证明圆的切线方法

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证明圆的切线方法

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

证明：连结OE，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=BC，

∴∠3=∠4.

⌒⌒

∴BD=DE，∠1=∠2.

又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF（SAS）.

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF.

∴∠OEF=900.

∴EF与⊙O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，

∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，

∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

⌒⌒

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

证明一：连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵OB=OD，

∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C.

∴OD∥AC.

∵DM⊥AC，

∴DM⊥OD.

∴DM与⊙O相切

证明二：连结OD，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=AC,

∴∠1=∠2.

∵DM⊥AC，

∴∠2+∠4=900

∵OA=OD，

∴∠1=∠3.

∴∠3+∠4=900. D

C

即OD⊥DM.

∴DM是⊙O的切线

说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.

例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.

求证：DC是⊙O的切线

证明：连结OC、BC.

∵OA=OC，

∴∠A=∠1=∠300.

∴∠BOC=∠A+∠1=600.

又∵OC=OB，

∴△OBC是等边三角形.

D

∴OB=BC.

∵OB=BD，

∴OB=BC=BD.

∴OC⊥CD.

∴DC是⊙O的切线.

说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.

例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.

求证：PC是⊙O的切线.

证明：连结OC

∵OA2=OD·OP，OA=OC，

∴OC2=OD·OP，

OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1，

∴△OCP ∽△ODC.

∴∠OCP=∠ODC.

∵CD ⊥AB ，

∴∠OCP=900.

∴PC 是⊙O 的切线.

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的

例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F. 求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.

证明：取FG 中点O ，连结OC.

∵ABCD 是正方形，

∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △

∵O 是FG 的中点，

∴O 是Rt △CFG 的外心.

∵OC=OG ，

∴∠3=∠G ，

∵AD ∥BC ，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD ，DE=DE ，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE ≌△CDE （SAS ）

∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900.

即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：AC与⊙D相切.

证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB.

∵DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=900.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DF=DE.

∴F在⊙D上.

∴AC是⊙D的切线

证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB与⊙D相切，

∴DE⊥AB.