎫-+-

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭的值.

解：因为3sin ,5αα=-

是第四象限角，得4cos 5α===，

3

sin 3

5tan 4cos 45

ααα-

===- ，

于是有

43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫

⎛⎫-=-=--=

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭