莆田市八年级上册期末数学试卷及答案

莆田市八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）如果分式11x-有意义，那么x 的取值范围是( ) A ．1x >B ．1x <C ．1x ≠D ．1x =2．（4分）32x 可以表示为( ) A ．33x x +B ．42x x -C ．33x xD ．622x x ÷3．（4分）下列图案属于轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（4分）下列条件中，不能作出唯一三角形的是( ) A ．已知三角形两边的长度和夹角的度数 B ．已知三角形两个角的度数以及两角夹边的长度 C ．已知三角形两边的长度和其中一边的对角的度数 D ．已知三角形的三边的长度5．（4分）用三角板作ABC ∆的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是( )A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，将一个直角三角形纸片(90)ABC ACB ∠=︒，沿线段CD 折叠，使点B 落在B '处，若70ACB ∠'=︒，则ACD ∠的度数为( )A ．30︒B ．20︒C ．15︒D ．10︒7．（4分）已知ABC ∆在平面直角坐标系中，将ABC ∆的三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标都乘以1-，得到△111A B C ，则下列说法正确的是( ) A ．ABC ∆与△111A B C 关于x 轴对称 B ．ABC ∆与△111A B C 关于y 轴对称C ．△111A B C 是由ABC ∆沿x 轴向左平移一个单位长度得到的D ．△111A B C 是由ABC ∆沿y 轴向下平移一个单位长度得到的8．（4分）2016年，2017年，2018年某地的森林面积（单位：2)km 分别是1S ，2S ，3S ，则下列说法正确的是( ) A ．2017年的森林面积增长率是212S S S - B ．2018年的森林面积增长率是312S S S -C ．2017年与2016年相比，森林面积增长率提高了211S S S - D ．2018年与2017年相比，森林面积增长率提高了322121S S S S S S ---9．（4分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，50B ∠=︒，P 是边AB 上的一个动点（不与顶点A 重合），则BPC ∠的度数可能是( )A ．50︒B ．80︒C ．100︒D ．130︒10．（4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图）的对应点所具有的性质是()A ．对应点连线与对称轴垂直B ．对应点连线被对称轴平分C ．对应点连线都相等D ．对应点连线互相平行二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）一种病毒的直径为0.000023m ，其中0.000023用科学记数法表示为 ． 12．（4分）分解因式：221x x -+-= ．13．（4分）（2015•北京）如图是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EA 组成的平面图形，则12345∠+∠+∠+∠+∠= ．14．（4分）若2a b +=，3ab =-，则11a b+的值为 ． 15．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是BAC ∠的平分线；②点D 在线段AB 的垂直平分线上；③:1:2DAC ABC S S ∆∆=．正确的序号是 ．16．（4分）如图，等边三角形ABC 的边长为3，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，D 为线段BC '上一动点，则AD CD +的最小值是 ．三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤． 17．（8分）计算： （1）2201820192017-⨯； （2）223(6)(3)x x x -+-．18．（8分）先化简，再求值：259(1)23x x x --÷++，其中1x =-． 19．（8分）如图，五边形ABCDE 中，AB DE =，BC AE =，125E ∠=︒，其中ACD ∆为等腰直角三角形，90CAD ∠=︒． （1）求证：ABC DEA ∆≅∆； （2）求BAE ∠的度数．20．（8分）如图，A B ∠=∠．下列4个条件：①60A ∠=︒；②180B D ∠+∠=︒；③//CE AD ；④BE CE =．请选出能推出BCE ∆是等边三角形的两个条件．已知：如图，A B ∠=∠， ， ；（写出一种情况即可）求证：BCE ∆是等边三角形．21．（8分）匈牙利著名数学家爱尔特希曾提出：在平面内有n 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形．人们将具有这样性质的n 个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，等腰三角形ABC 中，AB AC BC =>，请在ABC ∆的内部和外部各作一个点D ，使点A ，B ，C ，D 构成爱尔特希点集．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）22．（10分）列方程解应用题：港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门，止于珠海洪湾，总长55千米，是粤港澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程，也是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道．据统计，港珠澳大桥开通后的首个周日经大桥往来三地的车流量超过3000辆次，客流量则接近7.8万人次．某天，甲乙两辆巴士均从香港口岸人工岛出发沿港珠澳大桥开往珠海洪湾，甲巴士平均每小时比乙巴士多行驶10千米，其行驶时间是乙巴士行驶时间的56．求乘坐甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要多长时间．23．（10分）计算下列图中阴影部分的面积，其中90B C D ∠=∠=∠=︒． （1）如图1，2AB a =，BC CD DE a ===； （2）如图2，AB m n =+，()BC DE n m n m ==->．24．（12分）在数学活动课上，研究用正多边形镶嵌平面．请解决以下问题： （1）用一种正多边形镶嵌平面例如，用6个全等的正三角形镶嵌平面，摆放方案如图所示：若用m 个全等的正n 边形镶嵌平面，求出m ，n 应满足的关系式； （2）用两种正多边形镶嵌平面若这两种正多边形分别是边长相等的正三角形和正方形，请画出两种不同的摆放方案；（3）用多种正多边形镶嵌平面若镶嵌时每个顶点处的正多边形有n 个，设这n 个正多边形的边数分别为1x ，2x ，⋯，n x ，求出1x ，2x ，⋯，n x 应满足的关系式．（用含n 的式子表示）25．（14分）如图1，共顶点的两个三角形ABC ∆，△AB C ''，若AB AB ='，AC AC ='，且180BAC B AC ∠+∠''=︒，我们称ABC ∆与△AB C ''互为“顶补三角形”． （1）已知ABC ∆与ADE ∆互为“顶补三角形”， AF 是ABC ∆的中线． ①如图2，若ADE ∆为等边三角形时，求证：2DE AF =；②如图3，若ADE ∆为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由．（2）如图4，四边形ABCD 中，90B C ∠+∠=︒．在平面内是否存在点P ，使PAD ∆与PBC ∆互为“顶补三角形”，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由．福建省莆田市八年级（上）期末数学试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【考点】62：分式有意义的条件【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不为0，即10x -≠． 【解答】解：10x -≠， 1x ∴≠．故选：C ．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．【考点】46：同底数幂的乘法；4H ：整式的除法；35：合并同类项 【专题】512：整式【分析】可通过整式混合运算法则进行解答． 【解答】解：A 选项，3332x x x +=，选项符合B 选项，42x x -不能合并同类项，不符合C 选项，336x x x =，不符合D 选项，62422x x x ÷=，不符合∴只有选项A 符合题意故选：A ．【点评】此题主要考查整式混合运算，熟记整式混合运算法则是解题的关键． 【考点】3P ：轴对称图形 【专题】558：平移、旋转与对称【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A 、是轴对称图形，符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D 、不是轴对称图形，不符合题意．故选：A ．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合． 【考点】KB ：全等三角形的判定 【专题】553：图形的全等【分析】根据全等三角形的判定知识得到不能作出唯一三角形的选项即可． 【解答】解：A 、根据SAS 可得能作出唯一三角形；B 、根据ASA 可得能作出唯一三角形；C 、根据条件不能作出唯一的三角形；D 、根据SSS 可得能作出唯一三角形．故选：C ．【点评】主要考查全等三角形的判定的应用；注意SSA 不能判定两三角形全等，也不能作出唯一的三角形．【考点】2K ：三角形的角平分线、中线和高 【专题】55：几何图形【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：B ，C ，D 都不是ABC ∆的边BC 上的高， 故选：A ．【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 【考点】PB ：翻折变换（折叠问题） 【专题】558：平移、旋转与对称 【分析】由折叠的性质可求解． 【解答】解：B CB ACB ACB ''∠=∠+∠ 160B CB '∴∠=︒折叠1802B CD BCD B CB ''∴∠=∠=∠=︒10ACD ACB BCD ∴∠=∠-∠=︒故选：D ．【点评】本题考查了翻折变换，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 【考点】5P ：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标；3Q ：坐标与图形变化-平移 【专题】558：平移、旋转与对称【分析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于y 轴对称． 【解答】解：横坐标乘以1-，∴横坐标相反，又纵坐标不变， ∴关于y 轴对称．故选：B ．【点评】考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【考点】6G ：列代数式（分式） 【专题】513：分式【分析】分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可． 【解答】解：2017年的增长率是211S S S -，错误； 2018年的森林面积增长率322S S S -，错误 2017年与2016年相比，没有2016年的增长率，不能说森林面积增长率提高了，故错误； 2018年与2017年相比，森林面积增长率提高了322121S S S S S S ---，正确． 故选：D ．【点评】本题考查了分式的减法运算，正确理解增长率的意义是关键． 【考点】KH ：等腰三角形的性质 【专题】554：等腰三角形与直角三角形【分析】只要证明80130BPC ︒<∠<︒即可解决问题． 【解答】解：AB AC =，50B ACB ∴∠=∠=︒， 18010080A ∴∠=︒-︒=︒， BPC A ACP ∠=∠+∠， 80BPC ∴∠>︒，180B BPC PCB ∠+∠+∠=︒， 130BPC ∴∠<︒， 80130BPC ∴︒<∠<︒，故选：C ．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【考点】2P ：轴对称的性质；2Q ：平移的性质【分析】直接利用轴对称图形的性质得出对应点之间的关系．【解答】解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点连线被对称轴平分．故选：B ．【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确把握对应点之间关系是解题关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 【考点】1J ：科学记数法-表示较小的数 【专题】511：实数【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：50.000023 2.310-=⨯． 故答案为：52.310-⨯．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <…，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】直接提取公因式1-，进而利用完全平方公式分解因式即可 【解答】解：221x x -+-2(21)x x =--+ 2(1)x =--．故答案为：2(1)x --．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 【考点】3L ：多边形内角与外角【分析】首先根据图示，可得1180BAE ∠=︒-∠，2180ABC ∠=︒-∠，3180BCD ∠=︒-∠，4180CDE ∠=︒-∠，5180DEA ∠=︒-∠，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE 的内角和是多少，再用1805︒⨯减去五边形ABCDE 的内角和，求出12345∠+∠+∠+∠+∠等于多少即可．【解答】解：12345∠+∠+∠+∠+∠(180)(180)(180)(180)(180)BAE ABC BCD CDE DEA =︒-∠+︒-∠+︒-∠+︒-∠+︒-∠ 1805()BAE ABC BCD CDE DEA =︒⨯-∠+∠+∠+∠+∠ 900(52)180=︒--⨯︒900540=︒-︒360=︒．故答案为：360︒．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n 边形的内角和(2)180n =-(3)n …且n 为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360︒． 【考点】6B ：分式的加减法 【专题】11：计算题；513：分式 【分析】将a b +和ab 的值代入原式b a a bab ab ab+=+=计算可得． 【解答】解：当2a b +=，3ab =-时， 原式b aab ab=+a bab += 23=- 23=-，故答案为：23-．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．【考点】KG ：线段垂直平分线的性质；2N ：作图-基本作图；KF ：角平分线的性质 【专题】13：作图题；55G ：尺规作图【分析】①连接NP ，MP ，根据SSS 定理可得ANP AMP ∆≅∆，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出CAB ∠的度数，再由AD 是BAC ∠的平分线得出30BAD CAD ∠=∠=︒，根据BAD B ∠=∠可知AD BD =，故可得出结论；③先根据直角三角形的性质得出30CAD ∠=︒，12CD AD =，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：①证明：连接NP ，MP ，在ANP ∆与AMP ∆中， AN AM NP MP AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ANP AMP SSS ∴∆≅∆，则CAD BAD ∠=∠，故AD 是BAC ∠的平分线，故此结论正确；②在ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒， 60CAB ∴∠=︒．AD 是BAC ∠的平分线，1302BAD CAD CAB ∴∠=∠=∠=︒，30BAD B ∴∠=∠=︒，AD BD ∴=，∴点D 在AB 的中垂线上，故此结论正确；③证明：在Rt ACD ∆中，30CAD ∠=︒， 12CD AD ∴=， 1322BC BD CD AD AD AD ∴=+=+=，1124DAC S AC CD AC AD ∆==， 11332224ABC S AC BC AC AD AC AD ∆∴===， :1:3DAC ABC S S ∆∆∴=，故此结论错误；故答案为：①②．【点评】本题考查的是角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．【考点】PA ：轴对称-最短路线问题；KK ：等边三角形的性质 【专题】558：平移、旋转与对称【分析】连接CA '交BC '于点E ，C ，A '关于直线BC '对称，推出当点D 与B 重合时，AD BC +的值最小，最小值为线段AA '的长6=．【解答】解：连接CA '交BC '于点E ，直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，A ∴，B ，A '共线，60ABC A BC ∠=∠''=︒， 60CBC ∴∠'=︒， C BA C BC ∴∠''=∠'， BA BC '=，BD CA ∴⊥'，CD DA ='， C ∴，A '关于直线BC '对称，∴当点D 与B 重合时，AD BC +的值最小，最小值为线段AA '的长6=，故答案为6．【点评】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤．【考点】47：幂的乘方与积的乘方；4F ：平方差公式；49：单项式乘单项式 【专题】512：整式；11：计算题【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值． （2）根据幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式计算法则解答．【解答】解：（1）原式2222018(20181)(20181)2018201811=-+⨯-=-+=． （2）原式433627x x x =-443627x x =- 49x =．【点评】考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单项式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【考点】6D ：分式的化简求值 【专题】513：分式；11：计算题【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得． 【解答】解：原式25(3)(3)()223x x x x x x ++-=-÷+++ 3123x x x -=+-12x =+， 当1x =-时，原式1112==-+． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质；KW ：等腰直角三角形 【专题】553：图形的全等【分析】（1）根据SSS 证明：ABC DEA ∆≅∆；（2）根据全等三角形的性质得出BAC ADE ∠=∠，由三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：（1）ACD ∆为等腰直角三角形，90CAD ∠=︒． AC AD ∴=，在ABC ∆和DEA ∆中 AB DEAC AD BC AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABC DEA SSS ∴∆≅∆；（2）ABC AED ∆≅∆， BAC ADE ∴∠=∠， 125E ∠=︒，18012555EAD ADE ∴∠+∠=︒-︒=︒，5590145BAE BAC CAD EAD ∴∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定得出ABC DEA ∆≅∆全等．【考点】KL ：等边三角形的判定；JB ：平行线的判定与性质 【专题】554：等腰三角形与直角三角形【分析】根据等边三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：选择①60A ∠=︒；④BE CE =， 证明：60A ∠=︒，A B ∠=∠， 60B ∴∠=︒， BE CE =，BCE ∴∆是等边三角形．故答案为：①60A ∠=︒，④BE CE =．【点评】本题考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 【考点】1O ：数学常识；KJ ：等腰三角形的判定与性质；3N ：作图-复杂作图 【专题】13：作图题【分析】当点D 在ABC ∆内部时，作线段AB ，线段AC 的垂直平分线MN ，EF ，交点即为所求．当点D 在ABC ∆外部时，分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作圆与线段BC 的垂直平分线的交点1D ，4D ，5D 即为所求，分别以B ，C 为圆心，BC 为半径作圆与A 交于点2D ，3D ，2D ，3D 即为所求．【解答】解：当点D 在ABC ∆内部时，点D 如图所示．当点D 在ABC ∆外部时，点1D ，2D ，3D ，4D ，5D 即为所求．【点评】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【考点】7B：分式方程的应用【专题】12：应用题；522：分式方程及应用【分析】设甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要x小时，根据“甲巴士平均每小时比乙巴士多行驶10千米”列出方程，解之即可得．【解答】解：设甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要x小时，则乙巴士的行驶时间需要65x小时，根据题意，得：55551065x x=+，解得：1112x=，经检验：1112x=是原分式方程的解，答：甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要1112小时．【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．【考点】4I：整式的混合运算【专题】48：构造法；31：数形结合【分析】要求阴影部分的面积，观察得到只要利用直角三形的特性，通过作辅助线补全直角三角形进行解题即可【解答】解：（1）如图，延长AB ，ED 交于点F ，则3AF a =，2EF a =AEF BCDF S S S ∆∴=-阴影正方形 21322a a a =- 223a a =- 22a =（2）如图，延长AB ，ED ，交于点F设CD x =，则BF x =，∴1()2()2AEFSm n x n m =++- ()()m n x n m =++-()BCDF S n m x =-长方形， AEF BCDF S S S ∆∴=-阴影长方形 1()2()()2m n x n m n m x =++--- ()()n m m n =-+ 22n m =-【点评】此题考查的是图形与整式运算结合．通过作辅助线构造直角三角形，再利用三角形的面积公式进行计算，另整式的运算过程中，一定要熟记合并同类项和去括号法则． 【考点】4L ：平面镶嵌（密铺）；38：规律型：图形的变化类【专题】67：推理能力；2A ：规律型；55B ：正多边形与圆；63：空间观念【分析】（1）易求正n 边形每个内角的度数180(2)n n ︒-，则180(2)360n m n︒-=︒，即可得出结果；（2）因为三个正三角形的各一个角与两个正方形的各一个角对齐正好是360︒，摆放即可得出图形； （3）由1212180(2)180(2)180(2)360n nx x x x x x ︒-︒-︒-++⋯+=︒，即可得出结果． 【解答】解：（1）正n 边形的内角和为：180(2)n ︒-，∴每个内角的度数为：180(2)n n︒-， 由题意得：180(2)360n mn︒-=︒， 整理得：(2)2m n n -=， 即：22m n mn +=；（2）边长相等的正三角形和正方形镶嵌平面，两种不同的摆放方案，如图所示： （3）由题意得：1212180(2)180(2)180(2)360n nx x x x x x ︒-︒-︒-++⋯+=︒， 整理得：12122222n nx x x x x x ---++⋯+=， 即：1211122n n x x x -++⋯+=．【点评】本题考查了图形变化的规律、平面镶嵌的实际应用问题，熟练掌握每个内角对在一起等于360︒是解题的关键． 【考点】LO ：四边形综合题【专题】553：图形的全等；555：多边形与平行四边形；554：等腰三角形与直角三角形 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得AD AE DE ==，60DAE ∠=︒，由互为“顶补三角形”定义可得AB AD AE AC DE ====，120BAC ∠=︒，由等腰三角形和直角三角形的性质可求2AB DE AF ==；②延长AF 到G ，使AF FG =，连接BG ，CG ，由题意可证四边形ABGC 是平行四边形，可得BG AC =，//AC BG ，180BAC ABG ∠+∠=︒，由互为“顶补三角形”定义可得AB AD =，AC AE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，可证ABG DAE ∆≅∆，即2DE A G AF ==；（2）延长CD 交BA 延长线于点Q ，作CD 的垂直平分线EP 交AB 的垂直平分线于点P ，连接CP ，DP ，AP ，BP ，由线段垂直平分线的性质可得PC PD =，PA PB =，PE CD ⊥，PF AB ⊥，由等腰三角形的性质可得D P E C P E ∠=∠，APF BPF ∠=∠，可证180APD BPC ∠+∠=︒，即可证PAD ∆与PBC ∆互为“顶补三角形”． 【解答】证明：（1）①ADE ∆是等边三角形，AD AE DE ∴==，60DAE ∠=︒，ABC ∆与ADE ∆互为“顶补三角形”， AB AD AE AC DE ∴====，120BAC ∠=︒， AB AC =，AF 是中线，120BAC ∠=︒ AF BC ∴⊥，30B ∠=︒2AF AF ∴= 2DE AF ∴=②结论仍然成立， 理由如下：如图，延长AF 到G ，使AF FG =，连接BG ，CG ，AF FG =，BF FC =∴四边形ABGC 是平行四边形，BG AC ∴=，//AC BG ， 180BAC ABG ∴∠+∠=︒，ABC ∆与ADE ∆互为“顶补三角形”， AB AD ∴=，AC AE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，AE AC BG ∴==，DAE ABG ∠=∠，且AB AD =()ABG DAE SAS ∴∆≅∆ 2DE AG AF ∴==（2）存在， 理由如下：如图，延长CD 交BA 延长线于点Q ，作CD 的垂直平分线EP 交AB 的垂直平分线于点P ，连接CP ，DP ，AP ，BP ，EP 垂直平分CD ，PF 垂直平分AB ，PC PD ∴=，PA PB =，PE CD ⊥，PF AB ⊥， DPE CPE ∴∠=∠，APF BPF ∠=∠， 90B C ∠+∠=︒，90Q ∴∠=︒，且PE CD ⊥，PF AB ⊥， 90EPF ∴∠=︒，90APD DPE APF ∴∠+∠+∠=︒90APD BPC APD EPF CPE BPF APD DPE APF ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+︒180APD BPC ∴∠+∠=︒，且PC PD =，PA PB =，PAD ∴∆与PBC ∆互为“顶补三角形”， 【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．。