2013年中考复习之平面直角坐标系

2013年中考复习之平面直角坐标系
知识考点：
1、理解直角坐标系的概念，坐标的意义，掌握坐标轴上的点和各象限内的点的坐标特征。

2、掌握关于x 轴、y 轴、原点对称的点以及两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征。

3、会利用数形结合思想，结合解直角三角形的知识解决有关求点的坐标问题。

精典例题：
【例1】若点A （1+a ，2-b ）与点B （4，－2）关于原点对称，则点C （a ，b ）到y 轴的距离为 。

分析：由关于原点对称的点的坐标关系：横纵坐标互为相反数，求出a 、b 的值，再由点到y 轴的距离是该点横坐标的绝对值得解。

略证：易得C （－5，4），距离为5。

【例2】若点P （22-m ，m ）在第四象限的角平分线上，则点（m ，1
-m ）关于y
轴的对称点坐标是 。

解析：由题意有：0)2(2
=+-m m ，解得21-=m ，12=m （舍） ∴点P （2，－2），点（2，21-）关于y 轴对称点的坐标是（－2，2
1
-） 答案：（－2，2
1
-
） 评注：一、三象限夹角平分线上的点横、纵坐标相等，二、四象限夹角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

关于x 轴（y 轴）的对称点是横（纵）坐标相同，纵（横）坐标互为相反数。

【例3】已知点M （3，－2）与点M '（x ，y ）在同一条平行于x 轴的直线上，且M '到y 轴的距离等于4，那么点M '的坐标是（ ）
A 、（4，2）或（4，－2）
B 、（4，－2）或（－4，－2）
C 、（4，－2）或（－5，－2）
D 、（4，－2）或（－1，－2） 解析：易知：2-=y ，x ＝4或－4
答案：B
评注：平行于x 轴（y 轴）直线上所有点的纵坐标（横坐标）相同。

【例4】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，将矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，AB 与x 轴正方向成300的角，求点B 、C 的坐标。

解析：作BE ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，BG ⊥CF 。

OE ＝ABcos300＝32，EB ＝2，所以B
点坐标为B （32，2）。

设AB 与CF 交于点H ，∠BCH ＝300，BG ＝
23，CG ＝233，OF ＝2
3
32-，FC ＝2
3
32+。

答案：B （32，2），C （2
3
32-
，2332+）
探索与创新：
【问题】A 、B 两村在河边的同旁，以河边为x 轴建立直角坐标系，则A 、B 两村对应的坐标分别是A （－1，1），B （3，3）。

现要在河边P 点处修建一个水泵站，分别向A 、B 两村送水，P 点选择在什么地方，才可使所用的水管最短？试求出P 点的坐标及所需水管的长度。

解析：先找出A （－1，1）关于x 轴的对称点A '（－1，－1），连结B A '，因B （3，3）知点A '、B 在一、三象限夹角的平分线上，故原点O 即为选择之P 点。

又过A '、B
两点分别作x 轴、y 轴的平行线交于点C ，在Rt △BC A '中利用勾股定理可求所需水管的长度。

答案：P （0，0），需水管的长24。

评注：本题应用了对称思想以及两点之间线段最短的知识，这是求最短线时的常用方法。

跟踪训练： 一、选择题：
1、如果点P 既在x 轴下方，又在y 轴右侧，且距x 轴、y 轴的距离分别是a
2、a 3，那么点P 的坐标是（ ） A 、（a 2，a 3-） B 、（a 3，a 2-） C 、（a 2-，a 3） D 、（a 3-，a 2） 2、已知点P （42-a ，2
7a -）在第二象限的角平分线上，则a 等于（ ）
A 、3
B 、3或－1
C 、－1
D 、321±-
3、如图，将□ABCD 对角线交点与直角坐标系的原点重合，点A 与点B 的坐标分别是
（－2，－1），（2
1
，－1），则点C 和点D 的坐标分别为（
A 、（2，1）和（21-
，1） B 、（2，－1）和（21
-，－1） C 、（－2，1）和（21，1） D 、（－1，－2）和（－1，2
1
-4、在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别是（3，0），（0，4），Rt △ABO 内心的坐标是（ ）
A 、（
27，27） B 、（23，2） C 、（1，1） D 、（2
3
，1） 二、填空题：
1、若点（2
4a -，1-a ）在y 轴负半轴上，则a ＝ 。

2、已知点P （93-a ，a -1）是第三象限的点，且横、纵坐标均为整数，若P 、Q 关于
原点对称，则Q 点坐标是 。

3、已知点P 1（1-a ，5）和点P 2（2，1-b ）关于x 轴对称，则2003
)
(b a +＝ 。

4、已知A （0，3），B （0，－1）两点，分别以A 、B 为圆心的两圆相交于M （－2，1-a ）和N （a b 22-，1），则a
b 的值为 。

5、如图，相交于点P （5，5）的互相垂直的直线1l 和2l 与x 轴和y 轴相交于点A 和B ，则四边形OAPB 的面积是 。

第6题图
6、如图，已知边长为2的正方形OABC 在直角坐标系中，B 、C 两点在第二象限内，OA
与x 轴正方向的夹角为600，那么B 点坐标为 。

三、解答题：
1、已知第一象限内的点P （a ，b ）到原点的距离为10，且a 、b 是方程
0632=++-m mx x 的两根。

求m 的值和P 点的坐标。

2、已知如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），∠OAB ＝600，以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标。

第2题图
第3题图
3、如图，在直角坐标系中，过点C （3，6）分别作x 轴和y 轴的垂线CB 和CA ，垂
足为B 和A ，若点P 从O 沿OB 向点B 以1个单位长度／秒的速度运动，点Q 从B 沿BC 向点C 以2个单位长度／秒的速度运动。

如果P 、Q 分别从O 、B 同时出发，试求：
（1）经过多少时间，△PBQ 的面积等于2个平方单位；
（2）线段PQ 与AB 能否垂直？若能垂直，求出此时点Q 的坐标；若不能，请说明理由。

参考答案
一、选择题：BCAC 二、填空题：
1、－2；
2、（3，1）；
3、－1；
4、9；
5、25；
6、（31-，31+） 三、解答题：
1、14=m ，P （6，8）或（8，6）
2、D （
323，2
3-） 3、（1）1秒或2秒；（2）能，Q （3，
5
6
）。