2017-2018学年江苏省南京市高二上学期期末考试数学理试题
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是．14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n （n+1），故答案为：n（n+1）10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（x）=（x2+3x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，=f（0）=﹣1，故f（x）极小值故答案为：﹣1．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b ＞0）有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），即8x﹣y﹣48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），即x+y﹣15=0．…（14分）16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k﹣3）a k+1﹣a k+4=0，即（﹣3）a k+1﹣+4=0，所以a k+1=，即a k+1==，所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：（1）因为3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．因为BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1），由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g′（x）=（1﹣lnx）（1+），当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；努力的你，未来可期！g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a（x﹣）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x﹣）﹣2lnx，x≥1，F′（x）=a（1+）﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）﹣≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．。
江苏省南京市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.1．：“∃x∈Q，x2﹣8=0”的否定是______．2．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=______．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程是______．4．已知p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）5．函数f（x）=x+sinx的图象在点O（0，0）处的切线方程是______．6．在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（4，﹣3，0），且=2，则点P的坐标是______．7．已知实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是______．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是______．9．函数f（x）=（e为自然对数的底数）的最大值是______．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，则点P的轨迹方程是______．11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到点A（3，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=______．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t＞0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是______．13．在平面直角坐标系xOy中，已知直l：x+y﹣3=0和圆M：x2+（y﹣m）2=8，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为3，则实数m的取值范围是______．14．已知函数y=x3﹣3x在区间[a，a+1]（a≥0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是______．二、解答题：本大题共6小题，共计58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求△PF1F2的面积．16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且=0，求实数m的值．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=2，AA1=1，∠BAC=90°，D 为线段BC的中点．（1）求异面直线B1D与AC所成角的大小；（2）求二面角D﹣A1B1﹣A的大小．18．A，B两地相距300km，汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60km/h）．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数，设全程的运输成本为y元．（1）求y关于v的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（m＞0）的离心率为．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值？若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx．（1）若直线y=2x+p（p∈R）是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数p的值；（2）若函数g（x）=x﹣﹣2f（x）（m∈R）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．①求实数m的取值范围；②证明：g（x2）＜x2﹣1．2015-2016学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.1．：“∃x∈Q，x2﹣8=0”的否定是∀x∈Q，x2﹣8≠0．【考点】的否定．【分析】利用特称的否定是全称写出结果即可．【解答】解：因为特称的否定是全称，所以：“∃x∈Q，x2﹣8=0”的否定是：∀x∈Q，x2﹣8≠0．故答案为：∀x∈Q，x2﹣8≠0．【点评】本题考查的否定全称与特称的否定关系，是基础题．2．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=1．【考点】抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线经过的点，求解即可．【解答】解：抛物线y2=2px经过点（4，2），可得4=4P，解得p=1．故答案为：1．【点评】本题考查抛物线才的应用，基本知识考查．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程：y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．4．已知p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的充要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，可得0＜m＜1．即可判断出结论．【解答】解：p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，∴0＜m＜1．则p是q的充要条件．故答案为：充要．【点评】本题考查了椭圆的标准方程、充要条件的判定、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．函数f（x）=x+sinx的图象在点O（0，0）处的切线方程是y=2x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=x+sinx的导数为f′（x）=1+cosx，即有图象在点O（0，0）处的切线斜率为k=1+cos0=2，则图象在点O（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，正确求导是解题的关键．6．在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（4，﹣3，0），且=2，则点P的坐标是（3，﹣2，0）．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】设出点P的坐标，用坐标表示出与，根据=2列出方程组，求出点P的坐标．【解答】解：设点P（x，y，z），又点A（1，0，0），B（4，﹣3，0），∴=（x﹣1，y，z），=（4﹣x，﹣3﹣y，﹣z）；又=2，∴，解得，∴点P的坐标是（3，﹣2，0）．故答案为：（3，﹣2，0）．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目．7．已知实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线方程求出C的坐标，代入化简求解双曲线的离心率即可．【解答】解：设双曲线方程为：，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C（c，2c），代入双曲线方程：，即．可得，解得e2=3+2，∴e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．函数f（x）=（e为自然对数的底数）的最大值是．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出函数的导数，求出单调区间，可得极大值，也为最大值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=1处取得极大值，且为最大值．故答案为：．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，判断单调性，考查运算能力，属于中档题．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，则点P的轨迹方程是x2+y2+2x﹣3=0．【考点】轨迹方程．【分析】利用点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，直接计算，即可求出点P 的轨迹方程．【解答】解：设P（x，y），则∵点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，∴4x2+4y2=（x﹣3）2+y2，∴x2+y2+2x﹣3=0．故答案为：x2+y2+2x﹣3=0．【点评】本题考查点P的轨迹方程，考查直接法的运用，比较基础．11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到点A（3，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义，可得PA=PF，准线方程为x=﹣1，求出P的横坐标，即可得出结论．【解答】解：由抛物线的定义，可得PA=PF，准线方程为x=﹣1∵A（3，0），F（1，0），∴P的横坐标为2，∴PA=2+1=3，故答案为：3．【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，正确运用抛物线的定义是关键．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t＞0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是2．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】先用t表示出三角形的面积，再求导，代值计算即可．【解答】解：由|AB|==t，∴S（t）=|OA||OB|=tt=t2，∴S′（t）=t，∴S′（2）=2，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的面积公式和导数瞬时变化率的几合意义，属于基础题．13．在平面直角坐标系xOy中，已知直l：x+y﹣3=0和圆M：x2+（y﹣m）2=8，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为3，则实数m的取值范围是[﹣7，1]∪[5，13] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设P（2cosθ，m+2sinθ），由P到直线l：x+y﹣3=0的距离为3，得=6，由此利用三角函数性质能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵圆M：x2+（y﹣m）2=8，圆M上存在点P，∴设P（2cosθ，m+2sinθ），∵P到直线l：x+y﹣3=0的距离为3，∴=3，即=6，∵，∴﹣7≤m≤1或5≤m≤13，∴实数m的取值范围是[﹣7，1]∪[5，13]．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式和三角函数性质的合理运用．14．已知函数y=x3﹣3x在区间[a，a+1]（a≥0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是a=﹣1或0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，求出最大值和最小值，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：y′=f′（x）=3（x+1）（x﹣1），∴函数在在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，①a=0时，函数在[0，1]递减，函数的最大值是f（0）=0，函数的最小值是f（1）=﹣2，∴f（0）﹣f（1）=0﹣（﹣2）=2，故a=0符合题意；②0＜a＜1时，1＜a+1＜2，∴函数在[a，1）递减，在（1，a+1]递增，函数的最小值是f（1）=﹣2，由f（a）=f（a+1），得3a2+3a﹣2=0，解得：a=，（i）∴0≤a＜时，f（x）的最大值是f（a），∴a3﹣3a﹣（﹣2）=2，解得a=0或或﹣，不合题意，舍，（ii）≤a＜1时，f（x）的最大值是f（a+1），∴（a+1）3﹣3（a+1）﹣（﹣2）=2，解得a=﹣1，符合题意，③a≥1时，f（x）在[a，a+1]递增，∴f（x）min=f（a），f（x）max=f（a+1），∴（a+1）3﹣3（a+1）﹣a3+3a=2，解得：a=＜1，舍，综上：a=﹣1或0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求△PF1F2的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由椭圆C过点（0，2），其焦点为F2（﹣，0），F2（，0），求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）由点P在椭圆C上，且PF1=4，求出PF2，|F1F2|，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：（1）∵椭圆C过点（0，2），其焦点为F2（﹣，0），F2（，0），∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），则，∴=3，∴椭圆C的标准方程为=1．（2）∵点P在椭圆C上，且PF1=4，∴PF2=2×3﹣4=2，∵F1（﹣，0），F2（，0），∴|F1F2|=2，∴．∴PF1⊥PF2，∴△PF1F2的面积S===4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且=0，求实数m的值．【考点】平面向量数量积的运算；圆的一般方程．【分析】（1）由点的坐标求出弦的中垂线方程，联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求；（2）由题意可知∠PMQ=90°，结合圆的半径求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求解．【解答】解：（1）如图，AB所在直线方程为x=2，AC所在直线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=2，AA1=1，∠BAC=90°，D 为线段BC的中点．（1）求异面直线B1D与AC所成角的大小；（2）求二面角D﹣A1B1﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D与AC所成角的大小．（2）求出平面A1B1D的法向量和平面A1B1A的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣A1B1﹣A的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，0，1），D（），=（﹣，，﹣1），=（0，2，0），设异面直线B1D与AC所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线B1D与AC所成角的大小为．（2）==（2，0，0），=（﹣），设平面A1B1D的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，，3），又平面A1B1A的法向量=（0，1，0），设二面角D﹣A1B1﹣A的平面角为α，则cosα===，∴α=，∴二面角D﹣A1B1﹣A的大小为．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．A，B两地相距300km，汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60km/h）．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数，设全程的运输成本为y元．（1）求y关于v的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出汽车从A地匀速行驶到B地所用时间，根据汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；（2）利用基本不等式可得结论．【解答】解：（1）依题意知汽车从A地匀速行驶到B地所用时间为，全程运输成本为y=（250+），即y=300（+），定义域为（0，60]，（2）y=300（+）=300（++）≥300×3=2250，当且仅当=，即v=50km/h时，全程运输成本最小，最小为2250元．【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（m＞0）的离心率为．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值？若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知得a2=m+8，b2=m，c2=a2﹣b2=8，=，由此能求出m的值．（2）椭圆C的方程为=1，A（0，2），线AB的斜率不存在时，直线AB的直线为x=0，符合题意．当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+2，P（x0，y0），代入椭圆方程．得整理，得：（1+3k2）x2+12kx=0，由此利用直线方程、点到直线的距离公式，能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（m＞0）的离心率为，∴a2=m+8，b2=m，c2=a2﹣b2=8，∵离心率为，∴=，解得m=4．（2）由（1）知椭圆C的方程为=1，∴A（0，2），假设存在椭圆C的一条弦AB满足条件，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的直线为x=0，符合题意，此时，P（0，0），r=1．当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+2，P（x0，y0），由，消去y，整理，得：（1+3k2）x2+12kx=0，解得x=0，或x=﹣，∴，，由×k=﹣1，得3k2+4k+1=0，解得k=﹣1或k=﹣．∴直线AB：y=﹣x+2，r=，或直线AB：y=﹣，r=．综上，存在这样的弦AB，直线AB：x=0，r=1，或直线AB：y=﹣x+2，r=，或直线AB：y=﹣，r=．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用．20．已知函数f（x）=lnx．（1）若直线y=2x+p（p∈R）是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数p的值；（2）若函数g（x）=x﹣﹣2f（x）（m∈R）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．①求实数m的取值范围；②证明：g（x2）＜x2﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求出切点的坐标，代入切线方程求出p的值即可；（2）①求出函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+m=0在（0，+∞），直接推出结果．通过①，推出0＜m＜1，构造新函数g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，利用新函数的单调性证明，求解即可．【解答】解：（1）f（x）=lnx的定义域是（0，+∞），f′（x）=，若直线y=2x+p（p∈R）是函数y=f（x）图象的一条切线，∴=2，解得：x=，y=f（x）=ln=﹣ln2，将（，﹣ln2）代入y=2x+p，得：p=y﹣2x=﹣ln2﹣1；（2）①函数g（x）=x﹣﹣2lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令g′（x）=0，得x2﹣2x+m=0，其判别式△=4﹣4m，当△≤0，即m≥1时，x2﹣2x+m≥0，g′（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）无极值点；②当△＞0，即m＜1时，方程x2﹣2x+a=0的两根为x1=1﹣，x2=1+＞1，若m≤0，则x1≤0，则x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，此时，g（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，函数g（x）有1个极值点；若m＞0，则x1＞0，则x∈（0，x1）时，g′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，g′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，此时，g（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，函数g（x）有2个极值点；综上，0＜m＜1；②证明：由①得0＜m＜1，x2=1+，且1＜x2＜2，m=﹣+2x2，g（x2）﹣x2+1=x2﹣﹣2lnx2﹣x2+1=x2﹣2lnx2﹣1，令h（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，则h′（t）=1﹣=，由于1＜t＜2，则h′（t）＜0，故h（t）在（1，2）上单调递减，故h（t）＜h（1）=1﹣2ln1﹣1=0，∴g（x2）﹣x2+1=h（x2）＜0，∴g（x2）＜x2﹣1．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是______ ．【答案】若|a|≠|b|，则a≠b【解析】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．2.双曲线=1的渐近线方程是______ ．【答案】y=±2x【解析】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．3.已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是______ ．【答案】2【解析】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.在平面直角坐标系x O y中，点（4，3）到直线3x-4y+a=0的距离为1，则实数a的值是______ ．【答案】±5【解析】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．直接利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数a的值．本题考查求实数a的值，正确运用点到直线的距离公式是关键．5.曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是______ ．【答案】-3【解析】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n-4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n-4=-3；故答案为：-3．设直线与曲线的切点为P（m，n），点P分别满足直线方程与曲线方程，同时y'（m）=4即可求出b值本题主要考察了点满足曲线，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属中等题．6.已知实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是______ ．【答案】9【解析】解：实数x，y满足条件，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，则当直线y=-2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7.在平面直角坐标系x O y中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是______ ．【答案】4【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：4由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=5，则P到准线的距离也为5，即x+1=5，将p的值代入，进而求出x．活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．8.在平面直角坐标系x O y中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x-3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是______ ．【答案】3＜r＜7【解析】解：由题意，圆心距为5，∴|r-2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．由题意，圆心距为5，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x-3）2+（y+4）2=4相交，可得|r-2|＜5＜r+2，即可求出r的取值范围．本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．9.观察下列等式：（sin）-2+（sin）-2=×1×2；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+sin（）-2=×2×3；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×3×4；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×4×5；…照此规律，（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+（sin）-2= ______ ．【答案】n（n+1）【解析】解：观察下列等式：（sin）-2+（sin）-2=×1×2；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+sin（）-2=×2×3；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×3×4；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×4×5；…照此规律（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+（sin）-2=×n（n+1），故答案为：n（n+1）由题意可以直接得到答案．本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题．10.若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-∞，0]∪[4，+∞）【解析】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2-4a≥0，解得：a∈（-∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（-∞，0]∪[4，+∞）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2-4a≥0，解得实数a的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了方程根的存在性与个数判断，特称命题，难度基础．11.已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=-3处函数f（x）有极大值，则函数f（x）的极小值是______ ．【答案】-1【解析】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f （x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=-3处函数f（x）有极大值，则f （-3）=0，解得：m=-1，故f（x）=（x2+x-1）e x，f （x）=（x2+3x）e x，令f （x）＞0，解得：x＞0，令f （x）＜0，解得：x＜-3，故f（x）在（-∞，-3）递增，在（-3，0）递减，在（0，+∞）递增，故f（x）极小值=f（0）=-1，故答案为：-1．求出函数f（x）的导数，根据f （-3）=0，求出m的值，从而求出函数f（x）的单调区间，求出函数的极小值即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．12.有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y-1=0与直线l2：x+ay-2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f（x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是______ ．【答案】②④【解析】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f（x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q一定是真命题，故正确；故答案为：②④①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆；②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行；③，若函数f（x）=x3+mx单调递增⇒m≥0；④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q一定是真命题；本题考查了命题的真假，属于基础题．13.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（-2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是______ ．【答案】[，]【解析】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b＞0）由公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[，]设P（x，y），由PM=PF⇒x2+y2=2c2．只需x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b＞0）由公共点，即b≤≤a，可求离心率的取值范围．本题考查了椭圆的离心率，关键是要结合图形，属于中档题．14.已知t＞0，函数f（x）=，，＞，若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是______ ．【答案】（3，4）【解析】解：∵函数f（x）=，，＞，∴函数f （x）=，，＞，当x＜，或x＜t时，f （x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f （x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故＜＜＜＜，=（t-3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）-1=0和f（x）-1=t 各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.在平面直角坐标系x O y中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C （2，-4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【答案】解：（1）由B（10，4），C（2，-4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y-0=8（x-6），即8x-y-48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，-4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为-1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y-8=-1（x-7），即x+y-15=0．…（14分）【解析】（1）求出BC中点D的坐标，AD的斜率，即可求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求出BC边上的高所在直线的斜率为，即可求BC边上的高所在直线的方程．本题考查直线方程，考查学生的计算能力，正确求出直线的斜率是关键．16.已知数列{a n}满足a1=1，（a n-3）a n+1-a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】解：（1）令n=1，-2a2+3=0，a2=，令n=2，-a3-+4=0，a3=，令n=3，-a4-+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k-3）a k+1-a k+4=0，即（-3）a k+1-+4=0，所以a k+1=，即a k+1==，所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．【解析】（1）由数列{a n}的递推公式依次求出a2，a3，a4；（2）根据a2，a3，a4值的结构特点猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立本题考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式，属于中档题．17.在平面直角坐标系x O y中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线x+y-1=0相切于点P（2，-1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】解：（1）过点（2，-1）且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为x-y-3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，-2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x-1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=-1或-7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）【解析】（1）求求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18.某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【答案】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f（θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f （θ）=2[-sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ-1）=2（2cosθ-1）（cosθ+1）．…（10分）令f （θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f （θ）＞0，所以f（θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f （θ）＜0，所以f（θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f（θ）取最大值f（）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）【解析】（1）作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f（θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．（2）求导，分析函数的单调性，进而可得θ=时，f（θ）取最大值．本题考查的知识点是三角函数的实际应用，利用导数研究函数的最大值，难度中档．19.在平面直角坐标系x O y中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（-a，0），B（a，0），点M（-1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【答案】解：（1）因为3=，所以3（-1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2-c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（-1-x0，-y0），=（2-x0，-y0）．因为BC⊥CD，所以（-1-x0）（2-x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=-，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（-2＜x0＜2且x0≠-1），由消去y，得x2+8y02x+4y02-4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）【解析】（1）由3=，得a即可；（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，由BC⊥CD，得（-1-x0）（2-x0）+y02=0．解得x0=-，y0=，即可．（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（-2＜x0＜2且x0≠-1），由消去y，得x2+8y02x+4y02-4（x0+1）2=0，得D（，），可求本题考查了直线椭圆的位置关系，对计算能力的要求较高，设而不求、方程的思想贯穿整个解题过程，属于中档题．20.已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【答案】解：（1）f（x）=x-lnx（x＞0）的导数为f （x）=1-=，当x＞1时，f （x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f （x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2-lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g （x）=（1-lnx）（1+），当1＜x＜e时，g （x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g （x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；g（1）=2，g（3）=3（2-ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax-lnx≥-ln，即有a（x-）≥2lnx，x≥1，高中数学试卷第11页，共12页令F（x）=a（x-）-2lnx，x≥1，F （x）=a（1+）-，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F （x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）-≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．【解析】（1）求得f（x）的导数，求得单调区间，可得f（x）的极小值，也为最小值；（2）由题意可得a=，设g（x）=，x∈[1，3]，求出导数和单调区间，极值和最值，即可得到所求a的范围；（3）由题意可得ax-lnx≥-ln，即有a（x-）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x-）-2lnx，x≥1，求出导数，讨论x=1，x＞1时，F（x）递增，运用分离参数和基本不等式，即可得到a的范围．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查构造函数法和分类讨论思想方法的运用，考查运算能力，属于难题．高中数学试卷第12页，共12页。
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是．14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n （n+1），故答案为：n（n+1）10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（x）=（x2+3x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，=f（0）=﹣1，故f（x）极小值故答案为：﹣1．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b ＞0）有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），即8x﹣y﹣48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），即x+y﹣15=0．…（14分）16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k﹣3）a k+1﹣a k+4=0，即（﹣3）a k+1﹣+4=0，=，即a k+1==，所以a k+1所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：（1）因为3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．因为BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1），由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g′（x）=（1﹣lnx）（1+），当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a（x﹣）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x﹣）﹣2lnx，x≥1，F′（x）=a（1+）﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）﹣≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．。
江苏省南京市2018-2019学年高二上学期期末考试 数学(理) Word版含答案
南京市2018—2019学年度第一学期期末调研高二数学（理科） 2019.01注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题〜第14题)、解答题（第15题〜第20题）两部分。
本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。
2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内，试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内。
考试结束后，交回答题卡。
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知命题ex e x p x ≥∀,0＞:，写出命题p 的否定： ▲ . 2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 22=的准线方程为 ▲ . 3.己知x e x f x sin )(⋅=，则)0('f 的值为 ▲ .4.已知复数z 满足(z-2)i=l+i (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ .5.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆C: 1422=+y x 上一点，若点P 到椭圆C 的右焦点的距离为2，则它到椭圆C 的右准线的距离为 ▲ 。
6.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤,2,3,1y x x x y ，则y x z 2+=的最小值为▲ 。
7.在平面直角坐标系xOy 中，“m >0”是“方程122=+my x 表示椭圆”的 条件。
(填 “充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 8.在平面角坐标系xOy 中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为▲ 。
9. 在平面角坐标系xOy 中，点A(4,0)，点B(0,2),平面内点P 满足15=⋅,则 PO 的最大值是▲ 。
10.在平面直角坐标系xOy 中，点F 1，F 2分别是椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左、右焦点，过点F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点。
若∠AF 1B 为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .11.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 1: 1)()(22=-+-b y a x 与圆 C 2:03222=--+x y x 有公共点，则实数a 的取值范围是 ▲.12.如图，在正四棱锥P —ABCD 中，PA=AB ，点M 为的中点，BN BD λ=，若MN⊥AD , 则实数=λ ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，圆M: 1)1(22=+-y x ,点A3，1)，P 为抛物线上任意一点（异于原点），过点P 作圆M 的切线PB, B 为切点，则PA+PB 的最小值是 ▲ .14.已知函数a a x a x x f 463)(223+--= (a>0)只有一个零点，且这个零点为正数，则头数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
南京市2016-2017学年度第一学期期末检测卷(高二数学理)参考答案终稿
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准 2017．01 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．若|a |≠|b |，则a ≠b 2．y ＝±2x 3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．48．(3，7) 9．4n (n ＋1)310．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12． ②④ 13．[33，22] 14．(3，4) 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）解：（1）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 中点D 的坐标为（6，0）， ………………2分所以AD 的斜率为k ＝8－07－6＝8， ……………… 5分 所以BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y －0＝8(x －6)，即8x －y －48＝0． ……………… 7分（2）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 所在直线的斜率为k ＝4－(－4)10－2＝1，…… 9分 所以BC 边上的高所在直线的斜率为－1， ………………… 12分 所以BC 边上的高所在直线的方程为y －8＝－(x －7)，即x ＋y －15＝0． ………………………… 14分16．（本题满分14分）解：（1）令n ＝1，－2a 2＋3＝0，a 2＝32， ………………1分 令n ＝2，－32a 3－32＋4＝0，a 3＝53， ………………2分 令n ＝3，－43a 4－53＋4＝0，a 4＝74． ………………3分（2）猜想a n ＝2n －1n(n ∈N *)． ………………5分 证明：当n ＝1时，a 1＝1＝2－11，所以a n ＝2n －1n成立， ……………… 6分 假设当n ＝k 时，a n ＝2n －1n 成立，即a k ＝2k －1k， ………………8分 则(a k －3)a k ＋1－a k ＋4＝0，即(2k －1k －3)a k ＋1－2k －1k＋4＝0， 所以k +1k a k ＋1＝2k +1k ，即a k ＋1＝2k +1k +1＝2(k +1)－1k +1， ………………12分 所以当n ＝k ＋1时，结论a n ＝2n －1n 成立. 综上，对任意的n ∈N *，a n ＝2n －1n成立. ………………14分 17．（本题满分14分）解：（1）过点(2，－1)且与直线x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －3＝0， ……2分由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x －y －3＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2．所以圆心M 的坐标为(1，－2)， ………………4分 所以圆M 的半径为r ＝(2－1)2＋[－1－(－2)]2＝2， ………………6分 所以圆M 的方程为 (x －1)2＋(y ＋2)2＝2． ………………7分（2）因为直线l 被圆M 截得的弦长为6，所以圆心M 到直线l 的距离为d ＝2－(62)2＝22， ……………9分 若直线l 的斜率不存在，则l 为x ＝0，此时，圆心M 到l 的距离为1，则弦长为2，不符合题意．若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由d ＝|k ＋2|k 2＋(－1)2＝22， ………………11分 整理得k 2＋8k ＋7＝0，解得k ＝－1或－7， ………………13分所以直线l 的方程为x ＋y ＝0或7x ＋y ＝0． ………………14分18．（本题满分16分）解：（1）作AH ⊥CF 于H ，则OH ＝cos θ，AB ＝2OH ＝2cos θ，AH ＝sin θ， ……………2分则六边形的面积为f (θ)＝2×12(AB ＋CF )×AH ＝(2cos θ＋2)sin θ ＝2(cos θ＋1)sin θ，θ∈(0，π2)． ………………6分 （2）f ′(θ)＝2[－sin θsin θ＋(cos θ＋1)cos θ]＝2(2cos 2θ＋cos θ－1)＝2(2cos θ－1)(cos θ＋1)． ………………10分令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，π2)，所以cos θ＝12，即θ＝π3， ……………………12分 当θ∈(0，π3)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，π3)上单调递增； 当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(π3，π2)上单调递减， …………14分 所以当θ＝π3时，f (θ)取最大值f (π3)＝2(cos π3＋1)sin π3＝323． …………15分 答：当θ＝π3时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为323平方百米． …………………………16分19．（本题满分16分）解：（1）因为3AM →＝MB →，所以3(－1＋a ，0)＝(a ＋1，0)，解得a ＝2． ………………2分又因为c a ＝ 3 2，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………4分 （2）方法1设点C 的坐标为(x 0，y 0)，y 0＞0,则CM →＝(－1－x 0，－y 0)，CB →＝(2－x 0，－y 0)．因为BC ⊥CD ，所以(－1－x 0)( 2－x 0)＋y 02＝0． ① ……………6分 又因为x 024＋y 02＝1， ② 联立①②，解得x 0＝－23，y 0＝223， ………………8分 所以k ＝223－23＋1＝22． ………………10分 方法2因为CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，且BC ⊥CD ，所以BC 的方程为y ＝－1k(x －2)， ………………6分 联立方程组，可得点C 的坐标为(2－k 21＋k 2，3k 1＋k 2)， ………………8分 代入椭圆方程，得(2－k 21＋k 2)24＋(3k 1＋k 2)2＝1， 解得k ＝±22．又因为点C 在x 轴上方，所以3k 1＋k 2＞0，所以k ＞0，所以k ＝2 2 ………………10分（3）方法1因为直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－4 1＋4k 2． …………………12分 所以k 1k 2＝y 2x 2＋2 y 1x 1－2 ＝k (x 2＋1)x 2＋2 k (x 1＋1)x 1－2 ＝(x 2＋1)(x 1－2)(x 2＋2)(x 1＋1) ＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋3x 1－2 x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋x 1＋2…………………14分 ＝4k 2－4 1＋4k 2－2×(－8k 21＋4k 2)＋3x 1－2 4k 2－4 1＋4k 2＋(－8k 21＋4k 2)＋x 1＋2＝12k 2－6 1＋4k 2＋3x 1 4k 2－2 1＋4k 2＋x 1＝3， 所以k 1k 2为定值． ………………………16分 方法2因为直线AD 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋2)，x 24＋y 2＝1，解得D (2－8k 12 1＋4k 12，4k 1 1＋4k 12)， ………………………12分 因为直线BC 的方程为y ＝k 2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2(x －2)，x 24＋y 2＝1，解得C (8k 22－2 1＋4k 22，－4k 2 1＋4k 22)， 由于C ，M ，D 三点共线，故MC →，MD →共线，又MC →＝(8k 22－2 1＋4k 22＋1，－4k 2 1＋4k 22)＝(12k 22－1 1＋4k 22，－4k 2 1＋4k 22)， MD →＝(2－8k 12 1＋4k 12＋1，4k 1 1＋4k 12)＝(3－4k 12 1＋4k 12，4k 1 1＋4k 12)， 所以12k 22－1 1＋4k 22·4k 1 1＋4k 12＝－4k 2 1＋4k 22·3－4k 121＋4k 12， ……………14分 化简得12k 22k 1－k 1＝4k 12k 2－3k 2，即(4k 1k 2＋1)(k 1－3k 2)＝0，若4k 1k 2＋1＝0，则k 2＝－14k 1代入C (8k 22－2 1＋4k 22，－4k 2 1＋4k 22)， 化简得C (2－8k 12 1＋4k 12，4k 1 1＋4k 12)， 此时C 与D 重合，于是4k 1k 2＋1≠0，从而k 1－3k 2＝0，所以k 1 k 2＝3，即k 1k 2为定值． ………………………16分方法3设C (x 0,y 0)，则CD ：y ＝y 0 x 0+1(x +1)(－2＜x 0＜2且x 0≠－1)， 由⎩⎨⎧y ＝y 0 x 0+1(x +1)，x 24＋y 2＝1，消去y ， 得[(x 0＋1)2＋4y 02]x 2＋8y 02x ＋4y 02－4(x 0＋1)2＝0. ………………12分又因为x 024＋y 02＝1，所以得D (－8－5x 05＋2x 0，－3y 05＋2x 0)， ………………14分 所以k 1k 2＝－3y 05＋2x 0－8－5x 05＋2x 0＋2·x 0－2 y 0 ＝－3y 0－x 0＋2·x 0－2 y 0＝3， 所以k 1k 2为定值． ……………………16分 方法4设D (x 0，y 0)，y 0≠0，则k 1k BD ＝y 0 x 0＋2·y 0 x 0－2＝y 02x 02－4＝1－x 024 x 02－4＝－14． …………………12分 因为CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝－8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－4 1＋4k 2， 所以k 2k BD ＝y 1x 1－2×y 2x 2－2＝k 2(x 1＋1) (x 2＋1) (x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1 x 2＋x 1＋x 2＋1) x 1 x 2－2 (x 1＋x 2)＋4＝k 2(4k 2－4 1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1) 4k 2－4 1＋4k 2＋2×8k 2 1＋4k 2＋4＝－3k 236k 2＝－112． …………………14分 又因为k 1k BD ＝－14， 所以k 1 k 2＝3，即k 1k 2为定值． ………………………16分 20．（本题满分16分）解：（1）a ＝1时，f (x )＝x －ln x , 则f '(x )＝1－1x ＝x －1x，令f '(x )＝0，则x ＝1． ……………………2分 当0＜x ＜1时，f '(x )＜0，所以f (x )在(0，1)上单调递减；当x ＞1时，f '(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ………………3分 所以当x ＝1时，f (x )取到最小值，最小值为1． …………………4分（2）因为 f (x )x 2＋ln x ＝2(x ＞0)， 所以ax －ln x ＝(2－ln x )x 2，即a ＝2x －x ln x ＋ln x x， …………………6分 设g (x )＝2x －x ln x ＋ln x x，x ∈[1，3]， 则g '(x )＝2－(1＋ln x )＋1－ln x x 2＝(1－ln x )(1＋1x 2)， 令g '(x )＝0，解得x ＝e ，当1＜x ＜e 时，g '(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上单调递增；当e ＜x ＜3时，g '(x )＜0，所以g (x )在(e ，3)上单调递减， ………………8分因为g (1)＝2，g (e)＝e ＋1e ，g (3)＝6－83ln3， 因为6－83ln3＞2，所以函数g (x )的值域是[2，e ＋1e]， 所以a 的取值范围是[2，e ＋1e]． ………………10分 （3）对任意的x ∈[1，＋∞)，有f (x )≥f (1x)成立， 则ax －ln x ≥a x ＋ln x ，即a (x －1x)－2ln x ≥0． 令h (x )＝a (x －1x )－2ln x ，则h '(x )＝a (1＋1x 2)－2x ＝ax 2－2x ＋a x 2， ①当a ≥1时，ax 2－2x ＋a ＝a (x －1a )2＋a 2－1a ≥0， 所以h '(x )≥0，因此h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以x ∈[1，＋∞)时，恒有h (x )≥h (1)＝0成立，所以a ≥1满足条件． ………………12分②当0＜a ＜1时，有1a ＞1，若x ∈[1，1a]，则ax 2－2x ＋a ＜0， 此时h '(x )＝ax 2－2x ＋a x 2＜0， 所以h (x )在[1，1a ]上单调递减，所以h (1a)＜h (1)＝0， 即存在x ＝1a＞1，使得h (x )＜0，所以0＜a ＜1不满足条件．……………14分 ③当a ≤0时，因为x ≥1，所以h '(x )＝ax 2－2x ＋a x 2＜0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减， 所以当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0，所以a ≤0不满足条件．综上， a 的取值范围为[1，＋∞). ………………16分。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
2017年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(含答案解析).doc
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b ，则|a |=|b |”的逆否命题是 ． 2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是 ．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ．4．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，点（4，3）到直线3x ﹣4y +a=0的距离为1，则实数a 的值是 ．5．（5分）曲线y=x 4与直线y=4x +b 相切，则实数b 的值是 ． 6．（5分）已知实数x ，y 满足条件则z=2x +y 的最大值是 ．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且PF=5，则点P 的横坐标是 ．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）与圆M ：（x ﹣3）2+（y +4）2=4相交，则r 的取值范围是 ．9．（5分）观察下列等式：（sin ）﹣2+（sin ）﹣2=×1×2；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin （）﹣2=×2×3；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin （）﹣2=×3×4；（sin ）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin （）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2= ．10．（5分）若“∃x ∈R ，x 2+ax +a=0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 11．（5分）已知函数f （x ）=（x 2+x +m ）e x （其中m ∈R ，e 为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x ）有极大值，则函数f （x ）的极小值是 ．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是．14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n （n+1），故答案为：n（n+1）10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（x）=（x2+3x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，=f（0）=﹣1，故f（x）极小值故答案为：﹣1．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b ＞0）有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），即8x﹣y﹣48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），即x+y﹣15=0．…（14分）16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k﹣3）a k+1﹣a k+4=0，即（﹣3）a k+1﹣+4=0，所以a k+1=，即a k+1==，所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：（1）因为3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．因为BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1），由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g′（x）=（1﹣lnx）（1+），当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a（x﹣）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x﹣）﹣2lnx，x≥1，F′（x）=a（1+）﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）﹣≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．。
江苏省南京市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)(含答案)
南京市2018—2019学年度第一学期期末调研高二数学（理科）注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题〜第14题)、解答题（第15题〜第20题）两部分。
本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。
2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内，试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内。
考试结束后，交回答题卡。
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知命题 2019.01p :∀x ＞0,e x ≥ex ，写出命题p 的否定：2▲.2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =2x 的准线方程为▲ .3.己知f (x )=e ⋅sin x ，则f '(0)的值为▲ .4.已知复数z 满足(z-2)i=l+i (i 为虚数单位)，则z 的实部为▲ .x x 2+y 2=1上一点，若点P 到椭圆C 的右焦点的距离为2，则它到5.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆C:4椭圆C 的右准线的距离为▲。
⎧y ≤x -1,⎪6.已知实数x ,y 满足⎨x ≤3,，则z =x +2y 的最小值为⎪x +y ≥2,⎩22▲。
7.在平面直角坐标系xOy 中，“m >0”是“方程x +my =1表示椭圆”的条件。
(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）8.在平面角坐标系xOy 中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为▲。
9.在平面角坐标系xOy 中，点A(4,0)，点B(0,2),平面内点P 满足PA ⋅PB =15,则 PO 的最大值是▲。
x 2y 210.在平面直角坐标系xOy 中，点F 1，F 2分别是椭圆2+2=1 (a>b>0)的左、右焦点，过点F 2且与x 轴垂直a b 的直线与椭圆交于A ，B 两点。
若∠AF 1B 为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是▲ .11.在平面直角坐标系xOy 中，圆 C :(x -a )+(y -b )=1与圆 C :x +y -2x -3=0有公共点，则实2222数a 的取值范围是▲.12.如图，在正四棱锥P —ABCD 中，PA=AB ，点M 为的中点，BD =λBN ，若MN⊥AD,则实数λ=▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，圆M:(x -1)+y =1 ,点22A3，1)，P 为抛物线上任意一点（异于原点），过点P 作圆M 的切线PB, B 为切点，则PA+PB 的最小值是▲ .14.已知函数f (x )=x -3a x -6a +4a (a>0)只有一个零点，且这个零点为正数，则头数a 的取值范围是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017-2018学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是．2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝i，其中i是虚数单位，则|z|为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是．4．（5分）“x2﹣3x+2＜0”是“﹣1＜x＜2”成立的条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值是．6．（5分）函数f（x）＝xe x的单调减区间是．7．（5分）如图，直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝，则实数a的值是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2与圆x2+（y﹣6）2＝8相外切，则实数a的值为．9．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，M是侧棱PC的中点，且＝x+y+z，则x+y+z的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y 的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1，则满足条件的点A的个数为．12．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3x2+mx在区间（0，3）内有极值，则实数m的取值范围是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C．若＝2，则该椭圆的离心率为．14．（5分）已知函数f（x）＝x|x2﹣3|．若存在实数m，m∈（0，]，使得当x∈[0，m]时，f（x）的取值范围是[0，am]，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，复数+2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．16．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1的中点．（1）求异面直线EF与DG所成角的余弦值；（2）设二面角A﹣BD﹣G的大小为θ，求|cosθ|的值．17．（14分）如图，圆锥OO1的体积为π．设它的底面半径为x，侧面积为S．（1）试写出S关于x的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P是圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一条准线方程为x＝，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．①设直线AM，AN的斜率分别是k1，k2，求k1k2的值；②过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．20．（16分）设函数f（x）＝ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）若a＝0，求过点（0，﹣1）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，①求a的取值范围；②求证：f′（x1）+f′（x2）＜0．2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．【解答】解：根据原命题与逆否命题的关系，知：命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”．故答案为：若b≠0，则ab≠0．2．【解答】解：由z（1+i）＝i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．3．【解答】解：抛物线y2＝4x开口向右，p＝2，所以抛物线的焦点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）．4．【解答】解：∵x2﹣3x+2＜0⇔1＜x＜2，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|﹣1＜x＜2}，∴“x2﹣3x+2＜0”是“﹣1＜x＜2”成立的充分不必要，故答案为：充分不必要．5．【解答】解：由题意，实数x，y满足条件表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（0，5），B（2，1），C（0，1）目标函数z＝3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得，在点（2，1）处取得最大值7．故答案为：76．【解答】解：函数f（x）＝xe x，可得f′（x）＝（1+x）e x，当f′（x）＝（1+x）e x≤0，解得x≤﹣1，此时函数f（x）＝xe x是单调减函数，函数的单调减区间（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．[或（﹣∞，﹣1）]．7．【解答】解：直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝，切线的斜率为，切线方程为：y﹣1＝x，所以3﹣1＝，解得a＝3．故答案为：3．8．【解答】解：根据题意，圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2的圆心为（a，a），半径r1＝，圆x2+（y﹣6）2＝8的圆心为（0，6），半径r2＝2，若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2与圆x2+（y﹣6）2＝8相外切，则有a2+（a﹣6）2＝（+2）2，解可得：a＝3；故答案为：3．9．【解答】解：∵M是侧棱PC的中点，∴＝，又＝，＝．∴＝（）＝﹣++，又＝x+y+z，∴x＝﹣1，y＝z＝．则x+y+z＝0．故答案为：0．10．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的渐近线：x＝y，抛物线x2＝4y的准线y＝﹣，双曲线﹣y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y的准线相交于A，B两点，所以A（3，﹣），（﹣3，﹣），则三角形OAB的面积为：＝3．故答案为：3．11．【解答】解：如图，作出直线x+y﹣2＝0，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，∵原点O到直线x+y﹣2＝0的距离为1，∴在直线x+y﹣2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1，过原点作直线x+y﹣2＝0的平行线，交圆于两点，则交点满足到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1．∴到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1的点A共3个．故答案为：3．12．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x2+mx．∴f′（x）＝3x2﹣6x+m，若函数f（x）＝x3﹣3x2+mx在区间（0，3）内有极值，则f′（x）＝3x2﹣6x+m在区间（0，3）内有零点，导函数的对称轴为x＝1，可得△＝36﹣12m＞0，解得m＜3．并且f′（3）＞0．即27﹣18+m＞0．解得m∈（﹣9，3）．故答案为：（﹣9，3）．13．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AB的方程为x＝﹣c，不妨设A在第二象限，把x＝﹣c代入椭圆方程得A（﹣c，），过C作CD⊥x轴，垂足为D，则Rt△AF1F2∽Rt△CDF2，∴＝＝，∴C（2c，﹣），代入椭圆方程得：+＝1，即4e2+（1﹣e2）＝1，解得e＝．故答案为：．14．【解答】解：f（x）＝x|x2﹣3|＝，作出函数图象如图所示：根据题意知，m∈[0，]，x∈[0，m]，当m∈[0，1]时，f（x）在[0，m]上单调递增，此时f（x）的取值范围是[0，f（m）]，所以f（m）＝am，即m（3﹣m2）＝am，得a＝3﹣m2∈[[2，3）；当m∈（1，2]时，此时f（x）的取值范围是[0，2]，所以am＝2，得a＝∈[1，2），当m∈（2，]时，此时f（x）的取值范围是[0，f（m）]，所以f（m）＝am，即m（m2﹣3）＝am，即a＝m2﹣3∈（1，2]，综上：实数a的取值范围是[1，3）．故答案为：[1，3）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】解：z＝＝．（1）∵z是纯虚数，∴，即m＝；（2）∵＝（1﹣2m）﹣（1+2m）i，∴+2z＝（1﹣2m）﹣（1+2m）i+2（1﹣2m）+2（1+2m）i＝（3﹣6m）+（1+2m）i，由复数+2z在复平面上对应的点在第一象限，得，解得．∴m的取值范围是（）．16．【解答】（本题满分14分）解：如图，以{，，}为正交基底建立坐标系D﹣xyz．设正方体的边长为2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，2，0），F（2，1，2），G（1，2，2）．（1）因为＝（2，1，2）﹣（1，2，0）＝（1，﹣1，2），＝（1，2，2），…（2分）所以•＝1×1+（﹣1）×2+2×2＝3，||＝＝，||＝3．…（4分）从而cos＜，＞＝＝＝，即向量与的夹角的余弦为，从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为．…（7分）（2）＝（2，2，0），＝（1，2，2），设平面DBG的一个法向量为＝（x，y，z）．由题意，得，取x＝2，可得y＝﹣2，z＝1．所以＝（2，﹣2，1）．…（11分）又平面ABD的一个法向量＝＝（0，0，2），所以cos＜，＞＝＝＝．因此|cosθ|＝．…（14分）17．【解答】解：（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．∵圆锥的体积为π，即πx2h＝π，∴h＝．因此l＝，从而S＝πxl＝πx•＝π，（x＞0）．（2）令f（x）＝x4+，则f′（x）＝4x3﹣，（x＞0）．由f′（x）＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0，）上单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，即函数f（x）在区间（，+∞）上单调递增．∴当x＝时，f（x）取得极小值也是最小值．答：当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小．18．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其圆心为（﹣，﹣）．∵圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上，∴，解得．∴所求圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0；（2）由（1）知，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC＝．∴当PC最小时，S最小．∵圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0，∴D（﹣4，1），半径为1．∵C（2，1），∴两个圆的圆心距DC＝6．∵点P在圆D上，且圆D的半径为1，∴PC min＝6﹣1＝5．∴S min＝×＝10．此时直线PC：y＝1，从而P（﹣3，1）．19．【解答】解：（1）设椭圆C：：+＝1的半焦距为c．由题意，得解得从而b＝1．所以椭圆C的方程为+y2＝1．（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M（x0，y0），N（x0，﹣y0）（x0≠0，y0≠0），从而k1k2＝•＝．因为点M在椭圆C上，所以+y02＝1，所以1﹣y02＝，所以k1k2＝＝．②设Q（x1，y1），依题意A（0，1）．因为l1⊥AM，所以•＝﹣1，即（y0﹣1）（y1﹣y0）＝﹣x0（x1﹣x0）；因为l2⊥AN，所以•＝﹣1，即（﹣y0﹣1）（y1+y0）＝﹣x0（x1﹣x0），故（y0﹣1）（y1﹣y0）﹣（﹣y0﹣1）（y1+y0）＝0，化得（y1+1）y0＝0．从而必有y1+1＝0，即y1＝﹣1．即点Q在一条定直线y＝﹣1上．20．【解答】（本题满分16分）解（1）当a＝0时，f（x）＝﹣1﹣lnx，f′（x）＝﹣．设切点为T（x0，﹣1﹣lnx0），则切线方程为：y+1+lnx0＝﹣（x﹣x0）．…（2分）因为切线过点（0，﹣1），所以﹣1+1+ln x0＝﹣（0﹣x0），解得x0＝e．所以所求切线方程为y＝﹣x﹣1．…（4分）（2）①f′（x）＝ax﹣＝，x＞0．（i）若a≤0，则f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而函数f（x）在（0，+∞）上至多有1个零点，不合题意．…（5分）（ii）若a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（）＝﹣ln﹣1＝﹣﹣ln．要使函数f（x）有两个零点，首先﹣﹣ln＜0，解得0＜a＜e．…（7分）当0＜a＜e时，＞＞．因为f（）＝＞0，故f（）•f（）＜0．又函数f（x）在（0，）上单调递减，且其图象在（0，）上不间断，所以函数f（x）在区间（0，）内恰有1个零点．…（9分）考察函数g（x）＝x﹣1﹣lnx，则g′（x）＝1﹣＝．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，故f（）＝﹣1﹣ln≥0．因为﹣＝＞0，故＞．因为f（）•f（）≤0，且f（x）在（，+∞）上单调递增，其图象在（，+∞）上不间断，所以函数f（x）在区间（，]上恰有1个零点，即在（，+∞）上恰有1个零点．综上所述，a的取值范围是（0，e）．…（11分）②由x1，x2是函数f（x）的两个零点（不妨设x1＜x2），得两式相减，得a（x12﹣x22）﹣ln＝0，即a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣ln＝0，所以a（x1+x2）＝．…（13分）f′（x1）+f′（x2）＜0等价于ax1﹣+ax2﹣＜0，即a（x1+x2）﹣﹣＜0，即：﹣﹣＜0，即2ln+﹣＞0．设h（x）＝2lnx+﹣x，x∈（0，1）．则h′（x）＝﹣﹣1＝﹣＜0，所以函数h（x）在（0，1）单调递减，所以h（x）＞h（1）＝0．因为∈（0，1），所以2ln+﹣＞0，即f′（x1）+f′（x2）＜0成立．…（16分）。
2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学理科(带答案
2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =U ，则集合）（B A C U I 中的元素共有（ ） A .3个 B. 4个C.5个D.6个2. 复数3223ii+=-( ) A.1 B.1-C.iD.i -3．已知)1,1(),2,(a n a m -=-=，且n m //，则a=（ ） A ．﹣1B ．2或﹣1C ．2D ．﹣24. 在区间[]1,1-上随机选取一个实数x ，则事件"210"x -< 的概率为（ ）A ．12B ．34C ．23D ．145. 已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)=（ ）A.711B.711-C. 713D.713-6．在6)2(y x -的展开式中，含24y x 的项的系数是（ ） A ．15 B ．-15C ．60D ． -607.执行如图所示的程序框图，若输入的a 为2，则输出 的a 值是（ ）A. 2B. 1C.21D.1-8. 设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（ ） A.150°B.120°C.60°D.30°9. 甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A.150种B.180种C.300种D.345种10．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题,:0R x p ∈∃使得0120≤-x ，则,:R x p ∈∀⌝都有012>-x ； （2）已知),2(~2σN X ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为32ˆ-=x y； （4）“1≥x ”是“21≥+xx ”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．411.正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC △外接圆半径为26，则该正方体外接球的表面积为( ) A.2πB.8πC.12πD.16π12.已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若11(),()a f b ef e e e==--，()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南京市20172018学年度第一学期期末高二数学调研测试卷(2018年1月文科)
南京市2017－2018学年度第一学期期末调研测试卷高二数学（文科）注意事项：1．本试卷共3页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：圆锥的体积公式：V ＝13πr 2h ，侧面积公式：S ＝πrl ，其中r ，h 和l 分别为圆锥的底面半径，高和母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是 ▲ ．2．已知复数z 满足 z (1＋i)＝i ，其中i 是虚数单位，则 |z | 为 ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是 ▲ ．4．“x 2－3x ＋2＜0”是“－1＜x ＜2”成立的 ▲ 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．已知实数x ，y 满足条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥1，2x ＋y －5≤0，则z ＝3x ＋y 的最大值是 ▲ ．6．函数 f (x )＝x e x 的单调减区间是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y ＝0与圆 (x －3)2＋(y －1)2＝25相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为 ▲ ．8．如图，直线l 经过点(0，1)，且与曲线y ＝f (x ) 相切 于点(a ，3)．若f ′(a )＝23，则实数a 的值是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，若圆 (x －a )2＋(y －a )2＝2 与圆 x 2＋(y －6)2＝8相外切，则实数a 的值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 23－y 2＝1的渐近线与抛物线x 2＝43y 的准线相交于A ，B 两点，则三角形OAB 的面积为 ▲ ．11．若函数f (x )＝x 3－3x 2＋mx 在区间 (0，1) 内有极值，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2，到直线 3x ＋y －2＝0的距离为1，则满足条件的点A 的个数为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ． 若AF 2→＝2F 2C →，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14．若对任意的x ∈[ 1e ，＋∞)，都有 12x 2－a ln x ≥0 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知复数z ＝2＋4m i1－i ，（m ∈R ，i 是虚数单位）．（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）设—z 是z 的共轭复数，复数—z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，求m 的取值范围．16．（本题满分14分）已知p ：方程x 2＋(m 2－6m )y 2＝1表示双曲线，q ：函数f (x )＝13x 3－mx 2＋(2m ＋3)x 在(－∞，＋∞)上是单调增函数．（1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，求实数m 的取值范围．17．（本题满分14分）如图，圆锥OO 1的体积为6π．设它的底面半径为x ，侧面积为S ．（1）试写出S 关于x 的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x 为多少时，圆锥的侧面积最小？18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过点A (1，3) ，B (4，2)，且圆心在 直线l ：x －y －1＝0上．（1）求圆C 的方程；（2）设P 是圆M ：x 2＋y 2＋8x －2y ＋16＝0上任意一点，过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，试求四边形PMCN 面积S 的最小值及对应的点P 坐标．19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条准线方程为x ＝433，离心率为32． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设A 为椭圆的上顶点，过点A 作两条直线AM ，AN ，分别与椭圆C 相交于M ，N 两点，且直线MN 垂直于x 轴．① 设直线AM ，AN 的斜率分别是k 1， k 2，求k 1k 2的值；② 过M 作直线l 1⊥AM ，过N 作直线l 2⊥AN ，l 1与l 2相交于点Q ．试问：点Q是否O 1（第17题图）在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝12ax 2－1－ln x ，其中a ∈R ．（1）若a ＝0，求过点(0，－1)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程； （2）①求证：当x ∈(0，＋∞)时，ln x ≤x －1恒成立；②若函数f (x )有两个零点x 1，x 2，求a 的取值范围．南京市2017－2018学年度第一学期期末检测卷 高二数学（文科）参考答案 2018．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．“若b ≠0，则ab ≠0” 2．223．(1，0) 4．充分不必要 5．7 6．(－∞，－1)或(－∞，－1] 7．4 5 8．3（第19题图）9．3 10．3 3 11．(0，3) 12．313．55 14．[－12e2，e] 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）解（1）z ＝2＋4m i 1－i ＝(2＋4m i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1－2m ＋(2m ＋1)i ． …………………… 3分 因为z 是纯虚数，所以1－2m ＝0且2m ＋1≠0，解得m ＝12． …………………… 6分（2）因为—z 是z 的共轭复数，所以—z ＝1－2m －(2m ＋1)i ． ……………………8分所以—z ＋2z ＝1－2m －(2m ＋1)i ＋2[1－2m ＋(2m ＋1)i]＝3－6m ＋(2m ＋1)i ． …………………… 10分因为复数—z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，所以⎩⎨⎧3－6m ＞0，2m ＋1＞0，…………………… 12分解得－12＜m ＜12，即实数m 的取值范围为(－12，12)． …………………… 14分16．（本题满分14分）解（1）由题意知，曲线C ：x 2＋(m 2－6m )y 2＝1是双曲线，所以 m 2－6m ＜0． …………………… 3分 解得0＜m ＜6，即m 的取值范围为(0，6)． …………………… 5分 （2）由函数f (x )＝13x 3－mx 2＋(2m ＋3)x 是单调增函数，可知f ′(x )＝x 2－2mx ＋m ＋3≥0恒成立．故△＝(－2m )2－4(2m ＋3)≤0，解得－1≤m ≤3． …………………… 8分 因为p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，所以p 真q 假或者p 假q 真． …………………… 11分因此 ⎩⎨⎧0＜m ＜6，m ＜－1或m ＞3；或者⎩⎨⎧m ≤0或m ≥6，－1≤m ≤3．故m 的取值范围是[－1，0]∪(3，6)． …………………… 14分17．（本题满分14分）解（1）设圆锥OO 1的高为h ，母线长为l ．因为圆锥的体积为6π，即 13πx 2h ＝6π，所以h ＝36x2．…………………… 2分因此 l ＝x 2＋h 2＝x 2＋(36x2)2，从而S ＝πxl ＝πxx 2＋(36x 2)2＝πx 4＋54x2，(x ＞0)． …………………… 6分（2）令f (x )＝x 4＋54x 2，则f ′(x )＝4x 3－108x3 ，(x ＞0)． …………………… 8分由f ′(x )＝0，解得x ＝3． …………………… 10分当0＜x ＜3时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(0，3)上单调递减；当x ＞3时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在区间(3，＋∞)上单调递增．…………………… 12分所以当x ＝3时，f (x )取得极小值也是最小值．答：当圆锥底面半径为3时，圆锥的侧面积最小． ……………………… 14分18．（本题满分16分）解（1）设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其圆心为(－D 2，－E2)．因为圆C 经过点A (1，3) ，B (4，2)，且圆心在直线l ：x －y －1＝0上， 所以 ⎩⎨⎧1＋9＋D ＋3E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，－D 2＋E2－1＝0，…………………… 4分解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝0．所求圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0． …………………… 7分 （2）由（1）知，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．依题意，S ＝2S △PMC ＝PM ×MC ＝ PC 2－5×5．所以当PC 最小时，S 最小． …………………… 10分 因为圆M ：x 2＋y 2＋8x －2y ＋16＝0，所以M (－4，1)，半径为1． 因为C (2，1)，所以两个圆的圆心距MC ＝6． 因为点P ∈M ，且圆M 的半径为1，所以PC min ＝6－1＝5．所以S min ＝52－5×5＝10． …………………… 14分此时直线MC ：y ＝1，从而P (－3，1)． …………………… 16分19．（本题满分16分）解（1）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的半焦距为c ．由题意，得⎩⎨⎧a 2c ＝433，c a ＝32， 解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，从而b ＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………… 4分（2）①根据椭圆的性质，M ，N 两点关于x 轴对称，故可设M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)( x 0≠0，y 0≠0)，从而 k 1k 2＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 02x 02． …………………… 7分因为点M 在椭圆C 上，所以x 024＋y 02＝1，所以1－y 02＝x 024，所以k 1k 2＝1－y 02x 02＝14． …………………… 10分②设Q (x 1，y 1)，依题意A (0，1)． 因为l 1⊥AM ，所以y 0－1x 0·y 1－y 0x 1－x 0＝－1，即(y 0－1)(y 1－y 0)＝－x 0 (x 1－x 0)； 因为l 2⊥AN ，所以－y 0－1x 0·y 1＋y 0x 1－x 0＝－1，即(－y 0－1)(y 1＋y 0)＝－x 0 (x 1－x 0)，故 (y 0－1)(y 1－y 0)－(－y 0－1)(y 1＋y 0)＝0，化得(y 1＋1) y 0＝0． …………………… 14分 从而必有y 1＋1＝0，即y 1＝－1．即点Q 在一条定直线y ＝－1上． …………………… 16分20．（本题满分16分）解（1）当a ＝0时，f (x )＝－1－ln x ，f ′(x )＝－1x．设切点为T (x 0，－1－ln x 0)，则切线方程为：y ＋1＋ln x 0＝－1x 0( x －x 0)． …………………… 3分因为切线过点(0，－1)，所以 －1＋1＋ln x 0＝－1x 0(0－x 0)，解得x 0＝e ．所以所求切线方程为y ＝－1e x －1． …………………… 5分（2）①考察函数g (x )＝x －1－ln x ．g′(x )＝1－1x ＝x －1x．当x ∈(0，1)时，g′(x )＜0，函数g (x )在(0，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g′(x )＞0，函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，即当x ∈(0，＋∞)时，ln x ≤x －1恒成立．……………… 8分 ② f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x，x ＞0．(i) 若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，从而函数f (x )在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意． …………………… 10分 (ii)若a ＞0，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a． 当0＜x ＜1a 时， f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞1a时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (1a )＝12－ln 1a －1＝－12－ln 1a．要使函数f (x )有两个零点，首先 －12－ln 1a ＜0，解得0＜a ＜e ． …………… 12分当0＜a ＜e 时，1a ＞1e ＞1e． 因为f (1e )＝a 2e 2＞0，故f (1e )·f (1a )＜0．又函数f (x )在(0，1a )上单调递减，且其图像在(0，1a)上不间断， 所以函数f (x )在区间(0，1a)内恰有1个零点． …………………… 14分 因为ln x ≤x －1，故f (2a )＝2a －1－ln 2a≥0．因为2a －1a ＝2－a a ＞0，故2a ＞1a ．因为f (1a )·f (2a )≤0，且f (x )在(1a ，＋∞)上单调递增，其图像在(1a，＋∞)上不间断，所以函数f (x )在区间(1a ，2a ] 上恰有1个零点，即在(1a，＋∞)上恰有1个零点． 综上所述，a 的取值范围是(0，e)． …………………… 16分。
【配套K12】江苏省南京市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
江苏省南京市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1. 命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.2. 已知复数z满足z(1＋i)＝i，其中i是虚数单位，则 |z| 为______．【答案】【解析】复数z满足z(1＋i)＝i，所以.所以.故答案为：.3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是______．【答案】(1，0)【解析】抛物线y2＝4x，满足y2＝2p x，其中p=2.所以抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0).故答案为：(1，0).4. “x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的______条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．【答案】充分不必要【解析】由x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，因为1＜x＜2是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件，所以“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知实数x，y满足条件则z＝3x＋y 的最大值是______．【答案】7【解析】作出不等式的可行域如图所示：作直线经过点A(2,1)时，z取最大值7.故答案为：7.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 函数f(x)＝x e x 的单调减区间是______．【答案】(－∞，－1)或(－∞，－1]【解析】函数f(x)＝x e x，求导得：.令，解得.所以函数f(x)＝x e x 的单调减区间是(－∞，－1)（ (－∞，－1]也可以).故答案为: (－∞，－1)或(－∞，－1].7. 如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线y＝f(x) 相切于点(a，3)．若f ′(a)＝，则实数a的值是______．【解析】由导数的几何意义知f ′(a)＝，即为切线斜率为.所以，解得.故答案为：3.8. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则实数a的值为______．【答案】3【解析】圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则圆心距等于半径之和，即，解得.故答案为：3.点睛：这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况。
南京市数学高二上学期理数期末考试试卷A卷
南京市数学高二上学期理数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合,, 则A∩B=（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·榆林期末) 曲线在处的切线的倾斜角是（）A . -135°B . -45°C . 45°D . 135°3. （2分）已知双曲线C： =1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A . y=± xB . y=± xC . y=± xD . y=±x4. （2分）向量（b.c）a-(a.c)b与向量c （）A . 一定平行但不相等B . 一定垂直C . 一定平行且相等D . 无法判定5. （2分） (2019高二上·郑州期中) 的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（）A .B . 3C .D .6. （2分） (2016高二上·长沙开学考) 设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（）A . 若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B . 若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C . 若0＜a1＜a2 ，则a2D . 若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞07. （2分）以下四个命题中，其中正确的个数为（）①命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若，则x2-3x+2=0”；②“”是“”的充分不必要条件；③若命题，则；④若为假，为真，则p,q有且仅有一个是真命题．A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2019高二上·兴宁期中) 如图，正方体中，两条异面直线与所成的角是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·双鸭山月考) 点为圆上的一个动点，点为线段的中点，则点的轨迹方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·湖南月考) 由不等式组确定的平面区域为，由不等式组确定的平面区域为，在内随机的取一点，则点落在区域内的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一下·景德镇期末) 已知F1 ， F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，椭圆的离心率为e1 ，双曲线的离心率为e2 ，若|PF2|=|F1F2|，则 + 的最小值为（）A . 6+2B . 8C . 6+2D . 612. （2分）对于函数f（x）=x3﹣3x2 ，给出命题：①f（x）是增函数，无极值；②f（x）是减函数，无极值；③f（x）的递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），递减区间为（0，2）；④f（0）=0是极大值，f（2）=﹣4是极小值．其中正确的命题有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知a，b∈R，则“a＞1，b＞1”是“a+b＞2”的________条件．14. （1分）(2018·成都模拟) 已知数列，若，则数列的前项和为________.15. （1分） (2019高二上·温州期中) 已知，记函数在的最大值为3，则实数的取值范围是________．16. （1分） (2016高二上·宝应期中) 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1 ， F2 ，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2015高三上·房山期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，．（1）求B的大小；（2）若a=2，，求c的值．18. （10分） (2018高二上·宁阳期中) 已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式和前项和．19. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC 的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．（1）求证：A′D⊥EF；（2）求二面角A′﹣EF﹣D的余弦值．20. （15分） (2015高二下·三门峡期中) 某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3 700x+45x2﹣10x3（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）．（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值﹣成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？21. （10分） (2017高二上·如东月考) 已知椭圆：的左焦点为，离心率 .（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点.（i）若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足， .求证：为定值；（ii）若（为原点），求面积的取值范围.22. （5分）(2017·林芝模拟) 设函数f（x）=lnx+m（x2﹣x），m∈R．（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）的最值；（Ⅱ）若函数f（x）有极值点，求m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南京市2017－2018学年度第一学期期末调研测试卷高二数学（理科） 2018.01注意事项：1．本试卷共3页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：圆锥的体积公式：V ＝13πr 2h ，侧面积公式：S ＝πrl ，其中r ，h 和l 分别为圆锥的底面半径，高和母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是 ▲ ．2．已知复数z 满足 z (1＋i)＝i ，其中i 是虚数单位，则 |z | 为 ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是 ▲ ．4．“x 2－3x ＋2＜0”是“－1＜x ＜2”成立的 ▲ 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．已知实数x ，y 满足条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥1，2x ＋y －5≤0，则z ＝3x ＋y 的最大值是 ▲ ．6．函数 f (x )＝x e x的单调减区间是 ▲ ． 7．如图，直线l 经过点(0，1)，且与曲线y ＝f (x ) 相切 于点(a ，3)．若f ′(a )＝23，则实数a 的值是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若圆 (x －a )2＋(y －a )2＝2 与圆 x 2＋(y －6)2＝8相外切，则实数a 的值为 ▲ ．9．如图，在三棱锥P —ABC 中， M 是侧棱PC 的中点，且BM →＝x AB →＋y AC →＋z AP →，则x ＋y ＋z 的值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 23－y 2＝1的渐近线与 抛物线x 2＝43y 的准线相交于A ，B 两点，则三角形OAB的面积为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2，到直线3x ＋y －2＝0的距离为1，则满足条件的点A 的个数为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 3－3x 2＋mx 在区间 (0，3) 内有极值，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ． 若AF 2→＝2F 2C →，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝x |x 2－3|．若存在实数m ，m ∈(0，5]，使得当x ∈[0，m ] 时，f (x )的取值范围是[0，am ]，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知复数z ＝2＋4m i1－i ，（m ∈R ，i 是虚数单位）．（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）设—z 是z 的共轭复数，复数—z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，求m 的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是棱BC ，A 1B 1，B 1C 1的中点． （1）求异面直线EF 与DG 所成角的余弦值； （2）设二面角A —BD —G 的大小为θ，B 1D CA 1C 1D 1FG求 |cos θ| 的值．17．（本题满分14分）如图，圆锥OO 1的体积为6π．设它的底面半径为x ，侧面积为S ． （1）试写出S 关于x 的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x 为多少时，圆锥的侧面积最小？18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过点A (1，3) ，B (4，2)，且圆心在 直线l ：x －y －1＝0上．（1）求圆C 的方程；（2）设P 是圆D ：x 2＋y 2＋8x －2y ＋16＝0上任意一点，过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，试求四边形PMCN 面积S 的最小值及对应的点P 坐标．19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条准线方程为x ＝433，离心率为32．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设A 为椭圆的上顶点，过点A 作两条直线AM ，AN ，分别与椭圆C 相交于M ，N 两点，且直线MN 垂直于x 轴．① 设直线AM ，AN 的斜率分别是k 1， k 2，求k 1k 2的值；O 1（第17题图）② 过M 作直线l 1⊥AM ，过N 作直线l 2⊥AN ，l 1与l 2相交于点Q ．试问：点Q 是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝12ax 2－1－ln x ，其中a ∈R ．（1）若a ＝0，求过点(0，－1)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程； （2）若函数f (x )有两个零点x 1，x 2， ① 求a 的取值范围；② 求证：f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0．南京市2017－2018学年度第一学期期末检测卷 高二数学（理科）参考答案 2018．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）（第19题图）1．“若b ≠0，则ab ≠0” 2．223．(1，0) 4．充分不必要 5．7 6．(－∞，－1)或(－∞，－1] 7．3 8．3 9．0 10．3 3 11．3 12．(－9，3) 13．5514．[1，3) 二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（本题满分14分）解（1）z ＝2＋4m i 1－i ＝(2＋4m i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1－2m ＋(2m ＋1)i ． …………………… 3分 因为z 是纯虚数，所以1－2m ＝0且2m ＋1≠0，解得m ＝12． …………………… 6分（2）因为—z 是z 的共轭复数，所以—z ＝1－2m －(2m ＋1)i ． ……………………8分所以—z ＋2z ＝1－2m －(2m ＋1)i ＋2[1－2m ＋(2m ＋1)i]＝3－6m ＋(2m ＋1)i ． …………………… 10分因为复数—z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，所以⎩⎨⎧3－6m ＞0，2m ＋1＞0，…………………… 12分解得－12＜m ＜12，即实数m 的取值范围为(－12，12)． …………………… 14分16．（本题满分14分）解 如图，以{DA →，DC →，DD 1→}为正交基底建立坐标系D —xyz ．设正方体的边长为2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)， B (2，2，0)，E (1，2，0)，F (2，1，2)，G (1，2，2)（1）因为EF →＝(2，1，2)－(1，2，0)＝(1，－1，2)， DG →＝ (1，2，2)， …………………… 2分 所以EF →·DG →＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3，|EF →|＝1＋(－1)2＋22＝6，|DG →|＝3．…………………… 4分（第16题图）从而cos ＜EF →，DG →＞＝EF →·DG →|EF →||DG →|＝36×3＝66，即向量EF →与DG →的夹角的余弦为66，从而异面直线EF 与DG 所成角的余弦值为66． …………………… 7分 （2）DB →＝(2，2，0)，DG →＝ (1，2，2)．设平面DBG 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧DB →·n 1＝2x ＋2y ＝0，DG →·n 1＝x ＋2y ＋2z ＝0，取x ＝2，可得y ＝－2，z ＝1．所以n 1＝(2，－2，1)． …………………… 11分 又平面ABD 的一个法向量n 2＝DD 1→＝(0，0，2)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝23×2＝13．因此 |cos θ|＝13． …………………… 14分17．（本题满分14分）解（1）设圆锥OO 1的高为h ，母线长为l ．因为圆锥的体积为6π，即 13πx 2h ＝6π，所以h ＝36x2．…………………… 2分因此 l ＝x 2＋h 2＝x 2＋(36x2)2，从而S ＝πxl ＝πxx 2＋(36x2)2＝πx 4＋54x2，(x ＞0)． …………………… 6分（2）令f (x )＝x 4＋54x 2，则f ′(x )＝4x 3－108x3 ，(x ＞0)． …………………… 8分由f ′(x )＝0，解得x ＝3． …………………… 10分当0＜x ＜3时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(0，3)上单调递减；当x ＞3时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在区间(3，＋∞)上单调递增．…………………… 12分所以当x ＝3时，f (x )取得极小值也是最小值．答：当圆锥底面半径为3时，圆锥的侧面积最小． ……………………… 14分18．（本题满分16分）解（1）设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其圆心为(－D 2，－E 2)．因为圆C 经过点A (1，3) ，B (4，2)，且圆心在直线l ：x －y －1＝0上，所以 ⎩⎨⎧1＋9＋D ＋3E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，－D 2＋E2－1＝0，…………………… 4分解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝0．所求圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0． …………………… 7分 （2）由（1）知，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．依题意，S ＝2S △PMC ＝PM ×MC ＝ PC 2－5×5．所以当PC 最小时，S 最小． …………………… 10分 因为圆M ：x 2＋y 2＋8x －2y ＋16＝0，所以M (－4，1)，半径为1． 因为C (2，1)，所以两个圆的圆心距MC ＝6． 因为点P ∈M ，且圆M 的半径为1， 所以PC min ＝6－1＝5．所以S min ＝52－5×5＝10． …………………… 14分此时直线MC ：y ＝1，从而P (－3，1)． …………………… 16分19．（本题满分16分）解（1）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的半焦距为c ．由题意，得⎩⎨⎧a 2c ＝433，c a ＝32， 解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，从而b ＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………… 4分（2）①根据椭圆的性质，M ，N 两点关于x 轴对称，故可设M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)( x 0≠0，y 0≠0)，从而 k 1k 2＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 02x 02． …………………… 7分因为点M 在椭圆C 上，所以x 024＋y 02＝1，所以1－y 02＝x 024，所以k 1k 2＝1－y 02x 02＝14． …………………… 10分②设Q (x 1，y 1)，依题意A (0，1)． 因为l 1⊥AM ，所以y 0－1x 0·y 1－y 0x 1－x 0＝－1，即(y 0－1)(y 1－y 0)＝－x 0 (x 1－x 0)； 因为l 2⊥AN ，所以－y 0－1x 0·y 1＋y 0x 1－x 0＝－1，即(－y 0－1)(y 1＋y 0)＝－x 0 (x 1－x 0)，故 (y 0－1)(y 1－y 0)－(－y 0－1)(y 1＋y 0)＝0，化得(y 1＋1) y 0＝0． …………………… 14分 从而必有y 1＋1＝0，即y 1＝－1．即点Q 在一条定直线y ＝－1上． …………………… 16分20．（本题满分16分）解（1）当a ＝0时，f (x )＝－1－ln x ，f ′(x )＝－1x．设切点为T (x 0，－1－ln x 0)，则切线方程为：y ＋1＋ln x 0＝－1x 0( x －x 0)． …………………… 2分因为切线过点(0，－1)，所以 －1＋1＋ln x 0＝－1x 0(0－x 0)，解得x 0＝e ．所以所求切线方程为y ＝－1ex －1． …………………… 4分（2）① f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x，x ＞0．(i) 若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，从而函数f (x )在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意． …………………… 5分 (ii)若a ＞0，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a． 当0＜x ＜1a 时， f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞1a时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (1a )＝12－ln 1a －1＝－12－ln 1a．要使函数f (x )有两个零点，首先 －12－ln 1a＜0，解得0＜a ＜e ． …………… 7分当0＜a ＜e 时，1a ＞1e ＞1e． 因为f (1e )＝a 2e 2＞0，故f (1e )·f (1a )＜0．又函数f (x )在(0，1a )上单调递减，且其图像在(0，1a)上不间断， 所以函数f (x )在区间(0，1a)内恰有1个零点． …………………… 9分 考察函数g (x )＝x －1－ln x ，则g′(x )＝1－1x ＝x －1x ．当x ∈(0，1)时，g′(x )＜0，函数g (x )在(0，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g′(x )＞0，函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以g (x )≥g (1)＝0，故f (2a )＝2a －1－ln 2a≥0．因为2a －1a ＝2－a a ＞0，故2a ＞1a ．因为f (1a )·f (2a )≤0，且f (x )在(1a ，＋∞)上单调递增，其图像在(1a，＋∞)上不间断，所以函数f (x )在区间(1a ，2a ] 上恰有1个零点，即在(1a，＋∞)上恰有1个零点． 综上所述，a 的取值范围是(0，e)． …………………… 11分②由x 1，x 2是函数f (x )的两个零点(不妨设x 1＜x 2)，得 ⎩⎨⎧12ax 12－1－ln x 1＝0，12ax 22－1－ln x 2＝0， 两式相减，得 12a (x 12－x 22)－ln x 1x 2＝0，即12a (x 1＋x 2) (x 1－x 2)－ln x 1x 2＝0，所以a (x 1＋x 2)＝2ln x 1x 2x 1－x 2． …………………… 13分f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0等价于ax 1－1x 1＋ax 2－1x 2＜0，即a (x 1＋x 2)－1x 1－1x 2＜0，即2ln x 1x 2 x 1－x 2－1x 1－1x 2＜0，即2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2＞0．设h (x )＝2ln x ＋1x －x ，x ∈(0，1)．则h′(x )＝2x －1x 2－1＝2x －1－x 2x 2＝－(x －1)2x 2＜0，所以函数h (x )在(0，1)单调递减，所以h (x )＞h (1)＝0． 因为x 1x 2∈(0，1)，所以2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2＞0，即f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0成立． …………………… 16分。