南昌市2017届高考第二次模拟冲刺数学文科试题(三)含答案

南昌市十所省重点中学2017年二模突破冲刺交流卷（03）高三文科数学2017.3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合{}0)3)(32(<-+∈=x x Z x A ，{}x y x B ln 1-==，则=B A （ ）A ．(]e ,0B ．{}e ,0C ．{}2,1D ．)2,1(2．已知复数z 满足i zi21211+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4B ．i 4C ．4-D ．i 4-3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ）A ．40B ．36C ．30D ．244．设5sinπ=a ，3log2=b ，3241⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（ ） A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m ∥n 的一个充分不必要条件是（ ）A ． m ⊥α，n ⊥β，α∥βB ．m ∥α，n ∥β，α∥βC ． m ∥α，n ⊥β，α⊥βD ．m ⊥α，n ⊥β，α⊥β7．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如左下程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.151（第7题图） （第8题图）8．某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为( )A ．32 B ．34 C ．2 D ．38 9．函数)3sin(2)(ϕ+=x x f 的图像向右平移动12π个单位，得到的图像关于y 轴对称，则||ϕ的最小值为（ ）A ．12π B ．4π C ．3πD ．125π 10．若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N +∈），则在122017,,,S S S 中，值为零的个数是（ ）A ．143B ．144C ．287D ．28811．设R m ∈，实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥.0623,0632,y x y x m y ，若182≤+y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．33m -≤≤B ．66m -≤≤C ．36m -≤≤D ．60m -≤≤12．设函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧=x e x x x x f 2,ln min )(（{}b a ,m in 表示b a ,中的较小者），则函数)(x f 的最大值为( )A ． 24eB ．2ln 2C ．e1D ．2ln 23二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点和点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点M 坐标为(-，则tan()4πα+= ．14．在菱形ABCD 中，60,2=∠=A AB ,M 为BC 中点，则=⋅ ．15．已知21,F F 分别是双曲线14922=-y x 的左、右焦点，A 为双曲线右支上一点，且12OP OA OF =+，22OQ OA OF =+,= ________．16．如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中,A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，且B Bsin 32cos 22=，3a c = （1）分别求角B 和tan C 的值； （2）若1b =，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m 3）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2017年1月某日某省x 个监测点数据统计如下：（单位：（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x ，y 的值，并完成频率分布直方图；（2）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本小题满分12分）四棱柱1111D C B A ABC D -中，底面ABCD 为正方形，211===D A AA AD ,H 为AD 中点，且BD H A ⊥1．（1）证明1AA AB ⊥；（2）求点C 到平面BD A 1的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为33，联接椭圆四个顶点的四边形面积为62． （1）求椭圆C 的方程；（2）B A 、是椭圆的左右顶点，),(P P y x P 是椭圆上任意一点，椭圆在P 点处的切线与过B A 、且与x 轴垂直的直线分别交于D C 、两点，直线BC AD 、交于),(Q Q y x Q ,是否存在实数λ，使Q P x x λ=恒成立，并说明理由．（μg/m 3）21．（本小题满分12分）已知函数()ln af x x b x=-+，其中,a b R ∈且2a >，若(2)ln 212ef =-+，()f x 在(1,(1))f 处切线的斜率为1e --． （1）求函数()f x 的解析式及其单调区间；（2）若实数,c d 满足cd λ=，且()()f c f d <对于任意c d >恒成立，求实数λ的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为)(sin 4cos 3为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=y x ．以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线3)cos (sin 2=-θθρk C ：，k 为实数． （1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线2C 上，从点P 向1C 作切线，切线长的最小值为22，求实数k 的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)92ln()(-++-=a x x x f ． （1）当3=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．132 14．1- 15．3 16三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解：（1）22cos 2BB =，1cos B B ∴+=1cos )12B B ∴-= 即：1sin()62B π-= 所以66B ππ-=或56π（舍），即3B π=…………………………………………………………3分3a c =，根据正弦定理可得：sin 3sin A C =sin()sin B C A +=,∴sin()3sin 3C C π+=5sin 2C C =tan C ∴=………………………………………………………………………………………6分（2）3B π=∴1sin 2B B == 根据余弦定理及题设可得：2222cos 131cos 2b a c ac B b a cB ⎧=+-⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩解得：773,77==a c …………………………………………9分∴11sin 2277228ABC S ac B ∆===………………………………………………12分18．解：（1）150.00350100x x⨯=∴=15401010035y y +++=∴=……………………2分由于400.00810050=⨯，350.00710050=⨯，100.00210050=⨯，则频率分布直方图如右图所示，…………………5分（2）设A 市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为 1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5, 从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种，……………………………… 8分其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为 (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种，…………………………………………………10分所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是7()10P A =．……………………………… 12分 19．解：（1）等边AD A 1∆中, H 为AD 中点,∴AD H A ⊥1又BD H A ⊥1,且D BD AD =ABCD H A 面⊥∴1AB H A ⊥∴1……………………………………………………3分在正方形ABCD 中，AB AD ⊥（3/g m μH AD H A = 1 11A ADD AB 面⊥∴∴1AA AB ⊥……………………………………………………6分(2) BD A 1∆中，22,22,211===B A BD D A ,71=∴∆BD A S由(1)知, ABCD H A 面⊥13323111=⨯=∴-H A s V BCD BCD A ……………………………………………………9分 等体积法可得3327313111=⨯=⨯=∴-d d s V BD A BD A C 点C 到平面BD A 1的距离为7212=d ．…………………………………………………12分 20．解：（1）由题意33==a c e ，622=ab 解得2,3==b a ，故椭圆C 的方程为12322=+y x ．……………………………4分 （2）设切线方程为m kx y +=，与椭圆联立消元得0636)32(222=-+++m kmx x k相切，0)63)(32(4362222=-+-=∆∴m k m k化简得2232k m +=…………………………………………………6分 且mkk km x P 3)32(262-=+-=………………………………………8分 又直线AD 方程为)3(323++=x km y直线BC 方程为)3(323---=x km y解得3Q kx m=-……………………………………………………10分 ∴存在1λ=，使Q P x x λ=恒成立．………………………………12分21．解：1）由于2a >且(2)ln 212e f =-+，则122a eb +=+， 当1x =时，()ln a f x x b x =-+，即21'()a f x x x=--，故'(1)11f a e =--=--，即a e =，1b =， 因此()ln 1ef x x x=-+．………………………………………………………………………………3分令()ln e g x x x =-，则21'()0eg x x x=+>，即()g x 在(0,)+∞上单调递增， 由于()0g e =，则0,ln 1()ln 1,ln 1e x e x e xf x x e x x e x x ⎧<<-+⎪⎪=-+=⎨⎪>-+⎪⎩，故当0x e <<时，()ln 1ef x x x =-+，'()'()0f x g x =-<，()f x 单调递减； 当x e >时，()ln 1ef x x x=-+，'()'()0f x g x =>，()f x 单调递增．因此()f x 的单调递减区间为(0,)e ，()f x 的单调递增区间为(,)e +∞．…………………………6分（2）当2(,)λe ∈+∞时，取d e =，则λc e d=>， 由于()f x 在(,)e +∞上单调递增，则()()f d f c <，不合题意，故舍去；………………………8分当2(0,]λe ∈时，由抽屉原理可知d e <≤，则()ln 1ef d d d=-+， 若c e ≤，由于()f x 在(0,)e 上单调递减，则()()f c f d <成立；若c e >，λc d =，则()ln 1ln ln 1e edf d c λd c λ=-+=--+， 故()()ln e edf c f d λd λ-=+-， 由于2(0,]λe ∈，则ln 2λ≤，ed d λe≥（当且仅当2λe =时取“=”）故()()220e d f c f d d e -≥+-≥=（当且仅当d e =时取“=”） 由于d e <，故上式无法取“=”， 因此()()f c f d <恒成立，2(0,]λe ∈．…………………………………………………………12分22．解：（1）曲线1C 的普通方程为1)4()3(22=-+-y x ， 曲线2C 的直角坐标方程3+=kx y …………………………………………………………………5分（2）切线长的最小值为22即圆心1C 到直线2C 的距离为3313432=++-=∴k k d解得34-=k (10)分23．解：（1）当3=a 时，932>++-x x由绝对值的几何意义可得∈x (,5)(4,)-∞-+∞……………………………………………5分（2）由题意92>++-a x x 恒成立2)(22+=+--≥++-a a x x a x x 92>+∴a解得7>a 或11-<a ．………………………………………………………………………10分。