1214立体几何综合⑴DA

高三理科复习资料（曾）
A B 1
B
C 立体几何综合⑴
一、知识概要：
立体几何知识综合应用(主要考察立体几何中的平行垂直等位置关系及角度, 面积, 体积等) 二、基本训练：
1、(08深外国语)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, AC = 3, BC = 4, AB = 5, AA 1 =4 , 点D 是AB 的中点. (1) 求证: AC ⊥BC 1;
(2) 求证: AC 1∥平面CDB 1.
证明: (1) ∵ 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱, ∴ 1C C ⊥平面ABC , ∴1C C AC ⊥,
∵ 3AC =, 4BC =, 5AB =,
∴ 222
AC BC AB +=, ∴ A C B C ⊥, 又 1CC BC C = ,
∴ AC ⊥平面11CC B B , ∴ 1A C B C ⊥ ………7分 (2) 令1BC 与1CB 的交点为E , 连结DE .
∵ D 是AB 的中点, E 为1BC 的中点, ∴ DE ∥1AC .
又 ∵1AC ⊄平面1CDB , DE ⊂平面1CDB ,∴1AC ∥平面1CDB . …………13分 三、例题：
例1、(08广州高三)如图4所示，四棱锥P-ABCD 中，底面
ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD = AB = 2， E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． （1）求证：PA ∥平面EFG ； （2）求三棱锥P-EFG 的体积．
（1）证法1：如图，取AD 的中点H ，连接,GH FH ，
∵,E F 分别为,PC PD 的中点，∴EF CD ． ∵,G H 分别为,BC AD 的中点，∴GH CD ． ∴EF GH ．
∴,,,E F H G 四点共面．…………………………2分 ∵,F H 分别为,DP DA 的中点，∴PA FH ．……4分 ∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA 平面EFG ．…………………6分 证法2：∵,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点，
∴EF CD ，EG PB ．………………………………2分 ∵CD AB ，∴EF AB ．
∵PB AB B = ，EF EG E = ，∴平面EFG 平面PAB ． …………………5分 ∵PA ⊂平面PAB ，∴PA 平面EFG ． …………………………………………6分 （2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ，∴GC PD ⊥． ∵ABCD 为正方形，∴GC CD ⊥．
∵PD CD D = ，∴GC ⊥平面PCD ．……………………………………………8分
∵112PF PD =
=，112EF CD ==，∴11
22PEF S EF PF ∆=⨯=．……………10分 ∵112GC BC ==，∴1111
13326
P EFG G PEF PEF V V S GC --∆==⋅=⨯⨯=．………14分
B
C
例2、如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE = EB = BC = 2,
F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .
(Ⅰ) 求证：BCE AE 平面⊥； (Ⅱ) 求证；BFD AE 平面//；
(Ⅲ) 求三棱锥BGF C -的体积．
解:（Ⅰ）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD // ∴A B E BC 平面⊥，则BC AE ⊥ (2分)
又 ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥ ∴BCE AE 平面⊥ (4分)
（Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点
ACE BF 平面⊥ 则BF CE ⊥，而BE BC =
∴F 是EC 中点 (6分) 在A E C ∆中，AE FG //
∴BFD AE 平面// (8分) （Ⅲ）解： BFD AE 平面//
∴FG AE //，而B C E AE 平面⊥ ∴B C E FG 平面⊥ ∴B C F FG 平面⊥ (10分) G 是AC 中点
∴F 是CE 中点 ∴FG AE //且12
1
==AE FG A C E BF 平面⊥ ∴CE BF ⊥
∴B C E Rt ∆中，22
1
===CE CF BF ∴1222
1
=⋅⋅=
∆C F B S (12分) ∴3
1
31=⋅⋅==∆--FG S V V CFB BCF G BFG C (14分)
课外作业：
1．(08惠州)(本小题14分)已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．
解：(Ⅰ)证明：连结BD ，则BD //11B D ， …………1分 ∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥． ∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥．
又C = AC CE ，∴BD ⊥面ACE ． ………………4分 ∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥，
∴11B D AE ⊥． …………………………………………5分 （Ⅱ）证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴
CE
1B F ，
∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ．………7分 ∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ， 又//BC AD ，∴//EF AD ．
∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ， ∵AF CF C = ，1B E ED E = ，
∴平面//ACF 面1B DE ． ……………………………9分 又AC ⊂平面ACF ，∴//AC 面1B DE ． …………10分 （3）1
22
ABD S AB AD ∆=
⋅=． ……………………11分 112
333
A BDE E ABD ABD ABD V V S CE S CE --∆∆==⋅=⋅=． ………………………………14分
A
1
1
A E
C
2．(08深圳)如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱 被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面， 且AB = AD = a ，BF = DH = b ．
（Ⅰ）证明：截面四边形EFGH 是菱形； （Ⅱ）求三棱锥F -ABH 的体积．
解：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ∥平面CDHG ，
且平面EFGH 分别交平面ABFE 、
平面CDHG 于直线EF 、GH ，所以EF ∥GH ． 同理，FG ∥EH ．
因此，四边形EFGH 为平行四边形．
(1)
因为BD AC ⊥，而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影，所以EG BD ⊥．
因为BF D H =，所以FH ∥BD ． 因此，FH EG ⊥．
(2)
由（1）、（2）可知：四边形EFGH 是菱形；
（Ⅱ）因为DA ⊥平面ABFE ，HD ∥AE ，所以H 到平面ABF 的距离为DA a =．于是，由等体积法得所求体积
21111
3326
F ABH H ABF ABF V V S DA ab a a b --∆==⋅⋅=⨯⨯=．。