新人教版中学九年级数学下册 第二十七章 相似小结学案(无答案)
2018年九年级数学下册 第二十七章 相似小结与复习导学案 (新版)新人教版
第27章小结与复习一、知识回顾1．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得对应线段____________． 2．相似三角形的对应边、对应高、对应周长比都等于____________，而面积的比等于相似比的____________ ．3．相似三角形的判定方法有：(1)两角对应____________，两三角形相似；(2)两边对应成比例，且____________相等，两三角形相似； (3)三边对应____________，两三角形相似；(4)平行于三角形一边的直线和其他的两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形____________；(5)斜边的比等于一组____________的比的两个直角三角形相似．4．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于____________，位似图形的对应边分别为____________．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应坐标的比为____________．二、随堂检测.1．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的相似比为( ) A ．1∶4 B．1∶2C．1∶16 D．无法确定2．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2AD ，DE∥BC 交AC 于点E ，若线段DE ＝5，则线段BC 的长为( )A ．7.5B ．10C ．15D ．203．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是( )A ．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABCC．AB 2＝AD·AC D.AD AB ＝AB BC4．如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A 向B 走去，当她走到点C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC ＝2m ，BC ＝8m ，则旗杆的高度是( )A ．6.4mB ．7mC ．8mD ．9m5．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C(1，2)、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 的坐标为(5，0)，则点A 的坐标为( )A ．(2，5)B ．(2.5，5)C ．(3，5)D ．(3，6)6．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( )A.5B.136C ．1 D.567．如图，已知⊙O 是等腰Rt△ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( )A ．3B ．2C ．1D ．1.28．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1是相似扇形，且半径OA∶O 1A 1＝k(k 为不等于0的常数)．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A 1O 1B 1；②△AOB∽△A 1O 1B 1；③ABA 1B 1＝k ；④扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1的面积之比为k 2.成立的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为________．10．如图，直线l 1、l 2、…、l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3、l 6相交于点B 、E 、C 、F.若BC ＝2，则EF 的长是________．11．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF⊥DE 于点O ，则AODO等于________．12．平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连接CE 交BD 于点F ，则EF∶FC的值是________．13．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：AC ＝________，AB ＝________；(2)判断△CAB 和△DEF 是否相似，并说明理由．14．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯灯柱BC的高度．在检测过程中的存在哪些困惑与建议填写在下面,并与同学交流。
《第27章 相似小结》教学设计-人教九下优质课精品
小结与复习一、内容和内容解析1．内容比例线段的概念，相似三角形的判定、性质，位似图形的概念、应用，以及位似图形中对应点的坐标关系．2．内容解析九年级下学期“相似”这章内容，是初中数学的重要内容之一．相似三角形的知识也是解决有关实际问题的重要工具．本章内容是对三角形知识的进一步认识，通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质．在研究相似三角形的基础上研究特殊位置的相似图形——位似图形．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．利用平行线分线段成比例作为基本事实，进一步引出判定三角形相似的预备定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，为其他相似三角形判定定理的证明作了铺垫．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：相似三角形的判定、性质及其应用．二、目标和目标解析1．教学目标(1)理解比例线段，平行线分线段成比例的基本事实，三角形相似的判定、性质，位似的概念．(2)利用相似三角形的知识解决实际问题．(3)会从复杂图形中提炼出基本图形，进一步培养空间观念．2．目标解析达成目标(1)的标志是：类比全等，理解相似三角形、位似的概念及判定、性质．达成目标(2)的标志是：利用相似形的性质与判定解决简单的求解和证明问题，包括求不能到达或不可直接测量长度或高度等实际问题．达成目标(3)的标志是：能从复杂图形中提炼出基本图形，进一步培养空间观念．三、教学问题诊断分析本章的内容几乎每题都有相对应的图形，结合图形进行解题是难点．基于以上分析，确定本节课的教学难点是：图形的辨别及数形结合思想的应用．四、教学过程设计1．回顾与思考教师展示本节重点知识：(1)比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如b a ＝dc (即ad ＝bc )，我们就说这四条线段成比例． (2)相似比：相似多边形__________叫做相似比．(3)判定两个三角形相似的方法：用定义判定：_____________________________的两个三角形相似．用判定定理判定：①____________于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边___________的两个三角形相似；③两边__________________的两个三角形相似；④两角分别 的两个三角形相似．(4)相似三角形的性质：①相似三角形的对应边________，对应角________．②相似三角形________，______与________都等于相似比．③相似三角形周长的比等于 ，相似三角形面积的比等于 ．(5)位似图形：如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线 ，对应边 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ．一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k ，那么原图形上的点(x ，y )对应的位似图形上的点的坐标为 .师生活动：学生先填空，老师再根据学生的掌握情况补充有关的知识点．设计意图：以填空的形式帮助学生整理本章知识，让学生对本章知识有个总体认识．2．巩固与运用例1 下列三角形中，相似的有_____________________．师生活动：老师观察学生能否找全所有的相似三角形.设计意图：了解学生对判定三角形相似的掌握程度.例2 如图1，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AD ，DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB ＝6，AE ＝9，DE ＝2，求EF 的长．图1师生活动：学生选择比例式，计算线段的长度．设计意图：利用相似三角形的性质计算线段的长度．例3 在某建设施工中，曾遇到这样一个实际问题：由于马路拓宽，有一个面积是100平方米、周长为80米的三角形的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地．原绿地的一边AB 的长由原来的20米缩短成12米(如图2)．为了保证绿化建设，市政府规定：由于种种原因失去的绿地面积必须等面积补回．这样就引出了一个问题：这块失去的面积到底有多大？它的周长是多少？师生活动：学生在教师的引导下把实际问题转化为数学问题.设计意图：利用相似三角形的知识解决实际问题．例4 如图3，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC 是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为(－1，－1)．图2 1220图3(1)把△ABC 向左平移8格后得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；(2)把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得到△A 2B 2C ，画出△A 2B 2C ，并写出点B 2的坐标；(3)把△ABC 以点A 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1∶2，画出△AB 3C 3，并写出点B 3的坐标．师生活动：学生独立完成．老师观察学生的作图是否规范，坐标能否正确地写出． 设计意图：帮助学生理解平移、轴对称、旋转和位似之间的异同．3．课堂小结师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)运用相似三角形的性质和判定可以解决哪些问题？(2)作位似图形要注意哪些问题？设计意图：通过小结，使学生把所学知识进一步内化、系统化．4．课后作业教科书复习题27第2，7题．五、目标检测设计1．如图，点D ，E ，F 分别是△ABC (AB ＞AC )各边的中点，下列说法中，错误的是( )A ．AD 平分∠BACB ．EF ＝21BC C ．EF 与AD 互相平分 D ．△DFE 是△ABC 的位似图形设计意图：考查学生对位似图形的掌握情况．2．在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 上，且AD ＝31，DB ＝29，AE ＝30，CE ＝32．若∠ADE ＝50°，则C 的度数为 ．设计意图：考查学生对相似三角形的判定定理的掌握情况．3．如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为 ．设计意图：考查学生对相似三角形的性质的掌握情况．AEF (第1题) A B E D (第3题) A B C D E F (第4题)4．如图，在□ABCD 中，E 为AB 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，那么AE DC ＝AD CF 成立吗？为什么？设计意图：考查相似三角形的判定与性质的综合应用．。
【优选整合】人教版数学九年级下册第27章小结与复习教案
教师给与点评和分析， 同时就刚才检 查过程中发现的问题处理好， 就本单元所 用知识一并总结． 本环节的知识总结 ：
回
1. 相似三角形的性质： （ 1）相似三角形的对应角相等； （ 2 ）相
似三角形的对应边成比例； （ 3）相似三角
顾
形的周长等于相似比； （ 4）相似三角形的
（ 2）交错型；（ 3）旋转型；（ 4）母子三角形 .
3、相似三角形性质： （ 1）对应角相等，对应边成比例； （ 2）对应线段之
教师要求学生在做题的同时总结解 决每个问题所运用的知识点、方法及规
比等于
；（对应线段包括哪几种主要线
律.
段？）（ 3）周长之比等于
；（ 4）面积
找学生展示学习成果．
知 之比等于
．
4、相似三角形中的基本图形．
（ 1）平行型（ X 型， A 型）：
1. 经历知识探究的过程， 使学生将实际问题转化为相似三角形这一数学模型，达到熟
练、灵活运用；在解决实际问题的过程中 ,提高学生建立数学模型的能力 .
2. 经历对图形的观察、 探究、 交流、 归纳的的过程， 提高同学们的画图能力和对图形 的感知意识．
在教学活动中发展学生的转化意识和探究合作交流的习惯；
用 例 2 如图，在等腰三角形△ ABC 中，底边 BC=60cm ， DE CD
高 AD=40cm ，四边形 PQRS 是正方形， S,R 分别在 在 Rt△ ADE中
AB,AC 上， SR 与 AD 相交于点 E. （ 1）△ ASR 与△ ABC 相似吗？为什么？ （ 2）你能 得到哪些比例线段？（ 3）求正方形 PQRS 的边长 .
DE= AD 2 AE 2 从而求得 AF=2 3 .
人教版九年级数学下册《第二十七章 相似》教案
人教版九年级数学下册《第二十七章相似》教案一. 教材分析人教版九年级数学下册《第二十七章相似》主要讲述了相似图形的性质和判定方法。
本章内容包括相似图形的定义、相似比、相似多边形的性质、相似三角形的性质和判定、相似圆的性质和判定等。
这些内容是学生学习几何学的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形有了一定的认识。
但是，对于相似图形的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。
此外，学生对于图形的变换和判定方法可能还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。
三. 教学目标1.理解相似图形的定义和性质，能够判断两个图形是否相似。
2.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够应用到实际问题中。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似图形的定义和性质的理解。
2.相似三角形的性质和判定方法的掌握。
3.图形变换的熟练运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.利用多媒体和实物模型，进行直观演示和操作，帮助学生建立直观的空间想象能力。
3.提供丰富的练习题，进行巩固和拓展，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和图片。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些相似的图形，如字母“A”和“a”，让学生观察和思考，引出相似图形的概念。
2.呈现（10分钟）讲解相似图形的定义和性质，通过具体的例子和实物模型进行演示，让学生理解和掌握相似图形的特征。
3.操练（10分钟）让学生进行一些类似的练习题，巩固对相似图形的理解和判断能力。
可以提供一些提示和指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用相似图形的性质和判定方法，解决实际问题。
教师可以给予一些帮助和指导，鼓励学生独立思考和解决问题。
新人教版数学九年级下册教案：第27章 相似小结教案
年月日星期
主备人
课题名称
第二十七章相似小结
教学目标
一、知识与技能
理解并掌握本章知识，能用相关知识解决具体问题.
二、过程与方法
通过梳理本章知识结构，回顾运用相似方法来解决一些实际问题的过程，加深运用所学知识解决一些实际问题的能力.
三、情感、态度与价值观
在运用相似解决实际问题的过程中，可增强学生的数学应用意识，感受数学应用价值；通过运用相似来证明具体问题的过程中，进一步增强学生的推理论证能力.
∠ABC=∠ACD=90°，且AB =4，AC=5，若图
中的两个三角形相似，则DC的长为_____.
2.在△ABC中，点D、E分别为AB、AC边上的点.且AB =8，AC=6，AD=4，若△ABC与△ADE相似，试求线段AE的长.
学生自主完成，相互交流，最后师生共同评析，加深对符号语言和文字描述的区别的理解.
三、典例精析，复习新知
例1在△ABC中，点D是BC边上一点，且BD : CD=1: 2，连AD，点F是AD的中点，连BF交AC于E，若AC=10，试求AE的长度；
分析：由于图中没有相似三角形，没有平行线，似乎无法进行，但题目出现的BD:CD=1: 2这一条件启示我们可过点D作平行线，利用平行线分线段成比例定理可能会找到出路.过D作DH //AC交BE于H(如图所示），∵ =，∴ =，又DH //AC，∴ = =.∴DH=EC.又F为AD的中点，∴ = =1，∴DH=AE,∴AE=EC.又AC=10，∴AE=. (本题还可求D作DM //BE交AC于M，留给学生完成.）
六、布置作业
复习题27第8,10,11题。
七、板书设计
第二十七章相，加深理解四、练习
教学反思：
数学人教版九年级下册第二十七章 相似小结
第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】 解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A ，B ，D ，E 四点在⊙O 上，AE ，BD的延长线相交于点C ，AE ＝8，OC ＝12，∠EDC ＝∠BAO ．(1)求证CD CE AC CB=； (2)计算CD ·CB 的值，并指出CB 的取值范围． 分析 利用△CDE ∽△CAB ，可证明CD CE AC CB=． 证明：(1)∵∠EDC ＝∠BAO ，∠C ＝∠C ， ∴△CDE ∽△CAB ，∴CD CE AC CB=. 解：(2)∵AE ＝8，OC ＝12，∴AC ＝12+4＝16，CE =12－4＝8．又∵CD CE AC CB=， ∴CD ·CB ＝AC ·CE ＝16×8＝128． 连接OB ，在△OBC 中，OB ＝12AE ＝4，OC =12， ∴8＜BC ＜16． 【解题策略】 将证CD CE AC CB=转化为证明△CDE ∽△CAB . 专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】 证明形如22a c b d =，33a c b d =或abc def =1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a c b d=，可设法证a c b x =，a x b d =，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x 便是证题的关键。
【人教版】九年级数学下册27相似小结学案
小结学习目标1.理解相像图形及比率线段的观点, 能应用其进行计算.2.掌握平行线分线段成比率定理及推论, 会用平行线判断三角形相像.3.理解并掌握相像三角形的判断和性质, 能进行有关证明和计算.4.认识图形的位似, 能够利用位似将一个图形放大或减小.5.会利用图形的相像解决一些简单实质问题.学习过程第一层学习 : 回首思虑1.相像三角形有哪些性质?位似图形呢 ?答 :2.三角形的相像与三角形的全等有什么关系?如何判断两个三角形相像?答 :3.举例说明三角形相像的一些应用.答 :4.如何利用位似将一个图形放大或减小?你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同, 并举出一些它们的实质应用的例子吗? 提示 :答 :第二层学习 : 典例分析1.比率线段【例 1】已知3,则 (≠ 0) 的值是.=b+d【思路点拨】由已知可知:3,3,获得 (≠0) 的值b=a d=c b+d.分析 :2.相像三角形的判断与性质【例 2】如下图 , 在△ABC中 , D, E分别为BC, AC的中点 , AD, BE订交于点G,若 S△GDE=1,求 S△ABC.【思路点拨】先求与△GDE相像的△ GAB的面积,由相像比为1∶2, 得S△ABG=4, 再依据△AGE,△ BGD分别与△ GDE等高,可得面积为△ GDE的面积的2倍,进而能够获得四边形ABDE 的面积 , 只需求出△DEC的面积即可得出所求.解 :【例 3 】如下图 , 四边形ABCD中, AC均分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点 , 连接 CE.2(1) 求证 : AC=AB·AD;(2) 求证 : CE∥AD;(3) 连结, 交于点F.若4,6, 求的值.DE AC AD=AB=【思路点拨】(1) 由均分∠, ∠∠90°, 可得△∽△, 进而得AC DAB ADC= ACB=ADC ACB2·(2) 由E 为直角三角形斜边的中点 ,得, 则∠∠,获得∥AC=AB AD.AB CE=AB=AE DAC= ECA CE AD.(3)证△ AFD∽△ CFE,由相像三角形的对应边成比率, 求得的值.解 :【例 4】如下图, 已知在△ABC中 , AD是BC边上的中线 , 以AB为直径的☉O交BC于点, 过D 作⊥ 于点, 交的延伸线于点, 过点B作⊥ 于D MN AC M AB N BG MN G.(1)求证 : △BGD∽△DMA;(2)求证 : 直线MN是☉O的切线.【思路点拨】 (1)依据垂直定义得出∠BGD=∠ DMA=90°,由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM,再依据两角对应相等的两个三角形相像即可证明△∽△;(2) 连结由三角形中位线的性质得出∥ , 依据垂直于同向来BGD DMA OD.OD AC线的两直线平行得出AC∥ BG,由平行公义推论获得OD∥ BG,再由 BG⊥ MN,可得 OD⊥ MN,而后根据切线的判断定理即可证明直线是☉O 的切线.MN证明 :3.相像三角形的应用【例 5】一天夜晚 , 李明和张龙利用灯光下的影子来丈量一路灯D的高度,如下图,当李明走到点 A 处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长 AE正好相等,接着李明沿AC方向持续向前走 , 走到点B处时 , 李明直即刻 ( 身高) 的影子恰巧是线段, 并测得 1 25 mBN=AM AB AB=..已知李明直即刻的身高为1. 75 m, 求路灯的高CD.(结果精准到0. 1 m)【思路点拨】依据 AM⊥EC, CD⊥ EC, BN⊥ EC获得 MA∥CD∥ BN,进而获得△ ABN∽△ ACD,利用相像三角形对应边的比相等列出比率式求解即可.解 :4.位似图形的画法与性质【例 6】如下图 , 已知O是坐标原点 , B, C两点的坐标分别为(3, - 1),(2,1).(1)以 O点为位似中心在 y 轴的左边将△ OBC放大为本来的2倍(即新图与原图的相像比为2), 画出图形 ;(2)分别写出 B, C两点的对应点 B' , C' 的坐标;(3)假如△ OBC内部一点 M的坐标为( x, y),写出 M的对应点 M'的坐标 .【思路点拨】 (1) 延伸BO, CO分别到B' , C' , 使OB', OC'的长度分别是OB, OC的2倍. 按序连结三点即可 . (2)从直角坐标系中,读出 B' , C' 的坐标 . (3)察看坐标之间的关系可得M'的坐标为 (-2 ,-2). x y解 :评论作业1. (6分 ) 以下四条线段中 , 不是成比率线段的是 ()A.3,6,c=2,4a=b=d= B. a= , b=8, c=5, d=15C. a=1, b=, c=, d=D. a=, b=1, c=, d=2 (6 分)△∽△A'B'C',∠ 4 °,∠B=00 °, 则∠C'等于().ABC A=A.4 °B. 00°C. °D. °3. (6 分 ) 如下图 , l1∥l2∥l3, 直线a, b与l1, l2, l3分别订交于点A, B, C和点 D, E, F,若, DE=4, 则EF的长是 ()A.B.C.6D.104. (6 分 ) 如下图 , 在 ?ABCD中 , E为CD上一点 , 连结AE, BD, 且AE, BD交于点F, S△DEF∶S△ =4∶25,则 DE∶EC等于()ABFA.2 ∶5B.2 ∶3C.3 ∶5D.3 ∶25. (6 分 ) 如下图 , 在△ABC中 , AB=AC,∠A=°,BD均分∠ ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是()-A.B.C.- 1D.+16. (8 分 ) 如下图 , ∠ 1=∠ 2, 增添一个条件使△ADE∽△ ACB:.7. (8 分 ) 如下图 , 在△ABC中 , ∠ACB=90°,CD⊥AB, 垂足是D, BC=, BD=1, 则CD=,AD=.8. (8 分 ) 为了丈量一棵树AB的高度 , 丈量者在D点立一高CD=2 m 的标杆 , 现丈量者从F处能够看到杆顶 C与树顶 A 在同一条直线上,假如测得 BD=20 m, FD=4 m, EF=1. 8 m,则树 AB的高度为m.9. (10 分) 如下图 , 点C, D在线段AB上 , △PCD是等边三角形.(1) 当AC, CD, DB知足如何的关系时, △ACP∽△PDB?(2)当△ ACP∽△ PDB时,求∠ APB的度数 .10. (10 分) 如下图 , 在边长均为 1 的小正方形网格纸中 , △OAB的极点O, A, B均在格点上,且O是直角坐标系的原点 , 点A在x轴上.(1)以 O为位似中心,将△ OAB放大,使得放大后的△ OA1B1与△ OAB对应线段的比为2∶1, 画出△ OA1B1(所画△ OA1B1与△ OAB在原点双侧);(2)求出线段 A1B1所在直线的函数关系式 .11. (12 分) 如下图 , 直线PM切☉O于点M, 直线PO交☉O于A, B两点 , 弦AC∥PM, 连结OM,BC.求证:(1)△ ABC∽△ POM;2(2)2 OA=OP·BC.12. (14 分) 如图 , 王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC,AB=AC=5米, BC=6米,现打算把它开垦出一个矩形 MNFE地区栽种韭菜,△ AMN地区栽种芹菜,△ CME和△ BNF地区栽种青菜( 开垦土地面积消耗均忽视不计 ), 此中点M, N分别在AC, AB上 , 点E, F在BC上 , 已知韭菜每平方米利润 100 元 , 芹菜每平方米利润 60 元, 青菜每平方米利润 40 元 , 设CM=5x米 , 王爷爷的蔬菜总利润为 W元 .(1)当矩形 MNFE恰巧为正方形时,求韭菜栽种地区矩形 MNFE的面积 .(2) 若栽种韭菜的利润等于另两种蔬菜利润之和的 2 倍 , 求这时x的值.(3)求王爷爷的蔬菜总利润为 W对于 x 的函数表达式及 W的最大值 .参照答案学习过程第一层学习 : 回首思虑1.答 : 相像三角形的性质有:(1) 相像三角形的对应边成比率,(2)相像三角形的对应角相等,(3)相像三角形的对应线段( 对应高、对应中线、对应角均分线 ) 的比等于相像比,(4) 相像三角形的周长比等于相像比,(5) 相像三角形的面积比等于相像比的平方.位似图形的性质:(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上, 它们到位似中心的距离之比等于相像比;(2)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.2.答 : 三角形的相像包含三角形的全等, 三角形的全等是相像比为 1 的三角形的相像.判断两个三角形相像的常用方法是:(1)利用平行线判断三角形相像 : 平行于三角形一边的直线截其余两边 ( 或两边的延伸线), 所组成的三角形与原三角形相像.切合这一特点的图形有两种: “ A”型和“ X”型 .(2) 判断定理1: 三边成比率的两个三角形相像.(3) 判断定理 2: 两边成比率且夹角相等的两个三角形相像.(4) 判断定理 3: 两角分别相等的两个三角形相像.(5) 直角三角形相像的判断 : 斜边和直角边对应成比率的两个直角三角形相像.3.答 : 应用相像三角形能够丈量不易直接获得的距离, 如测河宽、测旗杆高等.4.答 : 应用位似作图的一般步骤是 :①确立位似中心 : 画位似图形时 , 位似中心可能在图形的内部, 也可能在图形的外面 , 还可能在图形的边上 .②连结重点点与位似中心 : 找出重点点 ( 多边形常取极点 ), 连结位似中心和重点点.③画出对应点 : 依据相像比 , 确立原图形重点点的对应点, 按序连结所得的对应点, 获得新的图形 .④写出作图的结论 .平移、轴对称、旋转和位似之间的异同是: 图形经过平移、旋转、轴对称后 , 图形的地点固然改变了 , 可是图形的大小和形状没有改变, 即两个图形是全等的; 而图形经过位似变换后 ,图形是相像的 .第二层学习 : 典例分析1 比率线段.【例 1】分析 : 由=3,得3b=a,3 d=c,∴=3.答案:32.相像三角形的判断与性质【例 2】解 : ∵D, E分别是BC, AC的中点 ,∴DE∥AB, DE=AB,∴△ AGB∽△ DGE,∴△=4.△1,4△ GDE△ ABG∵△ AGE的 AG边上的高与△ GDE的 DG边上的高相等,∴△=2,∴S =2,△ AGE△同理可得 S△GBD=2,∴S 四边形ABDE=4+2+2+1=9.∵DE∥AB,∴△ EDC∽△ ABC,设 S△ABC=x,则, 解得x=12, 即S△ABC=12.- 9【例 3】解 : (1) ∵AC均分∠DAB,∴∠ DAC=∠ CAB.∵∠ ADC=∠ ACB=90°,∴△ ADC∽△ ACB,2∴AD∶AC=AC∶AB,∴AC=AB· AD.(2)∵E 为 AB的中点,∴CE=AB=AE,∴∠ EAC=∠ ECA.∴∠ DAC=∠ ECA ,∴CE ∥ AD. (3) 由 (2) 知 CE ∥ AD , ∴△ AFD ∽△ CFE. ∴AD ∶CE=AF ∶CF.∵CE=AB , ∴CE=×6=3.4,4,∴ 4.∵AD= ∴【例 4】证明 : (1) ∵ MN ⊥ AC 于点 M , BG ⊥ MN 于 G ,∴∠ BGD=∠ DMA=90° .∵ 以为直径的☉ O 交 于点, ABBC D∴AD ⊥BC , ∠ ADC=90°, ∴∠ ADM+∠ CDM=90° .∵∠ DBG+∠ BDG=90°, ∠ CDM=∠ BDG , ∴∠ DBG=∠ ADM. ∴△ BGD ∽△ DMA.(2) 如下图 , 连结 OD.∵BO=OA ,BD=DC ,∴OD 是△ ABC 的中位线 , ∴OD ∥ AC. ∵MN ⊥AC , BG ⊥ MN , ∴AC ∥BG , ∴OD ∥ BG. ∵BG ⊥MN ,∴OD ⊥ MN , ∴直线 MN 是☉ O 的切线 . 3. 相像三角形的应用【例 5】解 : 设路灯高 CD 为 x m,∵AM ⊥EC , CD ⊥ EC , BN ⊥ EC , EA=MA , ∴MA ∥CD ∥ BN , EC=CD=x ,∴△ ABN ∽△ ACD ,∴ ,即,-解得 x=6. 125≈6. 1.∴路灯高 CD 约为 6. 1 m . 4. 位似图形的画法与性质【例 6】解 : (1) 如下图 .(2)B'(-6,2), C'(-4, -2).(3)M的对应点 M'的坐标为( - 2x, - 2y) .评论作业1. C2.D3.C4.B5.C6. ∠B=∠E( 答案不独一 )7.58. 329.解 : (1) 当CD=AC·DB时 , △ACP∽△PDB.∵△PCD是等边三角形, ∴∠PCD=∠PDC=0 °,2由 PC=PD=CD可得PC·PD=AC· DB,即 , ∴△ACP∽∴∠ ACP=∠PDB=0°,若 CD=AC· DB,△P DB.(2)当△ ACP∽△ PDB时,∠APC=∠ PBD,由题知∠ PDC=0°,∴∠DPB+∠ DBP=0°,∴∠APC+∠ BPD=0°,∴∠ APB=∠CPD+∠ APC+∠ BPD=0°,即∠ APB的度数为0 °.10.解 : (1) 如下图的△OA1B1就是△ OAB放大后的图象 .(2)由 (1) 可得点A1,B1的坐标分别为(4,0),(2,- 4),故设此直线的分析式为y=kx+b( k≠0),∴0 4,,y=2x- 8. - 4,解得故线段 A1B1所在直线的函数关系式为-11.证明 : (1)∵直线切☉ 于点,∠90°. ∵弦是直径 ,∴∠90°, ∠PM O M ∴PMO=AB ACB=∴ACB=∠ PMO∵.AC∥ PM,∴∠ CAB=∠ P,∴△ ABC∽△ POM.(2)∵△ ABC∽△ POM,∴. 又 AB=2OA, OA=OM,∴2. ∴2OA=OP· BC.12.解 : (1) 作AH⊥BC于点H, 交MN于点D.∵AB=AC,AH⊥ BC,∴CH=HB=3,在 Rt△ACH中 , AH= - =4.∵ME∥AH,∴,∴CE=3x, EM=EF=4x,易证△ MEC≌△ NFB,∴CE=BF=3x,∴3x+4x+3x=6,∴x= ,∴EM= ,∴矩形 MNFE的面积为44平方米 .(2) 由题意 :100 ×4x· (6 - 6x)=2·0-·4-440 4,解得 x= 或 .(3) 由题意W=100×4x· (6 - 6x) +60× ×(6 - 6x) · (4 - 4x) +40×4x×3x=- 1 200x2+960x+720=- 1 200 -+912,∵-1200<0,∴x= 时, W有最大值,最大值为912元 .。
【人教版】九年级数学下册27相似小结学案
小结学习目标1.理解相似图形及比例线段的概念,能应用其进行计算.2.掌握平行线分线段成比例定理及推论,会用平行线判定三角形相似.3.理解并掌握相似三角形的判定和性质,能进行相关证明和计算.4.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.5.会利用图形的相似解决一些简单实际问题.学习过程第一层学习:回顾思考1.相似三角形有哪些性质?位似图形呢?答:2.三角形的相似与三角形的全等有什么关系?如何判断两个三角形相似?答:3.举例说明三角形相似的一些应用.答:4.如何利用位似将一个图形放大或缩小?你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同,并举出一些它们的实际应用的例子吗?提示:答:第二层学习:典例剖析1.比例线段【例1】已知aa =aa=3,则a+aa+a(b+d≠0)的值是.【思路点拨】由已知可知:3b=a,3d=c,得到a+aa+a(b+d≠0)的值.解析:2.相似三角形的判定与性质【例2】如图所示,在△ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,AD,BE相交于点G,若S△GDE=1,求S△ABC.【思路点拨】先求与△GDE相似的△GAB的面积,由相似比为1∶2,得S△ABG=4,再根据△AGE,△BGD分别与△GDE等高,可得面积为△GDE的面积的2倍,从而可以得到四边形ABDE 的面积,只要求出△DEC的面积即可得出所求.解:【例3】如图所示,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,连接CE.(1)求证:AC2=AB·AD;(2)求证:CE∥AD;的值.(3)连接DE,交AC于点F.若AD=4,AB=6,求aaaa【思路点拨】(1)由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可得△ADC∽△ACB,从而得AB=AE,则∠DAC=∠ECA,得到CE∥AC2=AB·AD.(2)由E为直角三角形斜边AB的中点,得CE=12AD.(3)证△AFD∽△CFE,由相似三角形的对应边成比例,求得aa的值.aa解:【例4】如图所示,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,以AB为直径的☉O交BC于点D,过D作MN⊥AC于点M,交AB的延长线于点N,过点B作BG⊥MN于G.(1)求证:△BGD∽△DMA;(2)求证:直线MN是☉O的切线.【思路点拨】(1)根据垂直定义得出∠BGD=∠DMA=90°,由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM,再根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明△BGD∽△DMA;(2)连接OD.由三角形中位线的性质得出OD∥AC,根据垂直于同一直线的两直线平行得出AC∥BG,由平行公理推论得到OD∥BG,再由BG⊥MN,可得OD⊥MN,然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是☉O的切线.证明:3.相似三角形的应用【例5】一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图所示,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时(身高BN=AM)的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD.(结果精确到0.1 m)【思路点拨】根据AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC得到MA∥CD∥BN,从而得到△ABN∽△ACD,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.解:4.位似图形的画法与性质【例6】如图所示,已知O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;(2)分别写出B,C两点的对应点B',C'的坐标;(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M'的坐标.【思路点拨】(1)延长BO,CO分别到B',C',使OB',OC'的长度分别是OB,OC的2倍.顺次连接三点即可.(2)从直角坐标系中,读出B',C'的坐标.(3)观察坐标之间的关系可得M'的坐标为(-2x,-2y).解:评价作业1.(6分)下列四条线段中,不是成比例线段的是()A.a=3,b=6,c=2,d=4B.a=83,b=8,c=5,d=15C.a=1,b=√2,c=√5,d=√3D.a=√2,b=1,c=√6,d=√32.(6分)△ABC∽△A'B'C',∠A=45°,∠B=100°,则∠C'等于()A.45°B.100°C.55°D.35°3.(6分)如图所示,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F,若aa aa =23,DE=4,则EF的长是()A.83B.203C.6D.104.(6分)如图所示,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF∶S△ABF=4∶25,则DE∶EC等于()A.2∶5B.2∶3C.3∶5D.3∶25.(6分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是()A.√5-12B.√5+12C.√5-1D.√5+16.(8分)如图所示,∠1=∠2,添加一个条件使△ADE∽△ACB:.7.(8分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足是D,BC=√6,BD=1,则CD=,AD=.8.(8分)为了测量一棵树AB的高度,测量者在D点立一高CD=2 m的标杆,现测量者从F 处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上,如果测得BD=20 m,FD=4 m,EF=1.8 m,则树AB 的高度为m.9.(10分)如图所示,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.10.(10分)如图所示,在边长均为1的小正方形网格纸中,△OAB的顶点O,A,B均在格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上.(1)以O为位似中心,将△OAB放大,使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1,画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧);(2)求出线段A1B1所在直线的函数关系式.11.(12分)如图所示,直线PM切☉O于点M,直线PO交☉O于A,B两点,弦AC∥PM,连接OM,BC.求证:(1)△ABC∽△POM;(2)2OA2=OP·BC.12.(14分)如图,王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC,AB=AC=5米,BC=6米,现打算把它开垦出一个矩形MNFE区域种植韭菜,△AMN区域种植芹菜,△CME和△BNF区域种植青菜(开垦土地面积损耗均忽略不计),其中点M,N分别在AC,AB上,点E,F在BC上,已知韭菜每平方米收益100元,芹菜每平方米收益60元,青菜每平方米收益40元,设CM=5x米,王爷爷的蔬菜总收益为W元.(1)当矩形MNFE恰好为正方形时,求韭菜种植区域矩形MNFE的面积.(2)若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2倍,求这时x的值.(3)求王爷爷的蔬菜总收益为W关于x的函数表达式及W的最大值.参考答案学习过程第一层学习:回顾思考1.答:相似三角形的性质有:(1)相似三角形的对应边成比例,(2)相似三角形的对应角相等,(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比,(4)相似三角形的周长比等于相似比,(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.位似图形的性质:(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比;(2)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.2.答:三角形的相似包括三角形的全等,三角形的全等是相似比为1的三角形的相似.判断两个三角形相似的常用方法是:(1)利用平行线判定三角形相似:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似.符合这一特征的图形有两种:“A”型和“X”型.(2)判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.(3)判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (4)判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.(5)直角三角形相似的判定:斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 3.答:应用相似三角形可以测量不易直接得到的距离,如测河宽、测旗杆高等. 4.答:应用位似作图的一般步骤是:①确定位似中心:画位似图形时,位似中心可能在图形的内部,也可能在图形的外部,还可能在图形的边上.②连接关键点与位似中心:找出关键点(多边形常取顶点),连接位似中心和关键点. ③画出对应点:根据相似比,确定原图形关键点的对应点,顺次连接所得的对应点,得到新的图形.④写出作图的结论.平移、轴对称、旋转和位似之间的异同是:图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的;而图形经过位似变换后,图形是相似的.第二层学习:典例剖析 1.比例线段【例1】解析:由aa =aa =3,得3b=a ,3d=c ,∴a +a a +a =3a +3aa +a=3(a +a )a +a=3.答案:32.相似三角形的判定与性质【例2】解:∵D ,E 分别是BC ,AC 的中点,∴DE ∥AB ,DE=12AB , ∴△AGB ∽△DGE ,∴a △aaaa△aaa=(aa aa )2=4.∵S △GDE =1,∴S △ABG =4.∵△AGE 的AG 边上的高与△GDE 的DG 边上的高相等, ∴a △aaaa△aaa=aaaa =aaaa=2,∴S △AGE =2, 同理可得S △GBD =2,∴S 四边形ABDE =4+2+2+1=9. ∵DE ∥AB ,∴△EDC ∽△ABC ,设S △ABC =x ,则aa -9=(21)2,解得x=12,即S △ABC =12. 【例3】解:(1)∵AC 平分∠DAB , ∴∠DAC=∠CAB.∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC ∽△ACB , ∴AD ∶AC=AC ∶AB ,∴AC 2=AB ·AD. (2)∵E 为AB 的中点,∴CE=12AB=AE ,∴∠EAC=∠ECA.∵∠DAC=∠CAB ,∴∠DAC=∠ECA ,∴CE ∥AD. (3)由(2)知CE ∥AD , ∴△AFD ∽△CFE. ∴AD ∶CE=AF ∶CF. ∵CE=12AB ,∴CE=12×6=3. ∵AD=4,∴43=aa aa ,∴aa aa =74.【例4】证明:(1)∵MN ⊥AC 于点M ,BG ⊥MN 于G , ∴∠BGD=∠DMA=90°.∵以AB 为直径的☉O 交BC 于点D , ∴AD ⊥BC ,∠ADC=90°, ∴∠ADM+∠CDM=90°.∵∠DBG+∠BDG=90°,∠CDM=∠BDG , ∴∠DBG=∠ADM. ∴△BGD ∽△DMA.(2)如图所示,连接OD. ∵BO=OA ,BD=DC ,∴OD 是△ABC 的中位线,∴OD ∥AC. ∵MN ⊥AC ,BG ⊥MN , ∴AC ∥BG ,∴OD ∥BG. ∵BG ⊥MN ,∴OD ⊥MN , ∴直线MN 是☉O 的切线. 3.相似三角形的应用【例5】解:设路灯高CD 为x m, ∵AM ⊥EC ,CD ⊥EC ,BN ⊥EC ,EA=MA , ∴MA ∥CD ∥BN ,EC=CD=x ,∴△ABN ∽△ACD ,∴aa aa =aaaa ,即1.75a=1.25a -1.75,解得x=6.125≈6.1. ∴路灯高CD 约为6.1 m . 4.位似图形的画法与性质 【例6】解:(1)如图所示.(2)B'(-6,2),C'(-4,-2).(3)M 的对应点M'的坐标为(-2x ,-2y ).评价作业1.C2.D3.C4.B5.C6.∠B=∠E (答案不唯一)7.√5 58.39.解:(1)当CD 2=AC ·DB 时,△ACP ∽△PDB.∵△PCD 是等边三角形,∴∠PCD=∠PDC=60°,∴∠ACP=∠PDB=120°,若CD 2=AC ·DB ,由PC=PD=CD 可得PC ·PD=AC ·DB ,即aa aa =aaaa ,∴△ACP ∽△PDB.(2)当△ACP ∽△PDB 时,∠APC=∠PBD ,由题知∠PDC=60°,∴∠DPB+∠DBP=60°,∴∠APC+∠BPD=60°,∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°,即∠APB 的度数为120°.10.解:(1)如图所示的△OA 1B 1就是△OAB 放大后的图象.(2)由(1)可得点A 1,B 1的坐标分别为(4,0),(2,-4),故设此直线的解析式为y=kx+b (k ≠0),∴{0=4a +a ,-4=2a +a ,解得{a =2,a =-8.故线段A 1B 1所在直线的函数关系式为y=2x-8.11.证明:(1)∵直线PM 切☉O 于点M ,∴∠PMO=90°.∵弦AB 是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠PMO.∵AC ∥PM ,∴∠CAB=∠P ,∴△ABC ∽△POM.(2)∵△ABC ∽△POM ,∴aa aa=aaaa.又AB=2OA ,OA=OM ,∴2aa aa =aaaa .∴2OA 2=OP ·BC.12.解:(1)作AH ⊥BC 于点H ,交MN 于点D.∵AB=AC ,AH ⊥BC , ∴CH=HB=3,在Rt △ACH 中,AH=√52-32=4.∵ME ∥AH , ∴aaaa =aaaa =aaaa ,∴CE=3x,EM=EF=4x,易证△MEC≌△NFB,∴CE=BF=3x,∴3x+4x+3x=6,∴x=35,∴EM=125,∴矩形MNFE的面积为14425平方米.(2)由题意:100×4x·(6-6x)=2·[60×12×(6-6a)·(4-4a)+40×4a×3a],解得x=12或35.(3)由题意W=100×4x·(6-6x)+60×12×(6-6x)·(4-4x)+40×4x×3x=-1200x2+960x+720=-1 200(a-25)2+912,∵-1200<0,∴x=25时,W有最大值,最大值为912元.。
新人教版九年级数学下 第二十七章 相似小结学案
相似课题：第二十七章小结序号：学习目标：1、知识和技能：通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似。
2、过程和方法：经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力。
3、情感、态度、价值观：体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识。
学习重点：相似多边形的应用：求比值、面积、线段长度、解决实际问题。
学习难点：重要的思想方法：数形结合、类比、转化、分类讨论、特殊与一般。
导学方法：自主探究法课时：1课时导学过程一、课前预习结合课本本章结构图，全面复习本章所学，并回答回顾与思考中提出的问题。
二、课堂导学1.导入在本章中我们学习了哪些概念、性质、判定？在学习过程中，我们体会到了那些数学思想方法？让我们共同回顾这章内容。
2.出示任务，自主学习：（1）类似于全等，相似也是图形之间的一种特殊关系，在本章中，我们学习了有关相似图形、相似多边形、相似三角形、位似的一些知识。
（2）相似多边形有哪些性质？位似图形呢？如何利用位似将一个图形放大或缩小？（3）如何判断两个三角形相似？三角形的相似与三角形的全等有什么关系？（4）举例说明三角形相似的一些应用。
（5）到现在为止，我们已经学习了平移、轴对称、旋转、位似，你能说出它们之间的异同吗？举出一些它们的实际应用的例子。
并结合以上内容，体会从运动的角度研究图形的方法。
3．合作探究《导学案》中的难点探究三、展示反馈《导学案》中的自主测评四、学习小结1、相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形）。
2、相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形。
3、两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形。
4、四条线段a,b,c,d成比例，记作或a:b=c:d。
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相似
图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识。
、判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应边的比是否也相等，这两
8、相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．
1、要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错。
9、要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比。
10、要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边。
11、相似比是带有顺序性和对应性的，如△ABC∽△A′B′C′的相似比k，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是1/k，它们的关系是互为倒数。
12、“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．
13、讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边。
14、判定方法2一定要注意区别“夹角相等”的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似。
15、两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似。
16、这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1。
17、由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供。
18、在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法。
19、公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据。
20、如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似。
21、相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）测距(不能直接测量的两点间的距离) 。
22、掌握测高和测距的方法。
知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解。
23、相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比等于相似比；③面积的比等于相似比的平方．④相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
24、应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质。
25、在应用性质“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意由相似比求面积比要平方，但反过来，由面积比求相似比要开方。
26、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
27、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似。
28、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。
、在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各。