运筹学课程04-灵敏度分析

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NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 初始单纯形表
非基变量 基变量
0
Xs cj − z j
XB b B CB
初始基变量
XN N CN
Xs I 0
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单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 设若干步迭代后， 设若干步迭代后，基变量为 X B , X B 在初始单纯形 表中的系数矩阵为B，而A中去掉 的若干列组成矩 表中的系数矩阵为 ， 中去掉B的若干列组成矩 中去掉 阵N，则迭代后的单纯形表为： ，则迭代后的单纯形表为：
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≥0
最优解X * = B −1 b， ′ ， （ 0） 最优值Z * = C B B −1 b
−1
用对偶单纯形法迭代求出最优解 对偶单纯形法迭代求出最优解
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ax B 的 法 对问题m z = CX 求 ：
−1
s.t
AX ≤ b X ≥0
标 型 准 m z = CX ax ⇔ X B + B−1 NX N + B−1 X S = B−1b s.t AX + X S = b X ≥0
若 β ki > 0 , ∆bi ≥ −
′ bk
bk ′ ′ ∆b ≤ min− bk | β < 0 −1 ki B b ≥ 0 ⇔max− β | β ki > 0 ≤ i βki ki
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NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 线性规划问题
max z = CX AX ≤ b X ≥ 0
化为标准型
max z = CX + 0 X s AX + IX s = b X ≥ 0, X s ≥ 0
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灵敏度分析包括以下几个方面的内容
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分析成本系数向量C 分析成本系数向量C的变化对解和目标函数值 的影响 分析约束常数向量b的变化对解的影响，以及 分析约束常数向量b的变化对解的影响， 通过对偶最优解研究b 通过对偶最优解研究b的变化对目标函数值的 影响 分析系数矩阵A 分析系数矩阵A中元素变化对解和目标值的影 响 增加新变化量时最优解和最优值的变化 增加新的约束条件后对最优解和最优值的影响
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LP灵敏度分析 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
灵敏度分析面对的是信息的不确定性， 灵敏度分析面对的是信息的不确定性， 也称为后优化分析
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灵敏度分析又称“后验分析” 灵敏度分析又称“后验分析”，它是对已经得到的最优 方案改变某些条件来检验最优解的“稳定性” 方案改变某些条件来检验最优解的“稳定性”以及目标 函数最优值随各种条件变化的“敏感性” 换言之， 函数最优值随各种条件变化的“敏感性”；换言之，假 定对于已知线性规划问题已求得的最优解是获得的最大 利润的生产计划安排， 利润的生产计划安排，现在如果在生产过程中成本系数 向量C 约束常数向量b,约束系数A b,约束系数 向量C，约束常数向量b,约束系数A以及其他条件发生变 化或波动，这些变化限制在什么范围内， 化或波动，这些变化限制在什么范围内，在原来得到的 最优安排仍为最优，而不需要改变工作计划？ 最优安排仍为最优，而不需要改变工作计划？ 解决这些问题的理论和方法就是灵敏度分析 灵敏度越小， 灵敏度越小，解的稳定性越好
b1′ + β 1i ∆ b i ′ b 2 + β 2i ∆ bi = ⋮ b′ + β ∆b mi i m
0
问题 ∆bi 在 么 围 变 时 B−1b ≥ 0 ： 什 范 内 化 ，
′ b1 + β1i ∆bi ′ b2 + β2i ∆bi −1 B b = ≥ ⋮ b′ + β ∆b mi i m
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2、基变量对应的价值系数的灵敏度分析
NEUQ
中出现， 由于基变量对应的价值系数在C B 中出现，因此它会影响所 有非基变量的检验数。 有非基变量的检验数。设 C B 中一个基变量的 c k 发生变 化，变化量为 ∆ck 。
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为保证所有非基变量检验数仍满足最优条件, 有 σj σj max akj > 0 ≤ ∆ck ≤ min akj < 0 j j akj akj
最优单纯形表的s.t中 最优单纯形表的s.t中 s.t 松弛变量的系数
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问 ： bi →bi + ∆bi , 其 不 题 设 余 变 则 bi 在 么 围 检验行 ， ∆ 什 范 内 变 时 原 优 不 化 ， 最 基 变 XB
XB 0 E
XN CN- CBB-1N B-1N
解
′
= b + ∆b
−1
⋯ β1i ⋯ β1m ⋯ β2i ⋯ β2m ⋯ ⋯ ⋯ βmi ⋯ βmm
≥
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B −1 (b + ∆b ) = B −1b + B −1∆b B b=
b1′ β11 ′ b 2 β21 = + ⋮ ⋯ b ′ β m m1
非基变量价值系数变化， 非基变量价值系数变化，不影响其它检验数 基变量价值系数变化， 基变量价值系数变化，影响所有非基变量检验数
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当C 变为 C 时，
检验行
XB 0 E
XN CN- CBB-1N B-1N
常数项
≤0
检验数和最优值改变， 检验数和最优值改变，
但B −1b ≥ 0不变
' k
ck + ∆ck
m i =1
σ = ck + ∆ck − ∑ ci aik = σ k + ∆ck
' 只要 σ k
≤0
即
∆ck ≤ −σ k
则最优解不变；否则， 则最优解不变；否则，将最优单纯形表的检验数 σk 用 σk’取代，继续单纯形法的表格计算。 取代，继续单纯形法的表格计算。
论： c 非 变 的 数 则 c 改 量 结 1 若 k是 基 量 系 ， 当 k的 变
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二、右边项 b 发生变化的灵敏度分析
是最优解，则有X 设 XB=B−1b 是最优解，则有 B=B−1b≥0 b 的变化不会影响检验数 的变化不会 不会影响检验数 b 的变化量 ∆b 可能导致原最优解变为非可行解
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设 b → b，
CN − CB B−1 N ≤ 0不变
−1
Z： CBB-1b ： B-1b
XB
≥0
此表仍为最优， 若C N − C B B N ≤ 0 此表仍为最优， 此时最优解不变但最优值改变
若C N − C B B −1 N ≤ 0 此表不是最优单纯形表
用单纯形法继续迭代
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NEUQ
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析 设 ck 变化为
−1
X B 检验数
CB − CB I = 0 ⇔ CB − CB B B = 0
C − C B B −1 A ≤ 0 − C B B −1 ≤ 0
因此
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目标函数系数C 价值系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ） 一、目标函数系数C（价值系统）变化
cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 变动可能由于市场价格的波动， cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 允许的变动范围∆ 分析cj 允许的变动范围∆cj cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况 的变化会引起检验数的变化，
-1.5 -ΔC 2 /2 Δ
0 X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 X4 1/4 1/2 -1/8
-1/8+ΔC2 /8 Δ
0 X5 0 1 0 0 0 X5 0 1 0 0
从表中看到
可得到 -3≤Δc2≤1时，原最优解不变。 ≤1时 原最优解不变。
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σj=cj-(c1×a1j+c5 × a5j+(c2+∆c2)×a2j) j=3,4 ×
最优单纯形表： 最优单纯形表：
XB 检验行 XB 0 E XN CN- CBB-1N ≤0 B-1N 常数项 Z：CBB-1b ： B-1b
Z =CBB−1b →Z =CBB−1b
B−1b → B−1 b 求 −1 B 若B−1 b ≥ 0： 单纯形表保持最优，
若B b ≥ 0：在原最优单纯形表中， B −1 b → B −1 b ， = CBB−1b →Z = CBB−1b Z
NEUQ B −1的第i列
β 1i ∆ bi ≥ − b1′ β ∆b ≥ −b ′ 2i i 2 ⋮ β mi ∆ bi ≥ − b m ′
0
b1′ + β 1i ∆bi ≥ 0 b ′ + β ∆b ≥ 0 2 2i i ⇔ ⋮ bm + β mi ∆bi ≥ 0 ′
Ci CB 2 0 3 Ci CB 2 0 3+ΔC 2 Δ XB X1 X5 X2 σj B 4 4 2 XB X1 X5 X2 σj B 4 4 2 2 X1 1 0 0 0 2 X1 1 0 0 0 3 X2 0 0 1 0 3+ΔC 2 Δ X2 0 0 1 0 0 X3 0 -2 1/2 -1.5 0 X3 0 -2 1/2