离散数学课件2.2章节
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义与意义离散数学的定义离散数学在计算机科学中的应用1.2 离散数学的基本概念集合逻辑函数图论1.3 离散数学的研究方法形式化方法归纳法构造法第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念与运算集合的定义与表示方法集合的运算（并、交、差、补）2.2 逻辑基本概念命题与联结词逻辑推理规则（蕴涵、逆否、德摩根定律）2.3 命题逻辑与谓词逻辑命题逻辑的形式化表示与推理谓词逻辑的形式化表示与推理第三章：函数与图论3.1 函数的基本概念与性质函数的定义与表示方法函数的单调性、连续性、奇偶性3.2 图的基本概念与运算图的定义与表示方法图的运算（节点、边、路径、连通性）3.3 树的基本概念与应用树与图的关系树的结构性质与应用（二叉树、堆、平衡树）第四章：组合数学4.1 组合数学的基本概念排列组合的定义与公式组合数学的应用（计数原理、图论）4.2 组合数学的计算方法直接法、间接法、递推法、函数法4.3 组合数学在计算机科学中的应用算法设计与分析（动态规划、贪心算法）程序语言中的组合类型（类型系统、类型检查）第五章：数理逻辑与计算复杂性5.1 数理逻辑的基本概念命题逻辑的数学模型（布尔代数、逻辑函数）谓词逻辑的数学模型（一阶逻辑、描述逻辑）5.2 计算复杂性的基本概念与分类计算复杂性的定义与度量（时间复杂性、空间复杂性）计算复杂性的分类（P与NP问题、整数分解问题）5.3 离散数学在算法设计与分析中的应用算法设计与分析的基本原则离散数学在算法优化与分析中的作用第六章：关系与映射6.1 关系的基本概念关系的定义与性质关系的类型（对称性、传递性、反身性）6.2 关系的闭包与简化关系的闭包概念关系的简化与规范化6.3 函数与二元关系函数与关系的联系与区别二元组与二元关系的应用第七章：代数结构7.1 代数结构的基本概念群、环、域的定义与性质代数结构在计算机科学中的应用7.2 群与群作用群的定义与运算群作用与群同态7.3 环与域环的定义与性质域的特殊性质与应用第八章：数理逻辑与计算理论8.1 数理逻辑的进一步应用命题逻辑与谓词逻辑的推理规则数理逻辑在计算机科学中的应用8.2 计算理论的基本概念计算模型的定义与分类计算复杂性的理论基础8.3 离散数学在计算理论中的应用计算理论中的逻辑与证明离散数学在算法设计与分析中的作用第九章：组合设计与计数原理9.1 组合设计的基本概念组合设计的定义与类型组合设计在编码理论中的应用9.2 计数原理的基本概念鸽巢原理、包含-排除原理函数的方法与应用9.3 图论与网络流图的遍历与路径问题网络流与最优化问题第十章：离散数学的综合应用10.1 离散数学在计算机科学中的应用算法设计与分析数据结构与程序语言设计10.2 离散数学在数学与应用数学中的作用组合数学在概率论与数论中的应用图论在网络科学与社会网络分析中的应用10.3 离散数学在未来科技发展中的展望量子计算与离散数学与逻辑推理重点和难点解析重点环节一：集合的基本概念与运算集合的表示方法（列举法、描述法）集合的运算（并、交、差、补）重点环节二：逻辑基本概念与推理命题与联结词（且、或、非）逻辑推理规则（蕴涵、逆否、德摩根定律）重点环节三：函数的基本概念与性质函数的定义与表示方法函数的单调性、连续性、奇偶性重点环节四：图的基本概念与运算图的定义与表示方法图的运算（节点、边、路径、连通性）重点环节五：组合数学的基本概念与计数原理排列组合的定义与公式组合数学的应用（计数原理、图论）重点环节六：关系与映射关系的定义与性质关系的类型（对称性、传递性、反身性）重点环节七：代数结构的基本概念群、环、域的定义与性质代数结构在计算机科学中的应用重点环节八：数理逻辑与计算理论数理逻辑的推理规则计算理论的基本概念（计算模型、计算复杂性）重点环节九：组合设计与计数原理组合设计的定义与类型计数原理的应用（鸽巢原理、包含-排除原理）重点环节十：离散数学的综合应用离散数学在计算机科学中的应用（算法设计与分析、数据结构与程序语言设计）离散数学在数学与应用数学中的作用（组合数学在概率论与数论中的应用、图论在网络科学与社会网络分析中的应用）全文总结和概括：本《离散数学教案》课件涵盖了离散数学的基本概念、逻辑推理、函数与图论、组合数学、数理逻辑与计算理论、组合设计与计数原理等多个重要环节。
离散数学课件第2章
序,而集合中的元素是不讲顺序的。但是 为了将所有的 概念都统一于集合概念， 可采用克亚托斯基(Kazimierz Kurafowski)在1921年给出的定义 (a, b)={{a},{a, b}} 将二元组定义为比其元素高二层的集合； (4) 也可用二元组来递归的定义n元组如下： (a,b,c)=((a,b),c)
例9 .设 A={1,2,3} R1 ={(1,1),(2,2)} ， R2 ={(1,2),(2,1)} 。
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元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)： R(a)={b : bBaRb }B ； (2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。 定理.设R A×B是一个二元关系， A1 ,A2 A 。则 (1)保序性：A1 A2 R(A1) R(A2) ； (2)R(A1∪A2) = R(A1)∪R(A2) ； (3)R(A1∩A2) R(A1)∩R(A2) 。
例.设A={a,b,c,d}， A1 = {c,d} ， R={(a,a),(a,b),(b,c),(c,a),(d,c),(c,b)}。
17
§3 .关系的表示
关系的性质
一.关系表示法 1°关系的矩阵表示法 设关系RA×B ， 这里A,B是两个非空的有限集合， A={ a1,a2,a3,…,am } ， B={ b1,b2,b3,…,bn } 。 则 用一个m×n阶0—1矩阵MR来表示关系R， 称此矩 阵MR为关系R的关系矩阵(relation matrix)。 MR=(xij)m×n ，其中 1 当（ai,bj) R时 xij = ( i=1,…,m ； j=1,…,n) 0 当（ai,bj) R时
离散数学课件-第2章-3
2019/8/25
11
Primes (素数)
[ Definition 2 ] A positive integer p greater than 1 is called prime if the only positive factors of p are 1 and p. A positive integer that is greater than 1 and is not prime is
that do not exceed n equals the number of integers k with 0<dk≤n, or with 0<k ≤n/d.因为不超过n的正整 数中能被d整除的整数的个数等于能使0<dk≤n或0<k
≤n/d的整数k的个数
Therefore, there are n/d positive integers not
Solution: 11 = 3 (4) + 1
Quotient = 4 and Remainder = 1
2019/8/25
21
Greatest common divisor and least common multiple
最大公约数和最小公倍数
[ Definition 4 ] Let a and b be integers, not both zero. The largest integer d such that d∣a and d∣b is called the greatest common divisor of a and b .令a和b是不全为0的两个整数。能 使d|a和d|b的最大整数d称为a和b的最大公约数
called composite(大于1的正整数p称为素数，如果p仅有 的正因子是1和p。大于1又不是素数的正整数称为合数）.
离散数学关系完整ppt课件
因此A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 同理可证(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。
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11
(3) 对(x,y)∈A×(B-C)，有x∈A且y∈B-C，所以x∈A且 y∈B且yC。由x∈A且y∈B得(x,y)∈A×B，由y C 得(x,y) A×C，所以(x,y)∈(A×B)-(A×C)。因此 A×(B-C) ⊆(A×B)-(A×C)。
(B∪C)×A = (B×A)∪(C×A)。
(2) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)， (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)。
(3) A×(B -C) = (A×B)- (A×C)，
(B -C)×A = (B×A) - (C×A)。
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9
证明 (1) 对(x, y)∈A×(B∪C)，有x∈A 且 y∈B∪C，因此x∈A 且(y∈B 或y∈C)，当y ∈B 时，由x∈A 和y∈B 得(x, y)∈A×B，当 y∈C 时，由x∈A 和y∈C 得(x, y)∈A×C，所 以(x, y)∈(A×B)∪(A×C)，即A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A×C)。
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6
定理2.1 如果B1A1，B2A2，则 B1×B2 A1×A2。
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7
证明 对(x, y)∈B1×B2，有x∈B1 且y∈B2， 又因为B1 A1 ，B2 A2 ，则x∈A1 且 y∈A2，所以(x, y)∈A1×A2，即B1×B2
A1×A2。
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8
定理2.2 A, B, C 是任意集合，则： (1) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)，
离散数学图论2PPT教学课件
且走过所有结点，就是所谓的一笔画.
2020/12/11
6
（2）欧拉图或通路的判定 1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的
所有结点度数为偶数):(定理1) 2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇
数度的结点；(定理1的推论) 3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D
m
② mij degvi() j1
nm
nm
③ (m ij 1 ) (m ij 1 )m
2020/12i /11 1 j 1
i 1j 1
3
4．(有向图)邻接矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
A(D)= aij n
其中aij=邻接vi与vj的边的条数 (与A(G)类似) ( 以行和列均为结点)
aij
0
，表明vi是孤立点;
j1
i1
j1
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2
3．(有向图)关联矩阵
设D＝<V,E>, Vn,Em
M(D)= mij nm
1
其中 mij 0
vi为始,点 vj为终点
vi与vj不关联 (结点为行，边为列).
具有性质： 1 vi为终， 点vj为始点
n
① mij 0 (列元素之和为 0）； i1
二、图的矩阵表示、欧拉图
1．（无向图)
设G=<V,E>, Vn,Em M(G)= mij nm
其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点，列为边). 具有性质：
m
① mij 2(列元素之和为2)；
i1
m
② mij degv,(i若)
离散数学第2章ppt课件
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
离散数学(精选优秀)PPT
二、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻辑中，使 用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括起的数字表示命题。
例：P： 今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。
它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
离散数学的应用
◆关系型数据库的设计（关系代数） ◆表达式解析（树） ◆编译技术、程序设计语言（代数结构） ◆人工智能、自动推理、机器证明（数理逻辑） ◆网络路由算法（图论） ◆游戏中的人工智能算法（图论、树、博弈论） ◆专家系统（集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达） ◆软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划分） ◆(各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学的
第一章 命题逻辑
目标语言：就是表达判断的一些语言的汇集。 目标语言和一些符号公式构成了数理逻辑的形式 符号体系。
1-1 命题及其表示法
一、命题
1、定义 能表达判断的陈述句，称作命题（Proposition）。 例：判断下列语句是否为命题: (陈1)述地句球：外述存说在一智件事慧情生的物句。子，句末用句号。 (祈2)使1＋句1：=要10求。或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (句3)子今，天句下末雨用。句号或感叹号。 (疑4)问你句今：年提暑出假问去题的旅句行子吗，？句（末疑用问问号句。） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。 悖（：相悖反论。）悖论：自相矛盾的陈述。
各分支）
教材
左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海： 上海科学技术文献出版社,1982 主要参考教材: 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数 学．高等教育出版社，2002
离散数学 章节2 谓词逻辑56页PPT
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
《离散数学第2章》课件
关系的运算
总结词
关系的运算包括并、交、差、对称差两个关系的元素合并，并 保留重复的关联；交运算是保留两个关系中 共有的关联；差运算是从一个关系中去除另 一个关系中的关联；对称差运算是将两个关 系中的不同元素合并；复合运算是根据一个 关系来定义另一个关系中的关联。
01
分布函数是单调非减的，且在无 穷大处的极限为1，在负无穷处 的极限为0。
03
离散随机变量的分 布函数
对于离散随机变量，其分布函数 可以表示为一系列离散的阶梯函 数。
随机变量的数字特征
数学期望
数学期望是随机变量所有可能取值的 概率加权和，表示随机变量取值的平 均值。
协方差和相关系数
协方差是两个随机变量的数学期望的 差的期望值，相关系数是协方差与两 个随机变量标准差的乘积的比值。
随机变量的取值范围
随机变量的取值范围称为随机变量的值域，可以是有 限集、可数无穷集或不可数集。
随机变量的分类
根据取值范围的不同，离散随机变量可以分为离散型 和连续型。
随机变量的分布函数
01
分布函数的定义
对于离散随机变量，其分布函数 是所有可能取值的概率之和，表 示随机变量取某个值的概率。
02
分布函数的性质
必然事件
概率值为1的事件，表示一定会 发生。
不可能事件
概率值为0的事件，表示一定不 会发生。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
条件概率
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
条件概率的应用
在决策树、贝叶斯定理等领域有广泛应用。
独立性
01
事件的独立性是指一个事件的 发生不受另一个事件是否发生 的影响。
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第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学课件：第2章
第二章 一 阶 逻 辑
前两句在确知“小王”和“李老师”之后均是命题， 第三句因为含有变元所以是命题函数。但实际上我们知道， 只要将x、y限制在数的范围内，第三句是一个数学定理， 是真命题，这就涉及到了个体域，在这个个体域中命题函
数是真的，在那个个体域中又有可能是假的，这就需要对
变量作“量化”。例如，“x2-4=0”这句话不能确定其真伪， 因为我们不知道x的取值。如果在这句话之前加上“当x=1
第二章 一 阶 逻 辑
第二篇 集合论
2.1 一阶逻辑的基本概念
2.2 一阶逻辑公式及解释
2.3 等值演算和前束范式
2.4 一阶逻辑推理理论
2.5 进制例题选解 习题二
第二章 一 阶 逻 辑
在命题逻辑中，我们把命题分析到简单命题为止，而 简单命题是不再进行分析的基本元素，因此，当推理涉及 到简单命题的结构时，命题逻辑对此是无能为力的。例如 下面的推理： 所有的自然数都是实数，3是自然数。所以，3是实数。 根据数学方面的知识，我们知道这个推理是正确的。然而， 在命题逻辑中，这个推理的正确性是无法证明的，这是因 为上述推理中的三句话均是简单命题，且各不相同，如果 把它们形式化为命题逻辑中的公式，以p表“所有的自然数 都是实数”，以q表“3是自然数”，以r表“3是实数”， 则推理可以写为： (p∧q)r
第二章 一 阶 逻 辑
上面这些简单命题中，小王、2、3、5、6均是个体， “„„是学生”，“„„是素数”，“„„整除„„”， “„„位于„„与„„之间”均是谓词。前两个谓词描述 的是一个个体的性质，称为一元谓词； 第三个表示两个个 体之间的关系，称为二元谓词； 第四个表示三个个体之间 的关系，称为三元谓词。以此类推，我们将描述n(n≥2)个个 体之间关系的谓词称为n元谓词。通常用大写字母F、G、 H(可加下标)来表示谓词。如： F表示“„„是学生”； G表示“„„整除„„”； H表示“„„位于„„与„„之间”。
02离散数学课件资料
量
词 表示数量的词，分全称量词与存在量词。
：一切、所有的、任意的；
：存在着、有一个、至少有一个；
x：个体域中所有个体；
x：个体域中存在某个个体； xF(x)：个体域中所有个体具有性质F； xF(x)：个体域中存在着某个个体具有性质F。
将命题 “所有的人都是要死的”符号化
(个体域为人类集合）
为了在命题演算中，反映命题的内在联系， 常常要将简单命题分解成 个体词、谓词、量词 等，并对它们的形式结构及逻辑关系加以研究，总 结出正确的推理形式和规则，这就是本章一阶逻辑
要研究的内容。
第二章
一阶逻辑
§2.1 一阶逻辑基本概念 §2.2 一阶逻辑合式公式及解释 §2.3 一阶逻辑等值式及前束范式
5.多个量词同时出现时，不能随意颠倒顺序;
例:
对于任意的x, 存在y,使得x+y=5,
取个体域为实数集合,该如何符号化? x y H(x，y) , 其中H(x，y) : x+y=5
量词颠倒顺序成立吗?
例2.在谓词逻辑中将下列命题符号化 (1) 对所有的x，均有x2–1=(x+1)(x–1) (个体域为自然数集) (2) 存在x,使得x+5=2 (个体域为自然数集) (3) 凡偶数均能被2整除 (4) 存在着偶素数 (5) 没有不犯错误的人 (6) 在北京工作的人未必都是北京人
(8) 每个自然数都有后继数
解：F(x)：x自然数 H(x，y)：y是x的后继数
符号化：x(F(x) y (F(y) H(x，y)) 或： x(F(x) y (F(y) H(x，y)))
(9) 有的自然数无先驱数
解：F(x)：x是自然数 ，H(x，y)：y是x的先驱数 符号化：x(F(x) y(F(y) H(x，y))) 或：x(F(x)y(F(y) H(x，y)) (10) 有的有理数是整数 (个体域为实数集) 解： F(x)：x是有理数，G(x)：x是整数 符号化：x(F(x) G(x)) (11) 每个人都有一些缺点。 解：F(x,y)：x都有y，M(x)：x是人，G(y)：y是缺点 符号化： (x) (M(x)(y) (G(y)F(x,y)))
离散数学第二章课件
2013/9/12
离散数学
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关系图举例
• 例：设A={1,2,3,4,5} , R={<1,1>,<1,2>,<3,2>,<1,4>,<5,4>,<5,1>}, 则，R的关系图GR如下：
1
5 4
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2 3
离散数学 16
下面关系图有什么性质
a b c a b d c b a c
(a)
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离散数学
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二元关系的性质的举例1
• 数值之间的相等关系“=” 对任意的x,y,z∈R(实数集),由“=”的性 质得: 对每一个x∈R ，x=x，∴ “=”是 自反的；若x=y,必有y=x,因此“=”是对 称的； 若x=y,y=x,必有x=y,因此“=”是 反对称的； 若x=y,y=z,必有x=z,因此“=” 是传递的；
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• 定理2.2.1: 设R是A到B的关系,S是B到C的关系,T是C到D的关 系,则 ( R S ) T R (S T )
证明： 同理可证 R (S T ) ( R S ) T
于是有：( R S ) T R (S T )
2013/9/12
2013/9/12
离散数学
2
关系及其表示
特别地： (1)若R= A×B,称R为全关系。 (2)若A=B,则称R为集合A上的二元关系。 设:|A|=n,则|A×A|=n2,于是,A上所有不同的二 n2 n2 元关系共有2 。（|(A×A)|= 2 ） 其中大多数关系没什么意义，我们关心的是 具有一定性质的关系。
7
反对称性的讨论：
在反对称性定义中，对任意x,y ∈A， 若xRy 且yRx ,则x=y， 就称R是反对称的。 xRy 且yRx是条件； x=y是结论，在这里， 只要条件不成立，关系R就是反对称的。 当条件成立时，R是否是反对称的，要视 结论的真假而定。[例如]
离散数学第二章课件
河南工业大学离散数学课程组
结论
F(x, y)：x是y的父亲
1.谓词中客体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如命题F(b, c)为‚真‛，但命题F(c, b)为‚假‛； 2.具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的，前 者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确 定的。如上例中S(x)：x是一个三好学生， a为王童， S(a)是有真值的，但S(x)却没有真值。 3.一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的客 体变元都用具体的客体取代后，就成为一个命题。 而且，客体变元取不同的值对是否成为命题及命题 的真值有很大的影响。
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河南工业大学离散数学课程组 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 逻辑学中著名的三段论方法，是由一个大前 提，一个小前提推出结论的方法。这方面的例 子如： 著名的苏格拉底三段论： 显然这是正确的推理，但在命题逻辑中却 苏格拉底（前469-前399） 无法得到证明，因为三段论的每句话都 古希腊唯心主义哲学家。 是一个原子命题，我们可分别用P，Q， 出现问题的原因 R来表示。这样，三段论方法用形式符号 在于，三段论中， 表示应为 P∧Q R 结论R与前提P， 但在命题逻辑里， P∧Q→R显然不是重言 Q的内在联系不 式。 可能在命题逻辑 命题演算的局限性: 不能反映命题之间的内在 中表示出来。 联系,即不能将命题分解开。
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河南工业大学离散数学课程组
2-2 命题函数与量词
一、命题函数 1、命题函数 单独一个谓词不是命题,例如设A:…是大学生,不是 命题, 只有当这个谓词后面紧跟一个具体客体后才是 命题,如A(张三)是一个命题。 设L(x, y): x小于y, 则L(2, 3)表示‚2小于3” 是真命题, 而L(5, 1)表示‚5小于1”是假命题。 上例中当x,y是客体变元时,谓词L(x,y)不是命题。 设P(x)表示‚x是大学生‛, 当x取特定的客体即客体常量时,则P(x)是命题, 而当x可在一定的范围任意取值, 则P(x)不是命 题，称为命题函数。
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2.2 命题逻辑等值演算
内容提要:
等值式与基本等值式
联结词完备集(自学)
基本要求:
基本等值式及置换规则进行等值演算 熟练运用
熟练运用基本等值式及置换规则进行
2.2.1 等值式与等值演算
本节重点本节重点、、难点难点（（加*号表示号表示））
基本概念
等值式等值式，，基本等值式基本等值式，，
基本理论
置换规则
基本问题
*等值演算(用等值演算法验证等值式) 用等值演算判断命题公式的类型
一、等值的概念
例2-12构造命题公式¬（p ∨q ）和¬p ∧¬q 的真值表的真值表。
由上表中可以看出由上表中可以看出：：对于p 、q 的任一组赋值的任一组赋值，，¬(p ∨q)与¬p ∧¬q 都有相同的真值都有相同的真值。
在这种情况下称两个命题公式等值。
定义 2.1 设A 、B 为命题公式为命题公式，，如果A ↔B 为重言式重言式，，则称A 与B 是等值的，记作A ⇔B 。
注意注意：：⇔不是联结词不是联结词，，不要将⇔与“↔”和“=”相混淆相混淆。
例如例如，，¬(p ∨q) ⇔¬p ∧¬q
一、等值的概念
二、基本等值式（P49~50）
1．双重否定律 A ⇔¬¬A
2．等幂律 A ⇔A∨A A ⇔A∧A
3．交换律A∨B ⇔B∨A A∧B ⇔B∧A
4．结合律(A∨B)∨C ⇔A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔A∧(B∧C) 5．分配律A∨(B∧C）⇔(A∨B)∧(A∨C)
A∧(B∨C) ⇔(A∧B)∨(A∧C)
6．德摩根律¬(A∨B) ⇔¬A∧¬B ¬(A∧B) ⇔¬A∨¬B 7．吸收律A∨(A∧B) ⇔A A∧(A∨B) ⇔A
8．零律A∨1 ⇔1 A∧0 ⇔0
9．同一律A∨0 ⇔A A∧1 ⇔A
10．排中律A∨¬A ⇔1
11．矛盾律A∧¬A ⇔0
12．蕴涵等值式A→B ⇔¬A∨B
13．等价等值式A↔B ⇔(A→B)∧(B→A)
14．假言易位A→B ⇔¬B→¬A
15．等价否定等值式A↔B ⇔¬A↔¬B
16．归谬论(A→B)∧(A→¬B) ⇔¬A
例2-13用真值表法验证吸收律
A ∨(A ∧B) ⇔A, A ∧(A ∨B) ⇔A 解:列出p ∨(p ∧q) 和p ∧(p ∨q)的真值表:
01
10011011100
01
00011011p ∧(p ∨q)p ∨(p ∧q)p ∨q p ∧q p q 由上表可知, 吸收律成立吸收律成立。
由已知的等值式由已知的等值式，，推演出另一些等值式的过程称为等值演算。
设Φ(A )是含公式A 的命题公式的命题公式，，Φ(B )是用公式B 置换Φ(A )中所有的A 得到的得到的命题公式命题公式命题公式，，若B ⇔A ，则Φ(B )⇔Φ(A )。
三、等值演算和置换规则置换规则置换规则：：
证：(p→q)→(q∨r)
⇔(¬p∨q)→(q∨r) 置换规则
置换规则，，蕴涵等值式⇔¬(¬p∨q)∨(q∨r) 置换规则
置换规则，，蕴涵等值式⇔(p∧¬q)∨(q∨r) 置换规则
置换规则，，德摩根律⇔(q∨r)∨(p∧¬q) 置换规则
置换规则，，交换律⇔(q∨r∨p)∧(q∨r∨¬q) 置换规则
置换规则，，分配律⇔(p∨q∨r)∧(¬q∨q∨r) 置换规则
置换规则，，交换律⇔(p∨q∨r)∧((¬q∨q)∨r) 置换规则
置换规则，，结合律⇔(p∨q∨r)∧(1∨r) 置换规则
置换规则，，排中律⇔(p∨q∨r)∧1 置换规则
置换规则，，零律
⇔p∨q∨r 置换规则
置换规则，，同一律
例2-14证明(p→q)→(q∨r) ⇔p∨q∨r
例2-14证明p∨(p∧q) ⇔p
证：p∨(p∧q)
⇔(p∧1)∨(p∧q) 同一律
⇔(p∧(q∨¬q))∨(p∧q) 排中律
⇔(p∧q)∨(p∧¬q)∨(p∧q) 分配律
⇔(p∧q)∨(p∧¬q) 幂等律
⇔p∧(q∨¬q) 分配律(反用)⇔p∧1排中律
⇔p 同一律
练习:试证p→q ⇔¬q→¬p
⇔¬p∨q 蕴涵等值式
⇔¬p∨¬¬q 双重否定律
⇔¬(¬q)∨¬p 交换律
⇔¬q→¬p 蕴涵等值式说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些
四、等值演算的应用
1. 利用等值演算验证两个公式是否等值
式(p∨q ) →r ⇔(p→r) ∧(q→r) 验证等值式
例2-15验证等值
证：(p∨q ) →r
⇔¬(p∨q ) ∨r 蕴涵等值式
⇔(¬p ∧¬q) ∨r 德摩根律
⇔(¬p ∨r ) ∧(¬q ∨r)分配律
⇔(p→r) ∧(q→r) 蕴涵等值式
2. 利用等值演算判断命题公式的类型
利用等值演算可将命题公式变形或化简利用等值演算可将命题公式变形或化简，，一般的做法是将公式化为只含¬、∧、∨三种联结词的公式，使之比较容易看出其成真赋值和成假赋值, 进而可知命题公式的类型进而可知命题公式的类型。
如果命题公式化简的结果是1，则该公式是重言式则该公式是重言式；；结果是0，则该公式是矛盾式则该公式是矛盾式。
四、等值演算的应用
例2-16判断命题公式(p→q) ∧¬q→¬p的类型
解：(p→q) ∧¬q→¬p
⇔(¬p∨q) ∧¬q→¬p
⇔((¬p∨q) ∧¬q)→¬p
⇔¬((¬p∨q) ∧¬q)∨¬p
⇔(¬(¬p∨q) ∨q)∨¬p ⇔((p∧¬q) ∨q)∨¬p
⇔((p∨q)∧(¬q∨q)) ∨¬p ⇔((p∨q)∧1) ∨¬p
⇔(p∨q)∨¬p ⇔(p∨¬p)∨q
⇔1∨q ⇔1。
所以原式为重言式
所以原式为重言式。
解：p ∧(((p ∨q)∧¬p)→q)
⇔p ∧(((p ∧¬p )∨(q ∧¬p ))→q)
⇔p ∧((0∨(q ∧¬p))→q)
⇔p ∧((q ∧¬p )→q)
⇔p ∧(¬(q ∧¬p)∨q)
⇔p ∧(¬q ∨p ∨q)
⇔p ∧1
⇔p
因p 可取1或0，故原式为可满足式故原式为可满足式。
易知易知，，01，00是原式的成假赋值式的成假赋值，，而10，11是原式的成真赋值是原式的成真赋值。
例2-17判断命题公式p ∧(((p ∨q) ∧¬p)→q)的类型
作业
P80. 2.12
P81. 2.15, 2.18, 2.20 , 2.21 P82. 2.25(自学)。