一元二次方程的解法

一元二次方程的解法

一般解法

1.配方法

（可解全部一元二次方程）

如：解方程：x^2+2x－3=0

解：把常数项移项得：x^2+2x=3

等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4

因式分解得：（x+1)^2=4

解得：x1=-3,x2=1

用配方法解一元二次方程小口诀

二次系数化为一

常数要往右边移

一次系数一半方

两边加上最相当

2.公式法

（可解全部一元二次方程）

首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根

1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）

2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2

3.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根

当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a

来求得方程的根

3.因式分解法

（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

如：解方程：x^2+2x+1=0

解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0

解得：x1=x2=-1

4.直接开平方法

（可解部分一元二次方程）

5.代数法

（可解全部一元二次方程）

ax^2+bx+c=0

同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0

设：x=y-b/2

方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0

再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0

y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]

1、直接开平方法；

2、配方法；

3、公式法；

4、因式分解法。

1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m .

例(3x+1)^2;=7 解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)

例x^2-4x-12=0 (x-2)^2-4-12=0 (x-2)^2=16 x-2=±4 x=6或-2 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2;-4ac的值，当b^2;-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2;-4ac)]/(2a) , (b^2;-4ac≥0)就可得到方程的根。

例2x^2-8x=-5 x2^2;-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5

b^2;-4ac=(-8^2;-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b^2;-4ac)]/(2a)

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例x^2-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 x=-1或3

一元二次方程的解法有如下几种:

第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,

平方差公式,).（3）提取公因式

例1:X^2-4X+3=0

本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。

例2：X^2-8X+16=0

本题运用因式分解法中的完全平方公式，原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题，一定要写X1=X2=某个数，不能只写X=某个数，因为一元二次方程一定有两个根，两个根可以相同，也可以不同）

例3：X^2-9=0

本题运用因式分解法中的平方差公式，原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ，可以得出X1=3，X2=-3。

例4：X^2-5X=0

本题运用因式分解法中的提取公因式法来解，原方程分解为X（X-5）=0 ，可以得出X1=0 ，X2=5

第二种方法是配方法，比较复杂，下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程：

X^2+2X-3=0

第一步：先在X^2+2X后加一项常数项，使之能成为一项完全平方式，那么根据题目，我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2。

第二步：原式是X^2+2X-3，而(X+1)^2=X^2+2X+1，两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4，才会等于原式，所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。

还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。

最后如果用了上面所有的方法都无法解方程，那就只能像楼上所说的用求根公式了。

定理就是韦达定理，还有根的判别式，韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a 不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a

举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4，两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下，看看是否正确）。

因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让

两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个

根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (选学）(4)x2-2( + )x+4=0 （选学）