圆孔的夫朗和费衍射

圆孔的夫朗和费衍射

1

、

圆

孔

的

夫

朗

和

费

衍射

：

根据几何光学，平行光经过球面凸透镜后将会聚于透镜焦平面上一点。但实际上，由于光的波动性，平行光经过小圆孔后也会产生衍射现象，称为圆孔的夫朗和费衍射。圆孔的夫朗和费衍射图样为一个圆形的亮斑（称为爱里斑），在爱里斑的周围还有一组明暗相间的同心圆环。由于光学仪器中所用的孔径光阑、透镜的边框等都相当于一个透光的圆孔，所以圆孔的夫朗和费衍射对光学系统的成像质量有直接影响。

爱里斑光强约占总光强的84% 。而其1级暗环的角宽度（即爱里斑半角宽度）满足

D 22

.1R

610

.0sin 1λ

λ

θ==

式中R 、D 为小圆孔的半径和直径。

2、光学仪器的分辨本领：

由于圆孔衍射现象的限制，光学仪器的分辨能力有一个最高的极限。下面通过光学仪器分辨本领的讨论，说明为什么有一个分辨极限，并给出分辨极限的大小。

当两个物点S 1、S 2很靠近时（设S 1、S 2光强相等），两个爱里斑将互相重叠而无法分辨。

对一个光学仪器来说，若一个点光源产生的爱里斑的中央刚好与另一个点光源产生的爱里斑瑞的1级暗环相重合，这时两个爱里斑重合部分的光强约为单个爱里斑中央光强的80%左右，一般人眼刚好能分辨出这是两个光点的像。因此，满足上述条件的两个点光源恰好能被该光学仪器所分辨。这一条件称为瑞利分辨判据。（见下图）

恰能分辨时两光源发出的光线对透镜光心的夹角Δθ 称为最小分辨角，用δθ表示。由上讨论可知，最小分辨角δθ等于爱里斑的半角宽度θ1：

)D 22

.1arcsin(1λ

θδθ==

尤其当θ1 ~ 0

D 22

.1λ

δθ≈

（或称分辨率），用R 表示：

λδθ

22.1D 1

R =

=

讨论：

⑴ 增大透镜的直径D 可提高镜头的分辨率。光学天文望远镜的镜头孔径可达数米！ ⑵ 设r 、d 为爱里斑的半径和直径，则：

f 2d f r D 22

.1=

=

=λ

δθ

即：

D f

44.2d λ

=

f D

称为镜头的相对孔径（越大越好）。

如照相机镜头上所标示的

502

:

1字样，即表示镜头的焦距mm 50f =，而镜头的孔

径mm 25D =。

⑶ 由分辨本领的定义，要提高光学仪器的分辨率，除了增大镜头孔径外，还可通过减小入射光波长来实现。近代物理指出：电子也有波动性。高能电子的波长可短至10–1~ 10–2nm 。所以电子显微镜的最小分辨距离可达几个nm ，放大率可达几万倍乃至几百万倍，远高于光学显微镜。

视频：光学仪器的分辨率

第一节 光波的标量衍射理论

讨论衍射的基本处理： 标量衍射理论、衍射积分公式、两类衍射的区分、计算、观察 一、惠更斯—菲涅耳原理 1、惠更斯原理

惠更斯假设： 任一时刻波上的每一点都可以看作是产生球面次波的波

源，下一时刻的波阵面是这些次波的包络面。

惠更斯原理 —— 次波的概念，波面法线方向即光线方向（各向同性介质） （波的传播原理）

（用于确定下一时刻光线方向）

于是，如图，t1时刻屏D 上波阵面Σ1

得：t2时刻，波阵面Σ2

问题：不能给出强度分布特点

2、惠更斯—菲涅耳原理

某一时刻波阵面上的任一点都可以视为发出球面次波的新波源，这些次波来源于同一光源，因而彼此相干，空间某一点的光振动取决于波阵面上所有次波在该点叠加的结果。

注意：干涉与衍射的异同点

3、惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式

由原理，光源S在P点产生的光振动，应等于其波面Σ上各点发出次波在P点的光振动的叠加。

参数如图:

单色点光源S在波面Σ上某点Q的复振幅为：

面元在点产生的复振幅表示为：

式中：

衍射角——波面法线n与次波传播方向r之夹角

倾斜因子——表明次波振幅与衍射角（方向）有关

假设且有：随

于是：波面Σ在P点产生的复振幅为：

若用任意已知的孔径面代替波面，则P点的衍射分布可表示为：

若有

则上式推广为：

二、菲涅耳—基尔霍夫衍射公式

1、惠更斯—菲涅耳原理的缺陷：

（1）假设次波与次波干涉概念，未与基本原理相联系

（2）人为假设了，未给出和C的具体形式

2、菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式

主要思想：

（1）波动微分方程+格林定理——亥姆霍兹—基尔霍夫衍射积分定理

积分定理指出：波源在某一衍射场P点引起的波振动决定于包围

P点的封闭曲面上各部分在该点引起的波动的叠加。

（积分定理给出次波叠加的理论基础）

（2）基尔霍夫衍射积分定理+边值条件→用于光的衍射现象

边值条件：

a）开孔面上的复振幅分布由入射波决定，与孔径屏不存在时一样。

b）在屏的不透明部分，其复振幅近似为零。

公式表明：a）P点的复振幅是Σ波面上无穷多个次波面在该点的复振幅的叠加

c）给出K(Q)表达式，表明次波的振幅与K(Q)即衍射方向有关

当光源置于无穷远时，有

三、衍射的分类

1、定性区分

夫琅和费衍射（或称平面波衍射）

光源、接收屏距衍射屏足够远，入射波和衍射波均可视为有效平面波的衍射

菲涅耳衍射（球面波衍射）

光源或接收屏或两者距衍射屏有限距，以致入射波的波面曲率不可略时的衍射

2、基尔霍夫近似下衍射分类

由