2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第14讲导数与函数的单调性精选教案理

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高考数学一轮专项复习讲义-导数与函数的单调性(北师大版)

§3.2导数与函数的单调性课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上单调递增f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上单调递减f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f (x )的定义域；第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．(√)(2)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内单调递减．(√)(3)若函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则f (x )在定义域上一定单调递增．(×)(4)函数f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数．(√)2.(多选)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是()A ．在区间(－2,1)上f (x )单调递增B ．在区间(2,3)上f (x )单调递减C ．在区间(4,5)上f (x )单调递增D ．在区间(3,5)上f (x )单调递减答案BC解析在区间(－2,1)上，当x ∈－2，－32f ′(x )<0，当x ∈－32，1f ′(x )>0，故f (x )在区间－2，－32在区间－32，1A 错误；在区间(3,5)上，当x ∈(3,4)时，f ′(x )<0，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(3,4)上单调递减，在区间(4,5)上单调递增，C 正确，D 错误；在区间(2,3)上，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减，B 正确．3．已知f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为________．答案(－∞，－1)，13，＋∞解析令f ′(x )＝3x 2＋2x －1>0，解得x >13或x <－1，所以f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为(－∞，－1)13，＋∞4．已知f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，5]解析f ′(x )＝4x －a ＋1x ＝4x 2－ax ＋1x，x ∈(1，＋∞)，故只需4x 2－ax ＋1≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，则a ≤4x ＋1x 在x ∈(1，＋∞)上恒成立，令y ＝4x ＋1x，因为y ′＝4－1x 2＝4x 2－1x 2>0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，所以y ＝4x ＋1x 在(1，＋∞)上单调递增，故4x ＋1x>5，所以a ≤5.题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝x ln x－3x＋2的单调递减区间为________．答案(0，e2)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．(2)若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递增区间为________．答案(0,1)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为()A.0，π2 B.π2，3π2C．(π，2π) D.3π2，2π答案B解析由题意f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f ′(x )＝x cos x ，当x f ′(x )>0，当x f ′(x )<0，故f (x )题型二含参数的函数的单调性例2已知函数g (x )＝(x －a －1)e x －(x －a )2，讨论函数g (x )的单调性．解g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝(x －a )e x －2(x －a )＝(x －a )(e x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝ln 2，①若a >ln 2，则当x ∈(－∞，ln 2)∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，a )时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；②若a ＝ln 2，则g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在R 上单调递增；③若a <ln 2，则当x ∈(－∞，a )∪(ln 2，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(a ，ln 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．综上，当a >ln 2时，g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；当a ＝ln 2时，g (x )在R 上单调递增；当a <ln 2时，g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝2x －a(x ＋1)2.(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．解(1)当a ＝0时，f (x )＝2x(x ＋1)2(x ≠－1)，则f (0)＝0，因为f ′(x )＝－2x ＋2(x ＋1)3，所以f ′(0)＝2.所以曲线y ＝f (x )在(0,0)处的切线方程为y ＝2x .(2)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．f ′(x )＝(－2x ＋2a ＋2)(x ＋1)(x ＋1)4＝－2(x －a －1)(x ＋1)3，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ＋1.①当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，f ′(x )＝－2x －2(x ＋1)3＝－2(x ＋1)(x ＋1)3＝－2(x ＋1)2<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；②当a ＋1<－1，即a <－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，a ＋1)∪(－1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(a ＋1，－1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；③当a ＋1>－1，即a >－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，－1)∪(a ＋1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(－1，a ＋1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．综上所述，当a ＝－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；当a >－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)(2024·深圳模拟)若0<x 1<x 2<1，则()A ．21e e xx－>ln x 2＋1x 1＋1B ．21e e xx－<ln x 2＋1x 1＋1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <答案AC解析令f (x )＝e x －ln(x ＋1)且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x －1x ＋1>0，故f (x )在区间(0,1)上单调递增，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)<f (x 2)，即1e x－ln(x 1＋1)<2e x－ln(x 2＋1)，故21e e x x －>lnx 2＋1x 1＋1，所以A 正确，B 错误；令f (x )＝e xx 且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x (x －1)x 2<0，故f (x )在区间(0,1)上单调递减，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)>f (x 2)，即1212e e >x x x x ，故1221e e x x x x >，所以C 正确，D错误．常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．典例(多选)如果函数f (x )对定义域内的任意两实数x 1，x 2(x 1≠x 2)都有x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1－x 2>0，则称函数y ＝f (x )为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是()A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x答案ACD解析依题意，函数g (x )＝xf (x )为定义域上的增函数．对于A ，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，－1)上单调递减，故A 中函数不是“F 函数”；对于B ，g (x )＝x 3在R 上为增函数，故B 中函数为“F 函数”；对于C ，g (x )＝x ln x ，g ′(x )＝1＋ln x ，x >0，当x g ′(x )<0，∴g (x )故C 中函数不是“F 函数”；对于D ，g (x )＝x sin x ，g ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x －π2，g ′(x )<0，∴g (x )－π2，故D 中函数不是“F 函数”．(2)(2023·成都模拟)已知函数f (x )＝e x －e －x－2x ＋1，则不等式f (2x －3)＋f (x )>2的解集为________．答案(1，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x ，定义域为R ，且g (－x )＝e －x －e x ＋2x ＝－g (x )，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 为奇函数，f (2x －3)＋f (x )>2变形为f (2x －3)－1>1－f (x )，即g (2x －3)>－g (x )＝g (－x )，g ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时，等号成立，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 在R 上单调递增，所以2x －3>－x ，解得x >1，所以所求不等式的解集为(1，＋∞)．命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)．(1)若f (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解(1)因为f (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x 恒成立．设G (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1,4]，所以a ≥G (x )max ，而G (x )－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是－716，(0，＋∞)．(2)因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则f ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x 有解，又当x ∈[1,4]＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)(2024·郑州模拟)函数f (x )的图象如图所示，设f (x )的导函数为f ′(x )，则f (x )·f ′(x )>0的解集为()A ．(1,6)B ．(1,4)C ．(－∞，1)∪(6，＋∞)D ．(1,4)∪(6，＋∞)答案D解析由图象可得，当x <4时，f ′(x )>0，当x >4时，f ′(x )<0.结合图象可得，当1<x <4时，f ′(x )>0，f (x )>0，即f (x )·f ′(x )>0；当x >6时，f ′(x )<0，f (x )<0，即f (x )·f ′(x )>0，所以f (x )·f ′(x )>0的解集为(1,4)∪(6，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝(1－x )ln x ＋ax 在(1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案A解析依题意f ′(x )＝－ln x ＋1x＋a －1，故f ′(x )在(1，＋∞)上有零点，令g (x )＝－ln x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝0，得a ＝ln x －1x ＋1，令z (x )＝ln x －1x ＋1，则z ′(x )＝1x ＋1x2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )在(1，＋∞)上单调递增，又由z(1)＝0，得z(x)>0，故a＝z(x)>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．课时精练一、单项选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递减区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案A解析由已知得，f′(x)＝e x＋(x－3)e x＝(x－2)e x，当x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间是(2，＋∞)．2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析根据导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当0<x<2时，f′(x)>0，f(x)在(0,2)上单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以只有D选项符合．3．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝13ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由题意知，f′(x)＝ax2＋2x＋1，若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，>0，＝4－4a≤0，解得a≥1，故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件．4．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝a e x－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()A．e2B．e C．e－1D．e－2答案C解析依题可知，f′(x)＝a e x－1x≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以x e x≥1a在(1,2)上恒成立，设g(x)＝x e x，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)e x>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥1a，即a≥1e＝e－1，即a的最小值为e－1.5．(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝e x＋sin x，则不等式f(2x－1)<eπ的解集是()答案D解析当x≥0时，f′(x)＝e x＋cos x，因为e x≥1，cos x∈[－1,1]，所以f′(x)＝e x＋cos x≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(－π)＝f(π)＝eπ，所以由f(2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π，解得x6．(2023·信阳模拟)已知a＝1100，b＝99100e-，c＝ln101100，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案B解析设函数f(x)＝e x－x－1，x∈R，则f′(x)＝e x－1，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，即e x≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，∵e x≥1＋x，∴99100e->1－99100＝1100，∴b>a，由以上分析可知当x>0时，有e x－1≥x成立，当x＝1时取等号，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，∴ln 101100<101100－1＝1100，∴a>c，故b>a>c.二、多项选择题7．(2023·临汾模拟)若函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[m －1，m ＋1]上单调，则实数m 的值可以是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案BD解析f ′(x )＝x －9x ＝x 2－9x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >3，令f ′(x )<0，得0<x <3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0,3)，因为函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调，－1>0，＋1≤3或m －1≥3，解得1<m ≤2或m ≥4.8．(2024·邯郸模拟)已知函数f (x )x ，且a ＝f b ＝f c ＝12(e )f ，则()A ．a >bB ．b >aC ．c >bD ．c >a答案ACD解析由f (x )x ，得f ′(x )x 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因为c ＝f 0<1e <23<45<1，所以f f f c >a >b .三、填空题9．函数f (x )＝e －x cos x (x ∈(0，π))的单调递增区间为________．答案解析f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x当x e －x >0，，则f ′(x )<0；当x e －x >0，，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，π)10．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为________．答案(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1，函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 有两个极值点，即f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1的图象与x 轴有两个交点，则判别式Δ＝4b 2－12>0，解得b >3或b <－ 3.所以实数b 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．11．(2024·上海模拟)已知定义在(－3,3)上的奇函数y ＝f (x )的导函数是f ′(x )，当x ≥0时，y ＝f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式f ′(x )x>0的解集为________．答案(－3，－1)∪(0,1)解析依题意f (x )是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f (x )在区间(－3，－1)，(1,3)上单调递减，f ′(x )<0；f (x )在区间(－1,1)上单调递增，f ′(x )>0.所以f ′(x )x>0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．12．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是________．答案解析f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在[1,2]上单调，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.因为f (x )在[1,2]上不单调，所以25<a <1.四、解答题13．(2024·毕节模拟)已知函数f (x )＝(a －x )ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (1)＝0，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x，∴f ′(1)＝a －1，∴曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝(a －1)(x －1)．(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x ＝－x ln x －x ＋a x，令g (x )＝－x ln x －x ＋a ，则g ′(x )＝－ln x －2，令g ′(x )＝0，则x ＝1e2，令g ′(x )>0，则0<x <1e2，令g ′(x )<0，则x >1e2，∴g (x )g (x )max ＝＝1e 2＋a ，∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即1e2＋a ≤0，∴a ≤－1e2.14．(2023·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1.(1)若f (x )≤x ＋c ，求c 的取值范围；(2)设a >0，讨论函数g (x )＝f (x )－f (a )x －a的单调性．解(1)f (x )≤x ＋c 等价于ln x －x ≤c －1.令h (x )＝ln x －x ，x >0，则h ′(x )＝1x －1＝1－x x.当0<x <1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减．故h (x )max ＝h (1)＝－1，所以c －1≥－1，即c ≥0，所以c 的取值范围是[0，＋∞)．(2)g (x )＝ln x ＋1－(ln a ＋1)x －a ＝ln x －ln a x －a(x >0且x ≠a )，因此g ′(x )＝x －a －x ln x ＋x ln a x (x －a )2，令m (x )＝x －a －x ln x ＋x ln a ，则m ′(x )＝ln a －ln x ，当x >a 时，ln x >ln a ，所以m ′(x )<0，m (x )在(a ，＋∞)上单调递减，当0<x <a 时，ln x <ln a ，所以m ′(x )>0，m (x )在(0，a )上单调递增，因此有m (x )<m (a )＝0，即g ′(x )<0在x >0且x ≠a 上恒成立，所以函数g (x )在区间(0，a )和(a ，＋∞)上单调递减．15．已知函数f (x )＝e x x －ax ，当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，e)B ．(－∞，e]－∞，e 2答案D解析因为当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，所以f (x 1)x 2<f (x 2)x 1，即x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，令g (x )＝xf (x )＝e x －ax 2，则g (x 1)<g (x 2)，又因为0<x 1<x 2，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )＝e x －2ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，分离参数得2a ≤e x x恒成立，令h (x )＝e x x(x >0)，则只需2a ≤h (x )min ，而h ′(x )＝e x ·x －1x2，令h ′(x )>0，得x >1，令h ′(x )<0，得0<x <1，所以h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )≥h (1)＝e ，故2a ≤e ，即a ≤e 2.16．已知偶函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，当x ＞0时，f (x )x＞－f ′(x )，且f (2)＝1，则不等式(x 2－x )f (x 2－x )＞2的解集为()A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)答案C 解析令g (x )＝xf (x )，由于f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )．因为当x ＞0时，f (x )x ＞－f ′(x )，即f (x )＋xf ′(x )x＞0，所以f(x)＋xf′(x)＞0，即g′(x)＞0.所以当x＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为g(x)在R上为奇函数且在R上存在导函数，所以g(x)在R上为增函数．因为f(2)＝1，所以g(2)＝2f(2)＝2，又(x2－x)f(x2－x)＞2等价于g(x2－x)＞g(2)，所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

全国通用版2019版高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第14讲导数与函数的单调性优盐

3 x a 【例 2】已知函数 f(x)＝4＋x－ln x－2，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 1 处的切线垂直于直线 y＝2x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间．
解析
1 a 1 3 (1)f′(x)＝4－x2－x ，f′(1)＝－4－a.
3 5 由题意，得－4－a＝－2，解得 a＝4.
1 (1,2)上单调递减，所以排除 A， B 项；又 f2＝ln 1 3 1 3 3 3 2－＝ln ，＝ln ＋ln2－＋ ln f 2 2 2 4 2 2
1 3 3 3 ＝ln 4，所以 f 2 ＝f 2 ＝ln 4，所以排除 D 项．故选 C．
解析
(1) 错误．可导函数 f(x)在区间(a， b) 上单调递增，则f′(x)≥0，故f′(x)>0是
f(x)在区间(a，b)上单调递增的充分不必要条件． (2)正确．如果函数在某个区间内恒有 f′(x)＝0 ，则f(x)为常数函数．如f(x)＝ 3 ，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在单调性．
单调递减 (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内___________.
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1) 若可导函数 f(x) 在区间 (a ， b) 上单调递增，那么在区间 (a ， b) 上一定有 f′(x)>0.( ×) (2) 如果函数在某个区间内恒有 f′(x) ＝ 0 ，则函数 f(x) 在此区间内没有单调性．( √ )
解析
∵f′(x)＝3mx2＋6(m－1)x，f(x)的递减区间为(0,4)，则由 f′(x)＝3mx2＋ 1 得 m＝3.

2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.1函数及其表示课件理

经典题型冲关
题型 1 函数的概念典例1 集合 A＝{x|0≤x≤4}， B＝{y|0≤y≤2}，下列 ) 1 B．f：x→y＝3x D．f：x→y＝ x
不表示从 A 到 B 的函数的是( 1 A．f：x→y＝2x 2 C．f：x→y＝3x
用定义法．
解析依据函数概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项 C 不符合．故选 C.
4．必记结论函数与映射的相关结论 (1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． (2)映射的个数若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从集合 A 到集合 B 的映射共有 nm 个． (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点．
值域．
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
解析 ①y＝x 与 y＝alogax 定义域不同； ②y＝2x＋1－2x＝2x(2－1)＝2x 相同； ③f(u)与 f(v)的定义域及对应法则均相同； ④对应法则不相同.
x＋1≥0，等函数；D 项，由解得 x≥1，即函数 f(x)的定 x－1≥0，
义域为{x|x≥1}．由 x2－1≥0，解得 x≥1 或 x≤－1，即 g(x) 的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选 A.
3．小题热身－x2－x＋2 (1)(2018· 广东深圳模拟)函数 y＝的定义域 ln x 为( ) A．(－2,1) B．[－2,1] C．(0,1) D．(0,1]

2019届高考数学一轮复习第2单元函数导数及其应用第14讲导数的应用课件理

教学参考
6.[2013·全国卷Ⅰ] 若函数
f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线
x=-2 对称,则 f(x)的最大值
为
.
[答案] 16 [解析] 方法一:因为 f'(x)=-4x3-3ax2+2(1-b)x+a,函数
f(x)是连续可导函数,且关于直线 x=-2 对称,所以
f'(-2)=0,即 f'(-2)=32-12a-4(1-b)+a=0,可得 11a-4b=28.① 又因为 f(0)=f(-4),所以 15a-4b=60.② ①②联立方程组可得 a=8,b=15,f(x)=(1-x2)(x2+8x+15),f'(x)=-4(x3+6x2+7x2),
��
单调递减;当 x>1 时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以 x=1
是 g(x)的极小值点,故 g(x)≥g(1)=0.
综上,a=1.
教学参考
(2)证明:由(1)知 f(x)=x2-x-xln x,f'(x)=2x-2-ln x. 设 h(x)=2x-2-ln x,则 h'(x)=2-1��.
[答案] C [解析] x→-∞ 时,f(x)<0,x→+∞ 时,f(x)>0,f(x) 连续,∃x0∈R,f(x0)=0,A 正确;通过平移变换,函数可以化为 f(x)=x3+c,从而函数 y=f(x)的图像是中心对称图形,B 正确; 若 x0 是 f(x)的极小值点,可能还有极大值点 x1,则 f(x)在区间(x1,x0)上单调递减.C 错误.D 正确.故答案为 C.

19版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.6对数与对数函数课件理

解析由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}， ∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.故选B.
2．(2017· 青岛统考)已知函数 g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有
方法技巧利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．见典例．
冲关针对训练 1．(2017· 郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为 {y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
角度2 解对数不等式典例 log
2 1 2
(2017· 江西名校联考)设函数f(x)＝ 8 (x ＋1)＋ 2 ，则不等式f(log2x)＋ 3x ＋1
2
f(log1 x)≥2的解集为( A．(0,2] C．[2，＋∞)
)
1 ， 2 B. 2 1 D.0，2 ∪[2，＋∞)
2 2 B. C．(1， 2) D．( 2，2) ， 1 2 2
a的取值范围是(
A. 0 ，
用数形结合法，排除法．
解析解法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞ 1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在
1 1 1 的图象，可知f 2 ＜g 2 ，即2＜loga 2 ，a＞范围为 2 ， 1 .故选B. 2 1 0 ， 2

近年届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课堂达标14导数与函数的单调性文新人教版(2021年

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课堂达标（十四）导数与函数的单调性[A基础巩固练]1．（2018·九江模拟）函数f(x）＝（x－3)e x的单调递增区间是( ）A．（－∞，2）B．(0，3）C．（1,4）D．（2，＋∞）［解析]函数f（x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[（x－3)e x］′＝e x ＋（x－3)e x＝（x－2）·e x。

由函数导数与函数单调性的关系，得当f′（x)＞0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′（x)＝（x－2)e x＞0，解得x＞2。

[答案]D2．（高考课标全国卷Ⅱ)若函数f(x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是（)A．（－∞,－2］B．(－∞,－1]C．[2，＋∞) D．［1，＋∞）[解析］由于f′（x)＝k－错误!，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞）单调递增⇔f′(x)＝k－错误!≥0在（1,＋∞)上恒成立．由于k≥错误!，而0＜错误!＜1，所以k≥1.即k的取值范围为［1，＋∞）．［答案]D3．(2017·浙江)函数y＝f(x）的导函数y＝f′（x)的图象如图所示，则函数y＝f(x）的图象可能是（）[解析］原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D.［答案］D4．(2018·湖南省永州市三模)已知函数f(x）＝x3＋ax2＋bx－1在区间[0，1]上单调递减，m＝a＋b，则m的取值范围是（ )A。

高考数学复习练习题导数与函数的单调性理

课时作业(十四)第14讲导数与函数的单调性时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.函数f(x)=x2-sin x,x∈(0,π2)的单调递减区间是()A.(0,π6)B.(0,π3)C.(π6,π2)D.(π3,π2)2.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是()A.f(x)=sin 2xB.g(x)=x3-xC.h(x)=x e xD.m(x)=-x+ln x图K14-13.已知函数y=-xf'(x)的图像如图K14-1所示,其中f'(x)是函数f(x)的导函数,则函数y=f(x)的大致图像可以是()A BC D图K14-24.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(1-x)f'(x)≥0,则必有()A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)>2f(1)D.f(0)+f(2)≥2f(1)5.[2019·贵港联考]若函数f(x)=kx-2ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是.能力提升6.[2019·甘肃静宁一中模拟] 已知函数f (x )=x 2+xx ,若函数f (x )在[2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为 ( )A .(-∞,8)B .(-∞,16]C .(-∞,-8)∪(8,+∞)D .(-∞,-16]∪[16,+∞)7.[2018·浙江台州中学模拟] 当0<x<1时,f (x )=ln xx,则下列大小关系正确的是 ( )A .[f (x )]2<f (x 2)<f (x ) B .f (x 2)<[f (x )]2<f (x ) C .f (x )<f (x 2)<[f (x )]2D .f (x 2)<f (x )<[f (x )]28.已知m 是实数,函数f (x )=x 2(x-m ),若f'(-1)=-1,则函数f (x )的单调递增区间是 ( ) A .(-∞,-43),(0,+∞) B .(-∞,-43)∪(0,+∞)C .(-43,0)D .(0,43)9.已知在R 上可导的函数f (x )的导函数为f'(x ),满足f'(x )<f (x ),且f (x+5)为偶函数,f (10)=1,则不等式f (x )<e x 的解集为 ( ) A .(0,+∞) B .(1,+∞) C .(5,+∞) D .(10,+∞)10.[2018·西宁二模] 设函数f'(x )是定义在(0,π)上的函数f (x )的导函数,且f'(x )cosx-f (x )sin x>0.若a=12f (π3),b=0,c=-√32f (5π6),则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A .a<b<cB .b<c<aC .c<b<aD .c<a<b11.[2018·包头一模] 已知函数f (x )=2x 3-4x+2(e x -e -x ),若f (5a-2)+f (3a 2)≤0,则实数a 的取值范围是 ( )A.[-13,2]B.[-1,-23]C.[23,1]D.[-2,13]12.[2018·无锡期末]若函数f(x)=(x+1)2|x-a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是.13.[2018·唐山模拟]已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=4,且f(x)的导函数f'(x)<3,则不等式f(ln x)>3ln x+1的解集为.14.(12分)已知函数f(x)=12ax2+2x-ln x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)存在单调递增区间,求实数a的取值范围.15.(13分)[2019·日照期中]已知函数f(x)=kx-xx-2ln x.(1)若函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为2x+5y-2=0,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,求实数k的取值范围.难点突破16.(5分)[2018·昆明一模]已知函数f(x)=(x2-2x)e x-a ln x(a∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,则a的最大值是()A.-eB.eC.-e22D.4e217.(5分)已知函数f(x)=x-2(e x-e-x),则不等式f(x2-2x)>0的解集为.课时作业(十四)1.B [解析] f'(x )=12-cos x ,x ∈(0,π2),令f'(x )<0,得x ∈(0,π3),故f (x )在(0,π2)上的单调递减区间为(0,π3),故选B .2.C [解析] 显然f (x )=sin 2x 在(0,+∞)上不是增函数,不符合题意. 由g'(x )=3x 2-1<0,得-√33<x<√33,所以g (x )=x 3-x 在(-√33,√33)上单调递减,不符合题意. 因为h'(x )=(x+1)e x,所以当x>0时,h'(x )>0,所以h (x )=x e x在(0,+∞)上单调递增,符合题意.由m'(x )=-1+1x <0,得x>1,所以m (x )=-x+ln x 在(1,+∞)上单调递减,不符合题意. 故选C .3.A [解析] 由函数y=-xf'(x )的图像可得: 当x<-1时,f'(x )<0,f (x )是减函数; 当-1<x<0时,f'(x )>0,f (x )是增函数; 当0<x<1时,f'(x )>0,f (x )是增函数; 当x>1时,f'(x )<0,f (x )是减函数.由此得到函数y=f (x )的大致图像可以是选项A . 4.B [解析] (1-x )f'(x )≥0.若f'(x )=0恒成立,则f (x )为常函数,则f (0)+f (2)=2f (1). 若f'(x )=0不恒成立,则当x<1时,f'(x )≥0,f (x )单调递增,当x>1时,f'(x )≤0,f (x )单调递减,∴f (0)<f (1),f (2)<f (1), ∴f (0)+f (2)<2f (1).故选B .5.[2,+∞) [解析] 因为f (x )=kx-2ln x ,所以f'(x )=k-2x .因为f (x )在区间(1,+∞)上单调递增,所以f'(x )=k-2x ≥0在区间(1,+∞)上恒成立,即k ≥2x 在区间(1,+∞)上恒成立.因为当x ∈(1,+∞)时,0<2x <2,所以k ≥2. 6.B [解析] 因为f (x )=x2+x x 在[2,+∞)上单调递增,所以f'(x )=2x-x x 2=2x 3-xx 2≥0在[2,+∞)上恒成立,则a ≤2x 3在[2,+∞)上恒成立,所以a ≤16.故选B . 7.D [解析] 由0<x<1得0<x 2<x<1.易得f'(x )=1-ln xx 2,根据对数函数的单调性可知,当0<x<1时,1-ln x>0,从而可得f'(x )>0,函数f (x )在(0,1)上单调递增,所以f (x 2)<f (x )<f (1)=0, 又[f (x )]2=(ln x x)2>0,所以f (x 2)<f (x )<[f (x )]2,故选D .8.A [解析] f'(x )=2x (x-m )+x 2,∵f'(-1)=-1,∴-2(-1-m )+1=-1,解得m=-2,∴f'(x )=2x (x+2)+x 2. 令2x (x+2)+x 2>0,解得x<-43或x>0,∴函数f (x )的单调递增区间是(-∞,-43),(0,+∞).9.A [解析] 设g (x )=x (x )e x,则g'(x )=x '(x )-x (x )e x,由f'(x )<f (x )得g'(x )<0,∴g (x )在R 上是减函数.∵f (x+5)是偶函数,∴f (x )的图像关于直线x=5对称, ∴f (0)=f (10)=1,∴g (0)=x (0)e 0=1.由f (x )<e x ,得x (x )e x<1,即g (x )<g (0).又g (x )在R 上是减函数,∴x>0,即f (x )<e x的解集为(0,+∞). 10.A [解析] 令g (x )=cos x ·f (x ).因为f'(x )cos x-f (x )sin x>0在(0,π)上恒成立, 所以g'(x )=f'(x )cos x-f (x )sin x>0在(0,π)上恒成立, 所以g (x )在(0,π)上单调递增, 所以g (π3)<g (π2)<g (5π6),即12f (π3)<0<-√32f (5π6),即a<b<c ,故选A .11.D [解析] 由函数f (x )=2x 3-4x+2(e x -e -x),可得f (-x )=2(-x )3-4(-x )+2(e -x -e x )=-[2x 3-4x+2(e x -e -x)]=-f (x ), 所以函数f (x )为奇函数.f'(x )=6x 2-4+2(e x +1e x ),因为e x +1e x ≥2√e x ·1e x =2,当且仅当x=0时取等号,所以f'(x )≥0,所以函数f (x )为R 上的增函数.因为f (5a-2)+f (3a 2)≤0,所以f (3a 2)≤-f (5a-2)=f (2-5a ), 所以3a 2≤2-5a ,即3a 2+5a-2≤0,解得-2≤a ≤13,故选D .12.(-∞,-1]∪[72,+∞) [解析] 由已知可得f (x )={(x +1)2(x -x ),x <x ,(x +1)2(x -x ),x ≥x .当x ≥a 时,f'(x )=(x+1)(3x-2a+1),由题意知需满足2x -13≤-1,∴a ≤-1;当x<a时,f'(x )=-(x+1)(3x-2a+1),由题意知需满足2x -13≥2,∴a ≥72.综上可知a ∈(-∞,-1]∪[72,+∞).13.(0,e) [解析] 设g (x )=f (x )-3x ,则g'(x )=f'(x )-3<0,所以函数g (x )在R 上单调递减. 将不等式变形为f (ln x )-3ln x>4-3,即g (ln x )>g (1), 由g (x )的单调性可得ln x<1,解得0<x<e .14.解:(1)当a=3时,f (x )=32x 2+2x-ln x ,其定义域为(0,+∞), 所以f'(x )=3x+2-1x =(3x -1)(x +1)x.易知当x ∈(0,13)时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(13,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增.所以f (x )的单调递减区间为(0,13),单调递增区间为(13,+∞). (2)f (x )=12ax 2+2x-ln x (a ∈R)的定义域为(0,+∞),f'(x )=ax+2-1x =xx 2+2x -1x(a ∈R).因为函数f (x )存在单调递增区间,所以f'(x )>0在区间(0,+∞)上有解, 即ax 2+2x-1>0在区间(0,+∞)上有解. 分离参数得a>1-2xx 2,令g (x )=1-2xx 2,则只需a>g (x )min 即可.因为g (x )=1-2xx 2=(1x -1)2-1,所以g (x )min =-1,即所求实数a 的取值范围为(-1,+∞).15.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=k+x x 2-2x =xx 2-2x +xx 2. 由题意可知f'(1)=2k-2=-25,解得k=45,所以f'(x )=4x 2-10x +45x 2=2(2x -1)(x -2)5x 2.由f'(x )>0,得0<x<12或x>2,由f'(x )<0,得12<x<2,所以函数f (x )的单调递增区间是(0,12),(2,+∞),单调递减区间是(12,2). (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞),要使函数f (x )在定义域内为增函数,只需f'(x )≥0在区间(0,+∞)上恒成立, 即kx 2-2x+k ≥0在区间(0,+∞)上恒成立, 即k ≥2xx 2+1在区间(0,+∞)上恒成立. 令g (x )=2xx 2+1,x ∈(0,+∞),则g (x )=2x +1x≤1,当且仅当x=1时取等号,所以k ≥1,即实数k 的取值范围为[1,+∞).16.A [解析] 因为函数f (x )=(x 2-2x )e x-a ln x (a ∈R), 所以f'(x )=e x (x 2-2x )+e x(2x-2)-xx=e x (x 2-2)-x x.因为函数f (x )=(x 2-2x )e x-a ln x (a ∈R)在区间(0,+∞)上单调递增, 所以f'(x )=e x (x 2-2)-x x≥0在区间(0,+∞)上恒成立, 即a ≤e x (x 3-2x )在区间(0,+∞)上恒成立. 令h (x )=e x (x 3-2x ),则h'(x )=e x (x 3-2x )+e x (3x 2-2)=e x (x 3-2x+3x 2-2)=e x (x-1)(x 2+4x+2). 因为x ∈(0,+∞),所以x 2+4x+2>0,e x>0, 令h'(x )>0,可得x>1;令h'(x )<0,可得0<x<1.所以函数h (x )在区间(1,+∞)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减. 所以h (x )min =h (1)=e 1(1-2)=-e, 所以a ≤-e .17.(0,2)[解析] 由函数的解析式可得f'(x)=1-2(e x+e-x),因为e x+e-x≥2√e x·e-x=2,当且仅当e x=e-x,即x=0时等号成立, 所以f'(x)=1-2(e x+e-x)≤-3,则函数f(x)是R上的减函数.因为f(0)=0,所以原不等式等价于f(x2-2x)>f(0),结合函数f(x)的单调性可得x2-2x<0,解得0<x<2,即不等式的解集为(0,2).。

高中数学第二章导数及其应用习题课用导数研究函数的单调性极值最值课件北师大版选择性必修第二册

若a≤0,则f'(x)=ln x-2ax+1>0在x>1时恒成立,从而f(x)在区间(1,+∞)上单调
递增,
所以f(x)>f(1)=0在区间(1,+∞)上恒成立,与已知矛盾,
故a≤0不符合题意.
若a>0,设φ(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x>1,
1
1
则 φ'(x)= -2a,且 ∈(0,1).
(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别.
分离参数后对应不同的最值类型.
【变式训练1】已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
2
(2)若g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
2 2(2 -1)
∴函数f(x)在区间(0,π)上单调递减.
答案:D
).
二、函数的极值、最值与导数
【问题思考】
1.(1)函数的极大值与极小值:
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递增,在区间(x0,b)上单调递减,则x0是极大
值点,f(x0)是极大值.
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,则x0是极小
2 2
则 g'(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,即 a≤ -2x 在[1,+∞)上恒成立.

因为φ(x)没有最小值,不满足题意,
所以实数a的取值范围为[0,+∞).
探究二
用导数求函数的极值、最值
【例2】已知函数f(x)= 1x2+aln x.

高考理科数学一轮总复习第二章函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的①如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两种等价形式设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2．五条常用结论(1)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是________．答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； (4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12(x 2－4)的递减区间为________．答案：(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝⎛⎭⎫122－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1.所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________．答案：(1)a ≤－3 (2)－3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一给出具体解析式的函数的单调性(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的递增区间为________，递减区间为________．【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1＜x ＜2. 如图所示，函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)；递减区间是(－∞，1)和⎝⎛⎭⎫32，2.故选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的递减区间为(－∞，－3]，递增区间为[2，＋∞)．【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 角度二含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1 ＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上是减少的；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上是增加的．法二：f ′(x )＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2，所以当a >0时，f ′(x )<0，当a <0时，f ′(x )>0，即当a >0时，f (x )在(－1，1)上为减函数，当a <0时，f (x )在(－1，1)上为增函数．确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间是________．解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．答案：[－1，0]，[1，＋∞)2．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上是增加的．求函数的最值(师生共研)(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________．【解析】 (1)由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x >1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6<0，所以f (x )min ＝26－6.【答案】 (1)3 (2)26－6求函数最值的5种常用方法及其思路1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中，作出函数f (x )，g (x )的图象，依题意，h (x )的图象如图所示．易知点A (2，1)为图象的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1.答案：1函数单调性的应用(多维探究) 角度一比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D角度二解函数不等式已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－2，1)【解析】因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f (x )的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，所以函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 【答案】 D角度三根据函数的单调性求参数(1)(2020·南阳调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)法一：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．法二：由f (x )＝x －a x ＋a 2得f ′(x )＝1＋ax 2，由题意得1＋ax2≥0(x ＞1)，可得a ≥－x 2，当x ∈(1，＋∞)时，－x 2＜－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．(2020·武汉模拟)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B.因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a －2x ＋2a ＋3，x ＜a ，因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.2．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2)B ．[0，2)C ．[0，1)D ．[－1，1)解析：选C.因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数f (x )在[－2，2]上是增加的，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0)B ．⎣⎡⎦⎤0，12C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ＜0函数y 的草图如图所示．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上递增．故选B. 3．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a2∈[2，3]，即a ∈[－6，－4]．4．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D.因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝4－x －x ＋2的值域为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x ＋2≥0，所以－2≤x ≤4，所以函数f (x )的定义域为[－2，4]．又y 1＝4－x ，y 2＝－x ＋2在区间[－2，4]上均为减函数，所以f (x )＝4－x －x ＋2在[－2，4]上为减函数，所以f (4)≤f (x )≤f (－2)．即－6≤f (x )≤ 6. 答案：[－6，6]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，（3a －1）×1＋4a ≥－a ，a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a ≥18，a >0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13. 答案：⎣⎡⎭⎫18，139．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围．解：(1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.[综合题组练]1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0，1]．2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________．解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1， 3 ]上递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2，当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7，所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，所以当x ＞2时，f (x ) 是增加的，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x ) 是增加的，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立，故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。

导数与函数的单调性(高三一轮复习)

例1 (1)(多选)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数有( BD )
A．f(x)＝x4
B．f(x)＝x－sin x
C．f(x)＝xex
D．f(x)＝ex－e－x
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究 (2)函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的大致图象是( A )
∞)，∴a≤2.又a＞0，∴0＜a≤2.
解法二：y′＝1－
a2 x2
，依题意知1－
a2 x2
≥0，即a2≤x2在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4，又a＞0，∴0＜a≤2.
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— 11 —
关键能力互动探究
命题点1 不含参函数的单调性
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— 6—
基|础|自|测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f(x)在此区间内单调递增．( ×) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( √ ) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调性．( √ )
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思维点睛►
讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
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备战高考数学一轮复习讲义第14讲导数的几何意义和四则运算

第三章一元函数的导数及其应用第14讲导数的几何意义和四则运算激活思维1. 已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝0，则x 0等于( A ) A. 1e B. e C. e 2D. 1解析：因为x >0，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝0，得ln x 0＋1＝0，所以ln x 0＝－1，所以x 0＝1e .2. 下列求导运算正确的是( B ) A. (cos x )′＝sin x B. (log 2x )′＝1x ln2 C. (2x )′＝2x log 2e D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x ′＝－1(1－x )23. (人A 选必二P70习题5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( C )A B C D解析：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A ；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x 轴平行，由此排除D ，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C 正确，B 不正确．4. (人A 选必二P81练习3)曲线y ＝33x －1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1处的切线方程是 y＝x ＋13 .解析：设y ＝f (x )＝(3x －1)13，则f ′(x )＝3×13(3x －1)-23＝(3x －1)-23，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，因此曲线y ＝33x －1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1处的切线方程为y －1＝x －23，即y ＝x ＋13.5. (人A 选必二P81习题6)已知函数f (x )满足f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x －cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4＋sin π4，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2＋1.基础回归1. 导数的几何意义(1) 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．(2) 曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) . 2. 基本初等函数的导数公式若f ′(x )，g ′(x )存在，则：(1) [f (x )±g (x )]′＝ f ′(x )±g ′(x ) ；(2) [f (x )·g (x )]′＝ f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) ； (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )] (g (x )≠0)．4. 复合函数的求导：复合函数y ＝f (g (x ))的导数y ′＝ f ′(g (x ))·g ′(x ) .5. 设s ＝s (t )是位移函数，则s ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的瞬时速度 ; 设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的瞬时加速度 .6. 常用结论(1) 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2) 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．(3) 熟记以下结论： ①⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2； ②⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2 (f (x )≠0)； ③[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．举题说法导数的运算例1 (1) 已知f (x )＝(ax 2＋1)(x ＋2)，若f ′(－1)＝4，则a 的值为－3 . 解析：因为f (x )＝ax 3＋2ax 2＋x ＋2，所以f ′(x )＝3ax 2＋4ax ＋1，由f ′(－1)＝3a －4a ＋1＝4，解得a ＝－3.(2) 下列求导运算不正确的是( D ) A. (cos x )′＝－sin xB. (tan x )′＝1cos 2x C. (2x )′＝ln2·2x D. (x )′＝－12x解析：对于A ，(cos x )′＝－sin x ，A 正确；对于B ，(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x ，B 正确；对于C ，(2x )′＝ln2·2x，C 正确；对于D ，(x )′＝(x 12)′＝12x -12＝12x，D 不正确．(3) (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝f ′(0)e 2x －e －x ，则f (0)＝－2 . 解析：由函数f (x )＝f ′(0)e 2x －e －x 求导得，f ′(x )＝2f ′(0)e 2x ＋e －x ，当x ＝0时，f ′(0)＝2f ′(0)＋1，解得f ′(0)＝－1，因此，f (x )＝－e 2x －e －x ，所以f (0)＝－2.变式1 已知定义在R 上的可导函数f (x )满足：f (1)＝1，f ′(x )＋2x >0，其中f ′(x )是f (x )的导数，写出满足上述条件的一个函数 f (x )＝13x 3＋2x －43(答案不唯一) .解析：可令f ′(x )＝x 2＋2，满足f ′(x )＋2x >0，则f (x )＝13x 3＋2x ＋C ，f (1)＝13＋2＋C ＝1，故C ＝－43，f (x )＝13x 3＋2x －43.变式2 求下列函数的导数： (1) f (x )＝(x 2＋2x －1)e 1－x ；【解答】 f ′(x )＝(x 2＋2x －1)′e 1－x ＋(x 2＋2x －1)(e 1－x )′＝(2x ＋2)e 1－x ＋(x 2＋2x －1)(－e 1－x )＝(－x 2＋3)e 1－x .(2) f (x )＝ln x －1x ＋1.【解答】因为f (x )＝ln(x －1)－ln(x ＋1)，所以f ′(x )＝[ln(x －1)－ln(x ＋1)]′＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1. 求曲线的切线方程例2 (1) (2020·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( B )A. y ＝－2x －1B. y ＝－2x ＋1C. y ＝2x －3D. y ＝2x ＋1解析：因为f (x )＝x 4－2x 3，所以f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以f (1)＝－1，f ′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.(2) (2022·秦皇岛二模)已知函数f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )＝ln x －e 1－x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为( D )A. y －e 2＋1＝0B. y ＋1＝0C. (e 2－1)x －y ＋e 2－2＝0D. 2x ＋y ＋3＝0解析：因为f (x )为偶函数，设x <0，则－x >0，所以f (x )＝f (－x )＝ln(－x )－e1＋x，所以f (－1)＝－1.因为当x <0时，f ′(x )＝1x －e 1＋x，所以f ′(－1)＝－2，所以曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为y ＋1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋3＝0.变式 (2022·莆田二检)下列直线中，既不是曲线C 1：y ＝e x 的切线，也不是曲线C 2：y ＝ln x 的切线的是( D )A. y ＝x ＋1B. y ＝x －1C. y ＝e xD. y ＝e(x －2)解析：对于曲线C 1，y ′＝e x ，若e x ＝1，则x ＝0，y ＝1，切线方程为y －1＝1×(x －0)，y ＝x ＋1，A 正确．若e x ＝e ，则x ＝1，y ＝e ，切线方程为y －e ＝e(x －1)，y ＝e x ，C 正确．对于曲线C 2，y ′＝1x ，若1x ＝1，则x ＝1，y ＝0，切线方程为y ＝x －1，B 正确．若1x ＝e ，则x ＝1e ，y ＝ln 1e ＝－1，切线方程为y ＋1＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1e ，y ＝e x －2，D 错误．求曲线f (x )经过点P (x 0，y 0)的切线方程的方法：设切点坐标为(a ，f (a ))，则切线方程为y －f (a )＝f ′(a )(x －a )，代入点P (x 0，y 0)的坐标，求出a 的值，可得切线方程．注：在做此类题目时，需仔细审题，若求曲线在某点处的切线方程，则该点即为切点；若求曲线过某点处的切线方程，则该点不一定是切点．1. 曲线y ＝e x sin x 在x ＝0处的切线斜率为( B ) A. 0 B. 1 C. 2D. －2解析： y ′＝e x sin x ＋e x cos x ，k ＝y ′|x ＝0＝1.2. (2022·潮州期末)若曲线y ＝ln x ＋ax 与直线y ＝2x －1相切，则a ＝ 1 . 解析：由题意，函数y ＝ln x ＋ax ，可得y ′＝1x ＋a .设切点为P (x 0，y 0)，则y ′0＝1x 0＋a .因为曲线y ＝ln x ＋ax 与直线y ＝2x －1相切，可得1x 0＋a ＝2，即ax 0＝2x 0－1①，又由y 0＝ln x 0＋ax 0，即切点为(x 0，ln x 0＋ax 0)，可得ln x 0＋ax 0＝2x 0－1②，联立①②，可得x 0＝1，a ＝1.3. 已知曲线y ＝13x 3＋43，那么曲线过点P (2，4)的切线方程为 y ＝4x －4或y ＝x ＋2 .解析：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线斜率k ＝13x 30＋43－4x 0－2＝x 20，解得x 0＝2或x 0＝－1，故所求的切线方程为y ＝4x －4或y ＝x ＋2.4. (2022·新高考Ⅱ卷) 曲线y ＝ln|x |过坐标原点的切线方程为 y ＝1e x ， y ＝－1e x .解析：因为y ＝ln|x |，当x >0时，y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)，由y ′＝1x ，可知y ′|x ＝x 0＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．又切线过坐标原点，所以－ln x 0＝1x 0(－x 0)，解得x 0＝e ，所以切线方程为y －1＝1e (x －e)，即y ＝1e x ；当x <0时，y ＝ln(－x )，设切点为(x 1，ln(－x 1))，由y ′＝1x ，可知y ′| x ＝x 1＝1x 1，所以切线方程为y －ln(－x 1)＝1x 1(x －x 1)，又切线过坐标原点，所以－ln(－x 1)＝1x 1(－x 1)，解得x 1＝－e ，所以切线方程为y －1＝1－e(x ＋e)，即y ＝－1e x . 曲线切线的综合问题例3 (2022·郑州一调)已知点P 是曲线C 1：y ＝13x 3＋2x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线上的任意一点，点Q 是曲线C 2：y ＝ln xx 上的任意一点，则PQ 的最小值解析：由点P 是曲线C 1：y ＝13x 3＋2x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线上的任意一点，可得y ′＝x 2＋4x ＋1，y ′|x ＝0＝1，所以点P 满足的切线方程为y －1＝x ，与直线x －y ＋1＝0平行的直线与曲线C 2：y ＝ln xx 相切的切点坐标为(m ，f (m ))，可得y ′＝1－ln x x 2，所以1－ln mm 2＝1，解得m ＝1，切点坐标为(1,0)，切线方程为x －y －1＝0，则PQ 的最小值是平行线之间的距离22＝ 2. 变式曲线y ＝ln x 上的点到直线y ＝x ＋2的最短距离是( B ) A. 2 2 B. 322 C. 23D. 2解析：如图所示，设曲线y ＝ln x 上一点(x 0，ln x 0)，且在该点处切线的斜率为1，y ′＝1x ，所以斜率k ＝1x 0＝1，解得x 0＝1，故切点为(1,0)，切线方程为y －0＝1×(x －1)，即y ＝x －1，两直线间的距离为|2－(－1)|12＋(－1)2＝322即为所求．(变式)随堂内化1. 曲线y ＝x e x ＋2x －2在x ＝0处的切线方程是( D ) A. 3x ＋y ＋2＝0 B. 2x ＋y ＋2＝0 C. 2x －y －2＝0D. 3x －y －2＝0解析： y ＝x e x ＋2x －2，则y ′＝(x ＋1)e x ＋2，当x ＝0时，y ＝－2，y ′＝3，所以切线方程为y ＋2＝3×(x －0)，即3x －y －2＝0.2. 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( B )A. －eB. －1C. 1D. e解析：由题意知函数f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1.3. (2022·衡阳一模)若曲线y ＝e x －1＋ln x 在点(1,1)处的切线与直线ax ＋y ＝0平行，则a 等于( C )A. －1B. 1C. －2D. 2解析：由y ＝e x －1＋ln x ⇒y ′＝e x －1＋1x ，显然(1,1)在曲线y ＝e x －1＋ln x 上，所以曲线y ＝e x －1＋ln x 在点(1,1)处的切线的斜率为e 1－1＋11＝2，因此切线方程为y －1＝2(x －1)⇒y ＝2x －1，直线ax ＋y ＝0的斜率为－a .因为曲线y ＝e x －1＋ln x 在点(1,1)处的切线与直线ax ＋y ＝0平行，所以－a ＝2⇒a ＝－2.4. (2022·重庆三模)曲线y ＝1x ＋ln(2x ＋2)＋5在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3处的切线方程为y ＝－2x ＋2 .解析：由y ＝1x ＋ln(2x ＋2)＋5，得y ′＝－1x 2＋1x ＋1，则切线的斜率为＝－4＋2＝－2，所以曲线y ＝1x ＋ln(2x ＋2)＋5在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3处的切线方程为y －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝－2x ＋2.5. (2022·福州质检)某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P (单位：亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0为t＝0时的P值．假定P0＝2，那么当t＝10时，GDP增长的速度大约是0.52.(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年，附：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln(1＋x)≈x)解析：由题可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×1.1t，所以P′(t)＝2×1.1t ln1.1，所以P′(10)＝2×1.110ln1.1≈2×2.59×0.1＝0.518≈0.52，即GDP增长的速度大约是0.52.练案❶趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》．练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。

2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数

2．4二次函数与幂函数[知识梳理］1．二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f(x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）．③两根式:f(x)＝a（x－x1）(x－x2)(a≠0)．(2）二次函数的图象和性质2．幂函数(1）幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数,其中x是自变量，α为常数．（2）常见的5种幂函数的图象（3）常见的5种幂函数的性质[诊断自测］1．概念思辨（1）当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．（)(2）关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是错误!（)（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈［a,b］的最值一定是4ac－b24a.(）（4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（）答案(1)×(2)×(3）×（4）√2．教材衍化(1）(必修A1P44T9）函数y＝(x2－3x＋10)－1的递增区间是(）A．(－∞，－2) B．(5,＋∞）C.错误!D。

错误!答案C解析由于x2－3x＋10〉0恒成立，即函数的定义域为（－∞,＋∞)．设t＝x2－3x－10，则y＝t－1是(0，＋∞）上的减函数,根据复合函数单调性的性质，要求函数y＝(x2－3x＋10）－1的递增区间，即求t＝x2－3x＋10的单调递减区间，∵t＝x2－3x＋10的单调递减区间是错误!，∴所求函数的递增区间为错误!.故选C。

(2)（必修A1P78探究）若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a，b,c，d的大小关系是（)A．d〉c>b〉a B．a〉b>c>dC．d>c>a〉b D．a〉b〉d>c答案B解析幂函数a＝2,b＝错误!，c＝－错误!，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合,在第一象限内,x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d。

高考数学第一轮知识点总复习第二节导数的应用(Ⅰ)

分析函数的增区间是f′(x)≥0恒成立的区间，函数的减区间是 f′(x)≤0恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）.
解 (1)由已知f′(x)=3 -a,x2 ∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴f′(x)=3 -ax≥2 0在(-∞,+∞)上恒成立，即a≤3 x在2 x∈R上恒成立. ∵3 x≥2 0,∴只需a≤0. 又a=0时，f′(x)=3 ≥x20,f(x)= -1在x3R上是增函数， ∴a≤0. (2)由f′(x)=3 -ax≤2 0在(-1,1)上恒成立，得a≥3 在x∈x2(-1,1)上恒成立. ∵-1＜x＜1,∴3 ＜3,∴只需a≥3. 当a≥3时，f′(x)=x32 -a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)＜0, 即f(x)在（-1,1）上为x减2 函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
学后反思利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0 ［或f′(x)<0］仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］，x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0. 因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）来求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0 ［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围.

高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10二讲第1课时导数与函数的单调性

[解析]根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，选D.
(3)f(x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－ .令f′(x)＝0，得x＝0.
当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
(4)f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x>0，
(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
考向2 含参数的函数的单调性——师生共研
例2 已知函数f(x)＝ (x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
注：文科(sin 2x)′＝(2sin xcos x)′＝2[(sin x)′·cos x＋sin x·(cos x)′]＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.
考点突破·互动探究
考点函数的单调性
考向1 不含参数的函数的单调性——自主练透
例1 (1)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( A )
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
③若a>1，则0< <1，
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数，

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第14讲导数与函数的单调性精选教案理

第14讲导数与函数的单调性函数的导数与单调性的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内__单调递增__； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内__单调递减__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么在区间(a ，b )上一定有f ′(x )>0.( × )(2)如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则函数f (x )在此区间内没有单调性．( √ )(3)导数为零的点不一定是极值点．( √ ) (4)三次函数在R 上必有极大值和极小值．( × )解析 (1)错误．函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，故f ′(x )>0是f (x )在区间(a ，b )上单调递增的充分不必要条件．(2)正确．如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )为常数函数．如f (x )＝3，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在单调性．(3)正确．导数为零的点不一定是极值点．如函数y ＝x 3在x ＝0处导数为零，但x ＝0不是函数y ＝x 3的极值点．(4)错误．对于三次函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，y ′＝3ax 2＋2bx ＋c .当Δ＝(2b )2－12ac <0，即b 2－3ac <0时，y ′＝0无实数根，此时三次函数没有极值．2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( B )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，令y ′≤0，则可得0<x ≤1．3．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( B )解析由导函数图象知，x ＝0处导数最大，由几何意义知B 项正确．4．已知函数f (x )＝mx 3＋3(m －1)x 2－m 2＋1(m >0)的单调递减区间是(0,4)，则m ＝！！！ 13###. 解析 ∵f ′(x )＝3mx 2＋6(m －1)x ，f (x )的递减区间为(0,4)，则由f ′(x )＝3mx 2＋6(m－1)x <0得0<x <4，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f ′(0)＝0，f ′(4)＝0⇒m ＝13.5．函数f (x )＝sin x 2＋cos x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) ###. 解析 f ′(x )＝2cos x ＋1(2＋cos x )2，由f ′(x )≥0得cos x ≥－12， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )．一求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间的两种方法方法一：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)令f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)令f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根； (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义域分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【例1】已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解析 (1)f ′(x )＝14－a x 2－1x ，f ′(1)＝－34－a .由题意，得－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知，f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )>0，得x 2－4x －5>0(x >0)，解得x >5；由f ′(x )<0，得x 2－4x －5<0(x >0)，解得0<x <5. 故函数f (x )的递增区间为(5，＋∞)，递减区间为(0,5)．【例2】试确定下列函数的单调递减区间． (1)f (x )＝x ＋a x(a >0)；(2)f (x )＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2.解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠0}．f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ′＝1－a x 2＝1x 2(x ＋a )(x －a )．要求f (x )的单调递减区间，不妨令f ′(x )<0，则1x2(x ＋a )·(x －a )<0，解得－a <x <a ，且x ≠0，∴函数的单调减区间为(－a ，0)和(0，a )． (2)y ′＝x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝(x －a )(x －a 2)，令y ′<0，得(x －a )(x －a 2)<0.①当a <0时，不等式解集为{x |a <x <a 2}，此时函数的单调递减区间为(a ，a 2)； ②当0<a <1时，不等式解集为{x |a 2<x <a }，此时函数的单调递减区间为(a 2，a )； ③当a >1时，不等式解集为{x |a <x <a 2}，此时函数的单调递减区间为(a ，a 2)； ④当a ＝0，a ＝1时，y ′≥0，此时，无单调递减区间．综上所述，当a <0或a >1时，函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调递减区间为(a ，a 2)；当0<a <1时，函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调递减区间为(a 2，a )；当a ＝0，a＝1时，无单调递减区间．二已知函数的单调性求参数的范围由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．【例3】已知函数f (x )＝x 3－ax －1． (1)若f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )在(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (4)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值； (5)若f (x )在(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．解析 (1)∵f (x )在R 上为增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立．∴a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．∵3x 2≥0，∴只需a ≤0.又∵a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上为增函数，∴a 的取值范围是(－∞，0]．(2)∵f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]．(3)∵f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f ′(x )≤0⇔3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．∵x ∈(－1,1)，∴3x 2<3，即a ≥3.∴a 的取值范围是[3，＋∞)． (4)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a >0时，由f ′(x )<0，得3x 2－a <0， ∴x 2<a 3，即－a3<x <a3. 故f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a3，a 3. 由题意，得a3＝1，解得a ＝3. (5)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a >0时，∵f (x )在(－1,1)上不单调， ∴f ′(x )＝0在(－1,1)内有解x ＝±a3，∴0<a3<1，解得0<a <3.∴a 的取值范围是(0,3)．三构造法在函数单调性中的应用构造法在函数单调性中的应用技巧对于含有导函数不等式的试题，一般要依据导函数不等式(或其变式)和所求结论构造新的函数，并对构造的新函数求导，研究其单调性，应用构造新函数的单调性将所求问题转化求解．【例4】 (1)已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )为f (x )的导函数)．若a ＝(30.3)·f (30.3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( C )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b(2)(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是！！！ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 ###.解析 (1)∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，∴y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，∴y ＝f (x )为奇函数．令g (x )＝xf (x )，则g (x )＝xf (x )为偶函数，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0在(－∞，0)上恒成立，∴g (x )＝xf (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数． ∵c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝(－2)·f (－2)＝2f (2)，0<log π3<30.3<2，∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，∴c >a >b ，故选C ．(2)由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1ex ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增，所以不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.1．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( D )解析根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f (x )在这些零点处取得极值，排除A 项，B 项；记函数f ′(x )的零点从左到右分别为x 1，x 2，x 3，又在(－∞，x 1)上f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，排除C 项，故选D ．2．函数f (x )的定义域为R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x＋1的解集是( A )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析令g (x )＝e x ·f (x )－e x－1，则g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x(f (x )＋f ′(x )－1)． ∵f (x )＋f ′(x )>1，∴g ′(x )＝e x(f (x )＋f ′(x )－1)>0， ∴g (x )在R 上是增函数．又∵g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，∴e x ·f (x )>e x ＋1⇔e x ·f (x )－e x－1>0⇔g (x )>0⇔g (x )>g (0)⇔x >0，故选A ．3．(2018·河北邯郸一模)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－x －m (m ∈R )为增函数，那么实数a 的取值范围为！！！ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ ###. 解析 f ′(x )＝1x＋ax －1，x >0.依题意可得f ′(x )≥0，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2max ，而1x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋14≤14，当x ＝2时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.4．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求：(1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间．解析 (1)∵f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32－9－a 23，即x ＝－a 3时，f ′(x )取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴－9－a 23＝－12，即a 2＝9.解得a ＝±3，由题设a <0，∴a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，因此f (x )＝x 3－3x 2－9x －1，f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－1)上为增函数；当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,3)上为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(3，＋∞)上为增函数．可见，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．易错点导数与单调性的关系不明确错因分析：可导函数f (x )在某区间上f ′(x )>0(f ′(x )<0)为f (x )在该区间上是单调递增(减)函数的充分不必要条件．【例1】已知函数f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解析 ∵f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴f ′(x )＝m (x ＋1)－m (x －1)(x ＋1)2－1x ＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x在[1，＋∞)上恒成立．∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，得m ≤2.∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．【跟踪训练1】 y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为__[－1,2]__.解析 y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立(显然y ′不恒为零)， ∴Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，整理得(b －2)(b ＋1)≤0，∴－1≤b ≤2.课时达标第14讲[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．一、选择题1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( D )解析由函数f (x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )<0，故选D ．2．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( A ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．3．(2018·吉林长春调研)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( D )解析易知y ＝2x 2－e |x |是偶函数，设f (x )＝2x 2－e |x |，则f (2)＝2×22－e 2＝8－e 2，所以0<f (2)<1，所以排除A 项，B 项；当0≤x ≤2时，y ＝2x 2－e x ，所以y ′＝4x －e x，又(y ′)′＝4－e x ，当0<x <ln 4时，(y ′)′>0，当ln 4<x <2时，(y ′)′<0，所以y ′＝4x －e x在(0，ln 4)上单调递增，在(ln 4,2)上单调递减，所以y ′＝4x －e x在[0,2]有－1≤y ′≤4(ln 4－1)，所以y ′＝4x －e x 在[0,2]上存在零点ε，所以函数y ＝2x 2－e x在[0，ε)上单调递减，在(ε，2]上单调递增，排除C 项，故选D ．5．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为( D )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析由题图可知，f ′(x )>0，则x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0，则x ∈(－1,1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >1，x <－1或x >3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<x <3，解得x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．6．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( C )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 f ′(x )＝(2x －2a )e x＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__(－1,11)__.解析由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，解得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．8．幂函数f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝__1或2__. 解析 ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴n 2－3n <0，解得0<n <3. ∵n ∈Z ，∴n ＝1或n ＝2.9．(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为__①④__.①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.解析对于①，e x f (x )＝e x ·2－x ，故[e x f (x )]′＝(e x ·2－x )′＝e x ·2－x(1－ln 2)>0，故函数e x f (x )＝e x ·2－x在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；对于②，e x f (x )＝e x ·3－x ，故[e x f (x )]′＝(e x ·3－x )′＝e x ·3－x(1－ln 3)<0，故函数e x f (x )＝e x ·3－x在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；对于③，e x f (x )＝e x ·x 3，故[e x f (x )]′＝(e x ·x 3)′＝e x ·(x 3＋3x 2)，显然函数e xf (x )＝e x ·x 3在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；对于④，e x f (x )＝e x ·(x 2＋2)，故[e x f (x )]′＝[e x ·(x 2＋2)]′＝e x ·(x 2＋2x ＋2)＝e x·[(x ＋1)2＋1]>0，故函数e x f (x )＝e x ·(x 2＋2)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．综上，具有M 性质的函数的序号为①④. 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解析 (1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －ke x，又f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1． (2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，递减区间是(1，＋∞)．11．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图，f (x )＝6ln x＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－8，8a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2.(2)f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(x －1)(x －3)x，∵x >0，∴f ′(x )，f (x )的变化如下.∴f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，递减区间为(1,3)，要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，则1<m ＋12≤3，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，52.12．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的增区间为(－∞，0)和(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2≤0成立，即x ∈(－2，－1)时，a ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x，即x ＝－2时等号成立，所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22]．。

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第14讲导数与函数的单调性函数的导数与单调性的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内__单调递增__； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内__单调递减__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么在区间(a ，b )上一定有f ′(x )>0.( × )(2)如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则函数f (x )在此区间内没有单调性．( √ )(3)导数为零的点不一定是极值点．( √ ) (4)三次函数在R 上必有极大值和极小值．( × )解析 (1)错误．函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，故f ′(x )>0是f (x )在区间(a ，b )上单调递增的充分不必要条件．(2)正确．如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )为常数函数．如f (x )＝3，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在单调性．(3)正确．导数为零的点不一定是极值点．如函数y ＝x 3在x ＝0处导数为零，但x ＝0不是函数y ＝x 3的极值点．(4)错误．对于三次函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，y ′＝3ax 2＋2bx ＋c .当Δ＝(2b )2－12ac <0，即b 2－3ac <0时，y ′＝0无实数根，此时三次函数没有极值．2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( B )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，令y ′≤0，则可得0<x ≤1．3．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( B )解析由导函数图象知，x ＝0处导数最大，由几何意义知B 项正确．4．已知函数f (x )＝mx 3＋3(m －1)x 2－m 2＋1(m >0)的单调递减区间是(0,4)，则m ＝！！！ 13###. 解析 ∵f ′(x )＝3mx 2＋6(m －1)x ，f (x )的递减区间为(0,4)，则由f ′(x )＝3mx 2＋6(m －1)x <0得0<x <4，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f ′(0)＝0，f ′(4)＝0⇒m ＝13.5．函数f (x )＝sin x 2＋cos x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) ###. 解析 f ′(x )＝2cos x ＋1(2＋cos x )2，由f ′(x )≥0得cos x ≥－12，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )．一求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间的两种方法方法一：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)令f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)令f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根； (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义域分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【例1】已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解析 (1)f ′(x )＝14－a x 2－1x ，f ′(1)＝－34－a .由题意，得－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知，f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )>0，得x 2－4x －5>0(x >0)，解得x >5；由f ′(x )<0，得x 2－4x －5<0(x >0)，解得0<x <5. 故函数f (x )的递增区间为(5，＋∞)，递减区间为(0,5)．【例2】试确定下列函数的单调递减区间． (1)f (x )＝x ＋a x(a >0)；(2)f (x )＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2.解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠0}．f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ′＝1－a x 2＝1x 2(x ＋a )(x －a )．要求f (x )的单调递减区间，不妨令f ′(x )<0，则1x2(x ＋a )·(x －a )<0，解得－a <x <a ，且x ≠0，∴函数的单调减区间为(－a ，0)和(0，a )． (2)y ′＝x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝(x －a )(x －a 2)，令y ′<0，得(x －a )(x －a 2)<0.①当a <0时，不等式解集为{x |a <x <a 2}，此时函数的单调递减区间为(a ，a 2)； ②当0<a <1时，不等式解集为{x |a 2<x <a }，此时函数的单调递减区间为(a 2，a )； ③当a >1时，不等式解集为{x |a <x <a 2}，此时函数的单调递减区间为(a ，a 2)； ④当a ＝0，a ＝1时，y ′≥0，此时，无单调递减区间．综上所述，当a <0或a >1时，函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调递减区间为(a ，a 2)；当0<a <1时，函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调递减区间为(a 2，a )；当a ＝0，a＝1时，无单调递减区间．二已知函数的单调性求参数的范围由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．【例3】已知函数f (x )＝x 3－ax －1． (1)若f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )在(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (4)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值； (5)若f (x )在(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．解析 (1)∵f (x )在R 上为增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立．∴a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．∵3x 2≥0，∴只需a ≤0.又∵a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上为增函数，∴a 的取值范围是(－∞，0]．(2)∵f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]．(3)∵f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f ′(x )≤0⇔3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．∵x ∈(－1,1)，∴3x 2<3，即a ≥3.∴a 的取值范围是[3，＋∞)． (4)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a >0时，由f ′(x )<0，得3x 2－a <0， ∴x 2<a 3，即－a3<x <a3. 故f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a3，a 3. 由题意，得a3＝1，解得a ＝3. (5)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a >0时，∵f (x )在(－1,1)上不单调， ∴f ′(x )＝0在(－1,1)内有解x ＝±a3，∴0<a3<1，解得0<a <3.∴a 的取值范围是(0,3)．三构造法在函数单调性中的应用构造法在函数单调性中的应用技巧对于含有导函数不等式的试题，一般要依据导函数不等式(或其变式)和所求结论构造新的函数，并对构造的新函数求导，研究其单调性，应用构造新函数的单调性将所求问题转化求解．【例4】 (1)已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )为f (x )的导函数)．若a ＝(30.3)·f (30.3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( C )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b(2)(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是！！！ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 ###.解析 (1)∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，∴y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，∴y ＝f (x )为奇函数．令g (x )＝xf (x )，则g (x )＝xf (x )为偶函数，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0在(－∞，0)上恒成立，∴g (x )＝xf (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数． ∵c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝(－2)·f (－2)＝2f (2)，0<log π3<30.3<2，∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，∴c >a >b ，故选C ．(2)由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1ex ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增，所以不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.1．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( D )解析根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f (x )在这些零点处取得极值，排除A 项，B 项；记函数f ′(x )的零点从左到右分别为x 1，x 2，x 3，又在(－∞，x 1)上f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，排除C 项，故选D ．2．函数f (x )的定义域为R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集是( A )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析令g (x )＝e x·f (x )－e x－1，则g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x(f (x )＋f ′(x )－1)． ∵f (x )＋f ′(x )>1，∴g ′(x )＝e x(f (x )＋f ′(x )－1)>0， ∴g (x )在R 上是增函数．又∵g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，∴e x ·f (x )>e x ＋1⇔e x ·f (x )－e x－1>0⇔g (x )>0⇔g (x )>g (0)⇔x >0，故选A ．3．(2018·河北邯郸一模)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－x －m (m ∈R )为增函数，那么实数a 的取值范围为！！！ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ ###. 解析 f ′(x )＝1x＋ax －1，x >0.依题意可得f ′(x )≥0，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2max ，而1x －1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋14≤14，当x ＝2时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.4．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求：(1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间．解析 (1)∵f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32－9－a 23，即x ＝－a 3时，f ′(x )取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴－9－a 23＝－12，即a 2＝9.解得a ＝±3，由题设a <0，∴a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，因此f (x )＝x 3－3x 2－9x －1，f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－1)上为增函数；当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,3)上为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(3，＋∞)上为增函数．可见，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．易错点导数与单调性的关系不明确错因分析：可导函数f (x )在某区间上f ′(x )>0(f ′(x )<0)为f (x )在该区间上是单调递增(减)函数的充分不必要条件．【例1】已知函数f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解析 ∵f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴f ′(x )＝m (x ＋1)－m (x －1)(x ＋1)2－1x ＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x在[1，＋∞)上恒成立．∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，得m ≤2.∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．【跟踪训练1】 y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为__[－1,2]__.解析 y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立(显然y ′不恒为零)， ∴Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，整理得(b －2)(b ＋1)≤0，∴－1≤b ≤2.课时达标第14讲[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．一、选择题1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( D )解析由函数f (x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )<0，故选D ．2．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( A ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．3．(2018·吉林长春调研)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( D )解析易知y ＝2x 2－e |x |是偶函数，设f (x )＝2x 2－e |x |，则f (2)＝2×22－e 2＝8－e 2，所以0<f (2)<1，所以排除A 项，B 项；当0≤x ≤2时，y ＝2x 2－e x ，所以y ′＝4x －e x，又(y ′)′＝4－e x ，当0<x <ln 4时，(y ′)′>0，当ln 4<x <2时，(y ′)′<0，所以y ′＝4x －e x在(0，ln 4)上单调递增，在(ln 4,2)上单调递减，所以y ′＝4x －e x在[0,2]有－1≤y ′≤4(ln 4－1)，所以y ′＝4x －e x 在[0,2]上存在零点ε，所以函数y ＝2x 2－e x在[0，ε)上单调递减，在(ε，2]上单调递增，排除C 项，故选D ．5．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为( D )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析由题图可知，f ′(x )>0，则x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0，则x ∈(－1,1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >1，x <－1或x >3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<x <3，解得x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．6．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( C )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 f ′(x )＝(2x －2a )e x＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__(－1,11)__.解析由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，解得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．8．幂函数f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝__1或2__. 解析 ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴n 2－3n <0，解得0<n <3. ∵n ∈Z ，∴n ＝1或n ＝2.9．(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为__①④__.①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.解析对于①，e x f (x )＝e x ·2－x ，故[e x f (x )]′＝(e x ·2－x )′＝e x ·2－x(1－ln 2)>0，故函数e x f (x )＝e x ·2－x在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；对于②，e x f (x )＝e x ·3－x ，故[e x f (x )]′＝(e x ·3－x )′＝e x ·3－x(1－ln 3)<0，故函数e x f (x )＝e x ·3－x在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；对于③，e x f (x )＝e x ·x 3，故[e x f (x )]′＝(e x ·x 3)′＝e x ·(x 3＋3x 2)，显然函数e xf (x )＝e x·x 3在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；对于④，e x f (x )＝e x ·(x 2＋2)，故[e x f (x )]′＝[e x ·(x 2＋2)]′＝e x ·(x 2＋2x ＋2)＝e x·[(x ＋1)2＋1]>0，故函数e x f (x )＝e x ·(x 2＋2)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．综上，具有M 性质的函数的序号为①④. 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解析 (1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －ke x，又f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1． (2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x －1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，递减区间是(1，＋∞)．11．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－8，8a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8，∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2.(2)f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(x －1)(x －3)x，∵x >0，∴f ′(x )，f (x )的变化如下.∴f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，递减区间为(1,3)，要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，则1<m ＋12≤3，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，52.12．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的增区间为(－∞，0)和(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2≤0成立，即x ∈(－2，－1)时，a ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x，即x ＝－2时等号成立，所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22]．。