复变函数试卷库
复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)
5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则 一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列 收敛，则 与 都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设 ，则 .
2.若 ，则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数 的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
，
证明 是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）
2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）
3.函数 与 在整个复平面有界.（）
4.若f(z)在区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程 在单位圆的零点个数为________.
8.设 ，则 的孤立奇点有_________.
9.函数 的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数 的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值.
3.计算积分： ，积分路径为（1）单位圆（ ）的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是 在D解析.
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
复变函数考试题及答案自考
复变函数考试题及答案自考一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. -3 - 4iD. 3 + 4i答案：A2. 如果复变函数f(z)在点z₀处解析，那么它的导数f'(z₀)等于：A. 极限lim(Δz→0) [f(z₀ + Δz) - f(z₀)] / ΔzB. f(z₀)的实部C. f(z₀)的虚部D. f(z₀)的模答案：A3. Cauchy积分定理适用于：A. 仅在实数域B. 仅在复平面上的简单闭合曲线C. 仅在复平面上的开区域D. 所有以上情况答案：C4. 如果一个复变函数在某区域内除了一个孤立奇点外处处解析，那么这个函数在该区域内：A. 一定有原函数B. 一定没有原函数C. 可能是周期函数D. 以上都不对答案：A5. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)中，u和v分别表示：A. 实部和虚部B. 模和辐角C. 辐角和模D. 都不对答案：A6. 以下哪个是复变函数的柯西-黎曼方程？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B7. 复变函数的级数展开式中的系数是：A. 常数B. 复数C. 实数D. 以上都不对答案：B8. 如果一个复变函数在某个区域内处处连续，那么它的模：A. 也必定处处连续B. 可能不连续C. 必定不连续D. 以上都不对答案：A9. 复变函数的Taylor级数展开是关于：A. 模的展开B. 辐角的展开C. z的展开D. 共轭复数的展开答案：C10. 下列哪个是复变函数的Laurent级数展开的一个特性？A. 它只能展开在解析函数上B. 它包含负幂项C. 它只能展开在奇点附近D. 以上都是答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 复数z = 2 - 3i的模是________。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
完整版)复变函数测试题及答案
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
复变函数期末考试试卷及答案详解
复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设，其中，试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.13sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1，i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，3z，8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,12. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M，使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。
复变函数历年考试真题试卷
复变函数历年考试真题试卷一、选择题1. 下列哪个函数不是复变函数？A. f(z) = e^zB. f(z) = z^2C. f(z) = |z|D. f(z) = ln(z+1)2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数，下面哪个等式成立？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = -∂v/∂yD. ∂u/∂y = -∂v/∂x3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3，下列哪个等式成立？A. ∂u/∂x = 3x^2 + 6ixy - 3y^2B. ∂u/∂y = 3x^2 + 6ixy - 3y^2C. ∂v/∂x = -3x^2 + 3y^2 - 6ixyD. ∂v/∂y = -3x^2 + 3y^2 - 6ixy二、填空题1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1，则f(z)的共轭函数是________。
2. 当z → ∞ 时，f(z) = z^2 + 3z + 1的极限是________。
3. 若f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 是全纯函数，则满足柯西-黎曼方程的条件是∂u/∂x = ________。
三、计算题1. 计算复变函数f(z) = z^3 - 4z的积分，其中C为以原点为圆心、半径为2的圆周。
2. 当z = -i 时，计算复变函数f(z) = 2z^2 + 3iz的导数。
四、证明题证明：若复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在单连通域D上解析，则f(z) 在D 上也是调和函数。
（请自行根据题目要求增减字数，使得文章达到合适的长度。
）（文章正文）选择题：1. 下列哪个函数不是复变函数？2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数，下面哪个等式成立？3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3，下列哪个等式成立？填空题：1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1，则f(z)的共轭函数是________。
复变函数考试卷试题及答案
应用数理统计应用数理统计 试题试题第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1． 设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。
（A ）单连通区域）单连通区域 （B ）多连通区域）多连通区域 （C ）开集非区域）开集非区域 （D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。
()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3． 下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。
()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（ ）。
()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5． 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（ ）。
()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。
2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。
(完整版)复变函数试题及答案
2、下列命题正确的是（）
A B零的辐角是零
C仅存在一个数z,使得 D
3、下列命题正确的是（）
A函数 在 平面上处处连续
B 如果 存在,那么 在 解析
C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数
4、根式 的值之一是（）
1、 的指数形式是
2、 =
3、若0<r<1，则积分
4、若 是 的共轭调和函数，那么 的共轭调和函数是
5、设 为函数 = 的m阶零点，则m =
6、设 为函数 的n阶极点，那么 =
7、幂级数 的收敛半径R=
8、 是函数 的奇点
9、方程 的根全在圆环内
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题（每小题2分）
1 2 3 4 5
四 计算题（每小题6分，共36分）
1解： , 分
…5分
解得: 分
2解：被积函数在圆周的 内部只有一阶极点z=0
及二阶极点z=1 分
= 2i(-2+2)=0 分
3解：
= …4分
（ <2）…6分
4解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个
一阶极点i,2i…1分
I= …2分
= …3分
= …5分
A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点
6、函数 ，在以 为中心的圆环内的洛朗展式
有m个，则m=( )
A 1 B2C3 D 4
7、下列函数是解析函数的为（）
A B
C D
8、在下列函数中， 的是（）
A B
C D
9、设a ，C： =1，则 （）
复变函数期末考试试题
复变函数期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(z)在z=a处解析，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的？A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件？A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数？A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)（g(z)≠0）6. 以下哪个函数是调和函数？A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的导数？A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的积分？A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的柯西-黎曼方程为________。
复变函数考试题及答案
复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析、 ( )2、有界整函数必在整个复平面为常数、 ( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )4、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)、 ( )5、若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、 ( )6、若z 0就是)(z f 的m 阶零点,则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0就是函数f(z)的可去奇点、 ( )8、若函数f(z)在就是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f 、( )10、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数、( ) 二、填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________、(n 为自然数)2、=+z z 22cos sin _________、 3、函数z sin 的周期为___________、4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________、5、幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________、6、若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是__________、7、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________、8、=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数、9、 zz sin 的孤立奇点为________ 、10、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、三、计算题(40分):1、 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式、2、 .cos 11||⎰=z dz z3、 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4、 求复数11+-=z z w 的实部与虚部、四、 证明题、(20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值、 《复变函数》考试试题(一)参考答案一． 判断题1.×2.√ ３.√ ４.√ ５.√ 6.√ ７.×８.×９.×10.× 二.填空题 1、 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2、 1; 3、 2k π,()k z ∈; 4、 z i =±; 5、 16、 整函数;7、 ξ;8、 1(1)!n -; 9、 0; 10、 ∞、三.计算题、1、 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑、 2、 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-、 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰、 3、 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰、所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+、 4、 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++、 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++、 四、 证明题、1、 证明 设在D 内()f z C =、令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则、两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-、 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩、 消去x u 得, 22()0x u v v +=、 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数、2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =、 所以12,u c v c ==、 (12,c c 为常数)、 所以12()f z c ic =+为常数、2、证明()f z =0,1z =、 于就是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支、由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π、 所以()f z =2π、 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==、《复变函数》考试试题(二)一. 判断题、(20分)1、 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续、 ( )2、 cos z 与sin z 在复平面内有界、 ( )3、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 有界整函数必为常数、 ( )5、 如z 0就是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在、 ( )6、 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析、 ( )7、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f 、( )8、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析、 ( )10、 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________、3、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数)4、 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ 、5、 若z 0就是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0就是)('z f 的_____零点、6、 函数e z 的周期为__________、7、 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________、 8、 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________、 9、 函数||)(z z f =的不解析点之集为________、10、 ____)1,1(Res 4=-zz 、 三、 计算题、 (40分)1、 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式、2、 在复平面上取上半虚轴作割线、 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值、3、 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆、4、 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π、四、 证明题、 (20分)1、 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、 试用儒歇定理证明代数基本定理、《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题、1.√ ２.×３.√ ４.√ ５.×6.×７.×８.√ ９.×10.×、 二、 填空题1、1,2π-, i ; 2、 3(1sin 2)i +-; 3、2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4、 1; 5、 1m -、 6、 2k i π,()k z ∈、 7、 0; 8、 i ±; 9、 R ; 10、 0、 三、 计算题1、 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑、2、 解 令i z re θ=、则22(),(0,1)k if z k θπ+===、又因为在正实轴去正实值,所以0k =、所以4()if i eπ=、3、 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤、所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰、4、 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0、四、 证明题、1、 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-、 (12,c c 为实常数)、 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-、 则0x y y x u v u v ====、 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析、 (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-、比较等式两边得 0x y y x u v u v ====、 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数、2、 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”、证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<、()f z =、由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相 同个数的根、 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =、 因此n 次方程在z R <内有n 个根、《复变函数》考试试题(三)一、 判断题、 (20分)、1、 cos z 与sin z 的周期均为πk2、 ( ) 2、 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析、 ( )3、 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )5、 若函数f (z )就是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数、 ( )6、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导、 ( )7、 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 、 ( )8、 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、( )9、 若z 0就是)(z f 的m 阶零点, 则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( ) 10、 若z 就是)(z f 的可去奇点,则)),((Res 0=z z f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________、2、 函数e z的周期为_________、3、 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________、4、 =+z z 22cos sin ___________、5、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数) 6、 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________、7、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________、8、 设1-=ze ,则___=z 、9、 若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、10、 ____)0,(Res =n zze 、三、 计算题、 (40分)1、 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数、2、 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径、3、 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 就是1||=z 、4、 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数、四、 证明题、 (20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 设)(z f 就是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 就是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数论试卷
《复变函数论》试卷一一、填空（30分）1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z2.=+i e π3 ，()ii +1的辐角的主值为3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点.4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是()z f '1的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数， 则___________________===c b a6.方程0273=+z 的根为 ， ，二、简要回答下列各题（15分）1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简单闭曲线，问积分()()dz z f z f c ⎰'是否等于零，为什么？三、计算下列积分（16分）1. czdz ⎰，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段2. 202cos d πθθ+⎰四、（12分）求函数()11z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.五、（12分）证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分）求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映射成0w =，把2z =映射成1w =.《复变函数》试卷二一、填空题（20分）1. －2是 的一个平方根2. 设21i z --=，则，=z Argz ＝ =z Im3. 若22z z =，则θi re z =满足条件 4. =ze e，()=ze e Re5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成.7. 幂级数∑∞=12n nn z n 的收敛半径=R 8.函数baz +1在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为9.变换z e W =将区域π<<z D Im 0:变换成区域:G二、判断下列命题之真伪（20分）1.()z e z F cos =在全平面上任意阶可微.2. 若函数()z F 在有界区域D 内有解析，且在其中有无穷多个零点，则()z F 在D 内恒为零. （ ）3. 设扩充复平面上的点a 时函数()z F 的可去奇点，则()Re 0z asF z ==.4. 若()W F z =是区域D 内的保形变换，则()W F z =在D 内单叶解析且保角.5. 若函数()z F 在区域D 内解析，则()0cf z dz =⎰，其中c 是D 内的任意一条围线.6. 设()()(),,F z u x y iv x y =+在区域D 内可导，则在D 内，()'y x F z v iv =+7. 设函数()z F 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内()z F 能展成幂级数()0nn n c z a ∞=-∑.8. 非常数的整函数必为无界函数.9. 设()f z 在区域D 内解析，则()f z 在D 内连续. 10. 若函数()f z 在a 点可导，则()f z 在a 点解析.三、计算下列各题（24分）1. 求极限0cos lim sin z z z zz z →--2. 求21c I dz z=⎰ ，其中是下半圆周，起点11z =-，终点21z =3. 求i 的立方根4. 求2212cos d I p pπθθ=-+⎰()1p >5. 求()11f z z =-在1z =及z =∞的残数 6. 求1sin z dzI z z==⎰四、（16分） 1. 叙述儒歇定理2. 证明方程()01z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根 五、求下列变换（20分）1. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换2. 求出将圆42z i -<变为半平面v u >的保形变换，使得圆心变到－4，而圆周上的点2i 变到0w =《复变函数》试卷三一、填空题（45分）1. ()1Arg i -＝ ，复数()1cos sin 0z i ϕϕϕπ=-+<≤的模为2. 设()()32256f z z z =+-，则()'f z ＝3. 设()()cos sin x f z e y i y =+，则()'f z ＝4. z e 是周期函数，其基本周期为5. 如果函数()w f z =在区域D 内满足条件： ，则称()f z 为区域D 内的解析函数6. 设c 是连接a 与b 的直线段，则czdz ⎰＝7. 设圆周:3c z =，则3c dzz ⎰＝ 8. 级数21nn z n ∞=∑的收敛半径为 ，级数2491z z z ++++⋅⋅⋅的收敛半径为9. 0z =为函数()sin f z z z =-的 级零点10. 叙述最大模原理： 11. 设()()()25121zf z z z =-+，则1z =为()f z 的 级极点，12z =-为()f z 的 级极点12. 设()22f z z z =+，则在点12z i =-+处的旋转角()'arg 12f i -+＝ 二、判断下列命题之真伪（15分）1. 函数()2f z z =在z 平面上处处不解析 2.()z F z e =是整函数3.若函数()F z 在区域D 内解析，c 是D 内任一条围线，则()0cF z dz =⎰4.设函数()F z 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内能展成幂级数()0nn n c z a ∞=-∑2. 若函数()f z 在点a 可导，则()f z 在点a 解析 三、求解下列各题（20分） 1. 求积分()ln 1z rI z dz ==+⎰ ()01r <<2. 求积分()()229I d i ξξξξξ==-+⎰3. 求积分()22521z z I dz z z =-=-⎰4. 试将函数()2zf z z =+按1z -的幂展开，并指出其收敛范围5. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换 四、证明题（20分）1. ①叙述代数学基本定理②试用复分析方法证明代数学基本定理2. 证明方程()00z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根《复变函数》试卷四一、填空题（50分）1. 已知1z i =-，则arg z ＝ ()arg z ππ-<≤，z ＝ ，z ＝2.3. 设()()cos sin x f z e y i y =+，则()'f z ＝4. sin z 的零点为 ，cos z 的零点为5. ()1Ln -＝ ， i i ＝6. 函数()f z ()(),,u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是7.1z dzz =⎰＝21z dzz =⎰＝8． 幂级数21nn z n∞=∑ 的收敛半径为9． 0z =是函数()sin f z z z =-的 级零点10. 叙述最大模原理： 11.函数()()()112f z z z =--在z 平面内有 个奇点，它们是12. 1z =为函数()()()251121z f z z z +=-+的 级极点13. 方程742520z z z -+-=在单位圆内有 个根14. 设()22f z z z =+，则()f z 在12z i =-+处的旋转角为 伸缩率为 15. 线性变换()0az bw ad bc cz d+=-≠+的逆变换为16. 变换3w z =将z 平面上区域:0arg 3D z π<<变换为w 平面上的区域G ：二、判断题（15分）1. 设()f z 在区域D 内可导，则()f z 在D 内解析2. 互为共轭的两复数具有相同的模3. 复数0z =的充要条件是0z =4. 设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰5. sin z 和cos z 都是平面上的有界函数三、计算下列各题（15分） 1. 设()()()112f z z z =--，求()f z 在1z <内的泰勒展式2. 求积分()22521z z I dz z z =-=-⎰3.求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换四、证明题（20分）1. 证明函数()2f z z =在z 平面上处处不解析2. 设a 为()f z 的n 级零点，证明：a 必为函数()()'f z f z 的一级极点，并且()()'Re z a f z s n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦《复变函数》试卷五一、填空题（18分）1. 的所有值为：2. ()cos 1i +＝ ()1Ln -＝3. 0cos limsin z z z zz z→--＝4. 设()()0n n f z c z r z +∞-∞=≤<<+∞∑，则()Re z s f z =∞＝5． 令z x iy =+，2z w e =，则w ＝ Im w ＝6. 线性变换()()0az bW L z ad bc cz d+==-≠+在扩充z 平面上有下列特性，请你完整地予以叙述⑴ 保形性：⑵ 保交比性： ⑶ 保圆周性： ⑷ 保对称性：7. 1w z=将z 平面上的直线y x =变换为w 平面上的曲线二、判断题（10分）下列断语如果正确则打“ √”，否则打“×”1. 如果函数()f z 在点()a ≠∞处解析，则存在0R >，使()f z 在z a R -<内可展成泰勒级数，且展式唯一2. 设a 是z 平面上的一点，若a 为函数()f z 的可去奇点，则()Re 0z as f z ==（ ）3. 如果函数()f z 在某有界区域D 内解析，且在D 内有一列零点，则()f z 在D 内恒为零 4. sin z 和cos z 都是z 平面上的有界整函数 5. 若函数()f z 在区域D 内解析，则()0cf z dz =⎰.其中c 是内的任意一条围线三、解下列各题（24分）1. 求1c dz z ⎰的值，其中c 是上半单位圆周，起点为1z =-，终点为1z =2. 求函数()11z f z e -=在1,z =∞的留数3. 计算积分()20sin 01x mxI dx m x+∞=>+⎰4. 将函数()11z f z z -=+在1z =处展开成幂级数，并求其收敛半径四、证明题（24分）1. 试证：在原点解析，且在()11,2,z n n==⋅⋅⋅处取下列值的函数()f z 是不存在的： 111111,,,,,224466⋅⋅⋅2. 试证：73120z z -+=的根全在12z <<内 五、（12分）求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换六、（12分）求出将圆42z i -<变成半平面v u >的保形变换，使得圆心变到－4，而圆周上的点变到2i 变到0w =《复变函数》试卷六一、填空题（30分）1．已知z=1－i ，则arg z= （－π<arg z ≤π），| z |= , z =2．变换W=Z 3将Z 平面上区域D ：0< arg z <3π变换为W 平面上的区域G ：3．Ln （－1）= , i i = , Arctg(2i) = 4．函数f （z ）在区域D 内解析的充要条件是下列条件之一（1） （2） （3） （4）5．幂级数z ＋z 4＋z 9＋…＋2n z ＋…的收敛半径为6．在原点解析，而在z= 1n （n=1，2，…）处取值为 f(1n )=211n+的函数为7．函数f （z ）=z 2（21z e -）的零点是 ，它是 级的 二、判断题（10分）1．设f （z ）在区域D 内可导，则f （z ）在D 内解析 （ ） 2．设f （z ）在区域D 内解析，C 是D 内任一闭曲线，则c⎰f （z ）dz=03．Sinz 和cosz 都是z 平面上的有界函数 （ ） 4．f （z ）=u ＋iv 在区域D 内解析，则－u 是v 的共轭调和函数5． f （z ）=| z |2在z 平面上处处不解析三、求下列积分（15分） 1．I= z cze dz ⎰，其中c 是连结o 到－1＋i 的直线段 2．I=212ln(1)z z z dz =+⎰3．I=22(8)()z zdz z z i =--⎰ 四、（12分）已知u=x 3+6x 2y-3xy 2-2y 3,求解析函数f(z)=u+iv 使合条件f （0）＝0五、（12分）将函数f(z)=1az b+(a,b 为复数，ab ≠0)展开为z 的幂级数，并指出展式成立的范围 ， 六、（12分）叙述并证明代数学基本定理七、（9分）设f （z ）=u(x ·y )+iv(x ·y )在区域内解析，试证在D 内，0f z∂=∂《复变函数》试卷七一．填空题（20分）1．已知z ＝1－I ，则argz ＝ (－π<arg z ≤π)，| z |= ，z =2．变换W=Z 3将z 平面上的区域D 变换为W 平面上的区域G ：，其中D ： 0< arg z <3π3． sin 2z ＋cos 2z ＝1在直线z ＝x ，(y=0)上成立，则由 定理，sin 2z ＋cos 2z ＝1 在全平面上也成立4．设f(z)=2z 4－z 3＋11z 2－1，f(z)在| z |<2内有 个零点，f(z)在 2≤| z |<3 内有 个零点，f(z)在3≤| z |<＋∞内有 零点，f(z)在z ＝1处的旋转角为 ，伸缩率为 。
复变函数复习考卷及其答案好!
复变函数复习考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. $e^z$B. $\frac{1}{z}$C. $\sqrt{z}$D. $\ln(z)$2. 复变函数在孤立奇点处的洛朗级数展开中，负幂项系数的含义是？（）A. 函数在该点的留数B. 函数在该点的导数C. 函数在该点的极限D. 函数在该点的幅角3. 复变函数在解析区域内解析的充分必要条件是？（）A. 柯西黎曼方程成立B. 洛朗级数展开存在C. 原函数存在D. 哈尔迪惠特尼定理成立A. 柯西积分定理B. 奇点定理C. 留数定理5. 复变函数在孤立奇点处的留数等于？（）A. 奇点处的函数值B. 奇点处的导数C. 奇点处的极限D. 奇点处 Laurent 展开式中负幂项系数的和6. 复变函数的导数等于？（）A. 实部关于 x 的偏导数B. 虚部关于 y 的偏导数C. 实部关于 x 的偏导数与虚部关于 y 的偏导数的和D. 实部关于 x 的偏导数与虚部关于 y 的偏导数的差7. 复变函数在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径无关的条件是？（）A. D 为单连通区域B. D 为多连通区域C. D 为有界区域D. D 为无界区域8. 复变函数的泰勒级数展开式在收敛圆内的性质是？（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 无条件收敛D. 不能确定二、填空题（每题4分，共40分）1. 复变函数 $f(z) = e^z$ 在 $z=0$ 处的泰勒级数展开式为______。
2. 复变函数的导数 $f'(z)$ 满足______方程。
3. 若复变函数 $f(z)$ 在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径______。
4. 复变函数在孤立奇点处的留数等于该点______项系数的和。
5. 复变函数在解析区域内解析的充分必要条件是______。
6. 复变函数在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径无关的条件是 D 为______区域。
7. 复变函数的泰勒级数展开式在收敛圆内的性质是______。
复变函数考试试卷试题及答案各种总结.doc
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数 f(z) 在 z 0 解析 .( )2. 有界整函数必在整个复平面为常数.()3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Imz n }都收敛 .( )4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则 f ( z)C（常数） . ( )5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 . ( )6. 若 z 0 是f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .()lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 . ()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0(z D ) .( )9. 若 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf (z)dz 0 .C( )10. 若函数 f(z) 在区域 二. 填空题（ 20 分）D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数. （）dz1、 |z z 0 | 1 ( zz )n__________. （ n 为自然数）2.sin 2 z cos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z21，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Re s(e zn ,0)，其中 n 为自然数 .z9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z) lim f (z) ___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1 dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z) 3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 .证明：如果| f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .2. 试证 : f (z) z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 ,并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√ ５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 i n 1；2. 1 ；3.2k， ( k z) ； 4.zi ； 5. 11.n 16. 整函数；7.；8.1 ；9. 0；10..(n1)!三．计算题 .1. 解因为0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 222. 解 因为z21Re s f (z) limlim1,coszsin zz2zz22Re s f (z)lim z 2 lim1 1 .coszsin zz2zz22所以1 dz2 i(Re s f (z) Re s f (z) 0 .z 2cos z z 2 z 23. 解 令( ) 3 2 71, 则它在 z 平面解析 , 由柯西公式有在 z 3内 ,f (z)c ( )dz 2 i (z) .z所以 f (1i ) 2 i (z) z 1 i2 i (13 6i ) 2 ( 6 13i ) .4. 解 令 za bi , 则wz 1 121 2( a 1 bi ) 1 2(a 1)2b.z 1 z 1 ( a 1)2 b 2( a 1)2 b 2 (a 1)2 b 2故 Re( z1 1 2(a 1), Im( z 1 2b2.) 2 b 2)2z 1 ( a 1)z 1 (a 1) b四.证明题 .1. 证明 设在 D 内 f ( z)C .令 f ( z) u iv ,2u 2 v 2 c 2 .则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数 ,得 uu x vv x 0(1) uu y vv y 0(2)因为函数在 D 内解析 , 所以 u x v y , u y v x . 代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x 0 . 消去 u x 得, (u 2 v 2 ) v x 0 .vu x uv x 01) 若 u2 v 2 0 , 则 f ( z)0 为常数 .2) 若 v x0,由方程 (1) (2)及 C.R. 方程有 u x 0, u y 0 , v y 0 .所以 uc 1, v c 2 . ( c 1, c 2 为常数 ).所以 f ( z) c1 ic 2为常数.2. 证明f ( z) z(1 z) 的支点为z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1的z平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发, 连续变动到z 0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该2z 1 的幅角为, 故f ( 1) i2i .分支在上岸之幅角为 0, 因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一 . 判断题 . （ 20 分）1. 若函数 f (z) u(x, y) iv ( x, y)在D内连续，则 ux,y)与 v x,y)都在 D内连续.( (z z( )2. cos 与sin 在复平面内有界 . ( )f ( z) 在 z0 f ( z) 在z03. 若函数解析，则连续 . ( )4. 有界整函数必为常数 . ( )5. 如 z0是函数 f ( z) 的本性奇点，则 lim ( ) 一定不存在 . ( )z z0f z6. 若函数 f ( z) 在 z0 可导，则 f ( z) 在z0 解析 . ( )7. 若 f ( z) 在区域 D内解析 , 则对 D内任一简单闭曲线 C f ( z)dz 0 .C( )8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n} 都收敛. ( )9. 若 f ( z) 在区域 D 内解析，则 | f ( z)| 也在 D 内解析 .( )10. 存在一个在零点解析的函数 f ( z) 使 f ( 1 ) 0 且 f ( 1) 1 , n 1,2,... .n 1 2n 2n( )二. 填空题 . (20 分)1. 设z i ，则| z | __,arg z __, z __2. 设f ( z) ( x2 2 xy) i (1 sin( x2 y2 ), z x iy C ，则lim f ( z) ________.z 1 idz3.|z z 0 | 1( zz )n _________.（ n 为自然数）4. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________ .n 05. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z 0 是 f '( z) 的_____零点 .6.函数 e z 的周期为 __________.7. 方程 2z 5 z 3 3z 8 0 在单位圆内的零点个数为 ________.8. 设 f ( z)1 z2 ，则 f ( z) 的孤立奇点有 _________.19. 函数 f (z) | z |的不解析点之集为 ________.10.Res(z41,1) ____.z三 . 计算题 . (40 分 )1. 求函数sin(2z 3 )的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支， 并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值 .3. 计算积分：Ii1）| z | dz ，积分路径为（ 1）单位圆（ | z|i的右半圆 .4. 求 .四 . 证明题 . (20 分 )1.设函数 f ( z) 在区域 D 内解析，试证：f ( z) 在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D 内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题 .1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．× 6．×７．×８．√ ９．× 10．× .二. 填空题， i ； 2.3(1 sin 2)i ； 3.2 i n 1 ； 5.m 1.，n ； 4. 1216.2k i ， ( k z) .7.0；8.i ；9.R ；10.0.三. 计算题1. 解 sin(2 z 3)( 1)n (2 z 3 )2n 1 ( 1)n 22n 1 z 6 n 3 .n 0(2 n 1)! n 0(2 n 1)!2. 解 令 z re i.i2 k2则 f ( z)zre ,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k 0 .所以 f (i)ie 4 .3. 单位圆的右半圆周为 z ei, 2.2i zdz2 deiei2 2i .所以i224. 解 =0.四.证明题 .1. 证明 (必要性 ) 令 f ( z)c 1ic2 , 则f ( z)c 1ic 2 . (c 1 ,c 2 为实常数).令 u(x, y)c 1, v( x, y)c 2 .则 u xv yu yv x0 .即 u, v 满足 C.( 充分性 ) 令 f ( z)R., 且 u x , v yu iv , 则 ,u y , v x 连续 ,f (z) u iv故 f (z) ,在D 内解析 .因为f ( z) 与 f ( z)在D 内解析,所以u x v y , u y比较等式两边得v x ,u x且u x v yu y(v)yv x0 . v y , u y从而在D ( v x )内 u, v v x .均为常数, 故f (z) 在D 内为常数 .2. 即要证“任一 n 次方程 a 0 zna 1zn 1a n 1za n0 ( a 0 0) 有且只有n个根” .证明 令 f (z) a 0 z na 1z n 1a n 1z a n0 , 取 Rmax a 1a n ,1 , 当a 0z在C : z R上时,有( z) a 1 R n 1a n 1 R a n ( a 1a n )R n 1 a 0 R n .f ( z) .由儒歇定理知在圆zR 内 , 方程 a 0 z n a 1z n 1a n 1 za n 0 与 a 0 z n0 有相同个数的根 . 而 a 0 zn 0 在 z R 内有一个n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分 ).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ( )7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9.若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 .( )10. 若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分 )1. 设 f ( z) 1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________. 2 z 12.函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z n n 2 i (11) n ，则 lim z n __________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z ___________.dz5.|z z 0 | 1(z z ) n_________. （ n 为自然数）6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1fz 的孤立奇点有z 2 1，则7.( )__________.8.设ez1，则 z ___ .9.若 z 0 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分 )11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C 是 | z | 1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1 内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数复习考卷及其答案好!
复变函数复习考卷及其答案（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5题，每题4分，满分20分）1. 下列函数中，哪个是全纯函数？（）A. f(z) = zB. f(z) = |z|C. f(z) = z^2 + 1D. f(z) = ln|z|2. 复变函数f(z)在z=0处解析，则下列结论正确的是？（）A. f'(0) = 0B. f(0) = 0C. f(z)在z=0的某个邻域内可展开成幂级数D. f(z)在z=0的某个邻域内不可导3. 复变函数f(z)在区域D内解析，则下列说法正确的是？（）A. f(z)在D内必定有极值B. f(z)在D内必定有零点C. f(z)在D内必定满足柯西黎曼方程D. f(z)在D内必定是单调函数4. 复变函数f(z)在区域D内解析，且f'(z) ≠ 0，则f(z)在D 内？（）A. 必定有极值B. 必定是单调函数C. 必定是双值函数D. 必定是一一映射5. 下列级数中，哪个是收敛的？（）A. ∑(n=1 to ∞) z^n / nB. ∑(n=1 to ∞) (1/z)^nC. ∑(n=1 to ∞) sin(nz)D. ∑(n=1 to ∞) n^2 z^n二、填空题（共5题，每题4分，满分20分）1. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y) = x^2 y^2，v(x, y) = 2xy，则f'(z) = _______。
2. 若f(z) = e^z，则f'(z) = _______。
3. 复变函数f(z)在z=0处解析，且f(0) = 1，f'(0) = i，则f(z)在z=0处的泰勒展开式为 _______。
4. 复变函数f(z)在区域D内解析，且满足|f(z)| ≤ M，则f(z)在D内满足 _______。
5. 复变积分∮(C) (1/z) dz中，C为以原点为中心，半径为R的圆，则该积分的值为 _______。
(完整版)复变函数试题及答案
2、计算积分
5z 2 z 2 z( z 1)2 dz
3、将函数 f z z 1 在 z 1的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围 z1
x2
4、计算实积分 I= 0
(x2
1)( x 2
dx 4)
5、求 f ( z)
1 1 z2 在指定圆环 2
zi
内的洛朗展式
6、求将上半平面 Im z 0 共形映射成单位圆 w 1的分式线性变换
I=
1 2
(x2
x2 1)( x 2
dx 4)
= 1 2 i Re s f ( z) Resf (z)
2
zi
z 2i
z2
=i (z
i )( z2
4) z i
z2 ( z2 1)( z 2i ) z 2i
= 6
5 解： f ( z)
1
( z i)( z i )
1
1
=
2
(z i) 1
2i
zi
= 6 解:
1
(z
i)2
n
(
0
1) n
(2i )n (z i )n
w =L(i)=k z i zi
2i
w
k (z
i)2
2 zi
-3 -
6分
…4 分 …６分 …1 分 …2 分 …3 分 …5 分 …6 分 …1 分 …3 分
…6 分 2分
…3 分
____________________________________________________________________________________________________________
w L z ，使符合条件 L i 0 ， L i 0
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《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）一. 判断题. (20分)1. 若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件. （ ）2. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. （ ）3. 函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界. （ ）4. 若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f .（ ）5. 若)(lim 0z f zz →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点. （ ）6. 若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数. （ ）7. 如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f zz →一定不存在. （ ）8. 若0)(,0)(0)(0==z f z f n ，则0z 为)(z f 的n 阶零点. （ ）9. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （ ）10. 若)(z f 在+∞<<||0z 内解析，则)),((Res )0),((Res ∞-=z f z f . （ ）二. 填空题. (20分)1. 设iz -=11，则___Im __,Re ==z z .2. 若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn ...lim 21______________.3. 函数e z 的周期为__________.4. 函数211)(zz f +=的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________.6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________. 7. 设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰Cdz z .8. zz sin 的孤立奇点为________.9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10.=)0,(Res n zze _____________.三. 计算题. (40分)1. 解方程013=+z .2. 设1)(2-=z e z f z，求).),((Re ∞z f s3..))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z.4. 函数()f z =z e z111--有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分) 1. 证明：若函数)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解析.2. 证明0364=+-z z 方程在2||1<<z 内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）一. 判断题.（20分）1. 若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （ ）2. 若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数. （ ） 3. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. （ ） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ） 5. 若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析. （ ） 6. 若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点. （ ）7. 若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析. （ ） 8. 设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数. （ ）9. 若0z 是)(z f 的一级极点，则)()(lim )),((Res 000z f z z z z f z z -=→. （ ）10. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （ ）二. 填空题.（20分） 1. 设i z 31-=，则____,arg __,||===z z z .2. 当___=z 时，z e 为实数.3. 设1-=ze ，则___=z .4.z e 的周期为___.5. 设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰Cdz z .6. ____)0,1(Res =-ze z . 7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。