人教版最短路径问题
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
2024年人教版八年级上册数学第13章第4节课题学习 最短路径问题
使MN ⊥ m， 且AM 交直线n 于点N，过点N作NM ⊥
＋MN＋NB 最小
m 于点M，连接AM
感悟新知
特别解读 解决连接河两边两地的最短路
径问题时，可以通过平移桥的方法 转化为求直线异侧两点到直线上一 点所连线段的和最小的问题.
知2－讲
感悟新知
知2－练
例4 如图13.4-5，从A 地到B 地要经过一条小河(河的两岸 平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应 如何选择桥的位置才能使
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂小结
设计最短路径 设计最短路径
两点在直 线异侧
两点在直 线同侧
利用轴对称转换
解：如图13 .4 -2，作点B 关于l 的对称点B1，连接 AB1交l 于点M，连接BM， 此时AM＋BM 最短，则点 M 即为所求的分支点.
感悟新知
知1－练
1-1.如图，在正方形网格中有M，N 两点，在直线l 上求一 点P 使PM＋PN 最短，则点P应选在( C ) A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点
四边形P M N Q周 长的最
小值为 P′Q′＋ PQ 的值
小
线的交点即为点M，N
感悟新知
知1－讲
特别解读 1.直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题是根据“两点之间，线段最短”来设计的. 2.直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称 点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的 两点，依据异侧两点的方法找点.
感悟新知
知1－练
例1 [情境题 生活应用]某供电部门准备在输电主干线l 上连 接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B 两个居民小区送电．
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习 最短路径问题
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。
同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。
因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。
2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。
2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。
2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。
3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。
八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题说课稿(新版)新人教版
八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题说课稿（新版）新人教版一. 教材分析八年级数学上册13.4课题学习“最短路径问题”是新人教版教材中的一项重要内容。
这一节内容是在学生掌握了平面直角坐标系、一次函数、几何图形的性质等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是最短路径问题的研究，通过实例引导学生了解最短路径问题的背景和意义，学会利用图论知识解决实际问题。
教材中给出了两个实例：光纤敷设和城市道路规划，让学生通过解决这两个实例来理解和掌握最短路径问题的求解方法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于平面直角坐标系、一次函数等知识有了一定的了解。
但是，对于图论知识以及如何利用图论解决实际问题还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握图论知识，并能够将其应用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图论知识解决最短路径问题的方法。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生体验到数学在实际生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为图论问题，并利用图论知识解决。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习和掌握最短路径问题的求解方法。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过展示实例和动画效果，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示光纤敷设和城市道路规划的实例，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
2.新课导入：介绍图论中最短路径的概念和相关的数学知识。
3.实例分析：分析光纤敷设和城市道路规划两个实例，引导学生将其转化为图论问题。
4.方法讲解：讲解如何利用图论知识解决最短路径问题，包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法等。
人教版八年级数学上册1最短路径问题课件
分析：
可以把河岸看成两条平行线a
和b，N为直线b上一个动点，
A
MN垂直于直线b，交直线a于点
M，这样问题可以转化为：
当点N在直线的什么位置时， AM+MN+NB最小？
由于河宽固定，因此AM+NB 最小时，AM+MN+NB最小。这 样问题进一步转化为：
当点N在直线b的什么位置时， AM+NB最小？
问题2 归纳
抽象为数学问题
解决实 际问题
A
A'
M
a
b
N
B
用旧知解决新知
A
Ma Nb
B
联想旧知
A
C
l
B
新知2
利用平移确定最短路径选址
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以 通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线 异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平 移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线 上，从而作出最短路径的方法来解决问题.
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线 段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题 的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同 旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核 心，所有作法都相同.
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
你能证明吗？
证明：
另任意造桥M′N′， 连接AM′、BN′、A′N′. 由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′， AA′＝MN＝M′ N′.
人教版数学八年级下册17.1勾股定理的应用+最短路径问题+教学设计
（2）注重启发式教学，引导学生主动发现问题、解决问题。
（3）鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作能力。
（4）关注学生的情感态度，营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦中学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在这一环节，我将通过一个贴近生活的实际问题来导入新课。我会向学生展示一张地图，上面标注了两地之间的直线距离无法直接测量。然后提问：“同学们，你们知道如何计算地图上两点之间的直线距离吗？”这个问题将激发学生的思考，他们可能会联想到之前学过的勾股定理。接着，我会简要回顾一下勾股定理的定义和公式，为新课的学习做好铺垫。
2.在坐标系中，给出两个点的坐标，计算它们之间的距离。请同学们尝试使用两种不同的方法进行计算，并比较结果。
3.设计一道关于最短路径问题的题目，要求包含直角三角形和坐标系元素。请同学们自行解答，并在下节课与同学们分享解题思路和答案。
4.请同学们撰写一篇关于勾股定理应用的小论文，可以从历史、生活、科技等角度展开论述，不少于500字。
（1）导入：通过一个实际问题，如计算两地之间的直线距离，引出勾股定理。
（2）新课：讲解勾股定理的证明和应用，结合实际问题，让学生感受勾股定理的价值。
（3）探究：引导学生运用勾股定理解决最短路径问题，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（4）巩固：设计不同类型的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5.完成课后练习册中与勾股定理和最短路径问题相关的内容，巩固所学知识。
作业要求：
1.书写规范，保持卷面整洁。
2.解题过程要求步骤清晰，逻辑性强。
3.小论文要有自己的观点，论述充分，可以适当引用资料。
最短路径(将军饮马)问题(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 24-25学年八年级数学上册
专题13.10最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的周长最小。
图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON 上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC ∆中，3,4AB AC ==，EF 垂直平分BC ，交AC 于点D ，则ABP 周长的最小值是（）A ．12B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点D 重合时，AP BP +的值最小，即可得到ABP 周长最小．解：∵EF 垂直平分BC ，∴点B ，C 关于EF 对称．∴当点P 和点D 重合时，AP BP +的值最小．此时AP BP AC +=，∵3,4AB AC ==，ABP ∴ 周长的最小值是347AP BP AB AB AC ++=+=+=，故选：C ．【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在ABC V 中，1216AB AC ==，，20BC =．将ABC V 沿射线BM 折叠，使点A 与BC 边上的点D 重合，E 为射线BM 上的一个动点，则CDE 周长的最小值．【答案】24【详解】设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF 先根据折叠的性质可得12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，再根据两点之间线段最短可得当点E 与点F 重合时，CDE 周长最小，进而求解即可．解：如图，设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF ，由折叠的性质得：12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，20128CD BC BD ∴=-=-=，CDE ∴ 周长8CD DE CE AE CE =++=++，要使CDE 周长最小，只需AE CE +最小，由两点之间线段最短可知，当点E 与点F 重合时，最小值为AC ，∴CDE 周长为：681624AC +=+=．故答案为：24．【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，45MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时，APB ∠的度数为（）A ．45︒B ．90︒C ．100︒D ．135︒【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键．如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，连接A B ''，此时PAB 的周长最小为A B ''，求出A B ''即可．解：如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，然后连接A B ''，∵点A '与点P 关于直线OM 对称，点B '与点P 关于ON 对称，∴A P OM B P ON A A AP B B BP ''''⊥⊥==，，，，∴A APA B BPB ''''∠=∠∠=∠，，∵A P OM B P ON ''⊥⊥，，∴180MON A PB ''∠+∠=︒，∴18045135A PB ''∠=︒-︒=︒，在A B P ''△中，由三角形的内角和定理可知：18013545A B ''∠+∠=︒-︒=︒，∴45A PA BPB ''∠+∠=︒，∴1354590APB ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，45AOB ∠=︒，点M N 、分别在射线OA OB 、上，5MN =，15OMN S = ，点P 是直线MN 上的一个动点，点P 关于OA 的对称点为1P ，点P 关于OB 的对称点为2P ，连接1OP 、2OP 、12PP ，当点P 在直线MN 上运动时，则12OPP 面积的最小值是．【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC V 中，3AB =，4BC =，5AC =，AB BC ⊥，点P 、Q 分别是边BC 、AC 上的动点，则AP PQ +的最小值等于（）A ．4B ．245C ．5D ．275【答案】B 【分析】作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，根据对称可得：AP PQ A P PQ A Q ''+=+≥，得到当,,A P Q '三点共线时，AP PQ +最小，再根据垂线段最短，得到A Q AC '⊥时，A Q '最小，进行求解即可．解：作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB =，AD 是ABC V 的角平分线，若P Q 、分别是AD 和AC 边上的动点，则PC PQ +的最小值是．AD 是BAC ∠的平分线，1QAD Q AD∴∠=∠在AQD 与1AQ D 中【考点4】两定两动型；【例4】如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【答案】D 【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，=''CP CD DE CP CD DE ++++，'P OE ∠''P C D E 、、、在一条直线上，且''P E ''=9048=42OP E ∠︒-︒︒，'='''=7842CP P OP P OP E ∠∠-∠︒-︒=【答案】44βα-=︒【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．OQM OQM NQP '∴∠=∠=∠，OPQ ∠∴1(180)2PQN AOB α∠=︒-=∠+∠44βα∴-=︒，故答案为：44βα-=︒．【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中∠ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE =CF ，当BF ＋CE 取最小值时，∠AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出∠AFB 的度数即可．解：如图，作CH ⊥BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，∵AC=BC ，∴CH=AC ，∵∠HCB=90°，AD ⊥BC ，∴AD//CH ，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH ≌△AEC ，∴FH=CE ，∴FH+BF=CE+BF 最小，此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度．【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．∵CAB ∠的角平分线交∴FAP ∠∠=∵AP AP =，∴APF APE ≌∴PF PE =，第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为．【答案】12【分析】以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，可证得△ECB ≌△DCA 从而得到BE=AD ，再根据三角形的三边关系即可得出结论．解：如图1，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，∵CE=CD ，CB=CA ，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA ，∴△ECB ≌△DCA （SAS ），∴BE=AD ，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则AD 的最大值与最小值的差为12．故答案为：12【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD 转化为BE 从而求解，是一道较好的中考题．【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值为．在Rt DFC △中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=，122()2AD DC AD DC +=+2()AD DF =+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即此时，60B ADB ∠=∠=︒，2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，点M 为线段AB 中点，2AC =，8BD =，8AB =，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值为（）A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，证明'' A MB 为等边三角形，即可解决问题．解：如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，∵120CMD ∠=︒，∴60∠+∠=︒AMC DMB ，∴60''∠+∠=︒CMA DMB ，∴60''∠=︒A MB ，∵MA MB MA MB ''===，∴'' A MB 为等边三角形∵14CD CA A B B D CA AM BD ''''<++=++=，∴CD 的最大值为14，故选：C ．【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角ABC V 中，302A BC ∠=︒=，，ABC V 的面积是6，D 、E 、F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．6D ．7∴AM AE AN ==，MF =∵BAC BAD DAC ∠=∠+∠∴MAN MAB BAD ∠=∠+∠∴(2MAN BAE EAC ∠=∠+∠。
人教版初中数学八年级上册第十三章 课题学习 最短路径问题
l
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
作法：
B
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； A
C
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
l
则点C 即为所求．
B′
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
问题3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. C
DF
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形，
C′ D ′
于是AD=FD′, 同理，BE=GE′，
E E′
由两点之间线段最短可知，GF最小.
BG
课堂检测
13.4 课题学习 最短路径问题/
拓广探索题
巩固练习
13.4 课题学习 最短路径问题/
如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河 边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人 设计出最短的放牧路线.
解：如图AP+AB即为最 短的放牧路线.
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
知识点 2 利用平移知识解决造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直）？
解：连接AB,与直线l相交于一点C.
A
C
根据“两点之间，线段最
l
短”，可知这个交点即为所求.
B
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径的奥秘。
（3）在复杂图形中寻找最短路径时，可以引导学生从简单图形出发，逐步增加难度，让学生掌握解题方法；
（4）结合实际应用，可以设计一些案例，如旅行商问题、工程选址问题等，指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中，教师应针对这些难点和重点，运用生动形象的语言、具体实例和操作演示，帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时，注意关注学生的反馈，适时调整教学方法和进度，确保学生透彻理解本节课的核心内容。
（3）在实际图形中寻找最短路径，如三角形、四边形等；
（4）将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学知识求解。
举例：讲解最短路径概念时，可以通过实际生活中的例子（如地图上两点间的最短距离）进行说明，使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
（1）如何将实际问题抽象为数学模型，找到最短路径；
人教版八年级数学上册1最短路径问题教学课件
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.
、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?
作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′
′
′
′′
连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.
′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？
实际问题用数学语言表达.
八年级数学人教版上册13.4最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
八年级数学人教版上册13.4节主要讲述最短路径问题，这是学生对图论初步了解后的进一步深化。在学习了图的定义、表示和遍历等基础知识后，最短路径问题既是对前面知识的综合运用，又是向更为复杂图论问题的过渡。
本节课内容对于学生来说具有一定的难度，需要他们能够理解并掌握最短路径的算法，并能够运用到具体的问题中。同时，这也是对学生逻辑思维能力和问题解决能力的考查。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用PPT展示生活中的最短路径问题，如旅行中最短路线的选择、网络数据传输的最短路径等，引导学生关注最短路径问题在现实生活中的应用。
2.向学生提出问题：“如何找到两点之间的最短路径？”让学生思考并发表自己的观点，为导入新课做好铺垫。
3.教师总结：今天我们将学习图论中的一个重要问题——最短路径问题，希望通过本节课的学习，大家能够掌握最短路径的求解方法，并能够运用到实际问题中。
4.在解决问题的过程中，引导学生总结规律，提高学生的归纳总结能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.分配具有挑战性的任务，让学生在合作中共同解决问题，提高解决问题的效率。
3.鼓励学生互相评价、互相学习，培养学生的自主学习和反思能力。
4.教师在小组合作过程中进行巡视指导，关注学生的学习情况，及时给予帮助和引导。
在教学过程中，我通过设计丰富多样的教学活动，引导学生主动探究、合作交流，从而提高他们对最短路径问题的理解和运用能力。同时，注重培养学生的数学素养，让他们在学习过程中感受到数学的趣味性和实用性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的概念，掌握基本的最短路径算法。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题微课说课稿
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括启发式教学、情境教学和合作学习。选择这些方法的理论依据如下：
1.启发式教学：这种方法鼓励学生主动思考、探究和解决问题，有助于培养学生的创新能力和解决问题的能力。通过提问、讨论等方式，引导学生从已知知识中发现规律，逐步深入理解新知识。
2.增强学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的应用能力；
3.培养学生的团队合作精神，让学生在合作交流中学会倾听、尊重他人。
（三）教学重难点
根据对学生的了解和教学内容的分析，本节课的教学重点为：
1.最短路径问题的概念及其求解方法；
2.欧几里得算法和迪杰斯特拉算法的应用。
教学难点为：
1.求解最短路径的算法过程，特别是迪杰斯特拉算法的理解和运用；
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的性质、两点间的距离公式、勾股定理等前置知识。但在学习过程中，可能存在以下障碍：
1.对最短路径问题的概念理解不够深入，难以将实际问题抽象为数学模型；
2.欧几里得算法和迪杰斯特拉算法的过程较为复杂，理解起来有一定难度；
3.在解决实际问题时，可能不知道如何选择合适的方法求解。
（三）互动方式
为实现师生互动和生生互动，我计划设计以下环节：
1.师生互动：在课堂教学中，通过提问、讨论等方式，引导学生主动思考、表达观点。教师给予及时反馈，激发学生的学习兴趣和动机。
2.生生互动：将学生分成小组，针对最短路径问题进行讨论、交流。小组成员分工合作，共同完成探究任务，提高团队合作能力。
3.课堂小结：组织学生进行课堂小结，分享学习心得和成果。教师对学生的表现给予评价，鼓励优秀学生，激发学生的学习积极性。
人教版初中数学八上第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题
图1
图2
解：（1）如图，作点B关于直线l的对称点C，连接AC，交直线l于点P，连接BP，
点P即为所求． （2）如图，连接AB并延长，交直线l于点P，点P即为所求．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分
线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ长的最小值是（ B ）
知识点二 运用“两点之间，线段最短”解决最短路径问题 2．某平原有一条笔直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站 向这两个村庄供水．某同学用直线（虚线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线 段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是 （C）
3．如图，在直线l的同侧有两点A，B． （1）在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短； （2）在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．
A．4．8
B．9．6
C．10
D．12
第4题图
5．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝最小时，∠EAF的度数为（ D ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
第5题图
6．（教材P93习题T15变式）某中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直排 （图中的OA，OB），OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的 学生小明先到OA桌面上拿橘子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D处座位上， 请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短． 解：如图． 作法：（1）分别作点C关于OA的对称点C'，点D关于OB的对称点D'； （2）连接C'D'，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ． 则小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．
最短路径问题说课稿人教版
尊敬的各位老师，大家好！今天我将为大家讲解“最短路径问题”这一课，我们使用的教材是人民教育出版社的版本。
一、教材分析本节课主要探讨了图论中的一个经典问题——最短路径问题。
本节内容既是对前面学习的图的认知和表示的延续和深化，又为后续进行最短路算法的学习做好铺垫。
图是日常生活、社会科学和计算机科学中的一个基本概念，有着广泛的应用。
在很多问题中，例如，城市的街道图、拓扑排序、路径问题、网络的流量问题等，人们需要从一个或者多个点找到一个路线到达目的顶。
对于最短路径问题的研究，对于这些问题的解决具有重要的意义。
二、教学目标1. 知识与技能：理解最短路径问题的概念，掌握迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法的基本原理和实现方法。
2. 过程与方法：通过实例分析，使学生能够应用这两种算法解决实际问题。
3. 情感态度与价值观：通过本节课的学习，培养学生的问题解决能力和团队协作精神，激发学生对数学的兴趣和热爱。
三、教学重点与难点1. 教学重点：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法的实现和应用。
2. 教学难点：如何根据具体问题选择合适的算法，理解算法的原理和实现过程。
四、教学方法与手段本节课主要采用案例教学、实验教学和讨论式教学相结合的方法，通过实例分析、实验操作和小组讨论，帮助学生理解和掌握最短路径问题的解决方法。
五、教学过程设计1. 引入新课（5分钟）通过实际问题引入最短路径问题，让学生了解该问题的实际应用背景。
2. 迪杰斯特拉算法（20分钟）（1）原理讲解：通过图论知识，介绍迪杰斯特拉算法的基本原理。
（2）代码演示：使用编程语言（如Python）实现迪杰斯特拉算法，并展示代码。
（3）实验操作：学生分组进行实验操作，尝试使用迪杰斯特拉算法解决实际问题。
（4）讨论与总结：小组讨论实验结果，分享算法应用经验，教师总结并点评。
3. 弗洛伊德算法（15分钟）（1）原理讲解：介绍弗洛伊德算法的基本原理，与迪杰斯特拉算法的区别和联系。
（2）代码演示：展示弗洛伊德算法的代码实现。
人教版八年级上册第十三章轴对称1《最短路径问题》【课件+教案】
l
B’
例题详解
如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两
岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ A
作法：1。将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到C，
2。连接BC交河对岸与点N，
M
C
则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
N B
练习题
1.如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点。设C 为直线上的一个动点，上面的问
B
题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和
A
最小（如图）。
C
l
知识点详解
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的 什么位置时，AC 与CB的和最小？
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C。
则点C 即为所求。
B A
C
l
B’
知识点详解
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接 AC′，BC′，B′C′。 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′。 ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′。 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′。 即 AC +BC 最短。
为旅游船最短路径中的必经线路。将河岸抽象为一条直线 BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何 在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”。
人教版八年级上册1最短路径问题课件
13.4 最短路径问题
1
情景引入
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个
百思不得其解的问题，将军问：从住所A 地出发，到一 条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 。到河边的什么地
方饮马可使他所走的路径最短？
B地 A地
使AC+BC最短问题。如何确定点C的位置呢？
你学习过哪些最短连线的 知识？
怎么办？
问题难在哪里呢？
线段公理： 两点之间，线段最短
A
B
垂线段性质： 垂线段最短.
A
l
若A、B两点分别在直线l两侧， 你能找到符合条件的点吗？
A C
Dl
B
B
A
l
C
不管点C在直线上哪里，A、 B、C都不可能在同一直线
上，无法直接应用这两个知 识解决问题。
起源
在古罗马，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名 叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百 思不得其解的问题：
将军骑马从城堡A出发到城堡B，途中马要到河边饮 水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是"将军饮马"问题。
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，
问：这位将军怎样走路程最短？
进
步
你的疑惑；
的
阶
梯
面对一个新的求线段最短问题时，
我们可以通过怎样的途径去研究它？
谢谢聆听，欢迎指正！
B
A
河
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营， 问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB 最小？
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运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． C 山
Q
P
河岸
A
大桥
B
运用新知
基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 C 一点R，使PR与QR 的和最 Q 河岸 山 小”． P A
B A l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴 对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被 称为“将军饮马 问题”．你能将这个问题抽象 为数学问题吗？
B A l
探索新知 这是一个实际问题，转换为数学问题为。 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象 为一条直 线．
A·
·
B
l
探索新知
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． B
A·
C
·
l
. B′
探索新知
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
A
·
B
·
C
l
B′
探索新知
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 B 重合），连接AC′，BC′，B′C′． · A 由轴对称的性质知， · BC =B′C，BC′=B′C′． C′ l ∴ AC +BC C = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′ 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
C
a
B′ BDbFra bibliotek前面我们研究过一些关于“两点的所有 连线中，线段最短”、“连接直线外一 点与直线上各点的所有线段中，垂线段 最短”等的问题，我们称它们为最短路 径问题．现实生活中经常涉及到选择最 短路径的问题，本节将利用数学知识探 究数学史中著名的“将军饮马问题”．
探索新知
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的 学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求 教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
八年级
上册
13.4 课题学习 最短路径问题
复习巩固
1、如图，已知点A和直线l，在l上找到一个 A 点C，使CA最短
过点A作直线l的垂线段， 垂足就是C.
C l
2、如图，点A、点B分别是直线l异侧的两个 点，在l上找到一个点C，使CA+CB最短
A
点C即直线l与AB的交点.
C B
l
探索新知
如图，点A、点B分别是平行直线a和直线b两 侧的两个点，在a上找到一个点C，在b上找 到一个点D ，且CD垂直于直线a，使CA+CD + DB最短. A
大桥
B
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
布置作业
教科书复习题13第15题．