函数与方程——2021届新课改地区高三高考数学一轮专题复习

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2021高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲函数与方程课件.ppt

2
为实数 a>b>c>0 满足 f(a)f(b)·f(c)<0，所以 f(a)，f(b)，f(c)可能都小于 0 或有
1 个小于 0,2 个大于 0，如图，则 A，B，C 可能成立，D 不可能成立．故选
D.
函数零点所在区间的判断方法及适合题型
方法
解读
适合题型
解方可先解对应方程，然后看所求的根当对应方程 f(x)＝0 易解时．如
程法是否落在给定区间上
举例说明 1
利用函数零点的存在性定理进行判能够容易判断区间端点值所对
定理法
断
应函数值的正负．如举例说明 2
画出函数图象，通过观察图象与 x 容易画出函数的图象．如举例说图象法
2．若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)
的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析由已知得，f(x)是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，又因为 a<b<c，所以 f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c －b)>0.由零点存在性定理得函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c) 内．
3．(2019·青岛二中模拟)已知函数 f(x)＝2x－log1 x，且实数 a>b>c>0 满
2
足 f(a)f(b)f(c)<0.若实数 x0 是函数 y＝f(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成立的是( )

高考数学一轮复习函数与方程课件新课标

f (x1)
f (x2 )
小关系为
例 2. （改编）已知函数 f(x)= x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2，求 a 的值。
例 3．（2011.江西六地市联盟）已知二次函数 f (x) ax2 bx (a, b 为常
数，且 a 0) 满足条件： f (x 1) f (3 x) ，
x1、x2 有且仅有一个在
(k1,k2)内
图
象
充
要条件
0
f
(k)
0
b 2a
k
0
f
(k
)
0
b 2a
k
f (k) 0
0
f (k1 ) 0
k1
f (k2) 0
b 2a
k2
f (k1 ) f (k2 ) 0或
检
f( 验
k1 ) 是否
0 其
中
只一个
检
f( 验
k2) 是否
求 m 的范围。
例 5．若关于 x 的方程 22x 2x a a 1 0 有实根，求实数 a
的取值范围．
选讲（2011.浙江名校 4 月创新）设
f(x)=ax2+bx+c
(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b 新疆源头学子小屋 /wxc/ 特级教师王新敞 wxckt@ 新疆源头学子小屋 /wxc/ 特级教师王新敞 wxckt@
间端点的位置关系
2a
（3）对应二次函数区间端点函数值的正负
设x1、x2是实系数二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两实根
,
则x1、x
的分布范围与二次方程

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：函数与方程(二)(含解析)

《函数与方程》（二）考查内容：主要涉及函数零点个数的判断（方程法、数形结合法、图象法、零点存在定理与函数性质结合法）一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数26,0()3ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩的零点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．02．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，2()f x x =，则4()log ||y f x x =-的零点个数为（） A ．8B ．6C ．4D ．25．函数()sin 1f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．67．已知函数23(0),()1(0),x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩则方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）的不同的实数根的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()2e e xx f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．(]{},01-∞9．已知函数23||,3()(3),3x x f x x x -⎧=⎨->⎩，()(3)6g x f x +-=，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（）A ．0B ．4C ．3D ．210．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0）D ．[0，+∞）11．已知函数()sin ,02224xx f x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩，若函数()()1g x f x kx =--恰有三个零点，则实数k 的取值范围为（）A ．31,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．41,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．41,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦12．已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1f f x =根的个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9二．填空题13．函数()()2ln 14xf x x =⋅+-的零点个数为_______.14．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．已知函数32ln(2),2,()68,,x x m f x x x x x m +-<<⎧=⎨-+≥⎩若函数()f x 仅有2个零点，则实数m 的取值范围为______. 16．已知函数,0()(1),0xlnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，则实数c 的取值范围是__.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求函数lg y x =和sin y x =的图像的交点个数．18．讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.19．已知函数()f x =，()3g x ax =-.（1）设函数()()()()25h x f x g x x =+-+，讨论函数()y h x =在区间[]0,2内的零点个数；（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[]2,4上单调递增，求m 的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m ；（3）讨论()f x 在区间[]3,3-上的零点个数.21．已知函数()22,182,1x a x f x ax x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，其中a R ∈.()1当1a =时，求()f x 的最小值； ()2当2a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.22．已知函数()34ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(]0,10上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）《函数与方程》（二）解析1.【解析】若260x x --=．则2x =-或3x =．又∵0x ≤∴2x =- 若3ln 0x -+=，则3x e =满足0x >，综上，函数()f x 的零点个数为2．故选:B2.【解析】当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >；当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2.故选：B3.【解析】函数()ln 1f x x x =-+的零点个数等价于函数ln y x =与函数1y x =-的图象的交点个数.在同一坐标系下作出函数ln y x =与1y x =-的图象，如下图：因为1(ln )y x x ''==，曲线ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为：11k x==，所以曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，所以可知两函数图象有一个交点，故函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为1. 故选：B .4.【解析】因为()()y f x x R =∈为周期为2的函数,通过且(1,1]x ∈-时，2()f x x =,做出函数图象如图所示:4()log ||y f x x =-的零点个数即为()y f x =与4log ||y x =图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.5.【解析】令()sin 10f x x x =-=，显然0x =不是函数的零点，可得1sin x x=．故作出函数sin y x =和1y x =的图象，如图所示：在(,)22ππ-上有2个交点.故选：A6.【解析】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根，根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根，所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C7.【解析】由|()1|2f x c -=-，得()1(2)f x c =±-．∵(1,0)c ∈-， ∴1(2)(3,4),1(2)(2,1)c c +-∈--∈--．作出函数()f x 和1(2)y c =±-的图象如图所示，易知它们的图象共有4个不同的交点，即方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）有4个不同的实数根．故选：B8.【解析】(0)1100f =--=,则可知0x =一定是函数()f x 的一个零点0x ≠时,可得:1x x e a x e -=,令1(),()x x e a g x h x x e -==,21()x x xe e g x x '-+=，令()1x x u x xe e =-+, ()xu e x x '=，可得函数()u x 在0x =时取得极小值即最小值 ,()()00u x u ∴≥=.())'0(0g x x ∴>≠.∴函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增，此时，()0g x >恒成立，对于()xa h x e =， 0a <时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件0a =时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件1a =时 , 函数1()x h x e=, 经过()0,1, 与函数()g x 的图象没有交点, 如下图，满足条件 .0a >, 且1a ≠时 , 函数()h x 与函数()g x 的图象有交点，如下图，不满足条件，舍去 .综上可得：实数a 的取值范围为{}(],01-∞⋃，故选：D .9.【解析】由()6(3)g x f x =--，知()()()(3)6y f x g x f x f x =-=+--. 令()()(3)F x f x f x =+-，则(3)(3)()F x f x f x -=-+，所以(3)()F x F x -=，即()F x 的图象关于直线32x =对称.当302x时，()()(3)33(3)3F x f x f x x x =+-=-+--=；当0x <时，2221()()(3)3(33)32F x f x f x x x x x x ⎛⎫=+-=++--=++=++⎪⎝⎭114.作出()F x 的图象可知，函数()6F x =的解有2个，所以函数()()y f x g x =-的零点个数2个.故选：D10.【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1.故选：B11.【解析】当24x <≤时，y =，则0y ≤，等式两边平方得2268y x x =-+-，整理得()2231x y -+=，所以曲线)24y x =<≤表示圆()2231x y -+=的下半圆，如下图所示：由题意可知，函数()y g x =有三个不同的零点，等价于直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点，直线1y kx =+过定点()0,1P ，当直线1y kx =+过点()4,0A 时，则410k +=，可得14k =-；当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=相切，且切点位于第三象限时，k0<，1=，解得34k =-.由图象可知，当3144k -<≤-时，直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点.因此，实数k 的取值范围是31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：B.12.【解析】令()u f x =,先解方程()1f u =. （1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=.故选：C. 13.【解析】令()()2ln 140xf x x =⋅+-=，则()24ln 122x x x -+==，在同一直角坐标系中作出函数()ln 1y x =+与22xy -=的图象，如图：由图象可知，函数()ln 1y x =+当1x →-时，()ln 1y x =+→+∞则与22xy -=的图象有必有两个交点，所以方程()24ln 122xxx -+==有两个不同实根，所以函数()()2ln 14x f x x =⋅+-的零点个数为2.故答案为：2.14.【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知，当01k <<时，函数()f x 与y k =的图象有两个不同的交点，此时，方程有两个不同实根，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1) 15.【解析】对于函数3268y x x x =-+，23128y x x '=-+，令0y '=，解得23x =±，故当,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭时，0y '>；当22x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<；当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '>；令ln(2)0x +=，解得1x =-；令32680x x x -+=，解得0x =，2x =或4x =. 作出ln(2)y x =+，3268y x x x =-+的大致图像：观察可知，若函数()f x 仅有2个零点，则24m <≤，故实数m 的取值范围为(]2,4. 16.【解析】当0x >时，函数()f x lnx =单调递增；当0x ≤时，()(1)xf x e x =+，则()(2)x f x e x '=+2x <-时，()0f x '<，20x -<时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为2(2)f e --=-；当1x <-时，()(1)0xf x e x =+< 作出函数()f x 的图象如图：函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，等价于函数()f x 与y c =的图象有且仅有3个交点，由图可知，20e c --<<，故答案为：()20，e -- 17.【解析】由1y lgx ==解得10x =，又sin y x =的值域为[]1,1-，且y lgx =在定义域上单调递增，作出函数sin y x =与y lgx =的图象如图：由图象可知两个图象的交点个数为3个，18.【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x ，与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解；当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解；当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.19.【解析】（1）因为()()()()()22511h x fx g x x x a x =+-+=+-+，令()0h x =，则()2110x a x +-+=，当=0x 时，则10=，不符合条件，当0x ≠时，则11a x x-=+ 作函数1y a =-与()102y x x x=+<≤的图象，由图可知：①当12a -<时，即1a >-时，两图象无公共点，则()h x 在区间[]0,2内无零点；②当12a -=时或512a ->时，即32a <-或1a =-时，两图象仅有一个公共点，则()h x 在区间[]0,2内仅有一个零点； ③当5212a <-≤时，即312a -≤<-时，两图象有两个公共点，则()h x 在区间[]0,2内有两个零点.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈，则[]299,25x +∈，所以()f x 的值域是[]3,5；当[]02,2x ∈-时，设函数()0g x 的值域是M ，依题意，[]3,5M ⊆，①当0a =时，()03g x =-不合题意；②当0a >时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩ ，得2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，解得4a ≥； ③当0a <时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，得2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得4a ≤-；综上得，实数a 的取值范围是(][),44,-∞-⋃+∞.20.【解析】（1）由题意，函数2()()7f x x mx m m R =++-∈开口向上，对称轴的方程为2m x =-，若使得函数()f x 在[]2,4上单调递增，则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞.（2）①当112m -≤-即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增，所以函数()y f x =的最小值为()()16g m f =-=-；②当1112m -<-<，即22m -<<时，函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减，所以函数()y f x =的最小值为()()126g m g m ==-，综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. （3）因为函数()y f x =的对称轴方程为12x m =-，且24280m m ∆=-+>恒成立， ①当()()133232203420m f m f m ⎧-<-<⎪⎪-=-≥⎨⎪=+≥⎪⎩，即112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点； ②当()1323220m f m ⎧-≤-⎪⎨⎪-=-≥⎩，此时m 不存在； ③当()1323420m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，此时m 不存在；④当()()330f f -⋅≤，即()()22420m m -+≤，解得m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 综上可得：当112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点，当m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 21.【解析】()1当1a =时，()221,182,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则当1x ≤时，()f x 在(],1-∞上单调递增，()1f x >-且无最小值；当1x >时，由二次函数()()2282414g x x x x =-+=--知，()f x 在(]1,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，故()()min 414f x f ==-.()2当0a ≤，1x ≤时，()f x 没有零点，当1x >时，()f x 没有零点；当02a <≤，1x ≤时，()f x 有一个零点，当1x >时，()f x 有一个零点.22.【解析】（1）由题意知，()f x 的定义域为()0,∞+，则令2223443()10x x f x x x x -+'=+-==，解得1x =或3x =，当01x <<或3x >时，()0f x '>，则此时()f x 单调递增；当13x <<时，()0f x '<，则此时()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）由函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，则当03x <≤时，()()12f x f ≤=-，故()f x 在(]0,3上无零点；又()324ln30f =-<，当310x <≤时，因为3(10)104ln10100.34 2.3030.488010f =--≈--⨯=>，又()f x 在(]3,10上单调递增，所以()f x 在(]3,10上仅有一个零点.综上，()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.。

2021年新高考数学一轮专题复习第11讲-函数与方程(解析版)

又 f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，
根据零点存在性定理，可知函数 f(x)＝ln x＋x－2 有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.
1 x－2
1 x－2
(2)设 f(x)＝x3－ 2 ，则 x0 是函数 f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数 y＝x3 与 y＝ 2 的图
“点”，而是方程 f(x)＝0 的实根.
2.由函数 y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0，如图所示，所以 f(a)·f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
三、经典例题
考点一函数零点所在区间的判定
【例 1】 (1)设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)零点所在的区间为( )
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
考点三函数零点的应用
ex＋a，x≤0，
【例 3】 (1)已知函数 f(x)＝
(a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a 的取值
3x－1，x>0
范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－∞，1)
C.(－1，0)
D.[－1，0)
解得 a 1 或 a 1 或 a 7 ，
由图象可知 y x 与 y 1 x2 有 2 个交点，
即函数 f x x x2 1的零点有两个．
8．已知函数 f (x) x2 2x 1 ，若函数 g(x) f a x 1 k a x 1 4k （其中 a 1）有三个不同的零点，
则实数 k 的取值范围为（）
A．
1 5
,

高考一轮总复习函数与方程篇

高考一轮总复习函数与方程篇高考一轮总复习：函数与方程篇函数与方程是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试的重点之一。

在备战高考一轮总复习时，加强函数与方程的学习和理解，对于提升数学成绩至关重要。

本文将从函数和方程的基本概念、常见类型、解题方法以及应试技巧等方面进行论述，为广大考生提供复习的参考指导。

一、函数1.1 函数的定义函数是高中数学中的基础概念之一，通俗地说，函数就是输入一个值，通过一个规则，产生一个唯一的输出值。

在数学中，函数可以用符号语言来描述，即$f(x)$，其中$x$是自变量，$f$是函数关系。

1.2 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

了解函数的性质有助于解题和理解函数图像。

1.3 常见函数类型常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

不同类型的函数有着特定的图像和性质，需要考生熟练掌握。

1.4 函数的图像与变换了解函数的图像和变换规律，可以帮助考生更好地理解函数的性质和规律。

例如，函数的平移、翻折、伸缩等操作会对图像产生什么样的影响，考生需要牢记并运用于解题中。

二、方程2.1 方程的定义方程是含有未知数的等式，通过求解方程可以得到未知数的值。

在高中数学中，常见的方程类型有一次方程、二次方程、指数方程、对数方程等。

2.2 方程的解法不同类型的方程对应着不同的解题方法，如一次方程可用逆运算法和代入法解决，二次方程可用配方法、因式分解法、求根公式等解决。

了解各种类型方程的解法，并多做相关的习题，有助于考生在考试中灵活运用。

2.3 方程在问题中的应用方程在实际问题中的应用广泛，例如运动问题、几何问题等。

考生需要具备将实际问题转化为方程，并通过解方程得到问题的解的能力。

三、复习策略与应试技巧3.1 制定复习计划针对函数与方程篇的复习，考生可以制定合理的复习计划，合理安排每天的学习时间和内容，确保能够充分复习全面掌握。

3.2 多做习题做习题是学习函数与方程的重要环节，通过做题可以巩固知识点，熟悉解题方法。

2021届高三数学一轮复习——函数与方程专题训练

2021届高三数学一轮复习——函数与方程专题训练1．已知2是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋m )，x ≥2，2x ，x <2的一个零点，则f (f (4))的值是( ) A ．3B ．2C ．1D ．log 232．函数f (x )＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x －log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为正B ．等于0C ．恒为负D ．不大于04．(2020·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，|x 2＋2x |，x <0，若函数g (x )＝f (x )－a 有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a <0B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1 5．设f (x )是区间[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在区间[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)7．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( )A ．ln x ＝1－xB ．e x ＝1xC ．2－x 2＝lg |x |D ．cos x ＝|x |＋18．(多选)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |log 2x |，0<x ≤2，12log ⎝⎛⎭⎫x －32，x >2，若实数a ，b ，c 满足0<a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )．下列结论恒成立的是( )A ．ab ＝1B ．c －a ＝32C ．b 2－4ac <0D ．a ＋c <2b9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ＋1x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，若函数g (x )＝f (x )－mx 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．10．已知常数θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若函数 f (x )在R 上恒有f ⎝⎛⎭⎫－12＋3x ＝f ⎝⎛⎭⎫72＋3x ，且 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin πx ，－1≤x ≤1，log 2x 4，1<x <3，则函数y ＝f (x )－cos θ－1在区间[－5,14]上零点的个数是________．11．已知f ′(x )是函数f (x )(x ∈R )的导数，满足f ′(x )＝f (x )，且f (0)＝2，设函数g (x )＝f (x )－ln f 3(x )的一个零点为x 0，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)12．(2019·黑龙江牡丹江一中期末)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，函数g (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，g (x )＝lg x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．1213．(2020·重庆一中期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，|log 2 020x |，x >0，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )。

2021年高中数学一轮复习·函数与方程及函数模型：第1节函数与方程

第1节零点的概念【基础知识】1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点.（２）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.（３）函数的零点与方程根的关系函数的零点就是方程的根，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标．（４）三个等价关系(三者相互转化)提醒：函数的零点不是点，是方程的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数的图象与轴的交点的横坐标．２．二次函数的零点：１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.３．零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示．所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件．注意：①如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间上是一个单调函数，那么当·时，函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使.②如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有·，那么，函数在区间内不一定没有零点．③如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间内有零点时不一定有·，也可能有·.４.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤．注：函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点.注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.（５）用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题：①第一步中要使：(1)区间长度尽量小；(2)，的值比较容易计算且·.②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．③求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度，当区间长度小于精确度时，运算即告结束，此时区间内的任何一个值均符合要求，而我们通常取区间的一个端点值作为近似解．５．二次方程的实根分布及条件.①方程的两根中一根比大，另一根比小；②二次方程的两根都大于③二次方程在区间内有两根④二次方程在区间内只有一根，或(检验)或(检验)检验另一根若在内成立．注意：二次函数零点分布问题，即一元二次方程根的分布问题，解题的关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程．二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑．６．有关函数零点的重要结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点．(2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．(4)函数至多有个零点【规律技巧】1．函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.２．确定函数的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数在区间上的图象是否连续,再看是否有·.若有,则函数在区间内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.３．确定方程在区间上根的个数的方法(1)解方程法:当对应方程易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间上再判断.(2)数形结合法:通过画函数与的图象,观察其在区间上交点个数来判断.４．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且·，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令；(2)构造，；(3)作出图像；(4)由图像交点个数得出结论．５．应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．６．与方程根有关的计算和大小比较问题的解法数形结合法:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小.７．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数，，即把方程写成的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．【典例讲解】例1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【解析】(1)方法一∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．方法二令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．【探究提高】求解函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．【变式探究】函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)【答案】B例2、若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．【答案】4【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．【探究提高】对函数零点个数的判断方法：(1)结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；(2)利用函数图象交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．【变式探究】函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】因为f′(x)＝2x ln2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．【针对训练】1、已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，＋∞）【答案】C2、已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左至右依次交于四个不同点、、、，若，则实数的值为________．【答案】【练习巩固】1、方程的解的个数为（）(A)1(B)3(C)4(D)5【答案】B2、下列说法，正确的是（）A.对于函数，因为，所以函数在区间内必有零点B.对于函数，因为，所以函数在区间内没有零点C.对于函数，因为，所以函数在区间内必有零点D.对于函数，因为，所以函数在区间内有唯一零点【答案】C3、关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有零点得到；B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在内的零点；C．应用“二分法”求方程的近似解，在内有可能无零点；D．“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解；【答案】D综合点评：函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题.解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.4、方程的解所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【答案】A5、已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是()（A）（B）（C）（D）【答案】D6、定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．【答案】B7、设a为常数，试讨论方程的实根的个数.。

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第15讲：函数与方程一、课程标准1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．二、基础知识回顾1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．2、二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系4、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝12x－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A . 0B . 1C . 2D . 3 2、已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，4)D ．(4，5)3、设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)4、(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A ．ln x ＝1－x B ．e x＝1xC ．2－x 2＝lg|x |D ．cos x ＝|x |＋15、若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2，3)内有零点，则k ＝________．6、已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是______．7、(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________．四、例题选讲考点一判断零点所在的区间例1、（1）若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)（2）已知函数f(x)＝ln x －212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点为x 0，则x 0所在的区间是(C )A . (0，1)B . (1，2)C . (2，3)D . (3，4)（3）若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13变式： (1)已知函数f (x )＝1x －a 为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)（2）已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．（3）设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________.方法总结：确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.考点二判断零点的个数1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为变式1、（1）(2019·十堰调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3（2）(2020·惠州质检)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A.0B.1C.2D.3变式2、（1）(2019·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．（2）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是____；（3）若函数f (x )＝x －1x ，则函数g (x )＝f (4x )－x 的零点是_ __．方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.考点三与零点有关的参数的范围例3、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．变式1、（1）、(2019·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1]（2）、(2019·河北省九校第二次联考)若函数f (x )＝kx －|x －e －x |有两个正实数零点，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，1eC ．(0，1)D ．(0，e)变式2、若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是____________．方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象．考点四零点的综合运用例4、设函数f(x)＝||x x ＋2－ax 2(a ∈R )． (1)当a ＝2时，求函数y ＝f (x )的零点；(2)当a >0时，求证：函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点； (3)若函数y ＝f (x )有4个不同的零点，求实数a 的取值范围．变式：(2018镇江期末）已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x≤0，|ln x|，x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．方法总结：函数零点与二次函数的综合问题，主要考查函数零点、方程的根以及不等式的解法等基础知识和基本方法，考查推理论证和运算求解的能力．解决这类问题，一是用零点的定义转化为方程问题，二是利用零点存在定理转化为函数问题，三是利用数形结合的思想转化为图形问题．五、优化提升与真题演练1、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．7D ．02、(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A.－12B.13C.12D.13、【2019年浙江09】设a ，b ∈R ，函数f （x ）若函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b恰有3个零点，则（） A ．a ＜﹣1，b ＜0B ．a ＜﹣1，b ＞0C ．a ＞﹣1，b ＜0D ．a ＞﹣1，b ＞04、【2018年新课标1理科09】已知函数f （x ），g （x ）＝f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（） A ．[﹣1，0）B ．[0，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）5、若函数y ＝x ＋log 2(a －2x )＋2在R 上有零点，则实数a 的最小值为________.6、【2018年浙江15】已知λ∈R ，函数f （x ），当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是．7、(2017南通期末）已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝⎛⎭⎫12x ， x ≥2，则函数y＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．第15讲：函数与方程一、课程标准2．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．二、基础知识回顾1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．2、二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系4、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝12x－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A . 0B . 1C . 2D . 3 【答案】B【解析】 f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝12，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点．故选B . 2、已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，4) D ．(4，5)【答案】B【解析】B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.3、设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)【答案】B【解析】B ∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0， ∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1，2)．4、(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A ．ln x ＝1－xB ．e x＝1xC ．2－x 2＝lg|x |D ．cos x ＝|x |＋1【答案】ABD【解析】对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合；对于B ，设g (x )＝e x－1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝⎛⎭⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由函数零点存在定理可得e x＝1x 有唯一解，符合；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又H (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合；对于D ，因为cos x ∈[－1，1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时cos x ＝x －1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合．5、若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2，3)内有零点，则k ＝________．【答案】4【解析】因函数f (x )在区间(2，3)内递增，则f (2)f (3)<0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )<0，整理得(3－k )·(log 23＋3－k )<0，解得3<k <3＋log 23，而4<3＋log 23<5.因为k ∈Z ，所以k ＝4.6、已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】a≥94.【解析】函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，等价于函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上有一个零点，或两个零点(包括两个相等的零点)．①当函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上有一个零点时，由于f(0)＝2>0， ∴只需f(4)＝16－8a ＋2≤0，解得a≥94.7、(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________．【答案】－1 (0，1)【解析】解方程f (x 0)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，1x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 30＝－1，解得x 0＝－1.关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k ＜1时y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点．即k ∈(0，1)．四、例题选讲考点一判断零点所在的区间例1、（1）若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)（2）已知函数f(x)＝ln x －212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点为x 0，则x 0所在的区间是(C )A . (0，1)B . (1，2)C . (2，3)D . (3，4) （3）若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13【答案】（1） A （2）C. （3） C【解析】（1） ∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.(2)∵f (x )＝ln x －212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭在(0，＋∞)为增函数，又f (1)＝ln1－112⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ln1－2<0， f (2)＝ln2－012⎛⎫ ⎪⎝⎭<0，f (3)＝ln3－112⎛⎫ ⎪⎝⎭>0， ∴x 0∈(2，3)．（3）令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝x 13，。