全国青年教师素养大赛一等奖直线和圆的位置关系--教学设计

直线和圆的位置关系
温县第一高级中学 刘二艳
指导老师 马双喜
【教学目标】
1.知识与技能：能利用方程判断直线与圆的位置关系；能用直线与圆的方程解决一些简单问题；并能用数形结合的思想解决问题.
2.过程与方法：通过现实生活中的实际问题情境，建立数学模型，转化为判断直线和圆的位置关系问题，通过将圆的几何要素代数化，再用符号语言描述几何要素及其关系的过程，体会用代数方法处理几何问题的思想；
3.情感、态度与价值观：体会数与形的有机统一，对数学知识之间的关系有辨证的理解和认识。

让学生感受数学的成功与快乐，调动学生的学习积极性．
【教学重点与难点】
重点：利用方程判断直线和圆的位置关系的方法
难点：直线和圆的位置关系判断方法的运用
【学情分析】
学生在初中已经学习过直线和圆的位置关系的定义及判断方法，又刚学习了直线和圆的方程，本节课就是将学生的初高中知识相结合，探索利用直线和圆的方程来判断它们的位置关系的方法，建立用代数方法处理几何问题的思路。

首先要注意带领学生回顾这些相关知识，其次要根据数学的认知规律，保证课堂教学活动的逐步递进、螺旋上升。

【教学情景设计】
1.引入：
数学来源于生活，服务于生活．现实中的很多问题都可以用数学知识来解决．来看一个实际问题：一个小岛的周围有环形暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为1km 的圆形区域．已知轮船位于小岛中心正东2km 处，港口位于小岛中心正北1.5km 处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
显然这需要判断直线和圆有无公共点，它们的位置关系的问题．
2.复习：
由平面几何知，直线和圆有三种位置关系，定义如下：
①直线和圆相交，有两个公共点；
②直线和圆相切，只有一个公共点；
③直线和圆相离，没有公共点.
思考：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？通过比较圆心到直线的距离与半径的大小得出直线和圆的位置关系：相交时，d r <；相切时，d r =；相离时，d r >．
利用平面几何的知识，能够解决这个问题吗？此处可提问
学生回答解题思路：连接A 、B 两点，直线AB 和圆O 没有公
O 港口轮船
共点，所以轮船没有触礁危险；或在Rt AOB ∆中，利用勾股定
理求出AB ，再用“等面积法”求出圆心O 到直线AB 的距离， 并与半径比较大小，可以判断出直线AB 和圆O 的位置关系．
3.探究新知：
能不能利用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 建立直角坐标系，通过方程判断轮船是否有触礁的危险．学生自己选择一种方法解决．
解法一：以小岛的中心为原点，东西方向为x 轴，建立直角坐标系，则点A(2,0)，
)23,0(B 则直线AB 的方程为3x+4y-6=0， 圆心()0,0O ，半径1，则圆O 的方程为1，
圆心到直线的距离156436
040322>=+-⨯+⨯=d
所以直线AB 和圆O 相离，轮船没有触礁危险.
解法二：以小岛的中心为原点，东西方向为x 轴，建立直角坐标系．则点A(2,0)，则
)23,0(B ,直线AB 的方程为3x+4y-6=0， 圆心()0,0O ，半径1，则圆O 的方程为122=+y x
⎩⎨⎧=+=-+1064322y x y x 联立方程组：
消去y ，整理得：
020254360
20362522<⨯⨯-=∆=+-x x
所以，此方程组无解，直线直线AB 和圆O 没有公共点.
所以直线AB 和圆O 相离，轮船没有触礁危险.
教师配合学生分析，在课件中演示本题的解答过程．强调解题过程中的关键点，引导学生总结方法步骤，完整的写出解题过程．
方法一：
①联立直线和圆的方程，组成二元方程组；
②消元得一元二次方程，利用判别式判断该方程解的个数；
③依据解的个数判断直线和圆的位置关系.
方法二：
①确定圆心的坐标及半径，计算圆心到直线的距离；
②比较距离与半径的大小；
③依据上述计算做出判断.
上面的两种方法虽然做法不同，但是本质都是利用方程来判断它们的位置关系，通过代数方法解决几何问题，体现了“由数到形”．
但通过对比发现，解方程组的方法在这个问题中计算较为复杂，没有比较d 和r 大小O A
B
的方法简单，这也是练习过程中很少有学生选择这个方法的原因．教师可将这种方法做一展示，引导学生作出选择，只判断直线和圆的位置关系，常选用比较d 和r 大小的方法，它的运算相对简单．
练习：判断直线02:=+-y mx l 与圆922=+y x 的位置关系.
可以运用几何法判断d 与r 的大小关系，或者是直线恒过定点的问题来解决这道题，然后由各小组的组长负责点评组员的方法。

4.新知运用：
例2：设直线 与圆 相切，求实数 的值。

刚才的例1是已知直线和圆的方程，判断它们的位置关系，与例1相比，例2是已知位置关系是相交，反过来求直线方程的问题．已知直线l 过定点，要求直线l 的方程，只需要求直线的斜率.
在课件中配合学生回答，给出关键的解题步骤，留出时间让学生算出答案，并最终展示出完整的解题过程，让学生自己对比，或个别指导，改进完善自己的解答．
5.探究讨论：
设直线过点 与圆 相切，求直线的方程。

在例2中，我们设出了直线的斜率，求出了两条满足题目条件的直线，然而直线的斜率可能不存在，会不会过定点的斜率不存在的直线也是满足题意的呢？可以验证一下．
作出过点M 的斜率不存在的直线3x =-，圆心到这条直线的距离为3，半径长度为5，所以这条弦的长度的一半为4，则弦长为845≠．所以这条直线不满足题意．
今后这种类型的题目，可以先考虑斜率存在的情况，若求出的直线有两条，就不用再考虑斜率不存在的情况；若求出的直线只有一条，就需要考虑斜率不存在的情况．
例2通过给出直线和圆的位置关系求直线的方程，这就是“由形到数”。

6.拓展延伸：
过点P(-1,2)的直线l 与曲线21:x y c -=有两个不同的交点，求直线斜率k 的取值范围 本道题体现了数学中一个非常重要的数学思想——数形结合，利用数形结合求临界值，需要注意的是曲线21:x y c -=是半圆。

【总结提升】
①1.学会了利用方程判断直线和圆的位置关系的方法：代数法和几何法
②探究了如何将实际问题化为数学问题并加以解决；
③体会了“数形结合”和分类讨论的数学思想
【作业】
必做题：P87习题2-2 A 组 1，2
选做题：P88习题2-2 B 组 1，2
【教学评价与反思】
02=+-y mx 1
22=+y x m ）（2,11222=+-y x ）（
本节课的设计，力图突出学生的主体地位，教师在本节课中起到提出问题，适时提升的作用。

通过不同类型的两道例题，两个层次的课堂练习，学生由探究到尝试再到巩固能使学生较好地掌握所学的知识与方法，并能在解决相关问题时，灵活运用图形的几何性质简化计算．
在复习已有知识时，通过提问的形式，及时了解学生的掌握程度，适时强化复习内容。

课堂练习和强化训练阶段通过学生板演，课堂巡视等手段了解学生的掌握情况，对发现的问题，及时处理。

本节课的内容，对知识的融合度较高，对前面相关基础知识掌握不牢的同学来说，学习起来有些困难。

在教学过程中可适当的增加复习已有知识的时间，。