空间向量基本定理
高二数学空间向量基本定理
例题：
如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA＝' c，p是CA'的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2) AM 3)AN
N
பைடு நூலகம்
B'
C'
Q
4）AQ
A D
B
C
例题：
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
n 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。
n 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
此过，留下俩脑袋！若说半个不，管杀； / 太阳能路灯 ；还管埋！嘻嘻！”女科长Ｏ．雯娃姑婆：“就你们两个小丫头也敢劫道？！也不问问我们是 谁？你俩想找死呀？！”月光妹妹：“有什么菜谱都拿出来练练！嘻嘻！”女科长Ｏ．雯娃姑婆：“我先让你品尝一下『白宝穷鬼蚂蚱卡』的厉害！”女科长Ｏ．雯娃姑婆悠 然如同葫芦一样的脚顿时狂舞收缩起来……很小的胡须透出深黑色的阵阵幽雾……怪异的眼睛透出深青色的丝丝怪音。接着把突兀的亮黑色龙虾一般的眉毛甩了甩，只见五道 晃动的活似玻璃管般的灰烟，突然从暗橙色炸鸡样的脸中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，暗绿色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的妙睡朦胧味在狂速的空气中摇曳…… 紧接着耍了一套，窜马泳圈翻一千零八十度外加鹰哼泳池旋七周半的招数，接着又玩了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。最后摆起很大的暗红色 鹅掌一样的手掌一喊，轻飘地从里面射出一道幽光，她抓住幽光绝妙地一转，一样黑森森、黄澄澄的法宝『白宝穷鬼蚂蚱卡』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边疯耍， 一边发出“呜呜”的余音……忽然间女科长Ｏ．雯娃姑婆旋风般地念起哼哼唧唧的宇宙语，只见她深黄色布条一样的舌头中，威猛地滚出五片幽灵状的虎尾，随着女科长Ｏ． 雯娃姑婆的耍动，幽灵状的虎尾像皮球一样在双腿上优美地玩出隐隐光烟……紧接着女科长Ｏ．雯娃姑婆又摆起金橙色兔子一样的四对翅膀，只见她普通的嘴唇中，狂傲地流 出五团轮胎状的珍珠，随着女科长Ｏ．雯娃姑婆的摆动，轮胎状的珍珠像香皂一样，朝着月光妹妹玲珑活泼的美鼻子斜冲过来！紧跟着女科长Ｏ．雯娃姑婆也晃耍着法宝像玻 璃管般的怪影一样朝月光妹妹斜劈过来月光妹妹悠然秀美挺拔的玉腿猛然振颤飘荡起来……轻灵雅秀、能够听懂远处动物语言的妙耳朵喷出暗红色的飘飘暗气……似乎总是带 着一丝迷人笑意的小嘴唇跃出紫宝石色的朦胧异香……接着把轻灵似风的玉臂摇了摇，只见六道变幻莫测的如同肥皂般的紫影，突然从轻盈矫健的玉腿中飞出，随着一声低沉 古怪的轰响，灰蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的僵尸鸭酣妖隐味在发疯般的空气中跃动！紧接着来了一出，蹦貂面条翻
2 空间向量的基本定理(精讲)(解析版)
1.2 空间向量的基本定理1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．【题型精讲】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）A ．AB AC AD ，，B ．11AB AA AB ，，C ．11111D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【答案】C【解析】:AB AC AD ，，共面，排除A 11AB AA AB ，，共面，排除B 111AC AC CC ，，共面，排除D 11111 D A DC D D ，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C【解析】选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底，则( )A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面 【答案】A【解析】∵2b ⃑⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+(b ⃑⃑−c ⃑)，∴b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b⃑⃑共面 ∵a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+a ⃑，∴b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑共面∵a ⃑+c ⃑=(a ⃑−2c ⃑)+3c ⃑，∴a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2020·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 的中点，AB a =，AD b =，1AA c =，则AO =（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 【答案】B【解析】O 为11A C 的中点， ∴()11111111111122AO AC AA AO AA AA A B A D =+=+++=()112AB AD AA =++()12c a b =++ 1122a c b =++． 故选：B ．【玩转跟踪】1．（2020·甘肃靖远。
1.2空间向量基本定理
4
思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？ (2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯 一？ [提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面． (2)唯一确定．
5
2．正交分解 (1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量_两_两__垂__直__，且长度都是 __1__，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．
34
基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤
(1)设出基向量．
(2)用基向量表示出直线的方向向量．
(3)用|a|＝
a·aa·b |a||b|
求夹
角．
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．
35
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共 线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着 三个向量一定为非零向量．
1 －1 [由m与n共线，得1x＝－y1＝11， ∴x＝1，y＝－1.]
10
基底的判断
【例1】 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空
间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，
③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的
向量组有( ) A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 O→A ＝e1＋2e2－e3， O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能否 作为空间的一个基底．
12
(1)C [如图所示，令a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D，
原创1：3.1.2 空间向量的基本定理
典例分析
若{a，b，Ԧc}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋Ԧc，Ԧc＋a}能否
作为该空间的一个基底．
是否共面
【解析】假设a＋b，b＋Ԧc，Ԧc＋a共面，
则存在实数λ，μ使得
a＋b＝λ(b＋Ԧc)＋μ(Ԧc＋a)，
∴ a＋b ＝μa＋λb＋(λ＋μ)Ԧc.
答案
②③
典例分析
空间四边形OABC中，M，N是△ABC，△OBC的重心，设＝a，
＝b， ＝Ԧc，用向量a，b，Ԧc表示向量， ， .
利用线性运算，结合图形，
【解析】如图，取BC中点P，
O
对向量进行分解
则A、M、P，O、N、P分别共线，
a
cԦ
连结AP，OP.
2
AM＝OA＋AM＝a＋ AP
＝ k ＝k( + )
跟踪训练
＝k( − + − )
＝ − + −
＝ + .
所以E、F、G、H共面．
(2) ＝ − ＝k( − )＝k ，
且由第(1)问的证明中知＝k，
于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，
已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量
＝k， ＝k ， ＝k ， ＝k ＝k，
求证：(1)四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC.
证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 = + ，
= − ＝ k － k
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.2
空间向量的基本定理
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
空间向量的基本定理
3空间向量分解定理
空间向量的分解定理：如果三个向量
么对空间任意一个向量 p 使 p xa yb zc
a, b, c
不共面，那
，存在唯一的有序实数组
x, y, z
空间向量的 分解
空间向量的分解定理：如果三个向量
p 么对空间任意一个向量 p xa yb zc 使
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
两个空间向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
1平行向量基本定理：
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
c xa yb
1平行向量基本定理：
小组合作：
这就说明c与a, b共面
1平行向量基本定理：
1共线向量定理：
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
两个空间向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
c分解成xa和yb
（4）讨论这两个定理是否 适用空间向量
空间向量的定义和基本定理
空间向量的定义和基本定理一、空间向量的定义和基本定理1、空间向量与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
2、空间向量基本定理（1）共线向量定理定理：对空间任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$($\boldsymbolb$≠0），$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol a$=$λ\boldsymbol b$。
推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\boldsymbol \alpha$①。
其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。
在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol a$，则①式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{A B}$或$\overrightarrow{O P}=(1-t)\overrightarrow{O A}+t\o verrightarrow{O B}$②。
当$t=\frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$③。
①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。
（2）共面向量定理定理：如果两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$不共线，那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（$x$，$y$），使$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$。
空间向量的基本定理空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。
在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。
二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。
2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。
3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。
当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。
4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。
5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。
2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。
（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
而且当k=-1时，ka=-a。
这些结论称为空间向量的基本定理。
四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。
空间向量基本定理
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
高二数学空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。
A1B B1C AC
A
C B
M
D1C1Nຫໍສະໝຸດ PA1B1
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
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会认为它是宝石而为之雀跃。知识告诉我们这是玻璃，因此知识剥夺了我们的快乐。 ? 我常常在幼儿园的栅栏外伫立，因此引起阿姨们的怀疑，以为我是人贩子或暗恋哪位小阿姨。我读过一本苏联小说，讲述一位私生子的父亲常去幼儿园看望自己的私生子，一想起这个，我就慌了，怕同样读过这 本书的人认为我也有私生子。 ? 我认为充分表达对子女的爱，不是人类及其它，而是袋鼠，怀里
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
空间向量基本定理
答案：A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →
知识要点一：空间向量基本定理的理解 1．空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从 而分解结果也多了一“项”，解决问题的思路，步骤也基本相同． 2．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空 间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 对于基底{a，b，c}除了应知道 a，b，c 不共面，还应明确： (1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所 有向量均可由基底唯一表示． (2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量 不共面，就隐含着它们都不是 0.
解析：由基底定义知应选 D.
4． 如图， 在长方体 ABCDA′B′C′D′中向量 A′C― →可用向量 AB― DD′― →， →， B′C′― →表示为__________________．
解析：∵A′C― →＝A′D′― →＋D′D― →＋DC― →， 又∵A′D′― →＝B′C′― →，DC― →＝AB― →，D′D― →＝－DD′― → ∴A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →.
1 1 解析：MN― →＝MC1― →＋C1N― →＝ BC1― →－ AC1―→ 2 3 1 1 ＝ (AC1― →－AB― →)－ AC1― → 2 3 1 1 ＝ AC1―→－ AB― → 6 2 1 1 ＝ (AC―→＋AA1― →)－ AB―→ 6 2 1 1 1 ＝ a－ b＋ c 6 2 6 1 1 1 答案： a－ b＋ c 6 2 6
用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法 的平行四边形法则、加法、减法的三角形法则．
空间向量基本定理
O'
(2)OG (G是侧面BB' C ' C的中心 A' ).
C'
B'
G
解 : OG OC CG 1 OC CB' 2 1 b ( a c). 2
A
O
B
C
五.课堂小结
1.空间向量基本定理
2.空间向量基本定理的推论
BA' BA BB ', BA OC , BB ' OO ', BA' OO ' OC c b.
O'
C'
A'
B'
O
C
A
B
CA' CA AA', CA OA OC a b, AA' OO ' c, CA' a b c.
解 : MN ON OM , 1 1 而ON (OB OC ) (a b), 2 2 1 1 OM OA a, 2 2 1 1 1 OM b c a. 2 2 2
中点, 且OA a, OB b, OC c, 试用a, b, c表示向量MN . O
3.空间向量基本定理的推论：
设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z使
OP x OA y OB z OC
三.例题分析
例4.已 知 空 间 四 边 形 OABC , 其 对 角 线 为 , AC; OB M , N分 别 是 对 边 , BC的 中 点, 点G在 线 段MN上, OA 且 使MG 2GN , 用 基 向 量 , OB , OC 表 示 向 量 . OA OG
高二数学空间向量基本定理
例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A D
B
C
例题：
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。A1B B1Fra bibliotek ACA
C B
M
D1
C1
N
P
A1
B1
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
；舟山出海捕鱼 舟山出海捕鱼
；
文人独嗜，百姓亦胸有丘壑，尤其在一个特殊日子里，更是趋之若鹜、乐此不疲，此即九九重阳的“登高节”。 我始终认为，这是中国先民一个最浪漫、最诗意的节日。 秋高气爽，丹桂飘香，心旷神怡
空间向量基本定理
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
p
P
请证明
A aB
思考2：有平面ABC， 若P点在此面内，须
2. 已知 e1, e2 是平面内两个不共线的向量,
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
求证:A,B,C,D 四点共面.
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O， OM
A. 1
xOA ＋
B.
1 3 OB
0
＋
1 3
OC
C.
,则x的值为：
3
D. 1
C
b
p
P
满足什么条件？
Aa B
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
1.存在唯一有序实数对x,y使 AP x AB y AC
2.对空间任一点O,有 OP OA x AB y AC
3.能转化为都以O为起点的向量吗？ OP （1 x y)OA xOB yOC
OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
(1)注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即 空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；
(2)介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面 的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量， 是用向量法解立体几何问题的一项基本功。
练 习3 1.已知向量{a , b , c} 是空间的一个基底，从
11.2空间向量的基本定理
uuu uuu r r OP = OA + ta
其中向量a叫做直线 的方向向量 其中向量 叫做直线l的方向向量 叫做直线 的方向向量.
3、向量与平面平行： 、向量与平面平行： 已知平面β和向量 ， 已知平面 和向量a，作 和向量 或在内， 平行于平面β 记作： 于β或在内，那么我们说向量 平行于平面 ，记作： 或在内 那么我们说向量a平行于平面 a // β 。 通常我们把平行于同一平面的向量， 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明： 说明：空间任意的两向量都是共面的
（必要性） 必要性） 设存在实数x,y使 uuuu 设存在实数 使p=xa+yb 取空间任意一 r uuur uuur uuur ’ 点M，作 M A = a， B = b， A = xa， ’ = yb ， ， M M AP uuur 在平面MAB内， 则 MP =xa+yb=p，于是点 在平面 ，于是点P在平面 内 向量p//平面 平面MAB. 即p与向量 共面 与向量a,b共面 向量 平面 与向量 共面.
C N B
A
1 2 OG = OM + MG = 2 OA + 3 MN 1 2 = OA + ( ON − OM ) 2 3
1 1 1 = OA + OB + OC 6 3 3
例2 :已知平行六面体OABC − O' A' B' C '， r r r r r r 且OA＝a , OC = b , OO' = c , 用a , b , c 表示 如下向量：)OB', BA', CA'; (2)OG (G是侧 (1 面BB' C ' C的中心）
3.1.3 空间向量基本定理
pab， p a b
构成空间的另一个基底？
分析：看三个向量是否构成空间的一个基底， 就是看这三个向量是否共面
范式演练 例1.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，从
a , b , c 中选哪一个向量，一定可以与向量
pab， p a b
A A1
B P1
B1
p=OP OA1 OB1 PP 1 xe 1 ye2 ze3
二、空间向量的基本定理：
数学建构
如果e1 , e2 , e3是三个不共面的向量，那么对于 使 p =xe1 ye2 ze3
C
' ' ' ' ' '
空间内的任意一向量 p, 存在唯一的有序实数对（x, y, z） ,
y z a y z b xc 0
即 xc y a b z a b 0 设xc y p zq 0 ，
a, b, c是空间中的一个基底
c, p, q
范式演练 1. 如果向量 a , b与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么 a , b 之间应有什 么关系？ 2.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，则下列各 组的向量中，不能构成空间的一个基底的是：
如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1 e1＋λ 2 e2。 （e1、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底)
平面内任一向量可以用该平面内的两个不 共线向量来线性表示.
猜想:
第十八讲 空间向量基本定理(解析版)
第十八讲 空间向量基本定理【知识梳理】1、共线向量定理：两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝x b .2、共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b .3、空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c .【考点剖析】考点一 共线定理、共面定理【例1-1】已知a ＝(1，－2，1)，a b -＝(－1，2，－1)，则b ＝（ ）A ．(2，－4，2)B ．(－2，4，－2)C ．(－2，0，－2)D ．(2，1，－3)【答案】A 【详解】解析：()()()()1,2,11,2,12,4,2b a a b =--=----=-． 故选：A【例1-2】如图在平行六面体中，AC 与BD 的交点记为M ．设，AB b =，AD c =，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c +- C ．1122a b c ++D ．1122a b c --【答案】B 【详解】 ． 故选：B.【跟踪训练1】已知三棱锥O ABC -中，点M 为棱OA 的中点，点G 为ABC 的重心，设，OB b =，OC c =，则向量MG =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】连接CG 并延长交AB 于点E ，连接OE ，则E 为AB 的中点，且23CG CE =，1122a b c =+-， ，M 为OA 的中点，.故选：A.【跟踪训练2】如图所示，在正方体中，点F 是侧面11CDD C 的中心，若，求x y z ++=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】C 【详解】 ，故1x =，12y =，12z =，则2x y z ++=． 故选：C.【跟踪训练3】在空间四边形ABCD 中，，且,2DM MA BN NC ==，则MN =（ ）A ．112233a b c -- B ． C ． D ．【答案】C 【详解】. 故选：C.考点二 共线定理、共面定理的应用【例2】 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .【解析】证明 (1)连接BG ，则EG→＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面.(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 因为E ，H ，B ，D 四点不共线， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .规律方法 (1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A →＝λPB→(λ∈R )； ②对空间任一点O ，OP→＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1). (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP→＝xMA →＋yMB →； ②对空间任一点O ，OP→＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)；③PM →∥AB →(或P A →∥MB→或PB →∥AM →). (3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【过关检测】1．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,,,OB AC M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量表示向量OG 为（ ） A ． B ．C ．2233OG OA OB OC =++ D ． 【答案】A 【详解】 .因为,M N 分别为,OA CB 的中点， 所以 所以. 故选：A.2．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122++a b c C ．1122--+a b cD ．1122-+a b c【答案】A 【详解】 ，12c BD =+，()12c BA BC =++， 1122a b c =-++，()12c a b =+-+故选：A.3．已知向量(),,x y z a a a a =，，{},,i j k 是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：,,y z x y x z xy z y z x y x z xyz i j ka a a a a a a a ab b b b b b b b b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，其中行列式计算表示为a b ad bc c d =-，若向量，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】 解：由题意得：， 故选：C ．4．在三棱锥O ABC -中，，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．121232a b c -+ B ．111322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．121332a b c +- 【答案】B 【详解】连接ON ，所以， 因为，所以1133OM OA a ==， 所以. 故选：B.5．在平行六面体中，1AA c =，AB b =，AD a =，E 是BC 的中点，用a ，b ，c 表示1AE 为（ ） A ．12a b c +- B ． C ．12a b c -- D ．12a b c -+ 【答案】A 【详解】解：如图示： ，结合图象得：1122c b a a b c -++=+-， 故选：A.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且6AB AP ==，2AD =，，E ，F 分别为PB ，PC 上的点，且，，EF =（ ）A ．1BC ．2D 【答案】B 【详解】 ∵，， ∴ ，又62cos606AB AD AP AD ⋅=⋅=⨯⨯︒=，66cos6018AB AP ⋅=⨯⨯︒=， ∴== 7．在正方体中，点M 为棱''D C 的中点，点N 为棱BC 的中点，若'MN xAB yAD zAA =++，则x y z ++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【详解】 如图所示： ，11'22AB AA AD =--， 又因为'MN xAB yAD zAA =++， 所以11,,122x y z ==-=-， 所以1x y z ++=-， 故选：A8．下列能使向量，MB ，MC 成为空间的一个基底的关系式是（ ） A ．B ．C ．OM OA OB OC =++D ．【答案】C 【详解】对于A ：由，可得M ，A ，B ，C 四点共面，即,,MA MB MC 共面， 所以选项A 无法构成基底，选项C 可以构成基底；对于B ：因为，由平面向量基本定理，可得,,MA MB MC 共面，无法构成基底，故B 错误； 同理选项D 中，,,MA MB MC 共面，故D 错误. 故选：C9．如图，在三棱锥O ABC -中，D 是BC 的中点，若，OB b =，OC c =，则AD 等于（ ） A ． B ． C ．1122a b c -++ D ．1122a b c --- 【答案】C 【详解】 ， 因此，. 故选：C.10．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且，，，则x y z++的值为( )A．23-B．23C．1D．56【答案】B【详解】PA⊥平面ABCD，且ABCD为矩形，以为空间向量的一个基底，因，，，又，由空间向量基本定理知，211,,366x y z===-，.11．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.（1）判断，MB，MC三个向量是否共面；（2）判断点M是否在平面ABC内.【详解】（1）由题意，知：3OM OA OB OC=++，∴，即MA BM CM MB MC=+=--，故,,MA MB MC共面得证.（2）由（1）知：,,MA MB MC共面且过同一点M.所以,,,M A B C四点共面，从而点M在平面ABC内.12．如图，在三棱锥O ABC-中，G是ABC的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点. （1）用向量表示向量OG，并证明你的结论；（2）设，请写出点P在ABC的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.【详解】解析（1）1()3OG OA OB OC =++. 证明如下：23OG OA AG OA AD =+=+21()32OA AB AC =+⨯+1()3OA OB OC =++. （2）若，点P 在ABC 的内部（不包括边界），的充分必要条件是：1x y z ++=，且01,01,01x y z <<<<<<.。
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建构数学:
推论：设O、A、B、C是不共面的四点， 则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数组 ( x，y，z)，使得 OP ＝x OA ＋yOB ＋zOC 。
1、 如 果 a, b 与 任 何 向 量 都 不 能 构 空 成间的 一个基底， 则a与b 有 什 么 关 系 ？ 共线
2、 判 断 ： O, A, B, C为 空 间 四 点 ， 且 向 量 OA, OB, OC不 构成空间的一个基底 ,那么点 O, A, B, C有 什 么 关 系共面 ？
O2 D O1 E
1 O1O 2 BA B 3 1 AB 0 AC 0 AD 3
C
1 解： OE (OB OC), 2
2、如图，在空间四边形OABC中，已知E是 BC的中点，G在AE上，且AG=2GE，试用向 量OA、OB、OC表示向量OG。
C
2 OG OA AG OA AE 3 2 OA (OE OA) 3 O 1 (OA OB OC) 3
1、课后作业： 就就P76练习第1、2题 2、课外作业： 就《学习与评价》第三章第3课时
．
（2）再证惟一性
用反证法
B A A’ P’
B’
建构数学
的有序实数组 ( x, y, z )， 使 p xe1 y e2 z e3 {e1 , e2 , e3} — 基底 e1 , e2 , e3 — 基向量
如果三个向量 e1 , e2 , e3不 共 面 ，那 么 对 空 间 任 一 向 量 p，存 在 唯 一
答：向量 c ，因为如果 c与a b ， a b共面，那么 c与a ， b共面，这与已知矛盾。
练习
数学运用 例2、如下图,在正方体OADB-CA’D’B’中,点E 是AB与OD的交点,M是OD’与CE的交点,试分 别用向量OA,OB,OC 表示向量OD’和OM。
B’
D’ C A’
M B E O A D
E
G B
A
小结:
1、本节课的重点内容是空间向量基本定理及推论.
2、注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理， 即空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和； 3、介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不 共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出指 定的向量，是用向量法解立体几何问题的一项基 本功。
作业:
如果三个向量 e1 , e2 , e3不 共 面 ，那 么 对 空 间 任 一 向 量 p，存 在 唯 一
证明:（1）先证存在性
设e1， e2， e3是 三 个 不 共 面 的 向 量 过 ，空 间 一 点 O作OA e1，
OB e2， OC e3， OP p， 过点P作直线PP’∥OC，交平面OAB于点P’； 在平面OAB内，过点P’作直线 P P’A’∥OB，P’B’∥OA，分别 C O 交直线OA，OB于点A’，B’。
复习 1、共线向量定理
对空间任意两个向量 a, b(a 0), b与a共 线 的
充要条件是存在实数 , 使b a.
2、共面向量定理
如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、 b共面的充要条件是存在实数组（x，y）,使得
p=xa＋yb．
复习
3、平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ1、λ2，使
推论说明： 1 、可以根据空间向量的基本定理确定空间任意一点的位 置。这样，就建立了空间任意一点与惟一的有序实数组 （x、y、z）之间的关系，从而为空间向量的坐标运算作 准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。 2、推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面。
数学运用
例1、 已 知 向 量 a, b, c 是 空 间 的 一 个 基 底 ， a 从 , b, c 中 选 哪 个 向 量 ， 一 定以 可 与 向 量p a b, q a b 构 成 空 间 的 另 一 个 基？ 底
a =λ1e1+λ2e2
我们把不共线的两个向量e1、e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底. 这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量来线性表示.
问题 情境
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来 线性表示吗?
平面向量基本定理: 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那 么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对 实数λ1、λ2，使 a =λ1e1+λ2e2 通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量 基本定理呢?
建构数学:
空间向量基本定理:
如果三个向量 e1 , e2 , e3不 共 面 ，那 么 对 空 间 任 一 向 量p，存 在 惟 一 的有序实数组 ( x, y, z )， 使
p xe1 ye2 z e3
z O x
y
空间向量基本定理:
的有序实数组 ( x, y, z )， 使 p xe1 y e2 z e3
空间向量基本定理:
（ 1 ）、 e1 , e2 , e3不共面
强调：对于基底{e1 , e2 , e3}
1
广 泛 法
(2)、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 . 我
（ 3 ）、 e1 , e2 , e3中能否有 0？
(4) 基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量， 经 二者是相关联的不同概念。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习 3、 如 图 所 示 ， 四 面 体 ABCD的 六 边 都 相 等 ， O1、O2 是BCD和ACD的 中 心 ， 以 向 量 AB ， AC ， AD 为 一 个 基底，求 O1O（ 2 用基底表示）。 解：由正三角形的性质知
BO1=2O1E，AO2=2O2E
A
∴O1O2∥AB，且O1O2=1/3 AB。