黄冈中学2016年自主招生(理科实验班)预录考试数学训练题二
湖北省黄冈中学自主招生理科实验班预录考试训练化学试题二含答案.docx
黄冈中学2016年自主招生（理科实验ME）預录考试化学训练题（B卷）（分值：50分，时阖：45分钟；物段化学合卷，物爱・己汀「可能用刘的相对原子^5： H:1 C:12 0:16 Na:23 Mg:24 「C—0Fe: 56 Cu:64 Zn:65 Ba:137一、选择题（毎小題有I个或2个选项符合题盘,毎小題2分.共】.r.昶H三三C ?0卡中）1. 下列做法不会使人中當的是：A. 用工业酒精配制白酒钦用B.将魁气热水器安装在浴室卫c.向黄菜大棚内通入适輦的co? D.用胆矶对饮用水进frifi#2. 铁酸钠是污水处理过程中使用的一种新型净水剂，铁酸钠之所以奁净〜=-之外, 还能使反应后的产物吸附杂质，制取铁Kffi（M）的化学方程式如下：--* *2Fc（NOj）j+】6NaOH+3C12=2M+6NaNO3+6NaCl+8H?O,则M 的化学式WA. Fe2NaO4B. NaFeO4C. Na：FeO4D. NazFciOi3、下列实验探作能够达到目的的是：'DABCJIMNaCk Na2SO4脸证质的戦律探克大酣分解产物瞰枫”7. 下图为某固体溶解度RS温度蛮化的曲线该囲体从溶臧中析出时不带结晶水。
M. N 两点分别衰示该固体形成的两份溶液在不同温度时的浓度当条件改变时, 溶敲新的状态在图中对应的点的位置可能也随之变化.其中判斯不正團的是：A.都升温lO'C后，M, N点均向右平移R•加水稀释（假设溫度都不变）时.M. N点均不动C. 都降温l（TC后，M点沿曲线向左下移.N点向左平移D. 蒸发涪剂（假设温度都不变）时.先是M点不动,N点左平移至曲线；继续蒸发溶剂，M、N点都不动8、现有失去标签的氯化钙、硝16银.盐8L段酸钠4种无色溶液、将它们编号为甲.乙.丙、丁后.两两混合的现象如下表所示。
根据实峑现象判断甲溶薇中溶质的化学式是：A. CaChB. AgNOjC. HC!D. Na2COj9. 下列检验方法和结论正确的是：A. 加入AHH8溶液有白色沉淀生成，证明中一定有C「B. 在加入稀硝酸后的溶液中.再滴加氯化银溶液有白色沉淀生成.证明原溶液中一定有SO,C・加入氢氧化钠溶液.加热，放出使浚润的红色石蕊试纸变蓝的气体，证明原涪液中一定含有NH/D、加入紫色石蕊试液，溶液显红色.证明该溶液一定是酸10、金属加工后的废切削液中含2$：的\六0：・它是一种环境污染物。
黄高预录数学试题
绝密★启用前湖北省黄冈中学理科实验班预录考试数学试卷一．选择题（共11小题）1.记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且．则（）A．I＞0 B．I＜0 C．I=0 D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现2.对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．若[]=3有正整数解，则正数a的取值范围是（）A．0＜a＜2或2＜a≤3B．0＜a＜5或6＜a≤7C．1＜a≤2或3≤a＜5D．0＜a＜2或3≤a＜5个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有（）A．4种B．6种C．10种D．12种4.有甲、乙、丙三位同学每人拿一只桶同时到一个公用的水龙头去灌水，灌水所需的时间分别为分钟、分钟和1分钟，若只能逐个地灌水，未轮到的同学需等待，灌完的同学立即离开，那么这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是（）A．3分钟B．5分钟C．分钟D．7分钟5.已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2B．1C．﹣1或2D．﹣2或16．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM 交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2B．4C．6 D．88．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1=∠2D．无法确定9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0B．1C．2D．311．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT 的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．了望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在了望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈，sin31°≈）19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．20.当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积．21.设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y ≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．22.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费．若每月用水量不超过最低限量a立方米时，只付基本费8元和每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额费不超过5元．（1）当月用水量为x立方米时，支付费用为y元，写出y关于x的函数关系式；（2）该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中数据求a、b、c．月份用水量（m3）水费（元）199 21519 3223323.某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染．为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y（元）与废气处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=，且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理．（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为x吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求x的取值范围；（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为x（40≤x≤80）吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂a元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求a的值．24.如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．参考答案与试题解析一．选择题1.∴等式成立，∴I=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，故选A．2.解：∵[]=3有正整数解，∴3≤＜4，即6≤3x+a＜8，6﹣a≤3x＜8﹣a，∴≤x＜，∵x是正整数，a为正数，∴x＜，即x可取1、2；①当x取1时，∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴3≤a＜5；②当x取2时，∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴0＜a＜2；综上可得a的范围是：0＜a＜2或3≤a＜5．故选D．3.解：∵6个相同的球，放入四个不同的盒子里，∴若有三个盒子里放了1个，一个盒子里放了3个，这种情况下的方法有4种；若有两个盒子里放了2个，两个盒子里放了1个，这种情况下：设四个盒子编号为①②③④，可能放了两个小球的盒子的情况为：①②，①③，①④，②③，②④，③④，所以有6种情况；∴6个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有：4+6=10．故选C．4. 这道题可以采用逆推法，我们可以先分析最后一位会用多长时间，很显然不管是谁最后灌水都得用3分钟，所以只需考虑前两个接水的，怎样能够更加节省时间，显然乙第一个灌水会最省时，因为只需分钟．接着是丙，丙灌水的时间加上等乙的时间，也就是分钟，最后是甲．所以只有按乙，丙，甲安排灌水才最省时．【解答】解：按乙，丙，甲安排灌水最省时，这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是+（+1）+（+1+）=5分钟．故选B．【点评】考查了应用类问题，运用了逆推法，按照灌水所需的时间由少到多的顺序安排灌水花费的时间的总和最少．5．已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2B．1C．﹣1或2D．﹣2或1【分析】利用完全平方公式可把原式变为（x﹣）2+x﹣﹣2=0，用十字相乘法可得x﹣的值．【解答】解：x2+﹣2+x﹣﹣2=0∴（x﹣）2+（x﹣）﹣2=0解得x﹣=﹣2或1．故选D【点评】本题的关键是把x﹣看成一个整体来计算，即换元法思想．6．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM 交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．【分析】作DK∥BC，交AE于K．首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK ∥EC，可得=，推出=，即a2+ab﹣b2=0，可得（）2+（）﹣1=0，求出即可解决问题．【解答】解：作DK∥BC，交AE于K．∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，∵∠ABM+∠CBD=60°，∴∠BAE=∠CBD，在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，CE=AD，∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE=DK=CD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，∵DK∥EC，∴=，∴=，∴a2+ab﹣b2=0，∴（）2+（）﹣1=0，∴=或（舍弃），∴==，故选B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想，属于中考选择题中的压轴题．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2B．4C．6D．8【分析】作AH⊥BC，根据折叠的性质得到BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，则∠DEB=90°，再根据等腰梯形的性质得到BH=CE，可计算出CE=2，DE=BE=4，然后根据三角形面积公式进行计算．【解答】解：作AH⊥BC，如图，∵翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F，∴BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BH=CE，而AD=HE，AD=2，BC=6，∴CE=（6﹣2）=2，∴DE=BE=4，∴△ADB的面积=×2×4=4．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰梯形的性质．8．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1=∠2D．无法确定【分析】易证△ADE∽△ECF，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定△ADE∽△AEF，即可解题．【解答】解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵∠ADE=∠ECF=90°，∴△ADE∽△ECF，且相似比为2，∴AE=2EF，AD=2DE，又∵∠ADE=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ADE∽△AEF是解题的关键．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】求方程x2+2x+1=的解，可以理解为：二次函数y=x2+2x+1与反比例函数y=的图象交点的横坐标．【解答】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴这两个函数只在第一象限有一个交点．即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．故选B．【点评】本题利用了二次函数的图象与反比例函数图象来确定方程的交点的个数．11．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】首先过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上，然后设OB=y，AB=x，由勾股定理即可求得：y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，整理可得x2﹣（y﹣4）2=48，然后将原方程转为X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，继而可求得答案．【解答】解，过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上．设OB=y，AB=x，∵∠AOM=60°，∴OC=OB?cos60°=y，∴AC=OA﹣OC=8﹣y或AC=OC﹣OA=y﹣8，∵BC2=OB2﹣OC2，BC2=AB2﹣AC2，∴y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，∴x2﹣（y﹣4）2=48，∵x与y是正整数，且y必为正整数，x﹣4为大于等于﹣4的整数，将原方程转为X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，∵（X+Y）和（X﹣Y）同奇同偶，∴（X+Y）和（X﹣Y）同为偶数；∴X2﹣Y2=48可能有几组正整数解：，，，解得：，，，∴x的可能值有3个：x=7，x=8或x=13，当x=7时，y﹣4=±1，y=3或y=5；当x=8时，y﹣4=±4，y=8或y=0（舍去）；当x=13时，y﹣4=±11，y=15或y=﹣7（舍去）；∴共有4组解：或或或．故选D．【点评】此题考查了勾股定理的应用以及整数的综合应用问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为1．【分析】本题用换元法解分式方程，由于x2+x是一个整体，可设x2+x=y，可将方程转化为简单的分式方程求y，将y代换，再判断结果能使x为实数．【解答】解：设x2+x=y，则原方程变为﹣y=2，方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，整理得：y2+2y﹣3=0，（y﹣1）（y+3）=0，∴y=1或y=﹣3．当x2+x=1时，即x2+x﹣1=0，△=12+4×1=5＞0，x存在．当x2+x=﹣3时，即x2+x+3=0，△=12﹣4×3=﹣11＜0，x不存在．∴x2+x=1．【点评】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．需注意换元后得到的根也必须验根．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】首先将方程组5x2﹣5ax+26a﹣143=0左右乘5得25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=0?25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=不符合，②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=不符合，④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=不符合，∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．三．解答题（共4小题）16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT 的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．【分析】（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q 作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；（2）由二次函数最值的求法得到两种情况下的△PBQ的面积最大值，进行比较即可得到答案；（3）根据三角形的面积公式得到符合条件的点应该是：到三边的距离之比为12：15：20．【解答】解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；分两种情况：①如图1，当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H．∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，∴=，∴QH=x，y=BP?QH=（10﹣x）?x=﹣x2+8x（0＜x≤3），②如图2，当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，∴=，即：=，解得：QH′=（14﹣2x），∴y=PB?QH′=（10﹣x）?（14﹣2x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；（2）①当0＜x≤3时，y=﹣（x﹣5）2+20．∵该抛物线的开口方向向下，对称轴是x=5，∴当x=3时，y取最大值，y最大=．当3＜x＜7时，y=x2﹣x+42=（x﹣）2+（3＜x＜7）；∵该抛物线的开口方向向上，对称轴是x=，∴当x=3时，y取最大值，但是x=3不符合题意．综上所述，△PBQ的面积的最大值是．（3）存在．理由如下：设点T到AB、AC、BC的距离分别是a、b、c．∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴AB?a=AC?c=BC?c，即5a=4b=3c，故a：b：c=12：15：20．∴当满足条件的点T到AB、AC、BC的距离之比为12：15：20时，△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）【分析】（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．【解答】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．【点评】本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．了望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在了望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈，sin31°≈）【分析】（1）根据已知求出EN，根据正切的概念求出EM，求差得到答案；（2）根据坡度和锐角三角函数的概念求出截面积和土石方数，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE=45°，∴EN=PE=30米，在Rt△PEM中，∠PME=31°，tan∠PME=，∴ME=≈50（米），∴MN=EM﹣EN=20米，答：两渔船M，N之间的距离约为20米；（2）过点F作FK∥AD交AH于点K，过点F作FL⊥AH交直线AH于点L，则四边形DFKA为平行四边形，∴∠FKA=∠DAB，DF=AK=3，由题意得，tan∠FKA=tan∠DAB=4，tan∠H=，在Rt△FLH中，LH==36，在Rt△FLK中，KL==6，∴HK=30，AH=33，梯形DAHF的面积为：×DL×（DF+AH）=432，所以需填土石方为432×100=43200，设原计划平均每天填x立方米，由题意得，12x+（﹣12﹣20）×=43200，解得，x=600，经检验x=600是方程的解．答：原计划平均每天填筑土石方600立方米．【点评】本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知数后要验根．19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．【分析】（1）由关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，可知此一元二次方程的判别式△＞0，即可得不等式，又由x1＜0＜x2，可得x1?x2＜0，根据根与系数的关系，可得不等式=m﹣1＜0，解此不等式组即可求得答案；（2）由一元二次方程根与系数的关系即可得4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1?x2==m ﹣1，然后将6x12+mx1+m+2x22﹣8=0变形，可得4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1?x2]=4，则可得方程（﹣）2﹣2[m﹣1]=2，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，∴△=m2﹣4×4×（m﹣4）=m2﹣8m+64=（m﹣4）2+48＞0，∵两根x1，x2满足x1＜0＜x2，∴x1?x2==m﹣1＜0，∴m＜8，（2）∵x1、x2是方程的根，∴4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1?x2==m﹣1，∵6x12+mx1+m+2x22﹣8=0，∴4x12+mx1+m﹣4+2（x12+x22）﹣4=0∴4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1?x2]=4，∴（x1+x2）2﹣2x1?x2=2，即（﹣）2﹣2[m﹣1]=2，化简得：m2﹣4m=0，解得：m=0 或m=4，∴m的值为0或4．【点评】此题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系等知识．此题难度较大，解题的关键是注意利用根与系数的关系将原方程变形求解，注意方程思想的应用．20.【解答】解：∵m+n=mn且m，n是正实数，∴+1=m，即=m﹣1，∴P（m，m﹣1），即“完美点”B在直线y=x﹣1上，∵点A（0，5）在直线y=﹣x+b上，∴b=5，∴直线AM：y=﹣x+5，∵“完美点”B在直线AM上，∴由解得，∴B（3，2），∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=﹣x，而直线y=x﹣1与直线y=x平行，直线y=﹣x+5与直线y=﹣x平行，∴直线AM与直线y=x﹣1垂直，∵点B是直线y=x﹣1与直线AM的交点，∴垂足是点B，∵点C是“完美点”，∴点C在直线y=x﹣1上，∴△MBC是直角三角形，∵B（3，2），A（0，5），∴AB=3，∵AM=4，∴BM=，又∵CM=，∴BC=1，∴S△MBC=BM?BC=．【点评】本题考查了一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键．21.解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”，理由如下：反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2014；当x=2014时，y=1，所以，当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=x；②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=﹣x+m+n；（3）∵y=x2﹣2x=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．①当c＜2＜d时，此时二次函数y=x2﹣2x的最小值是﹣2=c，根据“闭函数”的定义知，d=c2﹣2c或d=d2﹣2d；★）当d=c2﹣2c时，由于d=×（﹣2）2﹣2×（﹣2）=6＞2，符合题意；★）当d=d2﹣2d时，解得d=0或6，由于d＞2，所以d=6；②当c≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵c＜d，∴不合题意，舍去．综上所述，c，d的值分别为﹣2，6．【点评】本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．22.【解答】解：月用水量为x立方米，支付费用为y元，则有：y=；（2）由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15m3，22m3均大于最低限量am3，于是就有，解得b=2，从而2a=c+19，再考虑一月份的用水量是否超过最低限量am3，不妨设9＞a，将x=9代入x＞a的关系式，得9=8+2（9﹣a）+c，即2a=c+17，这与2a=c+19矛盾．∴9≤a．从而可知一月份的付款方式应选0≤x≤a的关系式，因此就有8+c=9，解得c=1．故a=10，b=2，c=1．23.【解答】解：（1）由题意可知，当废弃处理量x满足0＜x＜40时，每天利用设备处理废气的综合成本y=40x+1200，∴当该制药厂每天废气处理量计划为20吨，即x=20时，每天利用设备处理废气的综合成本为y=40×20+1200=2000元，又∵转化的某种化工产品可得利润为80×20=1600元，∴工厂每天需要投入废气处理资金为400元；（2）由题意可知，y=，①当0＜x＜40时，令80x﹣（40x+1200）≥0，解得30≤x＜40，②当40≤x≤80时，令80x﹣（2x2﹣100x+5000）≥0，即2x2﹣180x+5000≤0，∵△=1802﹣4×2×5000＜0，∴x无解．综合①②，x的取值范围为30≤x＜40，故当该制药厂每天废气处理量计划为[30，40）吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量；（3）∵当40≤x≤80时，投入资金为80x﹣（2x2﹣100x+5000），又∵市政府为处理每吨废气补贴a元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，∴当40≤x≤80时，不等式80x+ax﹣（2x2﹣100x+5000）≥0恒成立，即2x2﹣（180+a）x+5000≤0对任意x∈[40，80]恒成立，令g（x）=2x2﹣（180+a）x+5000，则有，即，即解得，答：市政府只要为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．24.【解答】解：（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6则：D到y轴的距离=AB=3、D到x轴的距离=DA?sin∠DAB=3；∴D（3，3）；由于DC∥x轴，且DC=AB=6，那么将点D右移6个单位后可得点C，即C（9，3）；设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，有：，解得∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x．（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，若PQ⊥DB，则PQ∥AC，∵点P在BC上时，PQ与AC始终相交，和PQ∥AC矛盾，∴点P在BC上时不存在符合要求的t值，当P在DC上时，由于PC∥AQ且PQ∥AC，所以四边形PCAQ是平行四边形，则PC=AQ，有6﹣2t=t，得t=2．（3）①如图1，当点P在DC上，即0＜t≤3时，有△EDP∽△EAQ，则===，那么AE=AD=2，即y=2；②如图2，当点P在CB上，即3＜t≤6时，有△QEA∽△QPB，则=，即=，。
全国重点高中黄冈中学2016年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(附答案)(6)
16 ） 5
k 上，此时下列结论不正确的是（ ） x 12 12 B、 AC 边的高为 C、 双曲线为 y = D、 此时点 A 与点 O 距离 5 x
）
最大 10、设 min｛x,y｝表示 x,y 两个数中的最小值，例如 min｛0,2｝=0，min｛12,8｝=8，则关于 x 的函数 y 可以表示为（ A. y
1 2 x 2 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 2
O 第2题 第
B 3
x
题 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 12cm，E 为 CD 边上一点，DE=5cm．以点 A 为中心， cm． 将△ADE 按顺时针方向旋转得△ABF，则点 E 所经过的路径长为 3、 如图，在平面直角坐标系中有一正方形 AOBC,反比例函数过正方形 AOBC 对角线的交点， 半径为( 4 2 2 )的圆内切于△ABC，则 k 的值为________。 4、如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为 2，函数 y=x 的图象 被⊙P 割的弦 AB 的长为 2 3 ，则 a 的值是________。 5. 如 图 ， AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， 点 D,C 在 ⊙ O 上 ， 连 结 AD 、 BD 、 DC 、 AC ， 如 果 ∠BAD=25°，那么∠C 的度数是 。
14、（本题满分 8 分）某足球学会举办了一次足球联赛，其积分规则及奖励方案如下表： 胜一场 积分 3 平一场 1 负一场 0
奖金（元 /
1500
700
0
人） 当比赛进行到 12 轮结束（每队均需比赛 12 场）时，A 队共积 19 分。请通过计算判断 A 队胜、平、负各几场？
15、 （本题满分 9 分）是 14．（6 分）已知 a、 b、 c 为整数，且满足 3+a2+b2+c2＜ab+3b+2c， 求 的值．
全国重点高中黄冈中学自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(C卷)(附答案)
黄冈中学自主招生考试 数学模拟试题（C 卷）（满分：120分 考试时间：120分钟）一、选择题（每小题4分，共8题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在直角坐标系xOy 中，点P (4,)y 在第一象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角为60°，则y 的值为（ ）.A.3B.2.将二次函数2y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图像的函数表达式是（ ）．A.2(1)2y x =-+ B. 2(1)2y x =++ C. 2(1)2y x =-- D. 2(1)2y x =+- 3．x 、y 都是正数，并且成反比，若x 增加了p ﹪，设y 减少的百分数为q ﹪，则q 的值为（ ）. A.1001%p p + B. 100%p C. 100p p + D. 100100pp+4.在凸多边形中，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线.观察探索凸十边形有（ ）条对角线.A.29B. 32C. 35D.385．已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足方程222222()0a x c a b x b ---+=.则方程根的情况是（ ）.A.有两相等实根B. 有两相异实根C. 无实根D.不能判定 6．关于x的方程1x x -=的根的个数为（ ）.A.0B. 1C. 3D.47．如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR ，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转，那么它们重叠部分的面积是（ ）.A.4B. 2C. 1D.128.折叠圆心为O 、半径为10cm 的圆纸片，使圆周上的某一点A 与圆心O 重合.对圆周上的每一点都这样折叠纸片，从而都有一条折痕.那么，所有折痕所在直线第7题上点的全体为（ ）.A.以O 为圆心、半径为10cm 的圆周B. 以O 为圆心、半径为5cm 的圆周C. 以O 为圆心、半径为5cm 的圆内部分D. 以O 为圆心、半径为5cm 的圆周及圆外部分 二、填空题（每小题4分，共8小题）9．如图，⊙C 通过原点，并与坐标轴分别交于A 、D 两点.已知∠OBA=30°，点D 的坐标为（0，2）,则点C 的坐标为 .10.如图，已知3个边长相等的正方形相邻并排.则∠EBF ＋∠EBG= . 11．若函数(0)y kx k =>与函数1y x=的图像相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于点B ，则△ABC 的面积为 .12．设二次函数222(0)2a y x ax a =++<的图像顶点为A ，与x 轴交点为B 、C.当△ABC 为等边三角形时，a 的值为 .13．甲在汽车上发现乙正往相反的方向走去。
2016年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷
2016年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）化简，结果是（）A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．42．（5分）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（）A．弘B．德C．尚D．学二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）4．（5分）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=，q=．5．（5分）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为．6．（5分）直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为．7．（5分）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有种不同的涂色方法．8．（5分）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．9．（5分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．10．（5分）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB 的度数是．11．（5分）如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是．三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）12．（12分）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．（Ⅰ）300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次．小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？（Ⅱ）某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段．（1）若小王的高考分数在630～639分段，则小王被该大学录取的概率为多少？（2）若小王的高考分数在三个分段的概率都是，则小王被该大学录取的概率为多少？13．（16分）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△AOC为等腰三角形，求点C的坐标．14．（14分）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．15．（18分）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．2016年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）化简，结果是（）A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4【分析】先求出x的取值范围，再化简，由此能求出结果．【解答】解：∵，∴，∴x≥，∴=﹣（）2=3x﹣1﹣（3x﹣5）=4．故选：D．【点评】本题考查根式与分数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意根式与分数指数幂的性质及运算法则的合理运用．2．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】要求方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数，进行简单的化简得3（x﹣）2+（y+1）2=，然后进行讨论，可以得到结论．【解答】解：3x2+y2=3x﹣2y，3x2+y2﹣3x+2y=0，3（x﹣）2+（y+1）2=，当x=0时，y=0，即（0，0），当x=1时，y=0，即（1，0），当x=2时，y无解．当x≥2时，y均无解，综上所述方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为2．故选C．【点评】本题考查了二次二次方程的整数根的问题，属于中档题．3．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（）A．弘B．德C．尚D．学【分析】由题意画出图形，得到剪展后的图形，可得阴影部分的字为“尚”．【解答】解：如图，不妨设面PAB上的字为“弘”，PBC上的字为“德”，PAC上的字为“学”，ABC上的字为“尚”，图形展开如图，则阴影部分的字为“尚”．故选：C．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）4．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=17，q=2．【分析】先根据5p+3q=91可知p、q为一奇一偶，再由p和q为质数可知p、q中必有一数为2，再把p=2或q=2代入5p+3q=91求出另一未知数的对应值，找出符合条件的未知数的值即可．【解答】解：∵5p+3q=91，∴p、q为一奇一偶，∵p和q为质数，∴p、q中必有一数为2，当p=2时，q==27，27为合数，故舍去，当q=2时，p==17．故p=17，q=2．故答案为：17，2．【点评】本题考查了方程的解得问题，以及分类讨论的思想，属于基础题．5．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为2或9．【分析】能被7整除的数的特点，能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述的过程，直到能清楚判断为止．例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13﹣3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613﹣9×2=595，59﹣5×2=49，所以6139是7的倍数．【解答】解：设插入的数为x，则五位数为20x16，当x=0时，2001﹣6×2=1989，198﹣9×2=180，不能被7整除；当x=1时，2011﹣2×6=1999，199﹣9×2=181，不能被7整除；当x=2时，2021﹣2×6=2009，200﹣9×2=182，能被7整除；当x≥3时，20x0﹣2×6=20（x﹣2）8，20（x﹣2）﹣8×2=7k（k=26，27，…），只有当x=9时满足题意，综上可得，满足题意2或9．故答案为：2或9．【点评】本题考查数的整除性问题，难度较大，关键是掌握判断能被7整除的数的特点．6．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为﹣5或﹣6．【分析】作出函数的图象，利用直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，即可求出m 的值．【解答】解：函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1=，函数图象如图所示，x＜2时，y=（x﹣1）2﹣6，x2﹣8x+7=x2﹣2x﹣5，∴x=2，y=﹣5．∵直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，∴m=﹣5或﹣6．故答案为：﹣5或﹣6．【点评】本题考查函数的图象，考查学生分析解决问题，正确作出函数的图象是关键．7．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有30种不同的涂色方法．【分析】本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况，这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况，最后两个边有3种情况．根据计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；这时最后两个边有3种情况．∴方法共有3（2×2+2×3）=30种．故答案为：30．【点评】对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．8．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】先因式分解得到（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，即可得到只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，分别计算判断即可．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=2.8不符合，②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=8.4不符合，④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=12.4不符合，∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查了方程根的问题，关键是分类讨论，属于基础题．9．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．【分析】根据题意在AD上截取AH=AD，得到AG与OC的关系，然后由相似三角形得到OC与AO的关系，代入求出比值．【解答】解：如图，在AD上取点H，使AH=AD，连接BH交AC于O，则=，即AG=AO，又△AOH∽△COB，所以=，CO=AO，所以==．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确运用三角形相似的判定与性质是关键．10．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是112°．【分析】根据轴对称和平行线的性质，可得∠A'DE=∠B，又根据∠C=120°，∠A=26°可求出∠B的值，继而求出答案．【解答】解：由轴对称的性质知∠A′DE=∠B=180°﹣120°﹣26°=34°，∠BDE=180°﹣∠B=146°，故∠A'DB=∠BDE﹣∠A'DE=146°﹣34°=112°．故答案为：112°．【点评】本题考查了轴对称的性质及三角形中位线定理，根据题意得出各角之间的关系是关键．11．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y （千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是0＜x＜38．【分析】求BC与线段OD的交点的横坐标即可．【解答】解：由图可知，直到最后，甲发力，追上乙，且领先到达终点；直线OD的方程为：y=x；直线BC的方程为：y=x﹣；交点的横坐标为38；∴0＜x＜38．【点评】考查了一次函数图象的性质和对实际问题的理解．属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）12．（12分）（2016•黄州区校级自主招生）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．（Ⅰ）300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次．小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？（Ⅱ）某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段．（1）若小王的高考分数在630～639分段，则小王被该大学录取的概率为多少？（2）若小王的高考分数在三个分段的概率都是，则小王被该大学录取的概率为多少？【分析】（Ⅰ）300人参加校内竞赛，获得至少30分的加分的人数有180人，由此能求出小王获得至少30分的加分的概率．（Ⅱ）（1）小王被该大学录取，需要获得至少30分的加分，由此能求出小王被该大学录取的概率．（2）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出小王被该大学录取的概率．【解答】（本小题12分）解：（Ⅰ）∵300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次，获得至少30分的加分的人数有：150+30=180，∴小王获得至少30分的加分的概率为：p1==．（Ⅱ）（1）∵某大学的录取分数线为660分，小王的高考分数在630～639分段，∴小王被该大学录取，需要获得至少30分的加分，∴小王被该大学录取的概率为p2==．（2）∵某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段，小王的高考分数在三个分段的概率都是，∴小王被该大学录取的概率为p3=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．13．（16分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△AOC为等腰三角形，求点C的坐标．【分析】分当∠AOC=∠ACO、∠OAC=∠OCA、∠AOC=∠CAO三种情况，分别利用等腰三角形的性质，求得a的值，可得结论．【解答】解：由于△AOC为等腰三角形，点A（0，2），设点C（a，2a），当∠AOC=∠ACO时，由AO=AC=2，可得4=a2+（2a﹣2）2，求得a=，此时，C（，）．当∠OAC=∠OCA时，则由OA=OC，可得2=，求得a=±，此时，C（，）或C（﹣，﹣）．当∠AOC=∠CAO时，则由CA=CO，可得=，求得a=，此时，C（，1）．故满足条件的点共有四个：（，）、（，）、（﹣，﹣）、（，1）．【点评】本题主要考查一次函数和等腰三角形的知识，属于基础题．14．（14分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．【分析】连接AC 和BD ．证明△BCD ∽△OCA ，△CDN ∽△CAM ，利用相似三角形的性质，即可证明结论．【解答】证明：连接AC 和BD ．∵弦CD 垂直于直径AB ，∴BC=BD ，∴∠BCD=∠BDC ．∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ．∵∠BDC=∠OAC ，∴∠BCD=∠OCA ，∴△BCD ∽△OCA ，∴=．∵∠DCN=∠ACM ，∠CDN=∠CAM ，∴△CDN ∽△CAM ．∵===，∴CN=CB ，即BN=CN ．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析及问题的能力，属于中档题．15．（18分）（2016•黄州区校级自主招生）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往 A ，B 两地区收割水稻，其中30台派往 A 地区，20台派往 B 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：（1）设派往 A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y关于x 的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．【分析】（1）根据未知量，找出相关量，列出函数关系式；（2）利用不等式的性质进行求解，对x 进行分类即可；（3）根据一次函数的单调性可直接判断，得出结论．【解答】解：（1）由于派往A 地的乙型收割机x 台，则派往B 地的乙型收割机为（30﹣x ）台，派往A ，B 地区的甲型收割机分别为（30﹣x ）台和（x ﹣10）台．∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）．（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，∵10≤x≤30，x是正整数，∴x=28、29、30∴有3种不同分派方案：①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；③当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；（3）∵y=200x+74000中，∴y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．【点评】考查了利用一次函数模型解决实际问题，根据函数的性质，找出解决问题的方法．。
黄冈中学2016年自主招生试题[1]
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黄冈中学2016年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（C卷）时间120分钟，满分120分一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知实数α、β满足α2+3α-1=0，β2-3β-1=0，且αβ≠1，则α-2+3β的值为（）A．1 B．3 C．-3 D．102．在△ABC中，BC=3，内切圆半径23=r，则2tan12tan1CB+的值为（）A．23B．332C．233D．323．设a、b、c为实数，abc≠0，且a+b=c,则abcbacabacbcacb222222222222-++-++-+的值为（）A．-1 B．1 C．2 D．34．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（第4题图）（第5题图）（第6题图）5.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．56.如图，点P（﹣1，1）在双曲线上，过点P的直线l1与坐标轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（）A．10 B． 8 C． 6 D．不确定二、填空题（每小题5分，共30分）7.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为_____________.8.如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是cm9.甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是分．第14题图QHGFEDCBA则S △CPN -S △BPM = .12.设有n 个数n x ,,x ,x Λ21,它们每个数的值只能取0，1，-2三个数中的一个，且55251215n n x x x ,x x x +++-=+++ΛΛ的值是 .三、解答题（共60分）13.（10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC=PG ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）当点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若BG 2=BF •BO ．求证：点G 是BC 的中点；（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4，求BG 的长．14.(10分)正数m,n 满足34424=+--+n n m mn m ，求20172232++-+n m n m 的值.15.(10分)已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-a xa a xa a ，求x 的值.16（15分）.某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A 、B 两类，A 类杨梅包装后直接销售；B 类杨梅深加工后再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量x （x ≥2）之间的函数关系如图；B 类杨梅深加工总费用s （单位：万元）与加工数量t （单位：吨）之间的函数关系是s =12+3t ，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A 类杨梅有x 吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w 万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）．①求w 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A 类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．17.（15分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC 以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．参 考 答 案一、选择题（每小题5分，共30分） 1．D 2．D 3． B 4．B 5．C 6．B 二、填空题（每小题5分，共30分）7． 2017 8. 12 9. 336 10. 6 11.8112. -125三、解答题（共60分）13. 解（1）证明：连OC ，如图，∵ED ⊥AB ，∴∠FBG+∠FGB=90°， 又∵PC=PG ，∴∠1=∠2，而∠2=∠FGB ，∠4=∠FBG ，∴∠1+∠4=90°，即OC ⊥PC ，∴PC 是⊙O 的切线；（2）证明：连OG ，如图，∵BG 2=BF •BO ，即BG ：BO=BF ：BG ， 而∠FBG=∠GBO ，∴△BGO ∽△BFG ， ∴∠OGB=∠BFG=90°，即OG ⊥BG ， ∴BG=CG ，即点G 是BC 的中点；（3）解：连OE ，如图，∵ED ⊥AB ，∴FE=FD ， 而AB=10，ED=4，∴EF=2，OE=5， 在Rt △OEF 中，OF===1，∴BF=5﹣1=4，∵BG 2=BF •BO ，∴BG 2=BF •BO=4×5，∴BG=2．14.解：由34424=+--+n n m mn m 变形得01232=++-+)n m )(n m (∵012≠++n m ∴32=+n m ，∴10112017323320172232-=+-=++-+n m n m15.解：由012=--a a 得，11=-a a ，∴3122=+aa 又由已知得，112932131222-=+--+x )aa (x )a a (，即1129321332-=+-⨯x x ， 解得1051=x16. 解：（1）①当2≤x ＜8时，如图，设直线AB 解析式为：y =kx +b ，将A （2，12）、B （8，6）代入得：，解得，∴y =﹣x +14；②当x ≥8时，y =6．∴A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式为：y =．wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x∴w=wA+wB﹣3×20=（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60=﹣x2+7x+48；当x≥8时，wA=6x﹣x=5x；wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x∴w=wA+wB﹣3×20=（5x）+（108﹣6x）﹣60=﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w=．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48=30，解得x=18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]=132，化简得：x=3m ﹣60．①当2≤x＜8时，wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12∴w=wA+wB﹣3×m=（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12．将3m=x+60代入得：w=﹣x2+8x+48=﹣（x﹣4）2+64∴当x=4时，有最大毛利润64万元，此时m=，m﹣x=；②当x＞8时，wA=6x﹣x=5x；wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12∴w=wA+wB﹣3×m=（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m=﹣x+3m﹣12．将3m=x+60代入得：w=48 ∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．17. 解：（1）当点N落在BD上时，如图1．∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥QM，PN=PQ=t．∴△DPN∽△DQ B．∴．∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，∴．∴t=．∴当t=时，点N落在BD上．（2）①如图2，则有QM=QP=t，MB=4﹣t．∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥DQ．∵点O是DB的中点，∴QM=BM．∴t=4﹣t．∴t=2．②如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．∵AB=4，AD=3，∴DB=5．∵点O是DB的中点，∴DO=．∴1×t=AD+DO=3+．∴t=．∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜．（3）①当0＜t≤时，如图4．S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．②当＜t≤3时，如图5，∵tan∠ADB==，∴=．∴PG=4﹣t．∵tan∠NFG=tan∠ADB=，∴．∴NF=GN=（﹣4）=t﹣3．∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF=t2﹣×（﹣4）×（t﹣3）=﹣t2+7t﹣6．③当3＜t≤时，如图6，∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．∴∠PQM=∠DAB=90°．∴PQ∥A D．∴△BQP∽△BA D．∴==．∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，∴．∴BQ=，PQ=．∴QM=PQ=．∴BM=BQ﹣QM=．∵tan∠ABD=，∴FM=BM=．∴S=S梯形PQMF=（PQ+FM）•QM=[+]•=（8﹣t）2 =t2﹣t+．综上所述：当0＜t≤时，S=t2．当＜t≤3时，S=﹣t2+7t﹣6．当3＜t≤时，S=t2﹣t+．（4）设直线DN与BC交于点E，∵直线DN平分△BCD面积，∴BE=CE=．①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，则有△DPN∽△DHE．∴．∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE=，EH=AB=4，∴．解得；t=．②点P在DO上，连接OE，如图8，则有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．∴△DPN∽△DOE．∴．∵DP=t﹣3，DO=，OE=2，∴PN=（t﹣3）．∵PQ=（8﹣t），PN=PQ，∴（t﹣3）=（8﹣t）．解得：t=．③点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，如图9，则有OE=2，OE∥D C．∴△DSC∽△ESO．∴．∴SC=2SO．∵OC=，∴SO==．∵PN∥AB∥DC∥OE，∴△SPN∽△SOE．∴．∵SP=3++﹣t=，SO=，OE=2，∴PN=．∵PR∥MN∥BC，∴△ORP∽△OE C．∴．∵QR=BE=，∴PQ=PR+QR=．∵PN=PQ，∴=．解得：t=．综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为、、．。
数学黄冈中学2016年自主招生(理科实验班)预录考试A卷
5. 如图，若点M 是x 轴正半轴上的任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1kx(x ＞0)和2k x(x ＞0)的图象于点P 和Q ，连接OP 、OQ ，则下列结论正确的是( ) A .∠POQ 不可能等于90° B .12k PM QM k ＝ C .这两个函数的图象一定关于x 轴对称D .△POQ 的面积是12( | k 1|＋| k 2|) 6. 如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周二、填空题（每小题5分，共30分）7．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE ＝2，AE ＝3BE ，P 是AC 上一动点，则PB ＋PE 的最小值是 ．8．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1：A B D C PE2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升65cm ，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.9．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是 .10.当a 取遍0到5的所有实数值时，满足3b=a(3a -8)的整数b 的个数是 .11.设△ABC 与△A ′B ′C ′的三边长分别为a,b,c 和a ′，b ′，c ′，它们的面积分别为S 和S ′. 若对任意x 值，)(322c x b x a c bx ax '+'+'=++恒成立，则SS'= . 12.设a 1,a 2,…,a k 为k 个互不相同的正整数，且a 1+a 2+…+a k =1995，那么k 的最大值是 .三、解答题（共60分）13. (15分)如图，已知AB 为⊙O 的直径，过⊙O 上的点C 的切线交AB 的延长线于点E ，AD ⊥EC 于点D 且交⊙O 于点F ，连接BC ，CF ，AC ．(1)求证：BC=CF ；(2)若AD=6，DE=8，求BE 的长； (3)求证：AF+2DF=AB ．14. (15分)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直. （A1A2为第1根小棒）数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：.(填“能”或“不能”)（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.①θ=_________度；②若记小棒A2n-1A2n的长度为a n（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…），求出此时a2，a3的值，并直接写出a n（用含n的式子表示）.活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则θ1 =_________，θ2=________，θ3=________；（用含θ的式子表示）θ的范围.（4）若只能．．摆放4根小棒，求15．(15分)求使关于x 的方程062)1(）1（322=-++-+a x a x a 有整数根的所有整数a ，并求出整数根.16．(15分)如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，平行四边形的顶点C 的坐标为(8，8)，顶点A 的坐标为(－6，0)，边AB 在x 轴上，点E 为线段AD 的中点，点F 在线段DC 上，且横坐标为3，直线EF 与y 轴交于点G ，有一动点P 以每秒1个单位长度的速度，从点A 沿折线A －B －C －F 运动，当点P 到达点F 时停止运动，设点P 运动时间为t 秒． (1)求直线EF 的表达式及点G 的坐标；(2)点P 在运动的过程中，设△EFP 的面积为S(P 不与F 重合)，试求S 与t 的函数关系式；(3)在运动的过程中，是否存在点P ，使得△PGF 为直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．∠CAD 。
2016年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市模拟及答题适应性考试.数学试题(理科)
2016年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市模拟及答题适应性考试数学试题（理科）本试题卷共6页，共24题，其中第22—24题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|2x2－5x－3≤0}，B＝{x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．52．已知a为实数，若复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则的值为（）A．1B．0C．1＋i D．1－i3．下列命题错误的是（）A．若p q为假命题，则p q为假命题B．若a，b[0，1]，则不等式成立的概率是C．命题“x∈R使得x2＋x＋1<0”的否定是：“x∈R，x2＋x＋1≥0”D．已知函数f（x）可导，则“f′（x0）＝0”是“x0是函数f（x）极值点”的充要条件4．从1～9共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为（）A．B．C．D．5．设D是△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．6．过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．（1，2）7．已知a＝（cos2x－sin2x，－），b＝（1，cos（＋2x）），若f（x）＝a·b，则f（x）（）A．图象关于（，0）中心对称B．图象关于直线对称C．在区间上单调递增D．周期为π的奇函数8．已知实数x，y满足若目标函数z＝2x＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为（）A．4B．3C．2D．9．在程序框图中，输入N＝8，按程序运行后输出的结果是（）A．6B．7C．10D．1210．已知函数f（x）＝x（lnx－ax）有极值，则实数a的取值范围是（）A．（－∞，）B．（0，）C．D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．12．若函数f（x）满足对于任意实数a，b，c，都有f（a），f（b），f（c）为某三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[－1，0]B．C．[－2，－1]D．[－2，]展开答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．共20分）13．已知函数f（x）＝（9x＋1）·9kx（k∈R）为偶函数，则实数k的值为_______________．14．已知（1＋ax）5（1－2x）4的展开式中x2的系数为－16，则实数a的值为___________．15．已知O是锐三角形ABC的外接圆圆心，，则m＝_____________．16．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为2，直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线y2＝2px（p>0）上，若点M到抛物线焦点的距离为p，则直线l的斜率为___________．展开答案三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a2＝5，a5＝11，数列{bn}的前n项和Sn＝n2＋an．（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．展开答案18．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值．展开答案19．（本小题满分12分）2015年下半年，“豆芽花”发卡突然在全国流行起来，各地随处可见头上遍插“小草”的人群，其形象如图所示：对这种头上长“草”的呆萌造型，大家褒贬不一．为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取50人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分．按规定，如果被调查者的打分超过60分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人．将收集的分数分成[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，l00]五组，并作出如下频率分布直方图：（I）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据50位被调查者的情况制作的列联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95％以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型与自身喜欢动画片有关?喜欢头上长“草”的造型不喜欢头上长“草”的造型合计喜欢动画片30不喜欢动画片 6合计（Ⅱ）如将上述调查所得到的频率视为总体概率．现采用随机抽样方法抽取3人，记被抽取的3人中喜欢头上长“草”的造型的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E（X）和方差D（X）．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d）展开答案20．（本小题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x＋y＋1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（I）求椭圆C的方程；（II）过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足（其中O为坐标原点），求实数t的取值范围．展开答案21．（本小题满分12分）已知函数（I）当a≤2时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x>0，求函数的最大值．展开答案请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）若，求的值．展开答案23．（本小题满分l0分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π）．（I）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C上存在一点D，使得它到直线l的距离最短，求D点坐标．展开答案24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f（x）＝|x－3|．（Ⅰ）若不等式f（x）－f（x＋5）≥|m－1|有解，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若|a|<1，|b|<3，且a≠0，证明：．展开答案- 返回顶部-。
湖北省黄冈中学初中化学自主招生预录考试训练试题二(
湖北省黄冈中学2016年初中化学自主招生预录考试训练试题二黄冈中学2016年自主招生(理科实验班)预录考试化学模拟试题(B卷)参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案AB C D B D AD BD D C C B C二填空题13、(5分) (1)2NaHCO3 Na2CO3 + CO2↑+ H2O(2)K2SO4·Al2(SO4)3·24H2O+6NaHCO3=K2SO4+3Na2S O4+2Al(OH)3 +6CO2↑ +27H2O(2分)(3)Ca(H2PO4)2 + 2NaHCO3 = CaHPO4 + Na2HPO4 + 2CO2↑ + 2H2O(2分)14、（7分）（1）BD（多、漏、错选均不得分）（2）Cl2 + 2NaOH = NaCl + NaClO + H2O 160（2分）（3）BED（多、漏、错选或次序错误均不得分）（4）N2H4 + O2 = N2 + 2H2O（2分）解析：（2）71 g Cl2消耗80 g NaOH生成74.5 g NaClO，再与80 g NaOH和尿素反应生成肼。
15、（5分）⑴滤液中含有未反应盐酸，NaOH会和盐酸发生中和反应⑵① Fe、Ag、Cu （2分）② F e (NO3)2、Ba(NO3)2 （2分）16、 (1)Ca(OH)2 CaCO3[或Ca(HCO3)2](前两空合理答案均给分)三、计算（5分）17、 (1)Mg2C2＋4H2O===2Mg(OH)2＋C2H4↑(2)H I C D(3) 防止空气中的CO2和水蒸气进入甲、乙装置，造成实验误差；氧化可能生成的CO(4)(5)偏低偏低。
全国重点高中黄冈中学2016年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(附答案)
2016年黄冈中学提前录取数学模拟试题3一、选择题（每小题4分，共24分）1. 如图1、图2, 是由10把相同的折扇组成的 “蝶恋花”(图1)和“梅花”(图2)(图中的折扇无重叠), 则“梅花”图案中的五角星的五个锐角均为 （ ）图1 图2 A. 36° B. 42° C. 45° D. 48°2. 如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图, 那么搭成的这个几何体所用的小立方块的个数是 （ ）A. 9个B. 8个C. 7个D. 6个3. 关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235352只有5个整数解, 则（ ）A. －6＜a ＜－211B. －6≤a ＜－211C. －6＜a ≤－211D. －6≤a ≤－2114. 如果一条直线l 经过不同的三点A(a, b), B(b, a), C(a －b, b －a),那么直线l 经过的象限有 （ ） A. 二、四 B. 一、三 C. 二、三、四 D. 一、三、四 5. 方程|2x －x 2|=x2的正根个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 36. 在等边△ABC 所在平面上的直线m 满足的条件是: 等边△ABC 的3个顶点到直线m 的距离只取2个值, 其中一个值是另一个值的2倍, 这样的直线m 的条数是 （ ）A. 16B. 18C. 24D. 27 二、填空题（每小题3分，共18分）7. 要使代数式x 2+y 2－14x+2y+50的值为0, 则x ＋y 的取值应为 .8. 若20082 k 是整数, 则整数k 的最小值为 . 9. 四边形ABCD 中, ∠A=∠C=90°, ∠ADC=60°, AB=11, BC=2, 则BD= .10. 已知b －a=81, 2a 2+a=41, 那么ab －a 的值为 .11. 一个半径为1cm 的圆在边长为6cm 的正六边形内任意移动(圆可与正六边形的边相切), 则圆在正六边形 内不能达到部分的面积为 .12. 如右图的数表, 它有这样的规律: 表中第1行为1, 第n (n ≥2)行两端的数均为n, 其余每一个数都等于它肩上两个数的和,设第n (n ≥2)行的第2个数为a n , 如a 2=2, a 3=4, 则a n+1－a n = (n ≥2), a n = .三、解答题（共36分）13. 已知: 如图, △ABC 中AC=21AB, AD 平分∠BAC, 且AD=BD. 求证: CD ⊥AC.14. 已知抛物线y=ax 2+(a+2)x+2a+1与直线y=2－3x 至少有一个交点是整点(直角坐标系中, 横、纵坐标均为整数的点), 试确定整数a 的值, 并求出相应的交点(整点)的坐标.15. 怎样的整数a, b满足不等式a2+3b2+6＜2ab－8b?四、选做题（共4小题，满分70分）16．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点．17．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．（1）若CP平分∠ACB，求证：AP=2QO．（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题．①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE 的面积为S．试求S与x的函数关系式；②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．18．设a为整数，使得关于x的方程ax2﹣（a+5）x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根．19．设k为正整数，证明：（1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；（2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积．20.直线上按顺序有四个点A、B、C、D, 且AB:BC:CD=2:1:3, 分别以AC、BD为直径作⊙O1、⊙O2, 两圆交于E、F(如图). 求ED:EA的值.参考答案一、选择题1. D2. B3. A4. A5. B6. C二、填空题7.6 8. －503 9. 14 10. 23 11. (2π-3)cm 2 12. n, 222+-n n三、解答题13. 过D 作DE ⊥AB 于E∵AD=BD DE ⊥AB∴AE=21AB ∠DEA=90°∵AC=21AB ∴AE=AC∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD在△DEA 和△DCA 中 AE=AC, ∠BAD=∠CAD AD=AD∴△DEA ≌△DCA ∴∠ACD=∠AED ∴∠ACD=90° ∴AC ⊥DC14. 联系⎩⎨⎧-=++++=xy a x )a (ax y 321222得ax 2+(a+5)x+2a －1=0(*)设(*)的两根为x 1, x 2, 则x 1·x 2=aa 12-=2－a1为整数∴a=±1当a=1时, (*)为x 2+6x+1=0无整数解当a=－1时, (*)为x 2－4x+3=0, x 1=1, x 2=3 对应地y 1=－1, y 2=－7∴a=－1, 交点坐标为(1, －1)和(3, －7).15. 由已知不等式得a 2－2ab+b 2+2b 2+8b+6＜0, 即(a －b)2+2(b+2)2－2＜0.(1) 当(a －b)2=0且(b+2)2=0, 即a=b=－2时, 不等式成立.(2) 当(a －b)2=1且(b+2)2=0, 即a=－1, b=－2时, 不等式成立.(3) 当(b+2)2≠0, 即b ≠－2时, 2(b+2)2≥2, (a －b)2≥0不等式不成立. (4) 当(b+2)2=0, 即b=－2时, 若a ≠－2, 又a ≠－1, 则(a －b)2＞2, 不等式不成立.综上知, 满足不等式a 2+3b 2+6＜2ab －8b 的整数a, b 只有⎩⎨⎧-=-=,b ,a 22⎩⎨⎧-=-=21b ,a 两组.16. 连结EB、EC, 过C作CG, 垂直于EB交AE、BE于G、H.∵DE⊥BE ∴DE∥CG由给定条件AC:CD=3:3=AG:GE∴AG=GE∵CH:DE=BC:BD=1:4, 而CG:DE=AC:AD=1:2∴H为GC的中点, 故EB为CG的垂直平分线又∠AEC=90°∴△GEC为等腰直角三角形,则∠ECG=45°故ED:EA=2CG:2EG=2。
湖北省黄冈中学初中数学自主招生预录考试训练试题五(
湖北省黄冈中学2016年初中数学自主招生（理科实验班）预录考试训练试题五高中预录考试数学训练题（五） 参考答案一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 1．B ． 2．C ． 3．A ． 4．C ．解析：设第n 层的最高点到水平线的距离记为：a n （n =1，2，3，…，10）． 由题意，得224412132435411111;();();();();2222a a a a a a a a a ==+=+=+=+66106576109111();();...;();222a a a a a a =+=+=+把这10个式子左右相加，得2468101010111111170512[()()()()()]()2222221024a =+⨯++++-=． 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）5．6． 6．5个． 7．4196． 8．45．解析：记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则232431091;2;3;............9.a a a a a a a ==+=+=+所以10123.....945a =++++=．9．0． 10．36．解析：每隔3cm 剪一刀共剪72÷3－1=24－1=23刀，每隔4cm 剪一刀，共剪72÷4－1=17刀，所以应共剪23+17=40刀，但其中重复位置的刀数为：72÷12－1=5刀，因此互不重复的刀数为40－5=35刀，所以72cm 长的绳子按要求被剪的段数为35+1=36段． 11.6.解析：∵a ＜3，b ＞3，∴a －3＜0，b －3＞0,∴(a －3)(b －3)＜0，∴ab －3(a +b )+9＜0， 又∵a +b =k －1，ab =3，代入上述不等式，得3－3(k －1) +9＜0，解得k ＞5． 12.130.解析：由30350x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩用x 来表示y ，z ，得y =40－2x ，z =x －10，又由y ≥0，z ≥0，得402x x -≥0⎧⎨-10≥0⎩，解得10≤x ≤20， 又把y =40－2x ，z =x －10代入M =5x +4y +2z ，得M =－x +140，显然M 是关于x 的一次函数，且M 随x 增大而减小，所以当x =10时，M 的最大值为130． 三、解答题（本大题共4小题，共60分） 13．（本题满分14分）过点A 作AN ⊥BC 交DG 于M ,交BC 于N ，设AN=h ，DE=x=MN=DG ， 则121=⋅h BC ，2h BC =，由DG ∥BC 知△ADG ∽△ABC ，故AN AM BC DG =，即h xh hx -=2，∴222+=h h x ． 记正方形DEFG 的面积为S ，则212222222222222=⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=h h h h S ． 当2=h 时，正方形DEFG 面积的最大值为21． 14．（本题满分12分）由题意知0)1)(5(56)12(4)13(222≥--=+-=---=∆a a a a a a ， ∴5≥a 或1≤a ．由根与系数的关系知12,3122121-=-=+a x x a x x ．故21221212221212116)(310)(3)3)(3(x x x x x x x x x x x x -+=-+=--8019185)12(16)31(3222-=+--=---=a a a a ．∴31=a （舍）或5332-=a ． ∴所求的实数533-=a ． 15．（本题满分16分）（1）当x = c 时，y = 0，即20, (1)0ac bc c c ac b ++=++=，又c>1，所以 10ac b ++=．设一元二次方程20ax bx c ++=两个实根为1212,()x x x x ≤．由120cx x a⋅=>，及x = c >1，得120 0x x >>，． 又因为当0＜x ＜c 时，0y >，所以1x c =， 于是二次函数2y ax bx c =++的对称轴：2bx c a=-≥ 即2b ac ≤-． 所以12b ac ac =--≤-，即1ac ≤．（2）因为0＜x=1＜c 时，0y >，所以0a b c ++>． 由1ac ≤及0,1a c >>得：01a <<． 因为22()(23)2()(223)221(1)(2)(1)(2)a b c a b c x a b c x c a b c x a ac c x cx x x x x x x x x +++++++++--++++==++++++ 而0a b c ++>，01a <<，1c >，223(1)(21)(1)0a ac c a c c --+=--+->，所以当x ＞0时，2()(232)20(1)(2)a b c x a ac c x c x x x +++-+-+>++，即021a b cx x x++>++．16．（本题满分18分）（Ⅰ）当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b <≤=+时设，由题意得1,2000,32060,200.3a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得∴320031)(+=x x v ．故函数()v x 的表达式为60,(020),()1(200),(20200)3x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩．（Ⅱ）由题意得60,(020),()1(200),(20200)3x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩．当020x ≤≤时，当20x =时，()f x 的最大值为60×20=1200；当20200x <≤时，21110000()(200)(100)333f x x x x =-=--+，∵13-<0，∴当100x =时，()f x 的最大值为1000033333≈． 综上所述，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．。
黄冈中学2016年高考数学(理科)预测卷精讲
黄冈中学第一卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5(1)抛物线2y=8x 上到焦点距离等于6A.2 B.4 C.6 D.8(2)已知1z =1i +(其中i 为虚数单位)，设1z 的坐标为( )A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)(3)在等差数列{n a }中，9122a =a 12+A.24 B.48 C.66 D.132(4)给出下列命题，其中正确的命题为( )A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则B.直线a 与平面α不垂直，则a 与平面αC.异面直线a 、b 不垂直，则过aD.直线a 与平面α不平行，则a 与平面α(5)已知集合A ，A.A ∪B=A B.(R C A )∩B=Æ C.若a ∈A ，则a f(x)x =为增函数 D.(6)某单位共有36中抽取一个容量为12A.25 B.35 C.2536 D.1136(7)若关于x ，y 的不等式组x 0x+2y 0kx y+10( ìï£ïïï彻íïï-?ïïîA.14 B.45 C.25 D. 15( )20152)20162016a 2()x +-(x ∈R),则该三棱锥的外接球的表面积记为1S ，1S ：2S =( )(11)已知命题p ：函数313() x xk f x k -=+π.下列是真命题的是( )A.P ÙqB.(Øp)Ù(Øq)C. P Ù((12)设[x]表示不大于实数x 实数a 的取值范围为( ) A.a ＜0或a=12 B. 0≤a ＜12 C.a 第二卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5(13)已知角4πθ+的顶点与原点重合，(14)已知正方形ABCD 的边长为2，E(15)已知1F (－c ，0)为双曲线2222-=x y ab11|||| c AF BF a=(16)已知数列{}n a 满足12=a ，1+=n a 31112321log ,,,.n b n n b n k b n k --ì-+=ïï=íï=+ïïî(k N *Î.12，乙 ，若ξ的数学期望1³Eξ，求q 的取值范围.(19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB ^平面BCP(Ⅰ)证明：平面BAP ^平面DAP ；(Ⅱ)点M 为线段AB(含端点)上一点，设直线(20)(本小题满分12分) 已知椭圆22221+=x y ab(a ＞b ＞0)短轴长为的一条弦，已知直线AB 斜率为﹣1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设M ，P 是椭圆上两点，点M 关于x 11|||| OM ON 为定值.E.若AB=AD=3，BE=2.(23)(本小题满分10分)选修4－4在平面直角坐标系xOy 中，直线l 轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标系方程；(Ⅱ)求线段AB 的长.(24)(本小题满分10分)选修4－5已知函数13()||||f x x x =-++(Ⅰ)求m ；(Ⅱ)若正实数a ，b ，c 满足22()a a c b ++。
黄冈中学2016年高考数学(理科)预测卷精讲(答案)
x12 x2 2 2 ， y 1 y2 2 1 ， 1 a2 a2
1 2 1 y1 y2 y1 y2 1 两式相减得 2 ， 2 (1) 2 ， a 2 2 2 1 a x1 x2 x1 x2 a
故椭圆的方程为
x2 y 2 1 . （6 分） 2
湖北省黄冈中学 2016 届高三适应性考试理科数学答案 一. 选择题 二. 填空题 三. 解答题 BBDCC
1 3
BDCCB DA
4
1,
2 1
127
) 3 cos 2 x 3 cos(2 x ) 3 cos 2 x 2 4 2 3 cos 2 x sin 2 x 2 2 cos(2 x ) 2 （3 分） 6 5 11 2k 2 x 2k 2 k x k ， 6 12 12
由 E 1 知 ( q 则 已 知 条 件 有 ： C ( 3, 0, 0) ， D ( 3, 0,1) ， P (0, 1, 0) ，
CD (0, 0,1), PC ( 3,1, 0),
M O x D C B y
平面 DCP 的一个法向量记为 n ( x, y , z ) ，
(17) （Ⅰ） f ( x ) 2sin ( x
2
所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 k
5 11 , k (k Z ) 12 12
（6 分）
（Ⅱ）方法一： AB 2 f ( ) 6 ，以 AB 所在直线为 x 轴， AB 中点为原点建立平面直角 坐标系，设 C ( x, y ) ，由 AC
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全国重点高中黄冈中学2016年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(附答案)(2)
9、团结号列车上午 7： 45 从甲地出发开往乙地，胜利号列车上午 8： 15 从乙地出 发开 往甲地。 两车中途 相遇，团 结号在相 遇后 40 分钟抵达 乙地，胜 利号在相 遇 后 1 小时 40 分抵 达甲地， 假设两列 火车全程 以各自的 速度匀速 行驶，则 两列火 车相遇的时刻为（ A、 上午 8： 50 ） B、上午 8： 55 C、上午 9： 00 D、上午 9： 05
18、（ 9 分）已知 x1,x2 是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的 实 数根 (x1,x2 可相等 ) （ 1） 证 明方程的两根都小 于 0； （ 2）当 实 数 k 取 何 值时 x12+x22 最大 ？并求 出最大值。
19、（ 9 分）不等 式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 称 为 柯西 不等 式 ，其中 a,b,c,d 都 是实数 （ 1） 证 明 柯西 不等 式 ； （ 2）若 3x2+2y2≤6， 求证 ： |2x+3y|≤ 35 。
1 1 =2，则 x2+ 2 = x x
12、如图，将等腰直角△ ABC 沿斜边 BC 方向平移得到△ A1B1C1。 若 BC=3 2 ，△ ABC 与△ A1B1C1 重叠部分面积为 2，则 BB1= 13、已知二次函数 y=x2-2x+3，当 0≤x≤m 时， y 最大值为 3，最小值为 2，则 m 的取值范围是 14、有一列 具有规律 的数字： 之和为 15、信息安全逐渐成为社会热点问题，我们为了通信安全，通常会按一定规则将通 讯 内 容（ 明 文 ）加 密 成 密文 ， 再 将密 文 传 输给 接 收 者 ， 接 收 者 再 将 密 文 还 原 成 明 文 。 已 知 按 某 种 规 则 将 明 文 “ WELCOME TO OUR SCHOOL” 加 密 成 “ ZBOZRJH QR LXO VZKLRI” ， 若 接 收 者 接 收 到 密 文 “ JLRA ORFH” ， 则 明文为 16、某 次数学考试以 65 分为 及格 分数线，全 班 总平 均 分为 66 分，所有成 绩及格 的 学 生 的平 均 分为 71 分，所有成 绩 不 及格 的学 生 的平 均 分为 56 分；为了 减少 不 及 格 的人 数 ， 老师 给 每 个学 生 的 成 绩 都 加 5 分， 加 分 之后 ， 所 有成 绩 及 格 的 学 生 的平 均 分为 75 分，所有成 绩 不 及格 的学 生 的平 均 分为 59 分。已知 该班 学 生 人数 介于 15 至 30 人之间，则 该班 的学 生 人数总共有 人。
全国重点高中黄冈中学自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(C卷)(附答案)
黄冈中学自主招生考试 数学模拟试题（C 卷）（满分：120分 考试时间：120分钟）一、选择题（每小题4分，共8题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在直角坐标系xOy 中，点P (4,)y 在第一象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角为60°，则y 的值为（ ）.A.3B.2.将二次函数2y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图像的函数表达式是（ ）．A.2(1)2y x =-+ B. 2(1)2y x =++ C. 2(1)2y x =-- D. 2(1)2y x =+- 3．x 、y 都是正数，并且成反比，若x 增加了p ﹪，设y 减少的百分数为q ﹪，则q 的值为（ ）. A.1001%p p + B. 100%p C. 100p p + D. 100100pp+4.在凸多边形中，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线.观察探索凸十边形有（ ）条对角线.A.29B. 32C. 35D.385．已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足方程222222()0a x c a b x b ---+=.则方程根的情况是（ ）.A.有两相等实根B. 有两相异实根C. 无实根D.不能判定 6．关于x的方程1x x -=的根的个数为（ ）.A.0B. 1C. 3D.47．如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR ，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转，那么它们重叠部分的面积是（ ）.A.4B. 2C. 1D.128.折叠圆心为O 、半径为10cm 的圆纸片，使圆周上的某一点A 与圆心O 重合.对圆周上的每一点都这样折叠纸片，从而都有一条折痕.那么，所有折痕所在直线第7题上点的全体为（ ）.A.以O 为圆心、半径为10cm 的圆周B. 以O 为圆心、半径为5cm 的圆周C. 以O 为圆心、半径为5cm 的圆内部分D. 以O 为圆心、半径为5cm 的圆周及圆外部分 二、填空题（每小题4分，共8小题）9．如图，⊙C 通过原点，并与坐标轴分别交于A 、D 两点.已知∠OBA=30°，点D 的坐标为（0，2）,则点C 的坐标为 .10.如图，已知3个边长相等的正方形相邻并排.则∠EBF ＋∠EBG= . 11．若函数(0)y kx k =>与函数1y x=的图像相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于点B ，则△ABC 的面积为 .12．设二次函数222(0)2a y x ax a =++<的图像顶点为A ，与x 轴交点为B 、C.当△ABC 为等边三角形时，a 的值为 .13．甲在汽车上发现乙正往相反的方向走去。
2016年湖北省黄冈中学自主招生物理模拟试卷(二)(理科实验班)
2016年湖北省黄冈中学自主招生物理模拟试卷(二)(理科实验班)2016年湖北省黄冈中学自主招生物理模拟试卷（二）参考答案与试题解析出题人：陈火林答题和审题：刘治强；刘伟一、选择题1．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）如图是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫块，楔块与弹簧盒、垫块间均有摩擦，在车厢相互撞击时弹簧压缩过程中（）A．缓冲器的机械能守恒B．摩擦力做功消耗机械能C．垫块的动能全部转化成内能D．弹簧的弹性势能全部转化为动能【分析】通过克服摩擦力做功，系统的机械能转化为内能，结合能量守恒定律分析即可．【解答】解：A、通过克服摩擦力做功，系统的机械能向内能转化，故机械能减小，故A错误；B、通过克服摩擦力做功，系统的机械能向内能转化，故B正确；C、垫块的动能转化为弹性势能和内能，故C错误；D、弹簧的弹性势能转化为动能和内能，故D错误．故选B．2．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）如图所示，水平地面上堆放着原木，关于原木P在支撑点M、N处受力的方向，下列说法正确的是（）面上升，阻力越小则上升的高度越大，伽利略通过上述实验推理得出运动物体如果不受其他物体的作用，将会一直运动下去．【解答】解：A、如果斜面光滑，小球不会有能量损失，将上升到与O点等高的位置，故A正确；B、通过推理和假想，如果小球不受力，它将一直保持匀速运动，得不出静止的结论，故B错误；C、根据三次实验结果的对比，不可以直接得到运动状态将发生改变的结论，故C错误；D、如果小球受到的力越大，运动的速度将越大是牛顿第二定律的结论，与本实验无关，故D错误．故选：A．4．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）如图是健身用的“跑步机”示意图．质量为m的健身者踩在与水平面成α角的静止皮带上，用力向后蹬皮带，可使皮带以速度v匀速向后运动．若皮带在运动的过程中受到脚的摩擦力为f，则在运动的过程中，下列说法中正确的是（）A．f是皮带运动的阻力B．人对皮带不做功C．人对皮带要做功，其做功的功率为fvD．人的重力与皮带对人的支持力是一对平衡力【分析】用力向后蹬皮带，脚和皮带之间产生了摩擦力，脚受到左的摩擦力，皮带受到向右的摩擦力作用，向右的摩擦力是皮带运动的动力．皮带在脚的作用下运动，人对皮带做功．人对皮带做功的功率为P=fv．人受到的重力竖直向下，人受到皮带对人的支持力是垂直皮带向上的．两个力方向不在同一条直线上，不是平衡力．【解答】解：A、脚蹬皮带时，脚和皮带之间产生了摩擦力，皮带受到的摩擦力是皮带运动的动力．不符合题意．B、皮带在人的作用下移动了距离，人对皮带做功．不符合题意．C、人对皮带要做功，其做功的功率为fv．符合题意．D、人受到的重力竖直向下，支持力垂直皮带向上，皮带和水平面之间有夹角，所以两个力不在同一条直线上，不是平衡力．不符合题意．故选C．5．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）在如图所示的电路中，当电键S闭合后，电压表有示数，调节可变电阻R的阻值，电压表的示数增大了△U．则（）A．可变电阻R被调到较小的阻值B．电阻R2两端的电压减小，减小量等于△UC．通过电阻R2的电流减小，减小量小于△U/R2D．通过电阻R2的电流减小，减小量等于△U/R1【分析】（1）由图可见，电阻R和R1并联，然后再与R2和R串联，电压表并联在R和R1两端，测量的是它们并联后的总电压；（2）串联电路中，总电压等于各用电器两端的电压之和，并联电路中，各支路两端的电压相等．【解答】解：（1）整个电路为串联电路，串联分压，电压大小与电阻成正比，电压表的示数增大了△U，说明R与R1并联后的总电阻是增大的，故A选项错误；（2）总电压U不变，电压表示数增大了△U，说明电阻R2和R串联后的总电压减小了△U，单独拿R2来说，它两端的电压减小量要比△U小，因此电流减小量要比小，故选项BD都错误，选项C正确．故选C．6．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）如图所示，均匀杆AB长为L，可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离L处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知杆水平时，细绳的拉力为T1，杆与水平面夹角为30°时，细绳的拉力为T2，则T1：T2是（）A．：1 B．2：1 C．1：D．1：1【分析】找出杠杆即将离开水平位置和把吊桥拉起到与水平面的夹角为30°时的动力臂和阻力臂，然后结合利用杠杆的平衡条件分别求出T1、T2的大小．【解答】解：（1）杆在水平位置时，如图，△AOB和△ABE都为等腰直角三角形，则AE=BE∵BE2+AE2=AB2∴AE=L，由杠杆平衡可得：T1×AE=G×AC，T1===G．（2）把吊桥拉起到与水平面的夹角为30°时，如图，△ABO为等边三角形，AB=L，BE′=L，∵BE′2+AE′2=AB2∴AE′=L，在△ACC′中，∠CAC′=30°，CC′=AC=L，∵AC′2+CC′2=AC2，∴AC′=L，根据杠杆平衡的条件可得T2×AE′=G×AC′，T2===G；∴T1：T2=G：G=：1．故选A．7．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）如图，物体甲从A点沿直线运动到B，再从B点沿直线运动到C，物体乙沿直线直接从A点运动到C．如果有方向的线段AB可以表示从A到B过程中物体位置的变化，则从A到C的运动过程中，甲、乙的（）A．路程相等，位置的变化相同 B．路程不等，位置的变化不同C．路程相等，位置的变化不同 D．路程不等，位置的变化相同【分析】1、路程是物体运动轨迹的长度．2、位置变化是物体位置的改变，它只与物体的初末位置有关，与物体的运动过程无关．【解答】解：1、路程是物体运动轨迹的长度，甲物体的路程是线段AB与线段BC的长度之和；而乙物体的路程是线段AC的长度，显然甲乙两物体的路程不同．2、位置变化是物体位置的改变，它只与物体的初末位置有关，与物体的运动过程无关．甲乙两物体的初末位置相同，所以甲乙两物体的位置变化相同．故选D．8．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）如图所示，小明将看3D电影的两只镜片P、Q平行放置，把发光的白炽灯放在P的左边，分别在A（PQ之间）、B（Q右侧）两处透过镜片观察白炽灯．旋转P，A处亮度不变，B处亮度变化明显．把白炽灯换成正在工作的液晶显示器，旋转P，A、B两处的亮度均变化明显．下列推断符合实验事实的是（）A．白炽灯发出的光与液晶显示器发出的光性质相同B．在A、B处观察到白炽灯通过镜片的光的性质相同C．在B处观察到液晶显示器通过镜片的光，与白炽灯发出的光性质相同D．在A处观察到白炽灯通过镜片的光，与液晶显示器发出的光性质相同【分析】立体眼镜的左眼和右眼分别装横偏振片和纵偏振片，横偏振光只能通过横偏振片，纵偏振光只能通过纵偏振片，这样就保证了左边相机拍摄的东西只能进入左眼，右边相机拍摄的东西只能进入右眼．【解答】解：根据题意，观察白炽灯旋转P，A处亮度不变，B处亮度变化明显．因为白炽灯发出的是普通光线，不是偏振光；把白炽灯换成正在工作的液晶显示器，旋转P，A、B两处的亮度变化均变化明显，说明白炽灯发出的光与液晶显示器发出的光性质不同，A错误；在A、B处光线因为通过了两个不同偏振角度的镜片，所以白炽灯通过镜片的光的性质是不同的，B错误；在B处观察到液晶显示器通过镜片的光是偏振光，而白炽灯的发出的光是普通光线，所以不同，C错误；液晶显示器由于特殊的发光成像原理发出的是偏振光，在A处观察到白炽灯通过镜片的光，是经过偏振镜片后的光线，也是偏振光，故性质相同，故D正确．故选D．二、填空题9．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）蜡烛与光屛的间距为 1.8m．从蜡烛处开始移动透镜，第一次在光屛上出现清晰的像之后，又向前移动了0.72m时，再一次出现了清晰的像，透镜的焦距f为0.378 m．【分析】设光源蜡烛与光屏间的距离为L，两次成像时，物距分别为u1、u2，像距分别为v1、v2，两次透镜间距为d，由成像公式=列出方程，解方程即可．【解答】解：设光源蜡烛与光屏间的距离为L=1.8m，两次成像时，物距分别为u1、u2，像距分别为v1、v2，如图所示：第一次在光屛上出现清晰的像，凸透镜在B点，又向前移动了0.72m，透镜到达C点，两次凸透镜间距为BC=d=0.72m，则=，解得f=…①由折射时光路是可逆的，交换光屏与蜡烛的位置，则成像时透镜在同样的位置，故u1=v2，v1=u2，根据题意和图可得，由②+③可得，v1=，由②﹣③可得，u1=，将v1=和u1=代入①得：f=====0.378m．故答案为：0.378．10．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）如图，xOy平面内有一以原点O为圆心的圆，动点P在圆周上沿顺时针方向做速度大小始终为v的圆周运动，另一动点Q沿x轴正方向做匀速直线运动．A、B为圆与x轴的交点，某时刻P、Q在A 点相遇，经过一段时间后又在B点相遇，则Q的速度大小为（n=0，1，2…）．【分析】从A点到B点，Q做匀速直线运动，P做匀速圆周运动，它们两次相遇之间所用的时间是相同的．只是P经过的路程可能是圆的周长的一半，也可能是多转了整数周后又转回来．因此，在计算结果时要考虑到这一点．【解答】解：Q沿直线经过的路程为2r，设速度为v′，则所用时间为t=；P沿圆周运动，设它经过的整数圆数为n，则它经过的路程为πr+2nπr，所用的时间为t=；因为时间t相同，所以得到方程=，移项，合并同类项得，v′=．n为P点运动的周数，应取整数．故答案为：（n=0，1，2…）．11．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）将重力为50N的物体甲放在水平地面上，细绳的一端系于物体甲上表面的中央，另一端竖直拉着杠杆的B端时，杠杆在水平位置平衡，如图甲所示．此时物体甲对水平地面的压强为p1，当在物体乙下方甲挂物体丙（如图乙）后，杠杆仍在水平位置平衡，此时物体甲对水平地面的压强为p2，压力为6N，且p1：p2=5：3，则物体丙的重力为 2 N．【分析】甲乙两种情况下甲物体的受力面积不变，根据p=求出两图中甲物体对地面的压力，因绳子对A的作用力和绳子对甲的作用力相等据此可知两种情况下甲物体对A点的作用力，根据杠杆的平衡条件得出等式，联立等式即可得出丙物体的重力．【解答】解：设甲物体的底面积为S，由p=可知，甲物体对地面的压力F=pS，已知p1：p2=5：3，且F2=6N，===，所以，F1=F2=×6N=10N；由于绳子对A 的作用力和绳子对甲的作用力相等，则图甲中：F A =G 甲﹣F 1=50N ﹣10N=40N ，图乙中：F A ′=G 甲﹣F 2=50N ﹣6N=44N ，由于杠杆始终处于平衡状态，关键杠杆平衡条件可得：图甲中：F A AO=G B OB ，由图可知：力臂AO ：OB=1：2，以此即可得出：G B =×F A =×40N=20N ，乙图中：F A ′AO=（G B +G 丙）OB ，则G 丙=×F A ′﹣G B =×44N ﹣20N=2N ．故答案为：2．12．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）甲、乙两液体的密度比为ρ甲：ρ乙=5：4，体积比为V 甲：V 乙=2：3，比热容比为c 甲：c 乙=1：2，且它们的初温不等，现将它们混合（不发生化学反应），不计混合过程中的热损失，达到热平衡后液体温度相对各自初温变化量的绝对值分别为△t 甲和△t乙，则△t甲：△t乙为12：5 ．【分析】根据密度公式ρ=的变形公式m=ρV 求出甲、乙两液体的质量之比，然后根据热平衡方程Q 放=Q 吸和热量公式Q=cm △t 即可求出温度的变化量之比．【解答】解：由ρ=得，液体的质量m=ρV，则甲、乙两液体的密度比为：==×=×=，不计混合过程中的热损失，根据热平衡方程可得：Q 放=Q 吸，即：c 甲m 甲△t 甲=c 乙m 乙△t 乙，则液体温度相对各自初温变化量的绝对值：==×=×=．故答案为：12：5．13．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）如图所示．轻绳的一端通过定滑轮与质量为m 、可看成质点的理想物体相连．另一端受到大小为F 的恒力作用，开始时绳与水平方向夹角为θ．小物体从水平面上的A 点被拖动到水平面上的B 点，A 、B 距离为L ，随后从B 点沿斜面被拖动到滑轮O 处，B 、O 距离也为L ，小物体与水平面及斜面间的动摩擦因数均为μ，若小物体从A 运动到O 的过程中，F 对小物体做的功W F = 2FLcosθ ，小物体在BO 段运动过程中克服摩擦力做的功W f = μmgLcos2θ ．【分析】根据功的定义，F 做的功应该是F 乘以在F 方向的位移，这个位移是力F 作用点的位移即绳子伸长的长度．求出BO 段摩擦力，再求得克服摩擦力做功．【解答】解：小物体从A 运动到O 的过程中，利用数学几何关系可知绳子缩短的长度s=2Lcosθ所以F 对小物体做的功：W F =Fs=2FLcosθ根据几何关系得BO 斜面倾角为2θ，小物体在BO 段运动过程中受到的滑动摩擦力大小 f=μmgcos2θ小物体在BO 段运动过程中克服摩擦力做的功为 W f =fL=μmgLcos2θ故答案为：2FLcosθ；μmgLcos2θ．14．（4分）（2016•黄冈校级自主招生）如图所示，电阻R 1标有“6Ω lA”，R 2标有“3Ω 1.2A”，电流表A 1、A 2的量程均为0～3A ，电压表量程0～15V ，在a 、b 间接入电压可调的直流电源．闭合开关s 后，为保证R 1、R 2均不损坏，则允许加的最大电源电压是 3.6V ，通过电流表A 1的电流不得超过 1.8A ．【分析】开关闭合后，两电阻并联，电压表测电源的电压，电流表A 1测干路电流，电流表A 2测通过电阻R 2的电流；（1）根据欧姆定律分别求出两电阻两端允许所加的最大电压，然后根据并联电路的电压特点确定R1、R2均不损坏时允许加的电源电压；（2）根据欧姆定律求出通过两电阻的电流，再根据并联电路的电流特点求出电流表A1的最大示数．【解答】解：开关闭合s后，两电阻并联，电压表测电源的电压，电流表A1测干路电流，电流表A2测通过电阻R2的电流，（1）∵电阻R1标有“6Ω 1A”，R2标有“3Ω 1.2A”，∴根据欧姆定律可得：电阻R1两端允许的最大电压为U1=I1R1=1A×6Ω=6V，电阻R2两端允许的最大电压为U2=I2R2=1.2A×3Ω=3.6V，∵并联电路，各支路电压相等，且6V＞3.6V，∴为了保护电阻R2，电源电压不能超过3.6V．（2）此时通过电阻R1的电流为：I1===0.6A，∵并联电路中干路电流等于各支路电流之和，∴干路电流表A1的示数I=I1+I2=0.6A+1.2A=1.8A．故答案为：3.6V；1.8A．三、计算题15．（12分）（2016•黄冈校级自主招生）如图所示的电路中，电源两端电压U保持不变．当闭合开关S后，将滑动变阻器的滑片P置于a端时（a、b是滑动变阻器的两个端点），电压表的示数为U1，电流表的示数I1为1A，电阻R1消耗的电功率P1为6W，电阻R2消耗的电功率为P2．当闭合开关S后，将滑动变阻器的滑片P置于b端时，电压表的示数为U2，电流表的示数为I2，电阻R2消耗的电功率为P2′．已知P2：P2′=1：9，U1：U2=7：3．求：（1）电流表的示数I2为多少安？（2）电源两端的电压U为多少伏？（3）当闭合开关S后，将滑动变阻器的滑片P置于滑动变阻器中点时，通电2min，电阻R2放出的热量为多少焦？【分析】先画出闭合开关S后，将滑动变阻器的滑片P置于a端和b端时的等效电路图；（1）根据R=求出图甲中R1的电阻，利用甲乙两图R2消耗的电功率关系和P=I2R求出电流表I2的示数；（2）利用两次电压表的示数关系和欧姆定律求出R3、R2两电阻的关系，结合甲乙两图根据电源的电压不变求出R2的阻值，根据图乙求出电源的电压；（3）先根据电阻的串联特点和欧姆定律求出滑片P置于中点时电路中的电流，根据Q=I2Rt求出电阻R2放出的热量．【解答】解：设滑动变阻器的最大阻值为R3，当闭合开关S，将滑动变阻器的滑片P置于a端时，等效电路如图甲所示；当闭合开关S，将滑动变阻器的滑片P 置于b端时，等效电路如图乙所示．（1）由图甲得：R1===6Ω，由图甲、乙得：===，即=，解得：I2=3A；（2）===解得：R3=6R2，根据电源两端电压不变，由图甲、乙得：I1（R1+R2+R3）=I2（R1+R2），解得：R2=3Ω，根据图乙得：U=I2（R1+R2）=3A×（6Ω+3Ω）=27V；（3）当闭合开关S后，将滑动变阻器的滑片P置于滑动变阻器中点时，通过R2的电流I===A，通电2min，电阻R2放出的热量：Q=I2R2t=×3Ω×2×60s=810J．答：（1）电流表的示数I2为3A；（2）电源两端的电压U为27V；（3）电阻R2放出的热量为810J．16．（12分）（2016•黄冈校级自主招生）如图甲所示，正方体A边长0.2m，作为配重使用，杠杆OE：OF=2：3，某同学用这个装置和一个密闭容器D提取水中的圆柱体B，圆柱体B的体积是密闭容器D的；旁边浮体C的体积是0.1m3，该同学站在浮体C上，C总体积的浸入水中；该同学用力拉动滑轮组绕绳自由端，手拉绳的功率P和密闭容器D匀速被提升的距离关系如图乙所示；密闭容器D上升速度0.05m/s保持不变，密闭容器D被提出水后，将圆柱体B从密闭容器D中取出放在浮体C的上面，同时手松开绳子时，浮体C露出水面的体积减少总体积的；在提升全过程中，配重A始终没有离开地面．两个定滑轮总重10N．（绳的重力，滑轮与轴的摩擦及水的阻力不计．g=10N/kg），求：（1）D完全露出水面时人拉绳的力的大小．（2）圆柱体B的重力；（3）密闭容器D离开水面时，滑轮组提升重物B的机械效率；（百分号前面保留整数）；（4）圆柱体B的密度；【分析】（1）由图象可知D完全露出水面时F1的功率，知道D上升的速度，求出拉力端移动的速度，利用P=Fv求拉力大小；（2）把B放在C上，且放开手后，知道浮体C露出水面的体积减少总体积的，可得GB +F1=ρ水g VC，据此求圆柱体B的重力；（3）对圆柱体做的功为有用功利用W=Gh计算，拉力做的功为总功利用W=Fs计算，再利用效率公式求此装置的机械效率；（4）绳的重力，滑轮与轴的摩擦及水的阻力不计，利用F=（GB +GD+G轮）求容器D和动滑轮总重，由图可知，D未出水面时的功率，利用P=Fv求此时拉力，再根据F=（GB +GD+G轮﹣F浮）求此时容器D受浮力大小，再根据阿基米德原理求容器D的体积，根据圆柱体B的体积是密闭容器D的求圆柱体B的体积；利用G=mg=ρvg求圆柱体B的密度．【解答】解：（1）由图象可知D完全露出水面时F1的功率P1=12W，P1=F1υ，解之，答：D完全露出水面时人拉绳的力为80N．（2）B放在C上，且放开手后，，，答：圆柱体B的重力为200N．（3），答：滑轮组提升重物B的机械效率为83%．（4）∵F1=（GB+GD+G轮），∴GD +G动=3F1﹣GB=3×80N﹣200N=40N；D未出水面时的功率为P2=6W，拉力：F2===40N；又∵F2=（GB+GD+G轮﹣F浮），∴D受浮力F浮=GB+GD+G动﹣3F2=200N+40N﹣3×40N=120N，又∵F浮=ρ水gVD，∴VD===0.012m3，∴VB =VD=×0.012m3=0.004m3，∵G=mg=ρvg，∴ρB===5×103kg/m3．答：圆柱体B的密度为5×103kg/m3．。
【全国百强校首发】湖北省黄冈中学2016年自主招生(理科实验班)
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一、选择题（每小题3分共36分）
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二填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13.14.15.16.
三解答题（本大题有7题共52分）
17、（本题5分）