高等数学第一章第5-8节

§1.5 函数的极限
一、数列的极限 二、函数的极限
1
一、数列的极限 1、引例 截丈问题
1 2
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”.
第一天截下的杖长为 X 1 ;
1 2 1 2
2
第二天截下的杖长总和 为 X 2
;

1 2
n

第 n天截下的杖长总和为 X n
X n 1
1 2

1 2
2

1 2
n
;
1.
2
2、数列
定义 1 如果按照某个法则，可以得到一列有序数：
a1 , a2 , , a n ,
称为通项(一般项).数列(1)记为 {an } .
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项, an
n
例如
2,4,8, ,2 , ;
1 1 1 1 , , , , n ,; 2 4 8 2

x0

o
x0
10
x
2、
时函数 f ( x ) 的极限
sin x x 无限接近于 0.
当 x 绝对值无限增大时 , f ( x )
定义6 设函数 f (x ) 和常数 A ，当x 时,
f ( x )无限趋于 A, 则称 A为
x 时函数 f (x) 的极限,
记作 或 例如
lim f ( x ) A
x
f ( x ) A ( x )
lim
1 x
2
x
0,
下面给出函数极限的精确定义
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定义7 X语言） （
设 f ( x )当 x 大于某一正数时有意义 ，
0 无论多么小）, 总 X 0, 使当 x X时,. （
恒有 f ( x) A ,
{2 }.
{ 1 2
n
n
}.
1,1,1, , ( 1)
n 1
, ;
{( 1)n1 }.
1 4 n ( 1) n 1 n ( 1) n1 2, , , , ,; { }. 2 3 n n
3
3、数列的极限 例如
数列 {1
数列 { 1
n
( 1) n
n 1
}当 n 时趋于 1；
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例如 数列 {1 则称 {1 的极限.
( 1) n
n 1
( 1) n 1 n
} 当 n 时趋于 1, ( 1) n 1 n }
} 收敛于1，或称1是数列 {1
数列极限的精确定义
定义 3 ( N语言）
设有数列 {a n }及常数 a , 0 无论多么小）, （
x ( x0 , x0 ) ( x x0 ),.
就有 f ( x ) ( A , A ).
A A A
x0
y
y f ( x)
当 x 在 x 0的去心 邻 域时 , 函数 y f ( x ) 图形完全落在以直 线 y A 为中心线 , 宽为 2的带形区域内 .
f ( x) A ,
则称 A叫做 f ( x )当 x x0的极限， 或当 x x0时, f ( x )以 A
为极限 , 记作
x x0
lim f ( x ) A ，
或
几点说明
f ( x ) A( x x 0 ) .
（）函数的极限与 f ( x )在 x0点有无定义无关； 1
则称常数 A叫做 f ( x )当 x 时的极限，记作
lim f ( x ) A，
或
x
f ( x ) A( x ) .
几何解释:
f ( x) A A f ( x) A ,
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0, 可找到 X X ( ) 0(不唯一 )，当 x X时，
x x0
说明 1 ）如果 f ( x0 0)及 f ( x0 0) 有一个不存在，
或者即使存在 但不相等，则 f ( x )在点 x 0均无极限 .
2 ）左右极限是判别极限 是否存在较好方法之一14 .
例4
设函数 x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
x0
x 0， x 0， x 0，
讨论 lim f ( x ) 存在性 .
解： lim f ( x ) lim ( x 1) 1 ，
x 0
x0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1，
x 0
显然
f ( 0 0) f ( 0 0) ,
f ( x )的值就落在 ( A , A )内.
y
A
sin x x
X

X
当 x X 或 x X 时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线 y A 为中心线 , 宽为 2的带形区域内 .
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3、函数极限的其它情况
（1）左极限与右极限
左极限 记作 lim f ( x ) A ， 或
定义2
2 设有数列 {a n }及常数 a , 若当 n 无限增大时，
} 当 n 时趋于 0.
a n 无限趋于常数 a , 则称 a 为数列 {a n }的极限。也称数列 {a n }收敛于 a , 记作
lim a n a ,
n
或
a n a ( n ),
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
性质2
性质3
有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
1 x
例1 求极限 lim x sin . x 0 解 因为 sin
1 x 1, 所以 sin
1 x
是有界函数，
又当 x 0时，x是无穷小量， 所以由性质3知，
lim x sin
x 0
1 x
0.
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二、 无穷大量的概念与性质 1、 无穷大量的概念
例如
则称
lim
x 3
1 x 3
,
1 x 3
就是当 x 3时的无穷大量 .
一般地：
定义 2 若 lim f ( x ) , 则称 f ( x )为当
x x
时的无穷大量 .
如
lim
x 1
2 x 1
；
lim ( 2 x 3) .
x x0
lim f ( x ) A
或
例如
f ( x ) A ( x x0 )
x x0
x x0
lim x x 0
lim C C .
下面给出函数极限的精确定义
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定义5 ( 语言 )
设 f ( x )在 x0点某去心邻域内有定义 ， A为一常数，
0, 总 0, 使当 0 x x0 时, 恒有
二、函数的极限
1、 时函数 f ( x ) 的极限
例 如 f ( x ) x 1,当 x 1时， f ( x ) 2, 则称 当 x 1时，
f ( x )以2为极限，记作
lim f ( x ) lim( x 1) 2.
x 1 x 1
再如 lim
x 1
x 2 1 x 1
lim q n 0 . 例1 当 q 1时, n
例2 lim( 1 n 2 1) 1. n 例3 lim 2 . n
n
1
可以证明 6 对于数列 { a n },若 lim a 2 k lim a 2 k 1 a , 则 lim a n a . k k n
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（2 x x 0的方式是任意的； ）
(3) 几何意义 f ( x ) A A f ( x ) A ,
0 x x0 x0 x x0 ( x x 0 ).
定义可叙述为 0(无论多么小 )，总存在 0, 只要
x x
的极限,有结论
定理 2 lim f ( x ) A lim f ( x ) A 且 lim f ( x ) A .
x
x
x
17
例6 求极限 lim e .
x
x
解
因为 lim e
x x x
x
0,
lim e
x 1
x 1
f (1 0) lim f ( x ) lim e
x 1

1
( x 1) 2
x 1
0.
(2) 由 f (1 0) f (1 0) ,即 2 a 0.
所以当 a 2 时,极限 lim f ( x ) 0.
x 1
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(2) lim f ( x )与 lim f ( x )
总存在正整数 N , 当 n N时， 恒有 a n a ,
则称 a是{a n }的极限，或称 {a n }收敛于 a , 记作
lim a n a ,
n
或
a n a ( n ).
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数列极限的几何意义
a x N 1
(
x N 2
a
)
如果a是{a n }的极限 , 则任给 a 的一个 邻域， 总存在N 当n大于N的所有 a n 项都在此邻域里.
x x0 0 ( x x0 )
f ( x 0 0 ) A.
f ( x 0 0 ) A.
右极限 记作 lim f ( x ) A ， 或
x x0 0 ( x x0 )
定理 1 : lim f ( x ) A f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ) A .