三角恒等变换技巧

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三角恒等变换与解题技巧

三角恒等变换与解题技巧三角函数是数学中重要的一部分，与几何、物理等学科密切相关。

在解三角函数的问题时，常常需要运用恒等变换来简化计算或将复杂的式子转化为简单的形式。

恒等变换是指在等式两边同时做相同的运算而不改变等式的值。

掌握常用的三角恒等变换并灵活运用是解题的关键。

本文将介绍一些常用的三角恒等变换，并分享一些解题技巧。

一、正弦、余弦、正切的恒等变换1. 余切的逆关系根据余切的定义，我们知道cot(A)等于tan(A)的倒数，即cot(A) = 1 / tan(A)。

这是一个重要的恒等变换，在简化复杂式子、证明等题目中经常会用到。

2. 三角函数的平方和恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1这是三角函数最基本的恒等式之一，也是勾股定理的三角形形式。

该恒等式可以用来将一个三角函数转化为其他三角函数的形式。

3. 正切的平方和恒等式1 + tan^2(A) = sec^2(A)这是正切函数的平方和恒等式，也是解析几何中的一条重要公式。

运用该恒等式可以将一个正切函数的式子转化为其他三角函数的式子。

4. 余切的平方和恒等式1 + cot^2(A) = csc^2(A)这是余切函数的平方和恒等式，与正切的平方和恒等式相对应。

在解题时运用该恒等式可以将一个余切函数的式子转化为其他三角函数的式子。

二、两角和与差的恒等变换1. 正弦的两角和与差sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这是正弦函数的两角和与差公式，可以通过将两个三角函数用另外两个三角函数来表示。

在解题时，可以通过将复杂的三角函数式子转化为正弦函数的形式来简化计算。

2. 余弦的两角和与差cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)这是余弦函数的两角和与差公式，与正弦的两角和与差公式相似。

在解题时，也可以通过转化为余弦函数的形式来简化计算。

高中数学中的三角恒等变换利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧

高中数学中的三角恒等变换利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念。

通过恒等变换，我们可以简化复杂的三角式子，使其更易于计算和理解。

本文将介绍一些常用的三角恒等变换以及利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧。

一、基本恒等变换1. 正弦函数的基本恒等变换正弦函数的基本恒等变换包括：sin²θ + cos²θ = 1sin(90° - θ) = cosθsin(-θ) = -sinθsin(180° - θ) = sinθ2. 余弦函数的基本恒等变换余弦函数的基本恒等变换包括：cos²θ + sin²θ = 1cos(90° - θ) = sinθcos(-θ) = cosθcos(180° - θ) = -cosθ3. 正切函数的基本恒等变换正切函数的基本恒等变换包括：tanθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π + θ) = tanθ二、常用恒等变换1. 二倍角恒等变换二倍角恒等变换可以将一个角的正弦、余弦、正切函数转化为两倍角的正弦、余弦、正切函数。

常用的二倍角恒等变换包括：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ/1 - tan²θ2. 和差角恒等变换和差角恒等变换可以将两个角的正弦、余弦、正切函数转化为一个角的正弦、余弦、正切函数。

常用的和差角恒等变换包括：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)三、利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧1. 利用二倍角恒等变换当我们遇到一个三角函数中带有角度为θ的复杂式子时，可以尝试使用二倍角恒等变换将其转化为两倍角的三角函数。

三角恒等变换的常用技巧

三角恒等变换的常用方法肖新勇解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。

三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。

本文从六个方面解读三角恒等变换的常用技巧。

一、角变换角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。

例1 已知534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，4743ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。

【分析】考虑到“已知角”是4π+x ，而“未知角”是x 和x 2，注意到44ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ，可直接运用相关公式求出x sin 和x cos 。

【解析】因为ππ4743<<x ，所以πππ24<+<x ，又因为0534cos >=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，所以πππ2423<+<x ，544sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 10274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x ，从而102cos -=x ，7tan =x . 原式=7528tan 1sin 2cos sin 22-=-+x x x x . 【点评】（1）若先计算出102cos -=x ，则在计算x sin 时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出x sin 和x cos . 但很繁琐，易出现计算错误。

三角恒等变换的常见技巧(生)

三角恒等变换的常见技巧一、核心技巧方法1、三角恒等变换中的“统一”思想：三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同次、异角化同角、异构化同构，即化异为同，也就是将待证式左右两边统一为一个形式，或将条件中的角、函数式表达为问题中的角或函数式，达到以已知表达未知的目的。

基本切入点是统一角，往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的。

2、统一思想的应用——引入辅助角：对x b x a y cos sin +=型函数式的性质的研究，我们常常引入辅助角ϕ。

即化ab x b a x b x a y =++=+=ϕϕtan ),sin(cos sin 22，然后将该式与基本三角函数x A sin y =进行比照研究。

“位置相同，地位平等”是处理原则。

3、统一思想的应用——拆、拼角，如()()()()22β-α+β+α=αβ-β+α=αβ+β+α=β+α，，等等；4、统一思想的应用——弦切互化，如利用万能公式，把正余弦化为正切等等；对关于正余弦函数的齐次式的处理也属于“弦化切”技巧；5、统一思想的应用——公式变、逆用，主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的这一部分与另一部分的等量关系代入6、代换思想的应用——关于正余弦对等式的处理，常以21t x cos x sin ,t x cos x sin 2-==+代入，把函数式化为关于t 的函数式进行研究；另外，三角代换也是处理函数最值、值域等问题的重要技巧。

二、考点解析与典型例题考点一引入辅助角研究三角函数的性质例. 设f （x ）=asin x ω+bcos x ω（0,,>ωb a ）的周期为π且最大值f （12π）=4； 1）求ω、a 、b 的值；2）若α、β为f （x ）=0的两个根（α、β终边不共线），求tan （α+β）的值。

考点二拆、拼角例. 已知cos （91)2-=-βα，sin （2α－β）=32，且,20,2πβπαπ<<<<求.2cos βα+考点三化弦为切例. 当π04x <<时，函数22c o s ()c o s s i n s i n x f x x x x=-的最小值是（）．（A ）4 （B ）（C ）2 （D ）考点四巧用公式例. 求︒︒+︒+︒28tan 17tan 28tan 17tan 的值。

三角恒等变换技巧

三角恒等变换技巧三角恒等变换是指一系列三角函数的等价关系，通过这些等价关系，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而更容易进行求解和计算。

在解三角函数方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等问题中，三角恒等变换技巧是非常重要的。

1.基本恒等式：基本恒等式是指最基本的三角函数之间的等价关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

（1）正弦函数的基本恒等式：sin²θ + cos²θ = 1sin(-θ) = -sinθsin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(π + θ) = -sinθsin(2θ) = 2sinθcosθ（2）余弦函数的基本恒等式：cos²θ + sin²θ = 1cos(-θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π - θ) = -cosθcos(π + θ) = -cosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ（3）正切函数的基本恒等式：ta nθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π/2 + θ) = -1/tanθtan(π - θ) = -tanθtan(π + θ) = tanθtan(2θ) = 2tanθ/(1 - tan²θ)2.和差角公式：和差角公式是指可以将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数的等价关系。

（1）正弦函数的和差角公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ（2）余弦函数的和差角公式：cos(α ±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ（3）正切函数的和差角公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)3.二倍角公式：二倍角公式是指可以将一个三角函数的二倍角转化为一个三角函数的等价关系。

进行三角恒等变换的三个技巧

解题宝典在解答三角函数问题时，经常需对三角函数式进行三角恒等变换，这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，以便能顺利化简三角函数式、求出三角函数式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢？可以从以下三个方面进行.一、变换角当进行三角恒等变换时，首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别，并建立两角之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时，还可将已知角、所求角与特殊角，如π6、π4、π3等建立联系，然后利用这些特殊角的函数值进行求解.例1.已知cos æèöøα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos(2α+π4)的值.分析：先观察题目中的角可发现，已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可以找到一个关系：2æèöøα+π4−π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2æèöøα+π4和cos 2æèöøα+π4的值，最后根据余弦的两角和公式cos ()α−β=cos α∙cos β+sin α∙sin β求出cos æèöø2α+π4的值.解：由于π2≤α<3π2，所以3π4≤α+π4<7π4，又因为cos æèöøα+π4=35>0，可知3π2≤α+π4<7π4，因此sin æèöøα+π4=−45，所以sin 2æèöøα+π4=2sin æèöøα+π4cos æèöøα+π4=−2425，cos 2æèöøα+π4=2cos 2æèöøα+π4−1=−725，因此cos æèöø2α+π4=cos éëêùûú2æèöøα+π4−π4=cos 2æèöøα+π4cos π4+sin 2æèöøα+π4sin π4=.二、变换函数名称有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦，等等，以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中，常用到的公式有诱导公式sin ()2k π+α=sin α()k ∈Z 、cos ()2k π+α=cos α()k ∈Z 、tan ()2k π+α=tan α(k ∈Z)，重要关系式tan α=sin αcos α、sin 2α+cos 2α=1、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin （α+φ）等.例2.化简2cos 2α−12tan æèöøπ4−αsin 2æèöøπ4+α.分析：这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数，我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点，可发现æèöøπ4−α+æèöøπ4+α=π2，根据角的特征，可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.解：原式=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−αsin 2éëêùûúπ2−æèöøπ4−α=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−α=cos 2αsin æèöøπ2−2α=1.三、变换幂的次数有些三角函数式中幂的次数不相同，此时，我们要对其作升幂或者降幂处理，以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式cos 2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α、tan 2α=2tan α1−tan 2α来实现，“降幂”可以通过二倍角公式sin 2α=2sin αcos α及变形式sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2.sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2来达到目的.例3.已知tan α=−13，求sin α−cos 2α1+cos 2α的值.分析：由于已知tan α=−13，目标式中含有正弦函数和余弦函数，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α转变为α，使幂的次数统一，即将所求的式子转化为关于sin α、cos α的齐次式，然后依据tan α=sin αcos α，将目标式中的分子、分母同时除以cos 2α，得到只含有tan α的分式，将tan α=−13代入求解即可得到答案.解：原式=2sin αcos α−cos 2α2cos 2α=2sin α−cos α2cos α=tan α−12=−56.总而言之，在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”，灵活使用各种三角函数公式，将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中，同学们要熟记各种三角函数公式，并灵活使用，根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换，以实现“变异为同”.（作者单位：山东省聊城第一中学）41Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

9种常用三角恒等变换技巧总结

9种常用三角恒等变换技巧总结三角函数是数学中一种重要的函数，它广泛应用于几何、物理、工程等领域。

而在解题过程中，常常需要通过三角恒等变换技巧来简化或转换问题，以便更容易求解或证明。

下面我们将总结一下常用的九种三角恒等变换技巧。

1.正弦和余弦平方和恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这是最基本的三角恒等式，即正弦和余弦的平方和等于1、它在很多场合都会被应用到，例如求解三角方程、证明三角函数的性质等。

2.余弦的二倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)这个公式可以将一个角的余弦值转化为另一个角的余弦值，同时也可以将余弦值转化为正弦值。

它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。

3.正弦的二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式可以将一个角的正弦值转化为另一个角的正弦值，或者将正弦值转化为余弦值。

它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。

4.正切的和差公式：tan(x±y) = (tan(x)±tan(y))/(1∓tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和或差转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和或差。

它在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。

5.两角和差公式：sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)cos(x±y) = cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)这些公式可以将两个角的正弦值或余弦值的和或差转化为一个角的正弦值或余弦值，或者将一个角的正弦值或余弦值转化为两个角的正弦值或余弦值之和或差。

它们在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。

6.正切的和公式：tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和。

三角恒等变换技巧

三角恒等变换技巧1.三角函数平方表示三角函数的平方表示可以将复杂的三角函数化简为简单的平方形式。

例如，可以利用以下恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个三角恒等式表明，一个角的正弦平方与余弦平方之和等于1、利用这个恒等式，我们可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更好地进行计算。

2.和差化积和差化积是指将三角函数的和差形式转化为积的形式。

例如，可以利用以下恒等式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)这个三角恒等式表明，两个角的正弦之和可以表示为正弦和余弦的乘积形式。

同样地，我们也可以通过差化积将两个角的正弦之差转化为正弦和余弦的乘积形式。

3.积化和差积化和差是指将三角函数的积的形式转化为和差的形式。

例如，可以利用以下恒等式：cos(x)cos(y) = 1/2[cos(x+y) + cos(x-y)]这个三角恒等式表明，两个角的余弦之积可以表示为两个角的和与差的余弦之和的一半。

同样地，我们也可以通过积化和差将两个角的正弦之积转化为正弦和余弦的和差形式。

这些三角恒等变换技巧在解决问题时经常被使用。

通过灵活地运用这些恒等变换技巧，可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。

此外，在解析几何中，三角恒等变换技巧也有助于直观地理解和推导三角函数的性质和关系。

总结起来，三角恒等变换技巧是一种重要的数学工具，它通过对三角函数之间相互转化，将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式。

掌握这些变换技巧不仅有助于解决数学问题，还可以提高数学理解和推导的能力。

因此，我们应该加强对这些三角恒等变换技巧的学习和掌握，使其成为解决各种问题的利器。

三角恒等变换的常用技巧

三角恒等变换的常用技巧1.三角函数的互余关系三角函数的互余关系是指正弦函数与余弦函数之间、正切函数与余切函数之间存在一种关系，即sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) =sin(π/2 - x)，tan(x) = cot(π/2 - x)，cot(x) = tan(π/2 - x)。

利用这个关系，可以将一个三角函数用另一个三角函数表示，从而简化计算。

2.三角函数的辅助角公式三角函数的辅助角公式是指通过引入辅助角，使得原函数形式得到简化或变形的运算方法。

常见的辅助角公式包括:sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))利用辅助角公式，可以将一个三角函数表达式化简为另一个形式，从而方便计算。

3.和差角公式和差角公式是指将两个角的三角函数的和或差，表示为一个三角函数乘积的展开公式。

常见的和差角公式包括:sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))通过和差角公式，可以将一个复杂的三角函数表达式展开为两个简单的三角函数表达式的和或差，方便进一步计算。

4.二倍角公式二倍角公式是指将一个角的三角函数的平方形式化简为另一个角的三角函数表达式的公式。

常见的二倍角公式包括:sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2tan^2(x) = (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x))通过二倍角公式，可以将一个角的三角函数平方形式化简为另一个角的三角函数的表达式，使得计算更加简化。

9种常用三角恒等变换技巧总结

9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。

下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。

1.倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。

2.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。

3.和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。

4.和差化积公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。

5.积化和差公式：sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))这些公式可以用于将乘积的三角函数转化为和或差的三角函数，从而简化计算。

进行三角恒等变换的技巧

思路探寻步骤,不管是求三角函数的值、证明某个结论,都需要进行三角恒等变换.些进行三角恒等变换的技巧是很有必要的.角恒等变换主要是对三角函数式中的角、幂、常数进行变换.下面，三角变换的一些技巧.一、对角进行变换若题设中含有多个不同的角，换，建立已知角与所求角的之间的联系，用诱导公式、两角和差的正余弦公式、将已知角逐步朝着所求角靠拢.同时，角的范围和三角函数值，角函数值．例1.若cos(α-β)=-45，cos(α+β)=1213π)，α+β∈(3π2,2π)，求cos 2α的值．解析：观察所求角和已知角的差异，系2α=(α+β)+(α-β).和的余弦公式进行三角恒等变换.解：cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α-β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)又α-β∈(π2,π)，α+β∈(3π2,2π)，由已知易得sin(α-β)=35,sin(α+β)=-315代入上式可得cos 2α=-3365.二、对函数名称进行变换我们需要对函数的名称进行变换，同角的三角函数关系式：cos 2α+sin 2α=1、tan 二倍角公式、有“切化弦”或“弦化切”.例2.若3sin α+cos α=0，求cos 2解析：由于3sin α+cos α=0，可得tan α么我们需利用关系式sin2α+cos 2α=1和tan αcos 2α+sin2α用tan α表示出来.解：cos 2α+sin2α=cos 2α+sin 2αcos 2α+sin 2α，将上式的分子、分母同时除以cos 2α，得．三、对幂进行变换有些函数式中幂的次数不统一，一般需将高次的幂变换为低次的幂.常用到的公式有cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α、tan 2α=2tan α1-tan 2α、cos 2α+sin 2α=1.例3.已知sinα-cosα=12，求sin 3α-cos 3α的值．解析：由于已知式与目标式的次数存在较大的差异，将目标式降次是首要任务.可利用cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α和cos 2α+sin 2α=1来进行变换.解：因为(sin α-cos α)2=sin 2α+cos 2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α,所以sin αcos α=38，故sin 3α-cos 3α=(sin α-cos α)(sin 2α+cos 2α+sin αcos α)=(sin α-cos α)(1+sin αcos α)=12×(1+38)=1116．四、对常数进行变换对常数进行变换是进行三角恒等变换的常用技巧.常见的变换有1=cos 2α+sin 2α、sin30°=12、sin45°=、sin60°=、sin90°=tan45°=1.这样通过对常数进行变换，可将三角函数式转化为可利用公式进行化简的式子.例4.已知cos α=-13，α是第二象限角，且sin(α+β)=1，求cos(2α+β)的值．解：由cos α=-13，且α是第二象限角，可得sin α=，由于sin(α+β)=1，所以α+β=2k π+π2（k ∈Z ），故cos （2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos （2k π+π2+α）=cos （π2+α）=-sin α=-．因为已知条件sin(α+β)=1比较特殊，所以可直接求出α+β的值，将其整体代入求解，便把复杂的三角求值问题变为求特殊角的值的问题.此解法与常规方法不同，但效果很好．总之，进行三角函数恒等变换，需要仔细分析三角函数式的结构特点，选择恰当的公式将三角函数式化成单角、项数尽可能少、次数尽可能低、结构尽可能简单的三角函数式，这样便能快速求得问题的答案.（作者单位：福建省龙岩市长汀县第一中学）Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

三角恒等变换的技巧

三角恒等变换的技巧三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考．技巧一：式的变换-→两式相加减，平方相加减例1已知11cos sin ,sin cos 23αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36αβαβ+-= 化简得，59sin()72βα-=-，即59sin()72αβ-= 【方法评析】式的变换包括：（1）tan(α±β)公式的变用；（2）齐次式；（3） “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）；（4）两式相加减，平方相加减；（5）一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）．技巧二：角的变换→已知角与未知角的转化例2已知7sin()2425παα-==，求sin α及tan()3πα+．解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得，故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α，于是3tan 4α=-故3tan()3πα-++=== 【方法评析】（1）本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到；（2）在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．技巧三：合一变换---辅助角公式例3设关于x的方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解βσ和.求a 的取值范围.解:∵1sin 2(sin )2sin()23x x x x x π=+=+，∴方程化为sin()32a x π+=-.∵方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解,∴sin()sin 332x ππ+≠=. 又sin()13x π+≠± (和1±时仅有一解),∴122a a <≠且-,即2a a <≠且∴ a的取值范围是(2,(3,2)--. 【方法评析】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2)π这一条件. 例4 若cos 2sin αα+=求tan α的值.解：方法一：(“1”的运用)将已知式两端平方得方法二：(合一变换)()αϕ+=1tan 2ϕ=，再由()sin 1αϕ+=-知,()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--，所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭方法三：(式的变换)令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：(与单位圆结合)我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．方法评析：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识迁移能力．有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.。

三角函数恒等变形技巧

三角函数恒等变形技巧三角函数是数学中非常重要的一部分，它们在几何、解析和应用数学中都广泛应用。

在处理三角函数方程和恒等式时，有时我们需要利用一些技巧来进行变形，以便简化方程的形式或证明两个三角函数的恒等式。

本文将介绍一些常用的三角函数恒等变形技巧。

1.利用和差角公式：和差角公式是三角函数的基本变形公式之一、它可以将一个三角函数形式的和（差）角转化为一个含有同一函数的乘积形式。

例如，对于正弦函数来说，和差角公式可以表示为：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B。

2.利用倍角公式：倍角公式是将角度加倍后的三角函数值与原始三角函数值之间的关系。

例如，对于正弦函数来说，倍角公式可以表示为：sin(2A) = 2sin A cos A。

3.利用半角公式：半角公式是将角度减半后的三角函数值与原始三角函数值之间的关系。

例如，对于正弦函数来说，半角公式可以表示为：sin(A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]。

4.利用倒角公式：倒角公式是将角度的倒数与三角函数的倒数之间的关系。

例如，对于正弦函数来说，倒角公式可以表示为：sin(A) / sin(π - A) = csc A。

5.利用平方公式：平方公式是将一个三角函数平方与其他三角函数之间的关系。

例如，对于正弦函数来说，平方公式可以表示为：sin² A + cos² A = 16.利用互余公式：互余公式是将一个三角函数与其余补角的关系。

例如，对于正弦函数来说，互余公式可以表示为：sin A = cos (π/2 - A)。

7.利用对称性：三角函数具有一些对称性质，如正弦函数和余弦函数的奇偶性、正切函数和余切函数的周期性等。

利用这些对称性质可以简化一些三角函数的表达式。

以上是一些常见的三角函数恒等变形技巧，它们在解决三角函数方程和证明三角函数恒等式时非常有用。

当遇到复杂的三角函数问题时，我们可以尝试结合这些技巧进行变形，以便更好地理解和求解问题。

三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式证明9种根本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。

根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。

1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。

例1求证：tan23x - tan 21x =xx x 2cos cos sin 2+ 思路分析：此题的关键是角度关系：x=23x -21x ，可作以下证明：2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅提醒了角间的关系，同时提醒了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同〔如化切为弦等〕的思路，恰中选用公式，这也是证明三角恒等式的一种根本技巧。

例2 设A B A tan )tan(-+AC22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。

思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。

3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。

例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：4．化常数将或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。

如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。

如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。

例4 求证αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+-思路分析：将左式分子中“1〞用“sin 2α+cos 2α〞代替，问题便迎刃而解。

方法技巧专题19 三角恒等变换(解析版)

(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°.
【解析】
方法一 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37°
＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
【解析】原式＝cos π＝ 3. 62
(2)计算：1－tan275°； tan 75°
【解析】 1－tan275°＝2·1－tan275°＝2· 1 ＝－2 3.[来源:学科网ZXXK]
tan 75°
2tan 75° tan 150°
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.
【解析】原式＝ 1 ·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝ 1 ·sin 40°·cos 40°cos 80°
A.π
B.2π
C.π
D.π
3
3
6
4
【解析】A
∵tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan Atan B⇔tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝ 3(tan Atan B－1)．(*)
若 1－tan Atan B＝0，
则 cos Acos B－s in Asin B＝0，即 cos(A＋B)＝0.
方法二 ∵tan(23°＋37°)＝ tan 23°＋tan 37° ， 1－tan 23°tan 37°
∴ 3＝ tan 23°＋tan 37° ， 1－tan 23°tan 37°
∴ 3－ 3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.

进行三角恒等变换的几个技巧

很多三角函数题目侧重于考查三角恒等变换的技巧.进行三角恒等变换的关键是选择合适的公式或变形式，将三角函数式中的角、函数名称、幂等进行灵活的转化，从而顺利化简三角函数式，求出三角函数式的值.下面，笔者介绍几个进行三角恒等变换的技巧，以供大家参考.一、拆角与补角有些三角函数式中的角不相同，就需要运用拆角与补角的技巧，将题目中的角进行转化.在转化角时，要先联系已知条件和所求目标，将角进行拆分、拼凑，再灵活运用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等进行变换.例1.已知cos (α+π4)=35，π2≤α≤3π2，求cos (2α+π4)的值.解：由于π2≤α≤3π2，所以3π4≤α+π4≤7π4，因为cos (α+π4)=35＞0，可知3π2≤α+π4≤7π4，因此sin (α+π4)=-45，所以sin 2(α+π4)=2sin (α+π4)cos (α+π4)=-2425，cos 2(α+π4)=2cos 2(α+π4)-1=-725，因此cos (2α+π4)=cos[2(α+π4)-π4]=cos 2(α+π4)cos π4+sin 2(α+π4)sin π4=.观察题目中的各个角，可以发现：已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可得2(α+π4)-π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2(α+π4)和cos 2(α+π4)的值，最后根据余弦的两角和公式，即可求出cos(2α+π4)的值.二、降幂与升幂当三角函数式中出现高次或者次数不一的式子时，就要运用降幂与升幂的技巧来解题.常用到的公式有cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α、tan 2α=2tan α1-tan 2α、sin 2α+cos 2α=1.例2.证明cos 2α+cos 2(x +π3)+cos 2(x -π3)的值与x 的取值无关.证明：cos 2α+cos 2(x +π3)+cos 2(x -π3)=1+cos 2x 2+1+cos(2x +23π)2+1+cos(2x -23π)2=32+12[cos 2x +cos(2x +23π)cos(2x -2π3)]=32+12(cos 2x -12cos 2x -2x -12cos 2x +2x )=32.该式与x 无关，命题得证.该三角函数式较为复杂，cos 2α、cos 2(x +π3)、cos 2(x -π3)均为二次式，且各个角不相等，需先利用余弦函数的二倍角公式降幂，将其转化为一次式，然后再进行化简，这样运算起来就会容易很多.三、弦切互化当函数式中出现多种不同的三角函数名称时，就需要通过弦切互化，将不同名函数化为同名函数.常用的办法是利用tan α=sin αcos α或sin 2α+cos 2α=1将切化弦或将弦化切.例3.已知tan α=2，求4sin α-2cos α5cos α+3sin α的值.解：因为tan α=2，所以cos α≠0，所以4sin α-2cos α5cos α+3sin α=4sin α-2cos αcos α5cos α+3sin αcos α=4tan α-25+2tan α=611.解答本题，需挖掘题目中的隐含信息cos α≠0，将所求目标式的分子、分母同时除以cos α，利用tan α=sin αcos α，使所求目标式中的函数名称统一为正切函数，最后将已知值代入，求得目标函数式的值.无论是对函数名称、角，还是对幂进行转化，都需要灵活运用三角函数中的基本公式及其变形式，有时也要学会逆用公式.在进行三角恒等变换时，要注意仔细观察三角函数式，选择恰当的三角恒等变换技巧.（作者单位：江苏省射阳县高级中学）解题宝典40。

必修四第三章三角恒等变换解题技巧

必修四第三章三角恒等变换解题技巧1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值. 分析将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系.解 ∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________.分析要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝135，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135.∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.∵α为第四象限的角， ∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，∴2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限， ∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案－34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值. 分析转化为已知角⎝⎛⎭⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值.这样可以将所求式子化简，使其出现⎝⎛⎭⎫π4－x 这个角的三角函数. 解原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，且0<x <π4， ∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值.分析观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ).解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos [(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)，当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2 三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：第一招单角化复角例1 已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________.解析因为sin α＝12，α为第二象限的角，所以cos α＝－32，所以tan α＝－33. 所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝－3－(－33)1＋(－3)×(－33)＝－2332＝－33.答案－33点评将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：α＝(α＋β)－β、α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等. 第二招复角化单角例2 化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).解原式＝sin (2α＋β)－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin[α＋(α＋β)]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β－α)sin α＝sin βsin α.点评由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可. 第三招复角化复角例3 已知π4<α<34π，0<β<π4，cos(π4＋α)＝－35，sin(34π＋β)＝513，求sin(α＋β)的值.解因为π4<α<34π，π2<π4＋α<π，所以sin(π4＋α)＝1－cos 2(π4＋α)＝45.又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos(34π＋β)＝－1－sin 2(34π＋β)＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sin[(π4＋α)＋(34π＋β)]＝－[sin(π4＋α)cos(34π＋β)＋cos(π4＋α)sin(34π＋β)]＝－[45×(－1213)＋(－35)×513]＝6365.点评由已知条件求出sin α或cos α过程较烦琐，故需要找到α＋β与π4＋α和34π＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.3 三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂例13－sin 70°2－cos 210°＝________.解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2. 答案 2点评常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等.二、化平方式例2 化简求值： 12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π)). 解因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝ 12－121＋cos 2α2＝12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2.点评一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案－79点评正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现：前者和后者的一半互余. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________.解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 解原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x 的最值.解原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合. 解原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }.点评形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.解原函数整理得：sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域.解原函数整理得：sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式. 解 y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a22＋2a ＋1. 当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1.当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－12a 2－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决.例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值.解设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2，2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2).四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值.解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数.故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0；当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值.解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－xa sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ，∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2.从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t4在区间(0,1]上单调递减，从而，当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min＝94. 点评一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.5 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π). 所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值. [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.温馨点评根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.温馨点评在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其它知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾.∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.温馨点评涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现. 四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性.[错解] f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数.[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错. [正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得 sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22，所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称. 因此，函数f (x )为非奇非偶函数.温馨点评判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错. 五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值. [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数.∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1， ∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] ∵x ＋θ与x －θ是不同的角.∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理. [正解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立.即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立. ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立. 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立. ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .温馨点评注意公式a sin x ＋b cos x ＝\r(a 2＋b 2)·sin (x ＋φ)的左端是同角x .当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.,例如：函数f (x )＝sin (x ＋θ)＋\r(3)cos (x －θ)(x ∈R )的最大值不是2.6 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________.解析由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案 π点评解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解. 二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π4)＝________.解析因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45.cos 2α＝1－2sin 2α＝725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－17250.答案－17250点评解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理. 三、平面向量夹角与三角函数交汇例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2,0)的夹角为π3，则θ＝________.解析由条件得 |m |＝sin 2θ＋(1－cos θ)2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n|m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2 θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去).因为0<θ<π，所以θ＝2π3.答案2π3点评解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解. 四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 解析由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ，则|2a －b |＝ |2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a ·b＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos (θ＋π6)≤4，所以|2a －b |的最大值为4. 答案 4点评解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解. 五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3)(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A.－32 B.－16 C.16 D.32解析由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，答案 D点评平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.7 单位圆与三角恒等变换巧结缘单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的.一、借助单位圆解决问题例1 已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求tan α＋β2.(提示：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22)解设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)均在单位圆上，如图，则以OA 、OB 为终边的角分别为α、β，由已知，sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，用题设所给的中点坐标公式，得AB的中点C ⎝⎛⎭⎫16，18，如图，由平面几何知识知，以OC 为终边的角为β－α2＋α＝α＋β2，且过点C ⎝⎛⎭⎫16，18，由三角函数的坐标定义，知tan α＋β2＝1816＝34.点评借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始终，特别在求值中更能显出它的价值. 二、单位圆与恒等变换的交会例2 已知圆x 2＋y 2＝R 2与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________. 解如图，过O 作OM ⊥AB 于M ，不妨设α、β∈[0,2π]，则∠AOM ＝∠BOM ＝12∠AOB ＝12(β－α)，又∠xOM ＝α＋∠AOM ＝α＋β2，所以tanα＋β2＝k OM ＝－1k AB ＝－12，故tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝－43.点评若是采用先求A 、B 两点的坐标，再求α、β的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同.例3 如图，A ，B 是单位圆O 上的点，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交圆O 于点C .(1)若α＝π6，β＝π3，求点M 的坐标；(2)设α＝θ(θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3)，β＝π3，C (m ，n )，求y ＝m ＋n 的最小值，并求使函数取得最小值时θ的取值.解 (1)由三角函数定义可知，A ⎝⎛⎭⎫32，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32，由中点坐标公式可得M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋14，3＋14.(2)由已知得∠xOC ＝12(α＋β)＝12(θ＋π3)，即C ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，故m ＝cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，n ＝sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，所以y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋5π12，又θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故5π12≤12θ＋5π12≤7π12，当θ＝0或π3时，函数取得最小值y min ＝2sin 5π12＝3＋12.点评借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化.8 教你用好辅助角公式在三角函数中，辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)，其中角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba 确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供同学们参考. 一、求最值例1 求函数y ＝2sin x (sin x －cos x )的最小值. 解 y ＝2sin x (sin x －cos x ) ＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin 2x＝1－2⎝⎛⎭⎫sin 2x ·12＋cos 2x ·12＝1－2⎝⎛⎭⎫sin 2x ·cos π4＋cos 2x ·sin π4 ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数y 的最小值为1－ 2. 二、求单调区间例2 求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的单调区间.解 y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＋1 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋54＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z ).所以函数的单调增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )；函数的单调减区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ).三、求周期例3 函数y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x 的最小正周期是( ) A.2π B.π C.π2 D.π4答案 C解析 y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x ＝12cos 4x ＋2sin 4x ＋12＝172sin(4x ＋φ)＋12(其中sin φ＝1717，cos φ＝41717)，函数的最小正周期T ＝2π4＝π2.故选C.四、求参数的值例4 如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为( )A. 2B.－ 2C.1D.－1答案 D 解析 y ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝a ). 因为x ＝－π8是对称轴，所以直线x ＝－π8过函数图象的最高点或最低点.即x ＝－π8时，y ＝1＋a 2或y ＝－1＋a 2.所以sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝±1＋a 2. 即22(a －1)＝±1＋a 2. 所以a ＝－1.故选D.9 二倍角公式用法揭秘从两角和的三角公式推出二倍角的正弦、余弦和正切公式，是化归思想的体现，倍角公式的内涵是：揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.下面对此公式的应用作以梳理，供同学们参考. 一、二倍角公式的正用例1 已知sin α＋cos α＝13，且0＜α＜π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.分析可先将已知式平方，再利用二倍角公式求sin 2α、cos 2α，进而利用商数关系求出tan 2α的值.解因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，所以sin 2α＝－89.因为0＜α＜π，所以sin α＞0，又sin αcos α＝－49＜0，所以cos α＜0，从而sin α－cos α＞0，所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝173. 故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α) ＝13×⎝⎛⎭⎫－173＝－179. tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.评注一般情况下，求sin 2α、cos 2α时需先求出sin α、cos α的值，往往需用到平方关系和方程或方程组，解题过程中需注意角α的范围的判定，即cos α符号的判定.二、二倍角公式的逆用例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4x 的值. 分析由题设注意到π4＋x ＋π4－x ＝π2，因此需变换之后再用公式求解. 解因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ，所以12cos 2x ＝16，即cos 2x ＝13. 因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x ＝－223. 故sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝－429. 评注一般说来，在题目中有单角、倍角时，应将倍角化为单角，同时应注意2α、2α－π2、α－π4等角之间关系的应用. 三、二倍角公式的变形应用例3 求tan 67°30′－tan 22°30′的值.分析考虑到67°30′×2＝135°，22°30′×2＝45°，且67°30′＋22°30′＝90°，故可用二倍角的正切公式来求解.解原式＝tan 67°30′－sin22°30′cos 22°30′＝tan 67°30′－cos 67°30′sin 67°30′＝－2×1－tan 267°30′2tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2. 评注本题是二倍角正切公式的变用，强调的是在具体的运算过程中对公式的灵活变换.二倍角公式灵活多样，应用广泛，如升幂、降幂等，在具体应用中要根据具体的题目要求，合理选用公式进行相关运算.四、二倍角公式的构造例4 求sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值.分析可利用二倍角的正弦公式的变形公式sin α＝sin 2α2cos α进行运算；也可利用诱导公式先将正弦全部化为余弦，再逆用二倍角公式求解；也可以构造对偶式列方程求解.解方法一因为sin 2α＝2sin αcos α，所以sin α＝sin 2α2cos α，故原式＝sin 20°2cos 10°×12×sin 100°2cos 50°×sin 140°2cos 70°＝sin 20°2sin 80°×12×sin 80°2sin 40°×sin 40°2sin 20°＝116. 方法二原式＝cos 80°×12×cos 40°×cos 20° ＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°16sin 20°＝116. 方法三令x ＝sin 10°sin 50°sin 70°，y ＝cos 10°cos 50°cos 70°，则xy ＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°＝12sin 20°×12sin 100°×12sin 140° ＝18sin 20°sin 80°sin 40° ＝18cos 10°cos 50°cos 70°＝18y ，因为y ≠0，所以x ＝18，从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.评注本题是二倍角公式应用的经典题型，方法一和方法二通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角正弦公式的形式.方法三利用构造对偶式解题具有一般性，事实上，有些数学问题，可根据本身的特点，相应地构造相“匹配”的另一整体，然后由其相依相伴的关系进行求解，这种思想我们称之为“配对”，本题中是一种积式的对偶，三角函数中的sin α、cos α就是一种常见的对偶关系.。

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