高中自主招生数学试题(另附详细答案)

合集下载

高中自主招生数学试题(另附详细答案)

2015年无为中学高中自主招生数学试题一．选择题（共6小题）1．已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0B．1C．2D．32．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（）A．2a B．2x C．﹣2a D．﹣2x3．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（）A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定4．（2013•莒南县一模）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A．k 1+k2B．k1﹣k2C．k1•k2D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）6．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值是_________．8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是_________．9．（2013•沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n﹣1B n﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥A n B n﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n﹣1A n B n 为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为_________；面积小于2011﹣1的阴影三角形共有_________个．10．你见过像，，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如．请用上述方法化简：=_________．11．不等式组有六个整数解，则a的取值范围为_________．12．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i3=i2•i=﹣1×i=﹣i，则i2011=_________，②方程x2﹣2x+2=0的两根为_________（根用i表示）13．（2013•日照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x 轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为_________．三．解答题（共7小题）14．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：（1）甲校选手所得分数的中位数是_________，乙校选手所得分数的众数是_________；（2）请补全条形统计图；（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．15．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．16．（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．17．（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．18．（2013•钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．19．（2013•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．20．（2013•昭通）如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P 的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）答案：2015年无为中学高中自主招生数学试题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2011•随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0B．1C．2D．3考点：二次函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．解答：解：函数的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故选D．点评：此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．2．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（）A．2a B．2x C．﹣2a D．﹣2x考点：二次根式的性质与化简；绝对值；完全平方公式；含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：由绝对值的定义可知，一个数的绝对值要么等于它本身，要么等于它的相反数，根据已知条件|x﹣a|=a﹣|x|，得出|x|=x且x≤a．再根据完全平方公式及二次根式的性质=|a|进行化简，最后去括号、合并同类项即可得出结果．解答：解：∵|x﹣a|=a﹣|x|，∴|x|=x且x≤a．∴a﹣x＞0，a+x＞0．∴=﹣=|a﹣x|﹣|a+x|=a﹣x﹣（a+x）=a﹣x﹣a﹣x=﹣2x．故选D．点评：本题考查了绝对值的定义，完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的化简及整式的加减运算，难度中等，其中根据绝对值的定义，结合已知条件得出|x|=x且x≤a是解题的关键．3．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（）A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定考点：二次根式的性质与化简．分析：将已知等式右边化简，两边比较系数可知a、b、c的值，再计算式子的值．解答：解：∵==，∴a+b+c=，∴a=0，b=1，c=1，2a+999b+1001c=2000．故选B．点评：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键．4．（2013•莒南县一模）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A．k 1+k2B．k1﹣k2C．k1•k2D．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题；数形结合．分析：四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数中k的几何意义，其面积为k1﹣k2．解答：解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S﹣S OBD﹣S OAC，矩形OCPD由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．故选B．点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．5．（2012•南开区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）考点：坐标与图形变化-旋转；等腰梯形的性质．专题：规律型．分析：由P、A两点坐标可知，点P绕点A旋转180°得点P1，即为直线PA与x轴的交点，依此类推，点P2为直线P1B与y轴的交点，由此发现一般规律．解答：解：由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，﹣2）．记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2．根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2）．令P6（a6，b2），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2），由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标为（2010，﹣2）．故选B．点评：本题考查了旋转变换的规律．关键是根据等腰梯形，点的坐标的特殊性，寻找一般规律．6．（2013•荆门）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（）A．B．C．D．考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD 的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．解答：解：过点A作AD⊥OB于点D，∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，∴OD=AD=OA•cos45°=×1=，∴BD=OB﹣OD=1﹣，∴AB==，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，AC=2，∴sinC=．故选B．点评：此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．二．填空题（共7小题）7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值是1．考点：代数式求值；绝对值．专题：计算题．分析：由三个数a、b、c的积为负数，可知三数中只有一个是负数，或三个都是负数；又三数的和为正，故a、b、c中只有一个是负数，根据对称轮换式的性质，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，求x的值即可．解答：解：∵abc＜0，∴a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数；又∵a+b+c＞0，∴a、b、c中只有一个是负数．不妨设a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，x=﹣1+1+1﹣1﹣1+1=0，当x=0时，ax3+bx2+cx+1=0a+0b+0c=0+1=1．故本题答案为1．点评：观察代数式，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论．有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质．8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是6．考点：面积及等积变换．分析：先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4（1+x），又四边形ABCD 是正方形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S△BEF：S△DAF=（）2，E是BC中点可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，进而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．解答：解：如右图，设△BEF的面积是x，∵E是BC中点，∴S△DBE=S△DCE，∴S△BCD=2（1+x），∴S正方形=4（1+x），∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△DAF，∴S△BEF：S△DAF=（）2，∵E是BC中点，∴BE=CE，∴BE：AD=1：2，∴S△DAF=4x，∵S△ABE=S△BED，∴S△ABF=S△DEF=1，∴S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解得x=0.5，∴S正方形=4（1+x）=4（1+0.5）=6．点评：本题考查了面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质，解题的关键是找出正方形面积的两种表示方式．9．（2013•沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n﹣1B n﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥A n B n﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n﹣1A n B n为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为；面积小于2011的阴﹣1影三角形共有6个．考点：相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．分析：根据面积比等于相似比的平方，可得出=，=，再由平行线的性质可得出==，==，从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为1：2，面积比为1：4，先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个阴影部分的面积，再由相似比为1：2可求出面积小于2011的阴影部分的个数．解答：解：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，∴==，==，又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，∴===，==，∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4…又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，继而可推出S△A3B3A4=8，S△A，4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个．故答案是：；6．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质，解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观察图形，得出规律．10．你见过像，，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如．请用上述方法化简：=．考点：二次根式的性质与化简．分析：因为5=2+3=（）2+（）2，且2=2××，由此把原式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可．解答：解：===+．故答案为：+．点评：此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．11．不等式组有六个整数解，则a的取值范围为＜a≤．考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式组的解集，再根据整数解有六个得到关于a的不等式组，然后解不等式组即可求解．解答：解：解不等式组，得﹣4＜x≤5﹣4a．由题意，知此不等式组的六个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，则2≤5﹣4a＜3，解得＜a≤．故答案为＜a≤．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．12．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i3=i2•i=﹣1×i=﹣i，则i2011=﹣i．，②方程x2﹣2x+2=0的两根为1±i．（根用i表示）考点：一元二次方程的应用．专题：新定义．分析：（1）根据题中规律可知i1=1，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，可以看出4个一次循环，可以此求解．（2）把方程x2﹣2x+2=0变形为（x﹣1）2=﹣1，根据题目规律和平方根的定义可求解．解答：解：（1）i2011=i502×4+3=﹣i．（2）x2﹣2x+2=0（x﹣1）2=﹣1x﹣1=±ix=1+i或x=1﹣i．故答案为：﹣i；1±i．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程以及找出题目中的规律，从而求得解．13．（2013•日照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x 轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为8．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题．分析：过A作AN⊥OC于N，求出ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），得出B（2a，b），根据三角形AOC 的面积求出ab=8，把B的坐标代入即可求出答案．解答：解：过A作AN⊥OC于N，∵BM⊥OC∴AN∥BM，∵，B为AC中点，∴MN=MC，∵OM=2MC，∴ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），则B（2a，b），∵S△OAC=12．∴•3a•b=12，∴ab=8，∵B在y=上，∴k=2a•b=ab=8，故答案为：8．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题和三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力．三．解答题（共7小题）14．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：（1）甲校选手所得分数的中位数是90分，乙校选手所得分数的众数是80分；（2）请补全条形统计图；（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；中位数；众数；列表法与树状图法．分析：（1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，根据甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等，可得出方程，解出x的值，继而可得出甲校选手所得分数的中位数，及乙校选手所得分数的众数；（2）列出树状图后，求解即可得出所选两位选手来自同一学校的概率．解答：解：（1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，由题意得，x=（x+2+3+5）×，解得：x=2，即获得100分的人数有2人．故可得甲校选手所得分数的中位数是90分；乙校选手所得分数的众数80分．（2）则两位选手来自同一学校的概率==．点评：本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，要求同学们有一定的读图能力，能在条形统计图及扇形统计图中得到解题需要用到的信息，有一定难度．15．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根据本题定理和结论，得到AB=，根据顶点坐标公式，得到CE=||=，列出方程，解方程即可求出b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=AE=，据此列出方程，解方程即可求出b2﹣4ac的值．解答：解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，则|b2﹣4ac|=b2﹣4ac．∵a＞0，∴AB=，又∵CE=||=，∴，∴，∴，∵b2﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac=4；（2）当△ABC为等边三角形时，由（1）可知CE=，∴，∵b2﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac=12．点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．16．（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，列出方程组，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x，则，通过解该方程组来求点B的坐标即可；（2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式；（3）如图，作DN⊥x轴于点N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可．解答：解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得，解得，，∴点A的坐标是（3，3）．∵∠BOA=90°，∴OB⊥OA，∴直线OB的解析式为y=﹣x．又∵点B在直线y=x+上，∴，解得，，∴点B的坐标是（﹣1，1）．综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，∴，解得，，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣x，或y=（x﹣）2﹣．∴顶点E的坐标是（，﹣）；（3）OD与CF平行．理由如下：由（2）知，抛物线的对称轴是x=．∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，∴C（，）．设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（﹣1，1），C（，）代入，得，解得，，∴直线BC的解析式为y=﹣x+．∵直线BC与抛物线交于点B、D，∴﹣x+=x2﹣x，解得，x1=，x2=﹣1．把x1=代入y=﹣x+，得y1=，∴点D的坐标是（，）．如图，作DN⊥x轴于点N．则tan∠DON==．∵FE∥x轴，点E的坐标为（，﹣）．∴点F的纵坐标是﹣．把y=﹣代入y=x+，得x=﹣，∴点F的坐标是（﹣，﹣），∴EF=+=．∵CE=+=，∴tan∠CFE==，∴∠CFE=∠DON．又∵FE∥x轴，∴∠CMN=∠CFE，∴∠CMN=∠DON，∴OD∥CF，即OD与CF平行．点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点．此题难度较大．17．（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出+=﹣，•=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．（3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2﹣4•≥0，即可求出c的最小值．解答：解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则：+==﹣，•==，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：x2+x+=0；（2）∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，当a≠b时，a+b=15，ab=﹣5，====﹣47．当A=B时，原式=2；（3）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab=，∴a、b是方程x2+cx+=0的解，∴c2﹣4•≥0，c2﹣≥0，∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．点评：本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18．（2013•钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．解答：解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．点评：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．19．（2013•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．考点：旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定．专题：压轴题．分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．解答：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°，∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，∴AE=BE，BE=BC，∴AE=BC．（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，∵在△CAE′和△BAF′中，∴△CAE′≌△BAF′，∴CE′=BF′．（3）存在CE′∥AB，理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°．②当点E的像E′与点N重合时，由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．20．（2013•昭通）如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P 的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；（3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．解答：解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．∴，解得：，故抛物线的解析式为：y=x2﹣3x；（2）设直线OB的解析式为y=k1x（k1≠0），由点B（4，4）得4=4 k1，解得k1=1．∴直线OB的解析式为y=x，∠AOB=45°．∵B（4，4），∴点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为（4，0），故m=4．∴平移m个单位长度的直线为y=x﹣4．解方程组解得：，∴点D的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线OB的解析式y=x，且A（3，0）．∵点A关于直线OB的对称点A′的坐标为（0，3）．设直线A′B的解析式为y=k2x+3，此直线过点B（4，4）．∴4k2+3=4，解得k2=．∴直线A′B的解析式为y=x+3．∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上，设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴n+3=n2﹣3n．解得n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（﹣，）．如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（﹣，﹣），B1（4，﹣4）．∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．过D点做DP1∥N1B1，∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1，∴P1为O N1的中点．∴==，∴点P1的坐标为（﹣，﹣）．将△P1OD沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离，∴此点坐标为：（，）．综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）和（，）．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键．。

高校自招数学试题及答案

高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。

A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。

A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。

B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。

设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。

A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。

答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。

高中自主招生数学模拟试题及答案(供参考)

唐山市唐山一中自主招生测试题一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是 5.若非零的实数,,,a x y z满足等式=22x y xy yz zx+++的值是6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是 8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是 10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.12.（本题满分12分）已知关于x 的函数2y kx =-（1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点1(,0),(x x .试A DEA CBDFEl求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅.15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的2515号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.250.25试题及解答一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是解：这四个实数的和为245763+++=，所以这四个数分别是62,64,65,67----，即4,2,1,1-，其积是-8. 2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是解：去分母得242a a -+，移项得2240a a -+=. t =，则方程变为2340t t +-=，∴1t =或4t =-（舍去）.1=得2210a a --=，所以1a a-=2. 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是解：∵(1)(1)2(1)BDEABE ABE ABC BD AES S x S x S x y AB AC∆∆∆∆==-=-=- 221192(1)()212()248x x x x x =-+=-++=--+，∴三角形BDE 面积的最大值是98. 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是解：显然0a ≥.若0a =，则方程可变为|2|x b -=，方程最多两解，不合题意，所以0a >. 方程可化为|2|x b a -=±.当b a <时，方程可化为|2|x b a -=+，有两解，不合题意. 当b a =时，|2|2,|2|0x a x -=-=,有三解，不合题意.当b a >时，|2|,|2|x b a x b a -=+-=-方程有四解，符合题意.A BD E故0b a >>.从而||1111||||||a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b b a a b+-+-+++=+++=-++=+-+-2. 5.若非零的实数,,,a x y z 满足等式=，则22x y xy yz zx+++的值是解：若320x y -=，则=430y z -=；若430y z -==320x y -=；若320x y -≠且430y z -≠，则由230(32)0y x a x y ->⎧⎨-⎩≥得0a <；由430(43)0y z a y z ->⎧⎨-⎩≥得0a >，矛盾.故320x y -=且430y z -=.于是643x y z ==，可令2,3,4x t y t z t ===，所以 2222222496128x y t t xy yz zx t t t ++==++++12. 6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=解：连结CD ，则CD EF =，所以EF 的长最小时即为CD 的长最小，此时CD AB ⊥,于是FED FCD B ∠=∠=∠，所以cos cos BC FED B AB ∠===35. 7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是解：64341(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x -++=+-++-++，所以余式是+1x .8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =解：由20p ap b ++=，20p bp c ++=得，()0a b p b c -+-=，∴c bp a b-=-. 同理a c q b c -=-，b ar c a-=-. ∴1pqr =-.又,,p q r 互不相等，如p q =，则,p q ①③的公共根，于是p q r ==，从而1p q r ===-，代入①②③有1,1,1b a c b a c -=--=--=-，三式相加得03=-，矛盾. 由上述结论可知，①的两根为,p r ；②的两根为,p q ；③的两根为,q r . 由根与系数关系，有,,a pr b pq c rq ===，故222abc p q r ==1.9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规A CBDFE则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是解：反推∴n 的所有可能值的个数是6.2014在表中出现的次数是解：观察知，表中第m 行第n 列的数是1mn +.由12014mn +=得201331161mn ==⨯⨯，m是2013的正约数，所以(,)m n 有8对，从而2014在表中出现的次数是8. 二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.解：以AB 为直径作圆，交l 于点,C D ,则点P 在线段CD 上（不含端点）.………4分设点00(,)C x y ，则00220015(1)335(2)y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩…………………………6分把（1）代入（2），整理得，220x x +-=，∴2,1x x =-=，……………………………8分 ∴(2,1),(1,2)C D -.故a 的取值范围是21a -<<.……………12分12.（本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ，且212122(1)34kx k x k x x ++++=.试求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值. 解：（1）当0k =时，函数为23y x =-+，图象与x 轴有交点.…………………2分当0k ≠时，图象与x 轴有交点的条件是解得1k ≤.…………………………………………………………………………分综上，k 的取值范围是1k ≤.……………………………………………………4分（2）12122(1)3,k k x x x x k k+++==.………………………………………………5分由2112(1)30kx k x k -+++=得，21132(1)kx k k x ++=+，16 81 2 32 464 108 1128 20316 25 l∴212122(1)34kx k x k x x ++++=可化为12122(1)()4k x x x x ++=………………………………………………………8分∴2(1)32(1)4k k k k k+++⋅=⋅解得，1k =或2k =-.…………………………………………………………………10分但1k =时，函数图象与x 轴仅有一个交点，舍去. 2k =-时，函数为22132212()22y x x x =-++=--+，画图可知当1x -≤≤1时，最大值为32，最小值为3-.…………………………………………………………………………12分13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.解：∵AE 是圆的切线，∴2AE EB ED =⋅.设EB x =，则(4)45x x +=，解得5x =.…………………3分 ∵AE 是圆的切线,∴EAB ACB ∠=∠. ∵AB AC =,∴ACB ABC ∠=∠,∴EAB ABC ∠=∠,∴AE ∥BC ,…………………………5分又BD ∥AC ，∴四边形AEBC 是平行四边形,………………7分∴5BC AE AC BE ====.又由AC ∥BD 得，BF BDFC AC=45=，解得FC =.…………12分 14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅. 证明：连接OP ，则点Q 在OP 上.…………………2分∵OB PB ⊥,OP BC ⊥,∴2PB PQ PO =⋅.…………4分设PA 交⊙O 于M ，则2PB PM PA =⋅.……………6分 ∴PQ PO PM PA ⋅=⋅, ∴POM ∆∽PAQ ∆， ∴OM AQOP AP=…………………………………………8分 ∴OB AQOP AP=…………………………………………10分又∵OQ ∥AC ， ∴BOP BAC ∠=∠，∴OBP ∆Rt ∽ACB ∆Rt ， ∴OB ACOP AB =，………………………………………12分 ∴AQ ACAP AB=，∴AB AQ AC AP ⋅=⋅.…………………………………16分 15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 解：12325325++++=.…………………………………………………………2分设乙原来手中有卡片x 张，平均数为y ，则原来甲手中有25x -张卡片，平均数为32525xyx--.…………………………………4分由题意得，150.25(1)13103250.25(2)2425xy y x xy xy xx +⎧=+⎪⎪+⎨--⎪=+⎪--⎩………………………………………6分由(1)得，59144y x =- (3)……………………………………………………………8分由(2)得，1(310)(25)(325)(24)(25)(24)4xy x xy x x x --=--+--，22131025253103252424325(25)(24)4xy x x y xy x x y x x ⨯--+=⨯--++--，即11550(25)(24)4xy x x x =----………………………………………………………11分将(3)代入(2)得，259111550(25)(24)444x x x x x -=----，解得16x =.………………………………………………………………………………15分故原来甲手中有9张卡片，乙手中有16张卡片.把16x =代入（3），得434y =. 于是甲原来9张卡片总和为325153xy -=，平均数为17.因此,可写出如下一种原来甲、乙手中所持的卡片：甲：13,14,15,16,17,18,19,20,21.…………………………………………………………18分。

高中自主招生数学试题及答案

高中自主招生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -9C. -3D. 13. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的前三项分别为1，4，7，求第10项的值。

A. 26B. 27C. 28D. 295. 一个三角形的内角和为多少度？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°二、填空题（每题2分，共10分）6. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是_________三角形。

7. 一个函数的导数f'(x) = 3x^2 - 2x，当x=1时，其导数的值为_________。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值是_________。

9. 一个正方体的体积为27，它的边长是_________。

10. 圆的周长公式为C = 2πr，若半径r=4，则周长为_________。

三、解答题（共75分）11. 解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

（10分）12. 证明：若a，b，c是实数，且a + b + c = 0，则(1/a) + (1/b) + (1/c) ≥ 9。

（15分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数并讨论其在x=1处的单调性。

（20分）14. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。

（15分）15. 已知一个圆的圆心在原点，半径为1，求圆上任意一点到直线y = x的距离。

（15分）四、结束语本试题旨在考察学生对高中数学基础知识的掌握情况和解题能力。

希望同学们在解答过程中能够认真思考，仔细作答，展现出自己的数学素养。

数学自主招生试题答案

数学自主招生试题答案一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。

若a>0，求b与c的关系。

答案：根据题意，函数f(x)在x=1处取得极小值，因此一阶导数f'(x)在x=1处为0。

首先求导数f'(x) = 2ax + b。

将x=1代入得f'(1) =2a + b = 0。

又因为x=1是唯一极值点，根据二次函数的性质，其判别式Δ = b^2 - 4ac必须小于0。

将f'(1) = 0代入得Δ = (2a)^2- 4a*c = 4a^2 - 4ac < 0。

由于a>0，可以化简得ac < 0，即b与c的关系为c < 0。

2. 已知一个等差数列的前三项分别为a-2，a，a+2，求该数列的前n项和公式。

答案：设等差数列的首项为a1，公差为d。

根据题意，有a1 = a - 2，a2 = a，a3 = a + 2。

由于是等差数列，有a2 = a1 + d，a3 = a2 + d。

将已知条件代入得a = a1 + d，a + 2 = a1 + 2d。

解这个方程组得a1 = a - d，d = 2。

所以首项a1 = a - 2，公差d = 2。

根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，代入a1和d的值，得到Sn = n/2 * (2(a - 2) + (n-1)*2) = n/2 * (2a - 4 + 2n - 2) = n/2 * (2a + 2n - 6)。

二、填空题1. 一个圆的半径为r，求该圆的面积与周长。

答案：圆的面积公式为A = πr^2，周长公式为C = 2πr。

所以该圆的面积为πr^2，周长为2πr。

2. 已知一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，请判断该三角形的形状。

答案：根据勾股定理，如果一个三角形的三边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是一个直角三角形。

重点高中自主招生数学试题

重点高中自主招生数学试题一、选择题1.若函数$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$, 当$x$趋近于无穷大时，$f(x)$的值趋近于A. 2B. -2C. 1D. -12.已知函数$f(x)$的定义域为$x \in (-\infty, 2)$, 那么函数$g(x)=f(e^{2x})$的定义域是A. $x \in (-\infty, \ln4)$B. $x \in (-\infty, 2)$C. $x \in (-\infty, \ln2)$D. $x \in (-\infty, \ln\frac{1}{4})$3.已知函数$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$，则$f(x+1)$等于A. $f(x)$B. $f(x)+1$C. $f(x-1)$D. $\frac{1}{f(x)}$二、填空题1.设$a$为正整数，若$a^3-4a^2+5a-2=0$有一个正整数解，则$a$的值是\anst{2}。

2.设等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=5$，$a_9=29$，则$a_{15}$的值是\anst{47}。

3.已知$\frac{3^x+3^{-x}}{3^x-3^{-x}}=7$，则$x$的值是\anst{1}。

三、解答题1.解方程：$\log_3(x^2+2x)-2\log_3(x+1)=\log_3(x+2)-2$解答：首先，我们可以利用对数的性质进行简化。

将题目中的等式两边都取对数底为3，得到：$\log_3(x^2+2x)-\log_3(x+1)^2=\log_3(x+2)-1$然后，利用对数的运算相关规律合并右侧表达式：$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\right)=\log_3(x+2)-1$进一步简化为：$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}\right)=\log_3(x+2)-1$由于等式两边底数相同，因此可以去掉对数符号：$\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}=x+2$接下来，我们将方程进行整理化简为二次方程：$x^2+2x=(x^2+2x+1)(x+2)$展开并合并同类项：$x^2+2x=x^3+4x^2+5x+2$整理得到：$x^3+3x^2+3x+2=0$通过观察，我们可以发现当$x=-1$时，方程成立。

省级重点高中自主招生数学真题8套(含答案)

省重点高中自主招生数学真题8套（含答案）第1套一、选择题（每小题5分，满分30分。

以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。

）1、已知实数a 、b 、c 满足0254=-+-+++a b c b a ，那么bc ab +的值为（） A 、0B 、16C 、－16D 、－32 2、设βα、是方程02322=--x x 的两个实数根，则βααβ+的值是（）A 、－1B 、1C 、32-D 、32 3、a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4、在ABC ∆中，C B ∠=∠2，下列结论成立的是（） A 、AB AC 2= B 、AB AC 2< C 、AB AC 2> D 、AC 与AB 2大小关系不确定5、已知关于x 的不等式7<a x 的解也是不等式12572->-aa x 的解，则a 的取值范围是（）A 、910-≥aB 、910->a C 、0910<≤-a D 、0910<<-a 6、如图，□ DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□ DEFG 的面积为（） A 、32B 、2C 、3D 、4 第6题图二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知质数x 、y 、z 满足5719=-yz x ，则z y x ++= 。

2、已知点A （1，3），B （4，－1），在x 轴上找一点P ，使得AP －BP 最大，那么P 点的坐标是。

3、已知AB 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，则当△ACD 为等腰三解形时，∠ACD 的度数为。

自主招生数学试卷(含解析)

实验高中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处）1．如图，数轴上点A表示数a，则|a﹣1|是（）A．1B．2C．3D．﹣22．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝03．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（）A．﹣＝4B．﹣＝4C．﹣＝4D．﹣＝45．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）A．B．C．D．6．如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°，∠DCA＝90°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，若房屋的高BC＝5米，则高DE的长度是（）A．6米B．6米C．5米D．12米7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB 于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π9．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（）A．5或6B．5或7C．4或5或6D．5或6或710．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣1，1）、B（0，﹣2）、C（1.0），点P（0，2）绕点A旋转180得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2018的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（0，4）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填到二卷答题纸的指定位置处）11．若实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则2a3﹣7a2+4a﹣2018＝12．学校“百变魔方”社团准备购买A、B两种魔方．已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同，则购买一套魔方（A、B两种魔方各1个）需元．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A、点C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，函数y ＝2x 的图象与CB 交于点D ，函数y ＝（k 为常数，k ≠0）的图象经过点D ，与AB 交于点E ，与函数y ＝2x 的图象在第三象限内交于点F ，连接AF 、EF ，则△AEF 的面积为．14．如图，已平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆于点F ，连接CF ，若半圆O 的半径为12，则阴影部分的周长为．15．庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1＝+++…++…．图2也是一种无限分割：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将利△ABC 分割成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n ﹣2C n ﹣1∁n 、…．假设AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是．三、解答题（共7道题，合计65分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，并把答案写在二卷答题纸的指定位置处）16．（7分）先简化，再求值：（），其中x＝2，y＝．17．（8分）从共享单车，共享汽车等共享出行到共享充电宝，共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人成为参与者与受益者．根据国家信息中心发布的《中国分享经济发展报告2017》显示，2016年我国共享经济市场交易额约为34520亿元，比上年增长103%；超6亿人参与共享经济活动，比上年增加约1亿人．如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图：（1）请根据统计图解答下列问题：①图中涉及的七个重点领域中，2016年交易额的中位数是亿元．②请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从2015年到2016年交易额的增长率（精确到1%），并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和增长率两个方面，谈谈你的认识．（2）小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣，他们上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示）18．（9分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？19．（9分）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，若∠DAB＝90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．20．（10分）服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？21．（10分）（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．22．（12分）如图，抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO＝∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处）1．【分析】根据数轴上A点的位置得出a表示的数，利用绝对值的意义计算．【解答】解：根据数轴得：a＝﹣2，∴|a﹣1|＝|﹣2﹣1|＝|﹣3|＝3，故选：C．【点评】此题考查了数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键．2．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n＝11时的芍药的数量．【解答】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，∴当n＝11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4＝4+（22﹣1）×4＝4+21×4＝4+84＝88，故选：B．【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律．4．【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，根据题意得：﹣＝4．故选：D．【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．5．【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：因为该做水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．故选：D．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．6．【分析】首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝6m，∴AC＝＝5（m）；在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴AD＝＝10（m）；在Rt△DEA中，∠EAD＝60°，DE＝AD•sin60°＝5，答：树DE的高为5米．故选：C．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．7．【分析】A、将人数进行相加，即可得出结论A正确；B、由种植4棵的人数最多，可得出结论B 正确；C、由4+10＝14，可得出每人植树量数列中第15、16个数为5，即结论C正确；D、利用加权平均数的计算公式，即可求出每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D错误．此题得解．【解答】解：A、∵4+10+8+6+2＝30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；B、∵10＞8＞6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；C、∵共有30个数，第15、16个数为5，∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．故选：D．【点评】本题考查了条形统计图、中位数、众数以及加权平均数，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．8．【分析】用矩形的面积减去半圆的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：∵矩形ABCD，∴AD＝CB＝2，∴S阴影＝S矩形﹣S半圆＝2×4﹣π×22＝8﹣2π，故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半圆是解答本题的关键，难度不大．9．【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可．【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，那么小立方体的个数可能是5个或6个或7个．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个小立方体．10．【分析】画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．【解答】解：如图所示，P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2），P5（2，﹣2），P6（0，2），发现6次一个循环，∵2018÷6＝336…2，∴点P2018的坐标与P2的坐标相同，即P2018（2，﹣4），故选：A．【点评】本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填到二卷答题纸的指定位置处）11．【分析】由题意可得a2＝2a+1，代入代数式可求值．【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0∴a2＝2a+1∴2a3﹣7a2+4a﹣2018＝2a（2a+1）﹣7（2a+1）+4a﹣2018＝4a2+2a﹣14a﹣7+4a﹣2018＝4（2a+1）﹣8a﹣2025＝﹣2021故答案为：﹣2021【点评】本题考查了代数式求值，个体代入是本题的关键．12．【分析】设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据题意得：，解得：．答：购买一套魔方（A、B两种魔方各1个）需35元．故答案为：35．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组．13．【分析】根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点D的坐标为（1，2），根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到E、F两点的坐标，过点F作FG⊥AB，与AB的延长线交于点G，根据两点间的距离公式可求AE＝1，FG＝3，再根据三角形面积公式可求△AEF的面积．【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y＝2，将y＝2代入y＝2x，得x＝1，∴点D的坐标为（1，2），∵函数y＝的图象经过点D，∴2＝，解得k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝，∴E（2，1），F（﹣1，﹣2）；过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G，∵E（2，1），F（﹣1，﹣2），∴AE＝1，FG＝2﹣（﹣1）＝3，∴△AEF的面积为：AE•FG＝×1×3＝，故答案为．【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及正方形的性质，解题的关键是求得D、E、F点的坐标．14．【分析】根据菱形的判定定理得到四边形OABC为菱形，得到∴△COF为等边三角形，求出∠OCF＝60°，根据弧长公式求出的长，根据直角三角形的性质求出EF、CE，得到答案．【解答】解：∵四边形OABC为平行四边形，OA＝OC，∴四边形OABC为菱形，∴BA＝BC，∴∠CFA＝∠COA，∵BC∥AF，∴∠A＝∠CFA，∴∠A＝∠COA，又∠A+∠COA＝180°，∴∠A＝60°，∴∠COF＝60°，∴△COF为等边三角形，∴∠OCF＝60°，∴的长＝＝4π，∵CD⊥AB，∠BDC＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ECO＝90°，又∠COE＝60°，∴∠E＝30°，∴OE＝2OC＝24，∴EF＝12，EC＝＝12，∴阴影部分的周长＝12+12+4π，故答案为：12+12+4π．【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l＝是解题的关键．15．【分析】先根据AC＝2，∠B＝30°，CC1⊥AB，求得S＝；进而得到＝△ACC1×，＝×（）2，＝×（）3，根据规律可知＝×（）n﹣1，再根据S＝AC×BC＝×2×2＝2，即可得到等式．△ABC【解答】解：如图2，∵AC＝2，∠B＝30°，CC1⊥AB，∴Rt△ACC1中，∠ACC1＝30°，且BC＝2，∴AC1＝AC＝1，CC1＝AC1＝，＝•AC1•CC1＝×1×＝；∴S△ACC1∵C1C2⊥BC，∴∠CC1C2＝∠ACC1＝30°，∴CC2＝CC1＝，C1C2＝CC2＝，∴＝•CC2•C1C2＝××＝×，同理可得，＝×（）2，＝×（）3，…∴＝×（）n﹣1，又∵S＝AC×BC＝×2×2＝2，△ABC∴2＝+×+×（）2+×（）3+…+×（）n﹣1+…∴2＝．故答案为：2＝．【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、解答题（共7道题，合计65分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，并把答案写在二卷答题纸的指定位置处）16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝（﹣）•＝[﹣]•＝•＝﹣，当x＝2，y＝时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．【点评】本题主要考查分式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17．【分析】（1）根据图表将2016年七个重点领域的交易额从小到大罗列出来，根据中位数的定义即可得；（2）将（2016年的资金﹣2015年的资金）÷2015年的资金可分别求得两领域的增长率，结合增长率提出合理的认识即可；（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）由图可知，2016年七个重点领域的交易额分别为70、245、610、2038、3300、7233、20863，2016年交易额的中位数是2038亿元，故答案为：2038；（2）“知识技能”的增长率为：×100%＝205%，“资金”的增长率为：≈109%，由此可知，“知识技能”领域交易额较小，其增长率最高，达到200%以上，其发展速度惊人．（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，所以抽到“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．【点评】本题主要考查条形统计图、折线统计图和列表法与树状图法求概率，根据条形图得出解题所需数据及画树状图列出所有等可能结果是解题的关键．18．【分析】（1）根据题意，由售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个，可得销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）根据题意结合每周获得的利润W＝销量×每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案；（3）根据题意，由利润不低于5200元列出不等式，进一步得到销售量的取值范围，从而求出答案．【解答】解：（1）依题意有：y＝10x+160；（2）依题意有：W＝（80﹣50﹣x）（10x+160）＝﹣10（x﹣7）2+5290，因为x为偶数，所以当销售单价定为80﹣6＝74元或80﹣8＝72时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50＝10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用等知识，正确利用销量×每个的利润＝W得出函数关系式是解题关键．19．【分析】（1）结论：AC＝AD+AB，只要证明AD＝AC，AB＝AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；（3）结论：．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；【解答】解：（1）AC＝AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B＝180°，∠B＝90°，∴∠D＝90°，∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∵∠B＝90°，∴，同理．∴AC＝AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC＝60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∵∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，∴∠DCB＝60°，∴∠DCA＝∠BCE，∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°，∴∠D＝∠CBE，∵CA＝CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD＝BE，∴AC＝AD+AB．（3）结论：．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B＝180°，∠DAB＝90°，∴DCB＝90°，∵∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝45°，∴∠E＝45°．∴AC＝CE．又∵∠D+∠ABC＝180°，∠D＝∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD＝BE，∴AD+AB＝AE．在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，∴，∴．【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100﹣x）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出不等式解答即可；（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．【解答】解：（1）设购进甲种服装x件，由题意可知：80x+60（100﹣x）≤7500 解得：x≤75答：甲种服装最多购进75件．（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75，W＝（40﹣a）x+30（100﹣x）＝（10﹣a）x+3000方案1：当0＜a＜10时，10﹣a＞0，w随x的增大而增大，所以当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：10＜a＜20时，10﹣a＜0，w随x的增大而减小，所以当x＝65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质，正确利用x 表示出利润是关键．21．【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，证出∠NBC＝∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，证出∠ECN＝70°＝∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN＝EF，即可得出结论．【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为：2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE+∠FCD＝70°，∴∠ECN＝70°＝∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN＝EF，∵BE+BN＝EN，∴BE+DF＝EF．【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．22．【分析】（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；（2）如何证明∠AEO＝∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：∠EHF＝90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD＝90°即可，即△ADE为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2＝EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．利用二次函数性质求出EP2最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．【解答】方法一：（1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y＝0，得（x﹣3）2﹣1＝0，解得：x1＝3+，x2＝3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD＝3．令x＝0，得y＝，∴C（0，）．∴CG＝OC+OG＝+1＝，∴tan∠DCG＝．设对称轴交x轴于点M，则OM＝3，DM＝1，AM＝3﹣（3﹣）＝．由OE⊥CD，易知∠EOM＝∠DCG．∴tan∠EOM＝tan∠DCG＝＝，解得EM＝2，∴DE＝EM+DM＝3．在Rt△AEM中，AM＝，EM＝2，由勾股定理得：AE＝；在Rt△ADM中，AM＝，DM＝1，由勾股定理得：AD＝．∵AE2+AD2＝6+3＝9＝DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD＝90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH＝90°，∠ADC+∠AFD＝90°，∠EFH＝∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO＝∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2＝EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2．∵y＝（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2＝2y+2．∴EP2＝2y+2+（y﹣2）2＝（y﹣1）2+5当y＝1时，EP2有最小值，最小值为5．将y＝1代入y＝（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1＝1，解得：x1＝1，x2＝5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1＝1舍去．∴P（5，1）．∵△EQ2P为直角三角形，∴过点Q2作x轴的平行线，再分别过点E，P向其作垂线，垂足分别为M点和N点．由切割线定理得到Q2P＝Q1P＝2，EQ2＝1设点Q2的坐标为（m，n）则在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2＝1①，（5﹣m）2+（n ﹣1）2＝4②①﹣②得n＝2m﹣5③将③代入到①得到m1＝3（舍，为Q1）m2＝再将m＝代入③得n＝，∴Q2（，）此时点Q坐标为（3，1）或（，）．方法二：（1）略．（2）∵C（0，），D（3，﹣1），∴KCD＝，∵OE⊥CD，∴K CD×K OE＝﹣1，∴K OE＝，∴l OE：y＝x，把x＝3代入，得y＝2，∴E（3，2），∵A（3﹣，0），D（3，﹣1），∴K EA＝＝，∵K AD＝，∴K EA×K AD＝﹣1，∴EA⊥AD，∠EHD＝∠EAD，∵∠EFH＝∠AFD，∴∠AEO＝∠ADC．（3）由⊙E的半径为1，得PQ2＝EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小，设点P坐标为（x，y），EP2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2，∵y＝（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2＝2y+2，∴EP2＝2y+2+（y﹣2）2＝（y﹣1）2+5，∴当y＝1时，EP2有最小值，将y＝1代入y＝（x﹣3）2﹣1得：x1＝1，x2＝5，又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1＝1舍去，∴P（5，1），显然Q1（3，1），∵Q1Q2被EP垂直平分，垂足为H，∴K Q1Q2×K EP＝﹣1，∴K EP＝＝﹣，K Q1Q2＝2，∵Q1（3，1），∴l Q1Q2：y＝2x﹣5，∵l EP：y＝﹣x+，∴x＝，y＝，∴H（，），∵H为Q1Q2的中点，∴H x＝，H Y＝，∴Q2（x）＝2×﹣3＝，Q2（Y）＝2×﹣1＝，∴Q2（，）．【点评】本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大．第（2）问中，注意观察图形，将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题，注意解答中求EP2最小值的具体方法．。

重点高中自主招生数学(含答案)

重点高中自主招生数学试题答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1、已知实数a 满足，则等于（B ）|2|2a a -+=a （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）32、名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳人和人的两种帐篷，则有效搭建方案5032共有A ）（A ）8种（B ）9种（C ）种3、反比例函数与一次函数 1k y x -=y =B ）．是的平分线，∆70,=︒120,BPC ∠=︒BD ABP ∠CE( C )BFC =（（D ） 95︒100︒5、如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部ABCD A 30︒AB C D '''分的面积为（ A ）（A ）（B1（C ）（D ）112D C (A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)6、四条直线围成正方形。

现掷一个均匀且各面上6,6,6,6+=-=+-=--=x y x y x y x y ABCD 标有1、2、3、4、5、6的立方体，每个面朝上的机会是均等的。

连掷两次，以面朝上的数为点P 的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点落在正方形面上（含边界）P 的概率是（ D ）（A ）（B ）（C ）（D ）214397125二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）7、若，则的值为 0 .1,x =-43221x x x ++- 10、如图，双曲线与矩形OABC 的边CB ，BA 分别交于点E ，F 且AF ＝BF ，连2(0)y x x=>接EF ，则△OEF 的面积为 .2311、如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点 P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是_____14/3_______cm .12、对于正数x ，规定，例如。

重点高中自主招生考试数学试卷精选全文

可编辑修改精选全文完整版重点高中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选C．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．D．随C点移动而移动等分分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．故选B．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y的最大值为2，当x=1或5时，y的最小值为2，故当x=1或5时，y 取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选D．5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图．分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考查了旋转的性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c ＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m 时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），正确．③④⑤正确．故选B ． 8．（3分）如图，正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 连结AP 、BP 、CP ，如果，那么△ABC 的内切圆半径为（）A ． 1B ．C ． 2D ．解答：解：如图，过P 点作正△ABC 的三边的平行线，则△MPN ，△OPQ ，△RSP 都是正三角形，四边形ASPM ，四边形NCOP ，四边形PQBR 是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，又知S △AFP +S △PCD +S △BPE =，故知S △ABC =3，S △ABC =AB 2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC 的高h=3，△ABC 的内切圆半径r=h=1．故选A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=．解答：解：∵与|3﹣a ﹣|互为相反数，∴+|3﹣a ﹣|=0，∴3﹣a ﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a ＞0，∴（+）2=5，∴+=．答案为：．10．（3分）若[x ]表示不超过x 的最大整数，，则[A ]=﹣2 ．分析：先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x ]表示不超过x的最大整数得到，[A ]=﹣2．解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A ]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点本题考查了取整计算：[x ]表示不超过x 的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．评：11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．分析：连接MN，设△MON的面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，易知MN是△ABC的中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON的面积是2s，进而可知△BMN的面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM的面积等于6s，同理可求△ABC的面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON的面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON的面积=2s，∴△BMN的面积=3s，∵N是BC的中点，∴△BCM的面积=6s，同理可知△ABC的面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题的关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：探究型．分析：先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出R的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由圆心角、弧、弦的关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′的度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．分析：首先列举出所有数据的和，进而利用已知求出a，b的值，再利用中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有可能：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不同数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2的倍数的个数为a=5，是3的倍数的个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据的中位数是：=5.5，故答案为：5.5．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．分析：首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴的交点是A（，0），与y轴的交点是B （0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴的交点是C（，0），与y轴的交点是D （0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣OA•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC的面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识其最值问题．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形的性质，用含x的式子表示Rt△EGQ的三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形的性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是1cm．分析：易得扇形的弧长，除以2π也就得到了圆锥的底面半径，再加上母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高，利用相似可求得圆柱的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即可．解答：解：扇形的弧长=4πcm，∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为=2cm，设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱的侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱的侧面积有最大值．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为关于x的二元一次方程，令△=0求b的值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形的腰或底，分别求Q点的坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一个交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意的点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意的Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心的位置G，与CD相切时圆心的位置P，与CD相切时圆心的位置I，分别求得各段的路径的长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G的位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G的路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P的位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心的位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心的位置），移动的路径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动的距离是：6﹣1=5m，则圆心移动的距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．分析：（1）利用正方形的性质得到AD∥BC，DC∥AB，利用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再利用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF的垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF的垂心．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形的面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2的切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1的切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2的切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x 轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x ﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整理得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．。

高校自招数学试题及答案

高校自招数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像经过点(1, 2)和(2,3)，则下列哪个选项是正确的？A. a + b + c = 2B. 4a + 2b + c = 3C. a + 2b + c = 3D. 4a + b + c = 5答案：C2. 已知数列{an}是等差数列，且a1 + a2 + a3 = 12，a2 + a3 + a4 = 18，则a1 + a5的值是多少？A. 18B. 20C. 24D. 26答案：B3. 若复数z满足|z - 1| = |z + i|，则z对应的点在复平面上位于哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B4. 已知函数f(x) = ln(x) + 1/x，若f(x)在区间(0, +∞)上单调递增，则实数k的取值范围是？A. k > 0B. k ≥ 1C. k ≤ -1D. k ≤ 0答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 若一个圆的直径为10，则该圆的面积为_______。

答案：25π6. 已知向量a = (3, -1)，b = (2, 4)，则向量a与向量b的数量积为_______。

答案：57. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 2]上单调递增，则实数k的取值范围是_______。

答案：k ≤ -18. 已知等比数列{an}的前三项分别为1，2，4，则该数列的通项公式为an = _______。

答案：2^(n-1)三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的单调区间，并说明理由。

答案：函数f(x)的单调递增区间为[2, +∞)，单调递减区间为(-∞, 2)。

理由是f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4，令f'(x) > 0得x > 2，令f'(x) < 0得x < 2。

高中阶段自主招生考试数学试卷及参考答案

第2题乐清中学自主招生考试数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。

2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。

试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。

做在试题卷上无效。

3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。

4．答题过程不准使用计算器。

祝你成功! 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是，则A S S S 123<<B S S S 213<<C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是 A π－1 B π－2 C D4．由得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠ 为直角的点P 的个数是S S S 123、、121-π221-π第3题A 0B 1C 2D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2, 且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7．二次函数y ＝a x 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，那么化简的结果是______▲________.8．如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1，则S正方形ABCD =▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张（2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张11.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程：已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．第10题第11题第7题第8题第12题读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答：▲．(2)作DE∥AB的目的是：▲．(3) 判断四边形ABED为平行四边形的依据是：▲．(4)判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是▲．(5)若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？答▲．乐清中学自主招生考试数学标准答案题号 1 2 3 4 5 6答案 A D A C C A二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8．256 9．576或10．（1）13 （2）3n+1 （3）15250 11. a b ab12．(1)没有错误(2)为了证明AD∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义(5)不一定，因为当AD＝BC时，四边形ABCD是矩形三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。

2024初升高自主招生数学试卷(一)及参考答案

—1—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）1.方程43||||x x x x -=实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .42.如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，已知AB =AD =2，AC =4，且BD ：DC =2：3，则△ABC 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.已知G 是面积为24的△ABC 的重心，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，则△DEG 的面积为（）A .1B .2C .3D .44.如图，在Rt △ABC 中，AB =35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC ，则△ABC 的周长为（）A .35B .40C .81D .845.已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且1212383(1)()1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，则a 的值是（）A .1B .2C .0或12D .126.如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =a ，CD =b .若∠ADC =∠BFE ，且四边形ABFE 的面积与四边形CDEF 的面积相等，则EF 的长等于（）A .2a b+B .abC .2ab a b +D .222a b +—2—7.在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E .若BE +CD =BC ，则∠A 的度数为（）A .30°B .45°C .60°D .90°8.设23a =，26b =，212c =.现给出实数a 、b 、c 三者之间所满足的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④21b ac -=.其中，正确关系式的个数是（）A .1B .2C .3D .49.已知m 、n 是有理数，方程20x mx n ++=2，则m +n =.10.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE =3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE +PC 的值最小，则PB =.11.已知x y ≠，22()()3x y z y z x +=+=.则2()z x y xyz +-=.12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD =∠BCD =60°，∠CBD =55°，∠ADB =50°.则∠AOB 的度数为.13.两个质数p 、q 满足235517p q +=，则p q +=.14.如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =2BC ，M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E .若阴影部分的面积为a ，那么矩形ABCD 的面积为.第12题图第14题图15.设k 为常数，关于x 的方程2223923222k k x x k x x k --+=---有四个不同的实数根，求k 的取值范围.—3—16.已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，并且满足1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，求x 的值.17.已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且2221223x x t t +=+-.(1)求t 的取值范围；(2)求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.—4—18.如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 延长线上，且OE=BF ，直线CE 、CF 与⊙O 分别交于点G 、H ，直线AG 、AH 分别与直线CD 交于点N 、M .求证：1DM DN MC NC-=.参考答案。

高三自主招生试卷数学答案

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…D. 1/3答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即形如a/b（a和b为整数，b不为0）的数。

选项D可以表示为1/3，因此是有理数。

2. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) + f(-x) = 0，则x的值为（）A. 1B. -1C. 0D. 2答案：B解析：根据题意，f(x) + f(-x) = 2x - 3 + 2(-x) - 3 = 0，化简得4x - 6 = 0，解得x = 1.5，即x = -1。

3. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 12，a1 + a4 +a5 = 30，则该数列的通项公式为（）A. an = 3n - 1B. an = 4n - 3C. an = 6n - 5D. an = 5n - 4答案：B解析：由等差数列的性质，a2 = a1 + d，a3 = a1 + 2d，代入a1 + a2 + a3 =12得3a1 + 3d = 12，化简得a1 + d = 4。

同理，a4 = a1 + 3d，a5 = a1 + 4d，代入a1 + a4 + a5 = 30得3a1 + 12d = 30，化简得a1 + 4d = 10。

解得d = 3，a1 = 1。

因此，通项公式为an = 4n - 3。

4. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹为（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线答案：A解析：由复数的模长性质，|z - 1| = |z + 1|表示复数z到点1和点-1的距离相等，即z位于直线y = 0上。

5. 下列各函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = |x|答案：B解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)。

重点高中自主招生数学试题

E A B F第3题图DA BCEGF第6题图数学测试试卷2017.2一、选择题（每小题6分，共60分）1、已知52015-=xx ，则=-+---21)1()2(23x x x （）A 、2016B 、2017C 、2018D 、20192、已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+>-+xt x t x 235352恰有三个整数根。

则t 的取值范围是（） A 、78712-<≤-t B 、23712-<≤-t C 、3423-<≤-t D 、7834-<≤-t3、如图，六边形ABCDEF 由五个单位正方形组成，称能平分此六边形的面积的直线为“好线”。

则共存在“好线”（）条。

A 、1B 、2C 、3D 、无数 4、如图，在平面直角坐标系中，R t△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，B )3 ,3（，C )0 ,21（，P 为斜边OB 上的一动点，则PA+PC的最小值为（）A 、313B 、 231C 、193+D 、725、已知z y x 、、均为非负数，且满足x 2z -y -41-z y ==+。

若z y +-=22x w 2，则w 的最小值为（） A 、-1 B 、923 C 、21- D 、0 6、如图，正△ABC 的边长为6，D 、E 分别为边BC 、AC 上的一点，满足CD=AE 。

设BE 与AD 交于点F ，连结CF ，作EG ∥CF 与AD 交于点G 。

若EF=1，则AG 的长为（） A 、61 B 、21C 、1D 、2 7．如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径长为5，BC=8，点P 为BC 的中点，以点P 为圆心作⊙P ，若⊙P 与⊙O 相切，则⊙P 的半径长为（） A ．3 B ． 3.5 C ．2或8 D ．2或4就读学校：班级：姓名：试场号：座位号：………………………………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………8．如图，在菱形网格中，每个小菱形的边长都是1，点A ，B ，C 都在格点上，则在网格中与△ABC 面积相等且有一条边重合的格点三角形的个数是（）A ．5B ．6C ． 7D ．89．如图，直线l 1：1-=x y 与直线l 2：12-=x y 交于点P ，直线l 1与x 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，沿平行于y 轴的方向向上运动，到达直线l 2上的点B 1，再沿平行于x 轴的方向向右运动，到达直线l 1上的点A 1；再沿平行于y 轴的方向向上运动，到达直线l 2上的点B 2，再沿平行于x 轴的方向向右运动，到达直线l 1上的点A 2，…依此规律，则动点C 到达点A 10所经过的路径总长为（）A ．1210- B ．2210- C ．1211- D ．2211-10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，ED ⊥DF 于点D ，延长FD 交CA 的延长线于点G ，且EG=EF ．若AC=2，BC=4，则AE 的长是（）A ．52B ．54C ．34D ．65二、填空题（每小题6分，共36分） 11、已知为pn m 、、实数，若41+-x x 、均为多项式p nx mx x +++23的因式，则8622+--p n m = ．12、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，□ABOC 的对角线交于点M ，双曲线)0(<=x xky 经过点B 、M 。

高中自招试题数学答案及解析

高中自招试题数学答案及解析试题一：已知函数$ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $，求其导数$ f'(x) $。

答案：首先，根据导数的定义，我们对函数$ f(x) $进行求导。

对于$ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $，其导数$ f'(x) $为：\[ f'(x) = 6x - 2 \]解析：求导的过程涉及到幂函数的导数规则，即$ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $。

对于常数项1，其导数为0。

将各项的导数相加，得到最终的导数表达式。

试题二：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和集合B 的交集A∩B。

答案：集合A和集合B的交集A∩B为{2, 3}。

解析：交集是指两个集合中共有的元素。

在这个例子中，我们可以看到元素2和3同时出现在集合A和集合B中，因此它们构成了这两个集合的交集。

试题三：若$ \sin(2x) = 2\sin(x) $，求$ x $的值。

答案：根据二倍角公式，我们知道$ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $。

将题目中的等式代入，得到：\[ 2\sin(x)\cos(x) = 2\sin(x) \]由于$ \sin(x) \neq 0 $，我们可以除以$ 2\sin(x) $得到：\[ \cos(x) = 1 \]这意味着$ x $的值是$ 2k\pi $，其中$ k $是整数。

解析：这个问题的关键在于识别并应用二倍角公式。

通过将等式转换为已知的三角恒等式，我们可以简化问题并找到$ x $的解。

试题四：解不等式$ |x - 3| < 2 $。

答案：不等式$ |x - 3| < 2 $可以分解为两个不等式：\[ -2 < x - 3 < 2 \]解得：\[ 1 < x < 5 \]解析：绝对值不等式可以通过将其分解为两个不等式来解决。

高中自主招生数学试卷(含答案)

□□高中自主招生数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上）1．若21x =+，则32(22)(122)2x x x -+++-的值是．2．有6个量杯A 、B 、C 、D 、E 、F ，它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，还剩下一个空量杯，而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是． 3．各边互不相等的ABC ∆，两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于．4．如图1,在ABC ∆中, AB AC = ,40=∠A ,延长AC 到D ,使CD BC =,点P 是ABD ∆的内心,则BPC ∠= ．图1 图2 图35．ABC ∆的三边长,,a b c 都为整数,且24a bc b ca +++=,当ABC ∆为等腰三角形时,它的三边边长分别为． 6．如图2,凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙O ,ABCD 是矩形, AE ED =,且BE 和CE 把AD 三等分.则此五边形ABCDE 的面积是．7．方程20x ax b ++=的两根为12,x x ，且3322121212x x x x x x +=+=+，则有序实数对(,)a b 共有对．8．如图3,正EFG ∆内接于正方形ABCD ，其中,,E F G 分别在边,,AB AD BC 上，若2AE EB =，则BGBC= ．二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．（本小题满分14分）如图，⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点B 的直线交⊙1O 与⊙2O 于C 、D .弧BD 的中点为M ，AM 交⊙1O 于E ，交CD 于F ，连,,CE AD DM .(1) 求证：AD EF DM CF ⋅=⋅;(2) 求证：22EF MFCE MA=; (3) 若5,7,2,4BC BD CF DF AM MF ====，求MF 和CE 的长.10．（本小题满分14分）两个男孩曹俊和伍岳在33⨯棋盘上用黑棋子和白棋子对局，规则如下：（I ）他们轮流下子；（II ）每轮到一次，就把一个棋子放在棋盘的空格里；（III ）棋手轮到时，可选择一白子或一黑子，并且不必要总用同色；（IV ）当棋盘填满时，某一行、列或对角线有偶数个黑棋子，曹俊就得1分，而某一行、列或对角线有奇数个黑棋子，伍岳就得1分；（V ）棋手至少得到8分中的5分，就算得胜．（1）4:4和局是否可能？若可能,请列出一种表格的情况；若不可能，请说明理由；（2）叙述先下手的男孩的取胜策略．11．（本小题满分16分）已知直线12y x =和y x m =-+，二次函数2y x px q =++图象的顶点为M（1）若M 恰在直线12y x =和y x m =-+的交点处，证明无论m 取何实数值，二次函数2y x px q =++的图象与直线y x m =-+总有两个不同的交点；（2）在（1）的条件下，直线y x m =-+过点)3,0(-D ，二次函数2y x px q =++的图象与y轴交于点C，与x轴的左交点为A，在直线12y x=上求异于M的点N，使N在CMA∆的外接圆上.2012安师大附中自主招生数学答案1.22.A、C（或者填16毫升、22毫升）3.54.145︒5.6,6,1；4,4,2；3,3,36.53 47. 3 8.5399.(1)证明：连接AB ，BCE BAE ∠=∠,BM MD =,则BAM DAM ∠=∠BDM =∠ CEF DMF 与中，CEF DMF ∠=∠.由,ECF MAD ∠=∠CEF AMD ∠=∠CEF AMD ∴△∽△ CFEFAD MD = 即AD EF DM CF ⋅=⋅ ………………5分（2）CEF DMF △∽△,有EFMF CEDM =，CEF AMD △∽△，有EF MDCE AM= 22EF MF MD MFCE DM AM MA== ………………9分（3）由题意3,4BF DF ==,由相交弦定理可知：BF DF MF AF ⋅=⋅123,2MF MF MF =⋅=,由（2）可得2=64CE ，8CE = ………………14分10.解（1）4:4和局是可能的，结局如图1黑白黑白黑白黑白黑图1…………… 5分（2）如果有0或2个黑子的行（列或对角线，下同）的数目超过4，曹俊就会得胜。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。