证明圆的切线方法

证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系,就出现了新的一类习题,就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有:
一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA,证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F。

求证：EF与⊙O相切。

证明：连结OE，AD。

∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC,
∴∠3=∠4。

⌒⌒
∴BD=DE，∠1=∠2.
又∵OB=OE,OF=OF，
∴△BOF≌△EOF（SAS）.
∴∠OBF=∠OEF。

∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF。

∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切。

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD。

求证：PA与⊙O相切.
证明一:作直径AE，连结EC。

∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD,
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB，
∴∠1=∠B。

又∵∠B=∠E，
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径,
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900。

即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切。

证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE。

∵AD是∠BAC的平分线，
⌒⌒
∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE,
∴∠E=∠1。

∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA。

又∵∠PDA=∠BDE，
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA。

∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
证明一:连结OD。

∵AB=AC，
∴∠B=∠C。

∵OB=OD，
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD。

∴DM与⊙O相切
证明二:连结OD，AD。

∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC。

又∵AB=AC,
∴∠1=∠2。

∵DM⊥AC，
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD，
∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=900. D
C
即OD⊥DM.
∴DM是⊙O的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的。

证明二是通过证两角互余证明垂直的,
解题中注意充分利用已知及图上已知.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300,BD=OB,D
在AB的延长线上。

求证：DC是⊙O的切线
证明：连结OC、BC。

∵OA=OC，
∴∠A=∠1=∠300。

∴∠BOC=∠A+∠1=600.
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形。

∴OB=BC.
D ∵OB=BD，
∴OB=BC=BD.
∴OC⊥CD。

∴DC是⊙O的切线。

说明:此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好。

例5 如图,AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP。

求证:PC是⊙O的切线。

证明：连结OC
∵OA2=OD·OP，OA=OC，
∴OC2=OD·OP，
OC OP OD OC 。

又∵∠1=∠1，
∴△OCP ∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC 。

∵CD ⊥AB ，
∴∠OCP=900.
∴PC 是⊙O 的切线。

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6 如图，ABCD 是正方形,G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E,交CD 于F. 求证：CE 与△CFG 的外接圆相切。

分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形,圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O,连结OC,证明CE ⊥OC 即可得解。

证明:取FG 中点O,连结OC 。

∵ABCD 是正方形，
∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △
∵O 是FG 的中点，
∴O 是Rt △CFG 的外心.
∵OC=OG ，
∴∠3=∠G ，
∵AD ∥BC,
∴∠G=∠4。

∵AD=CD ，DE=DE ，
∠ADE=∠CDE=450,
∴△ADE ≌△CDE （SAS)
∴∠4=∠1,∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径"
例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：AC与⊙D相切。

证明一：连结DE，作DF⊥AC,F是垂足。

∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=900。

∵AB=AC，
∴∠B=∠C。

又∵BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DF=DE。

∴F在⊙D上.
∴AC是⊙D的切线
证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足。

∵AB与⊙D相切，
∴DE⊥AB。

∵AB=AC，BD=CD，
∴∠1=∠2。

∵DE⊥AB，DF⊥AC,
∴DE=DF.
∴F 在⊙D 上. ∴AC 与⊙D 相切。

说明:证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.
例8 已知：如图，AC,BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD,若∠COD=900。

求证：CD 是⊙O 的切线。

证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足。

∵AC ，BD 与⊙O 相切,
∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.
∵AC ∥BD ，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900。

∵∠4+∠5=900.
∴∠1=∠5.
∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.
∴OD OC OB AC =.
∵OA=OB ，
∴OD OC
OA AC =。

又∵∠CAO=∠COD=900，
∴△AOC ∽△ODC ，
∴∠1=∠2.
又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，
∴OE=OA 。

O
∴E点在⊙O上。

∴CD是⊙O的切线。

证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F。

∵AC，BD与⊙O相切,
∴AC⊥OA，BD⊥OB.
∵AC∥BD,
∴∠F=∠BDO。

又∵OA=OB，
∴△AOF≌△BOD（AAS)
∴OF=OD.
∵∠COD=900，
∴CF=CD,∠1=∠2.
又∵OA⊥AC，OE⊥CD，
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线。

证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF。

∵AC与⊙O相切，
∴AC⊥AO。

∵AC∥BD，
∴AO⊥BD。

∵BD与⊙O相切于B，
∴AO的延长线必经过点B。

∴AB是⊙O的直径.
∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，
∴OF∥AC，
∴∠1=∠COF 。

∵∠COD=900，CF=DF ，
∴CF CD OF ==21。

∴∠2=∠COF.
∴∠1=∠2.
∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，
∴OE=OA 。

∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线
说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2。

证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2,这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线。

此题较难,需要同学们利用所学过的知识综合求解。

以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.。