【解析版】广东省佛山市2013年高考数学一模试卷(文科)

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2013年高考试题及解析：文科数学(新课标Ⅰ卷)

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A ｝，则A ∩B= （）（A ）｛0｝（B ）｛－1，,0｝（C ）{0，1} （D ）｛－1，,0，1} 【答案】A 【解析】【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. （2）1＋2i(1－i)2＝（）（A ）－1－12i（B ）－1＋12i（C ）1＋12i（D ）1－12i【答案】B 【解析】【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12（B ）13（C ）14（D ）16【答案】B【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（文）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。

2013年高考文科数学广东卷word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，文1)设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则S ∩T ＝( )．A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2} 答案：A解析：∵S ＝{－2,0}，T ＝{0,2}，∴S ∩T ＝{0}． 2．(2013广东，文2)函数lg 11x y x (+)=-的定义域是( )． A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：要使函数有意义，则10,10,x x +>⎧⎨-≠⎩解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．3．(2013广东，文3)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D解析：∵i(x ＋y i)＝－y ＋x i ＝3＋4i ， ∴4,3.x y =⎧⎨=-⎩∴x ＋y i ＝4－3i.∴|x ＋y i| 5. 4．(2013广东，文4)已知5π1sin 25α⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α＝( )． A ．25- B ．15- C ．15 D ．25答案：C解析：∵5ππsin sin 2π22αα⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α＝15，∴cos α＝15.5．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )．A ．1B ．2C ．4D ．7 答案：C解析：i ＝1，s ＝1，i ≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2； i ≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3； i ≤3，s ＝2＋2＝4，i ＝4；i ＞3，s ＝4.6．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )．A ．16 B ．13 C ．23D ．1 答案：B解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V 三棱锥＝13×12×1×1×2＝13.7．(2013广东，文7)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＝0 答案：A解析：由于所求切线垂直于直线y ＝x ＋1，可设所求切线方程为x ＋y ＋m＝0.1=，解得m =.又由于与圆相切于第Ⅰ象限，则m =.8．(2013广东，文8)设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案：B解析：如图，在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，对于A ，设l 为AA 1，平面B 1BCC 1，平面DCC 1D 1为α，β. A 1A ∥平面B 1BCC 1，A 1A ∥平面DCC 1D 1，而平面B 1BCC 1∩平面DCC 1D 1＝C 1C ；对于C ，设l 为A 1A ，平面ABCD 为α，平面DCC 1D 1为β.A 1A ⊥平面ABCD ， A 1A ∥平面DCC 1D 1，而平面ABCD ∩平面DCC 1D 1＝DC ；对于D ，设平面A 1ABB 1为α，平面ABCD 为β，直线D 1C 1为l ，平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，D 1C 1∥平面A 1ABB 1，而D 1C 1∥平面ABCD ．故A ，C ，D 都是错误的．而对于B ，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B 正确．9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )． A ．22134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22143x y += 答案：D解析：由中心在原点的椭圆C 的右焦点F (1,0)知，c ＝1.又离心率等于12，则12ca=，得a＝2.由b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为221 43x y+=.10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：对于①，由向量加法的三角形法则知正确；对于②，由平面向量基本定理知正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，故③不正确；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④不正确．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(11～13题)11．(2013广东，文11)设数列{a n}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝__________.答案：15解析：由数列{a n}首项为1，公比q＝－2，则a n＝(－2)n－1，a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.12．(2013广东，文12)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.答案：1 2解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝1 2.13．(2013广东，文13)已知变量x，y满足约束条件30,11,1,x yxy-+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z＝x＋y的最大值是__________．答案：5解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l0，当l过点A(1,4)，即当x＝1，y＝4时，z max＝5.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为__________．答案：1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)解析：由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ知以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x －1)2＋y 2＝1，故参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)．15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD 中，AB ，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝__________.答案：2解析：在Rt △ABC 中，AB ，BC ＝3，tan ∠BAC ＝BCAB=则∠BAC ＝60°，AE ＝12AB 在△AED 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3， ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos ∠EAD＝22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＋32－2×2×3×cos 30°＝34＋9－23＝214.∴ED.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈R.(1)求π3f⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π6fθ⎛⎫-⎪⎝⎭.解：(1)ππππ1 33124f⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin θ＝45 =-，∴ππ64fθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1 cos cos sin sin445θθ⎫+=-⎪⎭.17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4；(2)重量在[80,85)的有4×5515+＝1个；(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P(A)＝3162=.18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC.图(1)图(2)(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG . (1)证明：在等边三角形ABC 中， ∵AD ＝AE ，∴AD AEDB EC=. 又AD AEDB EC=，在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立， ∴DE ∥BC ．∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，∵F 是BC 的中点，BC ＝1，∴AF ⊥CF ，BF ＝CF ＝12. ∵在三棱锥A －BCF 中，BC＝2， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)解：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE＝11111323323324⎛⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭. 19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：2a =(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，∴a 22＝4a 1＋5. ∵a n ＞0，∴2a =(2)解：当n ≥2时，4S n －1＝a n 2－4(n －1)－1，① 4S n ＝a n ＋12－4n －1，②由②－①，得4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋12－a n 2－4， ∴a n ＋12＝a n 2＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 52＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1. ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(3)证明：12231111n n a a a a a a ++++＝11111335572121n n ++++⨯⨯⨯(-)⋅(+) ＝1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝11112212n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭. 20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意d ==c ＝1(负根舍去)． ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线P A 的方程为y －y 1＝12x (x －x 1)，即y ＝12x x ＋y 1－12x 12. ∵y 1＝14x 12，∴y ＝12x x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线P A 上，∴y 0＝12x x 0－y 1.① 同理，y 0＝22xx 0－y 2.②综合①，②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝2xx 0－y . ∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝2xx 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， ∴|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1) ＝y 1＋y 2＋y 1y 2＋1.联立2004,220,x y x x y y ⎧=⎨--=⎩消去x 得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0， ∴y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02.∵点P (x 0，y 0)在直线l 上，∴x 0－y 0－2＝0. ∴|AF |·|BF |＝x 02－2y 0＋y 02＋1 ＝y 02－2y 0＋(y 0＋2)2＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值为92.21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ＜0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M .解：f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1， (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，Δ＝4－12＝－8＜0， ∴f ′(x )＞0，即f (x )的单调递增区间为R .(2)(方法一)当k ＜0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴3kx =，且过(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k k -≤0，即k ＜0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．从而当x ＝k 时，f (x )取得最小值m ＝f (k )＝k ；当x ＝－k 时，f (x )取得最大值M ＝f (－k )＝－k 3－k 3－k ＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12＝4(k k -＞0，即k ＜令f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1＝0，解得：13k x =，23k x =，注意到k ＜x 2＜x 1＜0.(注：可用韦达定理判断x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝23k＞k ，从而k ＜x 2＜x 1＜0；或者由对称结合图象判断)∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}． ∵f (x 1)－f (k )＝x 13－kx 12＋x 1－k＝(x 1－k )(x 12＋1)＞0， ∴f (x )的最小值m ＝f (k )＝k .∵f (x 2)－f (－k )＝x 23－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]＜0，∴f (x )的最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上所述，当k ＜0时，f (x )的最小值m ＝f (k )＝k ，最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k . (方法2)当k ＜0时，对∀x ∈[k ，－k ]，都有f (x )－f (k )＝x 3－kx 2＋x －k 3＋k 3－k ＝(x 2＋1)(x －k )≥0，故f (x )≥f (k )．f (x )－f (－k )＝x 3－kx 2＋x ＋k 3＋k 3＋k ＝(x ＋k )(x 2－2kx ＋2k 2＋1)＝(x ＋k )[(x －k )2＋k 2＋1]≤0. 故f (x )≤f (－k )．∵f (k )＝k ＜0，f (－k )＝－2k 3－k ＞0， ∴f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k ，f (x )min ＝f (k )＝k .。

2013年高考真题——文科数学(新课标I卷)解析版_1

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =I （）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝（C ）{0，1}（D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为5，则C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（）（A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（）（A ）2（B ）22（C ）23（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（）（A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013佛山一模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】

2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于（） A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．命题“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是（）A ．2,11x x ∀∈+<RB ．2,11x x ∃∈+≤RC ．2,11x x ∃∈+<RD ．2,11x x ∃∈+≥R 3．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出s 的值是（） A ．10 B ．15 C ．20 D ．304．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k =（） A ．2 B ． 2- C ．8 D ．8-5．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（）A ．3-B ．12C ．5D ．66．已知集合{}2log (1)2M x x =-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b =,则a b +=（A ．4B ．5C ．6D ．7 7．函数2()2xf x e x =+-在区间()2,1-内零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的22221y x a b+=（0a b >>）焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（） A ．13 B ．12 C D ．29．一长方体被一平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示，则侧视图可以为（）10．设二次函数2()4()f x ax x c x =-+∈R 的值域为[0,)+∞，则19c a+的最小值为（） A ．3 B ．92C ．5D ．7 二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题(11～13题)11．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为． 12．函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭ 的最小正周期为，最大值是． 13．1<<<；…则第5个不等式为．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为． 15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．若3AD AE =，则:AF FC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =.记锐角ADB α∠=．且满足7cos 225α=-．（1）求cos α；（2）求BC 边上高的值．17．（本题满分12分）城市公交车数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取5组，如下表所示（单位：min ）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18．（本题满分14分）如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD BD =．F A B C D E MlB D A（1）求证：CD ⊥平面PAB ；（2）求点D 到平面PBC 的距离． 19．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为22n n S a =-，数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列,且1311,,b b b 成等比数列．（1）求123,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（3）求证：3121235nnb b b b a a a a ++++<．20．（本题满分14分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，(,)Cm n ．（1）若1m =，n =ABC ∆的外接圆的方程；（2）若以线段AB 为直径的圆O 过点C （异于点,A B ），直线2x =交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论．21．（本题满分14分）设函数1()x e f x x-=，0x ≠．（1）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()1f x a -<成立．2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准二、填空题：本大共11．2 12．2π（2分）（3分） 13++< 14．2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos sin 1ρθθ=） 15．1:4三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解析：（1）∵27cos 22cos 125αα=-=-，∴29cos 25α=，∵(0,)2πα∈，∴3cos 5α=． ----------5分（2）方法一、由（1）得4sin 5α==，∵45CAD ADB C α∠=∠-∠=-，∴sin sin()sin coscos sin44410CAD πππααα∠=-=-=， -----------------9分在ACD ∆中，由正弦定理得：sin sin CD ADCAD C =∠∠，∴1sin 5sin CD C AD CAD⋅∠===∠， ------------11分则高4sin 545h AD ADB =⋅∠=⨯=． ---------12分方法二、如图，作BC 边上的高为AH 在直角△ADH 中，由（1）可得3cos 5DB AD α==，则不妨设5,AD m = 则3,4DH m AH m ==-------8分注意到=45C ∠，则AHC ∆为等腰直角三角形，所以CD DH AH +=，则134m m +=---------10分所以1m =，即4AH = ----------12分17．解：（1）1(2.527.5612.5417.5222.51)15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1157.5=10.515=⨯min ．-----------------3分（2）候车时间少于10分钟的概率为3681515+=，---4分，故候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人．--6分（3）将第三组乘客编号为1234,,,a a a a ，第四组乘客编号为12,b b ．从6人中任选两人有包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b ，23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ，343132(,),(,),(,)a a a b a b ， 4142(,),(,)a b a b ，12(,)b b ， -----------10分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为815． ------------12分 18．解：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥BC =知，60CAB ∠=， ∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥，-----------------5分由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，∵在Rt ABC ∆中，4AB =， ∴由3AD DB =BC =得，3DB =，4AB =，BC =∴BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽，∴BCA BDC ∠=∠，即CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分，由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆BC =得，30ABC ∠=，∵4AB =，由3AD D B =得，3DB =，BC =由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=， ∴222CD DB BC +=，即CD AO ⊥．----------3分，∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥，-----------------5分由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可知CD ，3PD DB ==，--------7分∴1111133332322P BDC BDC V S PD DB DC PD -∆=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=--------10分又PB =PC =BC ==∴PBC ∆为等腰三角形，则12PBC S ∆=⨯=．--------12分设点D 到平面PBC 的距离为d ，由P BDC D PBC V V --=得，132PBC S d ∆⋅=，解得5d =．--------14分法2：由（Ⅰ）可知CD =，3PD DB ==，过点D 作DE CB ⊥，垂足为连接PE ，再过点D 作DF PE ⊥，垂足为F ．-----------------8分∵PD ⊥平面ABC ，又CB ⊂平面ABC ，∴PD CB ⊥，又PD DE D =， ∴CB ⊥平面PDE ，又DF ⊂平面PDE ，∴CB DF ⊥，又CBPE E =，∴DF ⊥平面PBC ，故DF 为点D 到平面PBC 的距离．--------10分在Rt DEB ∆中，3sin 302DE DB =⋅=，PE ==，在Rt PDE ∆中，33PD DE DF PE ⨯⋅===D 到平面PBC 的距离为519．解：（1）∵22n n S a =-，∴当1n =时，1122a a =-，解得12a =；当2n =时，212222S a a a =+=-，解得24a =；当3n =时，3123322S a a a a =++=-，解得38a =． -----------------3分（2）当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， -----------------5分得12n n a a -=又11122a S a ==-，12a =，∴数列{n a }是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列{n a }的通项公式为2nn a =． -------7分，112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+， ------8分，解得0d =（舍去）或3d =， ---------9分所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-．-----------------10分P（3）令312123nn n b b b b T a a a a =++++123258312222n n -=++++，121583122222nn n T --=++++，-------11分两式式相减得12133********n n n n T --=++++-， ∴131(1)3135222512212n n n n n n T ---+=+-=--， ----13分又3502nn +>，故5n T <．-----------------14分 20．解：（1）法1：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得420420130D F D F D F ⎧-+=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得0,4D E F ===-，∴ABC ∆的外接圆方程为2240x y +-=，即224x y +=．-----------------6分法2：线段AC 的中点为1(2-，直线AC的斜率为1k =， ∴线段AC 的中垂线的方程为1)22y x -=+，线段AB 的中垂线方程为0x =， ∴ABC ∆的外接圆圆心为(0,0)，半径为2r =，∴ABC∆的外接圆方程为224x y +=．-----------------6分法3：||2OC ==，而||||2OA OB ==，∴ABC ∆的外接圆是以O 为圆心，2为半径的圆， ∴ABC ∆的外接圆方程为224x y +=．------6分法4：直线AC 的斜率为1k =BC 的斜率为2k =121k k ⋅=-，即AC BC ⊥， ∴ABC ∆的外接圆是以线段AB 为直径的圆，∴ABC ∆的外接圆方程为224x y +=．-----------------6分（2）由题意可知以线段AB 为直径的圆的方程为224x y +=，设点R 的坐标为(2,)t ，∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ，----------------8分，而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+， ∴42n t m =+，∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2nm +，-----------------10分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---，而224m n +=，∴224m n -=-， ∴2mn mk n n==--，-----------------12分，∴直线CD 的方程为()m y n x m n -=--，化简得40mx ny +-=，∴圆心O 到直线CD 的距离2d r ====，所以直线CD 与圆O 相切． ------------14分 21．解：（1）22(1)(1)1()x x x xe e x e f x x x---+'==， ------------2分令()(1)1x h x x e =-+，则()(1)x x x h x e e x xe '=+-=，当0x >时，()0x h x xe '=>，∴()h x 是()0,+∞上的增函数，∴()(0)0h x h >=，故2()()0h x f x x'=>，即函数()f x 是()0,+∞上的增函数． --------------6分（2）11()11x x e e x f x x x----=-=，当0x >时，令()1x g x e x =--，则()10x g x e '=->，------8分故()(0)0g x g >=，∴1()1x e x f x x ---=，原不等式化为1x e x a x--<，即(1)10x e a x -+-<， ----10分令()(1)1x x e a x ϕ=-+-，则()(1)x x e a ϕ'=-+，由()0x ϕ'=得：1xe a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0x ϕ'<；当ln(1)x a >+时，()0x ϕ'>．故当ln(1)x a =+时，()x ϕ取最小值[ln(1)](1)ln(1)a a a a ϕ+=-++，-----------------12分令()ln(1),01a s a a a a =-+>+，则2211()0(1)1(1)as a a a a '=-=-<+++．故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0a a a a ϕ+=-++<．因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立．----------------14分。

解析版广东省佛山市2013年高考数学一模试卷文科

2013年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•潮州二模）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数分子分母同时乘以2﹣i，然后整理成a+bi（a，b∈R）的形式即可．解答：解：=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．（5分）（2013•东莞二模）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1考点： Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．专题：规律型．分析：全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．解答：解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜1．故选C．点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键．3．（5分）（2013•佛山一模）程序框图如图所示，该程序运行后输出的i的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 a b i循环前/4 2 1第一圈是2 1 2第二圈是1 3第三圈是 4第四圈是 5…第9圈是10第10圈是11第11圈是12第12圈是13第13圈否该程序运行后输出的i的值是13，故选D．点评：本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件．属于基础题．4．（5分）（2013•佛山一模）已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=（）A．2B．﹣2 C．8D．﹣8考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标运算易得的坐标，进而由可得它们的数量积为0，可得关于k 的方程，解之可得答案．解答：解：∵=（1，2），=（0，1），∴=（1，4），又因为，所以=k﹣8=0，解得k=8，故选C点评：本题考查平面向量数量积和向量的垂直关系，属基础题．5．（5分）（2013•潮州二模）已知实数x，y 满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣3 B．C．5D．6考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）3 / 16设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，﹣1）=5故选：C点评：题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6．（5分）（2013•佛山一模）已知集合M={x||x﹣4|+|x﹣1|＜5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N={2，b}，则a+b=（）A．6B．7C．8D．9考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合M中的不等式表示数轴上到1的距离与到4的距离之和小于5，求出x的范围，确定出M，由M与N的交集及N，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．解答：解：由集合M中的不等式，解得：0＜x＜5，∴M={x|0＜x＜5}，∵N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（2，b），∴a=2，b=5，则a+b=2+5=7．故选B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7．（5分）（2013•河东区二模）函数f（x）=e x+x2﹣2在区间（﹣2，1）内零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由已知中函数的解析式，求出导函数f'（x）的解析式，和导函数的导函数f''（x）的解析式，分析f''（x）的符号，求出f'（x）的单调性，进而分析f'（x）的符号，再分析函数f（x）在区间（﹣2，1）的单调性及极值，进而结合零点存在定理，得到答案．解答：解：∵f（x）=e x+x2﹣2得f'（x）=e x+2xf''（x）=e x+2＞0从而f'（x）是增函数，f'（﹣2）=﹣4＜0f'（0）=1＞0从而f'（x）在（﹣2，1）内有唯一零点x0，满足则在区间（﹣2，x0）上，有f'（x）＜0，f（x）是减函数，在区间（x0，1）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．因为f（﹣2）=+2＞0，f（x0）＜f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0从而f（x）在（﹣2，1）上有两个零点．故选B点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，使用导数法，判断函数的单调性是解答的关键，但需要二次求导，难度中档．8．（5分）（2013•佛山一模）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，确定双曲线的顶点与焦点，再根据双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，确定双曲线的渐近线，从而求出椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点∴双曲线的顶点是，焦点是（±a，0）设双曲线方程为∴双曲线的渐近线方程为∵∴n=b∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形∴双曲线的渐近线方程为y=±x∴m=n∴a2﹣b2=b2∴c2=a2﹣c2∴a2=2c2∴∴故选D．点评：本题以椭圆方程为载体，考查双曲线的几何性质，考查椭圆的离心率，正确运用几何量的关系是关键．9．（5分）（2013•佛山一模）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图可以为（）5 / 16A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过正视图与俯视图，判断几何体的形状，然后推断侧视图的图形即可．解答：解：由题意可知，几何体是长方体被截去正面左上部一个角的图形，如图：因此它的侧视图是故选B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力．10．（5分）（2013•济宁二模）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3B．C．5D．7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．解答：解：由题意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴ac=4，c＞0，则则≥2×=3，当且仅当时取等号，则的最小值是3．故选A．点评：本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是拆项，属于基础题．二、填空题：必做题（11～13题）每小题5分．11．（5分）（2011•上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．解答：解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．点评：本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．12．（5分）（2013•佛山一模）函数y=sinx+sin（x﹣）的最小正周期为2π，最大值是．考点：两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的正弦函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出函数的周期与最大值．解答：解：因为函数y=sinx+sin（x﹣）=sinx+sinx﹣cosx=sin（x﹣）．所以函数的周期为T==2π（2分）；函数的最大值为：（3分）故答案为：2π；．点评：本题考查三角函数的化简求值，函数周期的求法，考查基本知识的应用．13．（5分）（2013•佛山一模）观察下列不等式：①＜1；②+；③；…则第5个不等式为．考点：归纳推理；进行简单的合情推理．专题：压轴题；规律型．分析：前3个不等式有这样的特点，第一个不等式含1项，第二个不等式含2项，第三个不等式含3项，且每一项的分子都是1，分母都含有根式，根号内数字的规律是2；2，6；2，12；由此可知，第n 个不等式左边应含有n项，每一项分子都是1，分母中根号内的数的差构成等差数列，不等式的右7 / 16边应是根号内的序号数．解答：解：由①＜1；②+；③；归纳可知第四个不等式应为；第五个不等式应为．故答案为．点评：本题考查了合情推理中的归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理．是基础题．三、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）每小题5分14．（5分）（2013•崇明县二模）在极坐标系中，直线过点（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直，则直线的极坐标方程为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先将直线极坐标方程（ρ∈R）化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解过点（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直的直线方程，最后再化成极坐标方程即可．解答：解：由题意可知直线（ρ∈R）的直角坐标方程为：x﹣y=0，过点（1，0）且与直线x﹣y=0垂直的直线方程为：y=﹣（x﹣1），即所求直线普通方程为x+y﹣1=0，则其极坐标方程为．故答案为：．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．15．（2013•佛山一模）（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F．若AD=3AE，则AF：FC=1：4．考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题．分析：利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可得出．解答：解：如图所示，设直线l交CD的延长线于点N．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵M是边AB的中点，∴．∴，∴．故答案为1：4．点评：熟练掌握平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•崇明县二模）如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=．（1）求cosα；（2）求BC边上高的值．考点：正弦定理；二倍角的余弦．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可求cosα（2）方法一、由可求sinα，而∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°，利用sin∠CAD=sin （）=sin，代入可求sin∠CAD，最后再由正弦定理，可求AD，从而可由h=ADsin∠ADB求解方法二、作BC 边上的高为AH，在直角△ADH中，由（1）可得，设出AD，则可表示DH，AH，结合△AHC为等腰直角三角形，可得CD+DH=AH，代入可求解答：解：（1）∵cos2α=2cos2α﹣1=，∴，9 / 16∵，∴cosα=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）方法一、由（1）得=，∵∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°，∴sin∠CAD=sin（）=sin==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）在△ACD中，由正弦定理得：，∴AD==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）则高h=ADsin∠ADB==4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）方法二、如图，作BC 边上的高为AH在直角△△ADH中，由（1）可得=，则不妨设AD=5m则DH=3m，AH=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）注意到C=45°，则△AHC为等腰直角三角形，所以CD+DH=AH，则1+3m=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以m=1，即AH=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式17．（12分）（2013•佛山一模）组别候车时间人数一[0，5） 2二[5，10） 6三[10，15） 4四[15，20） 2五[20，25] 1城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）累积各组组中与频数的积，可得这15名乘客的这15名乘客的总和，除以15可得这15名乘客的平均候车时间；（2）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为8，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案．解答：解：（1）=min．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）候车时间少于10分钟的概率为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以候车时间少于10分钟的人数为人．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2．从6人中任选两人有包含以下15个基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题．18．（14分）（2013•佛山一模）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O 上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．（1）求证：CD⊥平面PAB；（2）求点D到平面PBC的距离．考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由AB是圆的直径，得到AC⊥CB，结合BC=AC算出∠ABC=30°，进而得到．△BCD11 / 16中用余弦定理算出CD长，从而CD2+DB2=BC2，可得CD⊥AO．再根据PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，结合线面垂直的判定定理即可证出CD⊥平面PAB；（2）根据（1）中计算的结果，利用锥体体积公式算出，而V P﹣BDC=V D﹣PDC，由此设点D到平面PBC的距离为d，可得，结合△PBC的面积可算出点D到平面PBC的距离．解答：解：（1）∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，∵Rt△ABC中，由，∴tan∠ABC==，∠ABC=30°，∵AB=4，3AD=DB，∴DB=3，，由余弦定理，得△BCD中，CD2=DB2+BC2﹣2DB•BCcos30°=3，∴CD2+DB2=12=BC2，可得CD⊥AO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，即PD⊥平面ABC，又∵CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵PD∩AO=D得，∴CD⊥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）可知，PD=DB=3，且Rt△BCD中，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又∵，，，∴△PBC为等腰三角形，可得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）设点D到平面PBC的距离为d，由V P﹣BDC=V D﹣PBC，得，解之得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题给出底面△ABC在外接圆中的三棱锥，求证线面垂直并求点到平面的距离，着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体体积公式和点面距离的求法等知识，属于中档题．19．（14分）（2013•佛山一模）数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（3）求证：＜5．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由S n=2a n﹣2，分别令n=1，2，3可求a1，a2，a3（2）n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1可得a n=2a n﹣1，结合等比数列的通项公式可求a n，然后由b1=a1且b1，b3，b11成等比数列可求公差d，进而可求通项（3）令T n=，代入结合项的特点考虑利用错位相减求和先求出左边的式子的和，然后可证明解答：（本题满分14分）解：（1）∵S n=2a n﹣2，∴当=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2；当n=2时，S2=2+a2=2a2﹣2，解得a2=4；当n=3时，s3=a1+a2+a3=2a3﹣2，解得a3=8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣（5分）得a n=2a n﹣1又，a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）b1=a1=2，设公差为d，则由且b1，b3，b11成等比数列得（2+2d）2=2（2+10d），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得d=0（舍去）或d=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴b n=3n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）令T n ==，∴2T n =，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）两式式相减得=2+=5﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）又＞0，故：＜5．．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14）点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公、性质及等差数列的通项公式的应用，数列的错位相减求和方法的应用，适用具有一定的计算量20．（14分）（2013•佛山一模）已知A（﹣2，0），B（2，0），C（m，n）．（1）若m=1，n=，求△ABC的外接圆的方程；（2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A，B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论．考点：圆的一般方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；综合题；直线与圆．分析：（1）法1：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意，求得D，E，F即可；法2：可求得线段AC的中点为（﹣，），直线AC的斜率为k1=及线段AC的中垂线的方程，从而可求△ABC的外接圆圆心及半径为r；13 / 16法3：可求得|OC|=2，而|OA|=|OB|=2，从而知△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆；法4：直线AC的斜率为k1=，直线BC的斜率为k2=﹣，由k1•k2=﹣1⇒AC⊥BC，⇒△ABC 的外接圆是以线段AB为直径的圆；（2）设点R的坐标为（2，t），由A，C，R三点共线，而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t （m+2）可求得t=，继而可求得直线CD的方程，于是可求得圆心O到直线CD的距离d=r，从而可判断直线CD与圆O相切．解答：解：（1）法1：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意可得，解得D=E=0，F=﹣4，∴△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣4=0，即x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）法2：线段AC的中点为（﹣，），直线AC的斜率为k1=，∴线段AC的中垂线的方程为y﹣=﹣（x+），线段AB的中垂线方程为x=0，∴△ABC的外接圆圆心为（0，0），半径为r=2，∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）法3：∵|OC|==2，而|OA|=|OB|=2，∴△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆，∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）法4：直线AC的斜率为k1=，直线BC的斜率为k2=﹣，∴k1•k2=﹣1，即AC⊥BC，∴△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆，∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，设点R的坐标为（2，t），∵A，C，R三点共线，∴∥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2），∴t=，∴点R的坐标为（2，），点D的坐标为（2，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴直线CD的斜率为k===，而m2+n2=4，∴m2﹣4=﹣n2，∴k==﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴直线CD的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny﹣4=0，∴圆心O到直线CD的距离d===2=r，所以直线CD与圆O相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查圆的一般方程，考查圆的方程的确定，突出考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离，考查推理分析与运算能力，属于难题．21．（14分）（2013•佛山一模）设函数f（x）=，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的办法，通过导数大于或小于0判断函数的单调性．（2）先将|f（x）﹣1|化为|f（x）﹣1|=，从而原不等式化为＜a，即e x﹣（1+a）x﹣1＜0．令∅（x）=e x﹣（1+a）x﹣1，利用导数研究它的单调性和最值，最后得到存在正数x=ln （1+a），使原不等式成立．解答：解：（1）f′（x）==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=e x+e x（x﹣1）=xe x，当x＞0时，h′（x）=xe x＞0，∴h（x）是上的增函数，∴h（x）＞h（0）=0故f′（x）=＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）|f（x）﹣1|=||，当x＞0时，令g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）﹣1|=，15 / 16。

2013年高考真题文科数学(广东卷)解析版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析从今以后，不再是大学特学综合科，而是大学特学数学科了！让别的科扼杀学生的能力吧，数学出基础题就好一一感恩广东今年数学出题老师一一湛江 -农垦-小徐注（QQ:808068）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.1锥体的体积公式： V 1 Sh .其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.3一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.设集合 S {x|x 2 2x 0,x R} , T {x|x 2 2x 0,x R}，则 S TA . {0}B- {0, 2}C. { 2,0} D . { 2,0, 2} 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A , 5分到手，妙!2 .函数f (x) lg( x ——9的定义域是x 1A . ( 1,) B . [ 1, ) C. ( 1,1) (1, )D . [ 1,1) (1,【解析】：对数真数大于零, 分母不等于零，目测C !3 .若 i(x yi) 3 4i ,x, y R ，则复数xyi 的模是A . 2B . 3C. 4D . 54,y模为5，选D.4 .已知sin(2)—, 那么cos21C 1A .B. C. -555【解析】考查三角5 S "(2)sin(2 +—) si n —2 2cos1—，选 C.55.执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是A. 1B. 2C. 4D. 7【解析】选C•本题只需细心按程序框图运行一下即可.正视图侧视图俯视图6.某三棱锥的三视图如图 2所示，则该三棱锥的体积是【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为选B.排除B 、C ;相切于第一象限排除 D ,选A •直接法可设所求的直线方程为:①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ； ②给定向量b 和c ,总存在实数和，使a b③给定单位向量 b 和正数，总存在单位向量 c 和实数④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c ;1 A .61 B.3C. 23D. 12=3，7 .垂直于直线.. 2 2y x 1且与圆x y 1相切于第一象限的直线方程是A . x yB .C . x yD .【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于再利用圆心到直线的距离等于r 1，求得k 2 .&设I 为直线, 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若 I//, I //，则 // B .若I ,I ，则 //C .若 I , I //，则 //D .若,I// ，则【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为2 2x y .A.————22x yB .— 1 4 3C .D .【解析】基础题，c1,a 2,b3，选 D.10.设a 是已知的平面向量且’a ；0，关.于向量 a 的分解, 有如下四个命，使a b上述命题中的向量b, c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是D. 4A. 1B. 2C. 3【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以 a 的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量 b 有交点，这个不一定能满足，③是错的; 利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须a ，所以④是假命题•综上，本题选B •平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何•【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABD 选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共 5小题•考生作答4小题•每小题5分，满分20分. （一）必做题（11〜13题）11 •设数列｛a n ｝是首项为1，公比为 2的等比数列, 【解析】这题相当于直接给出答案了 15212.若曲线y ax In x 在点（1,a ）处的切线平行于标系，则曲线C 的参数方程为【解析】本题考了备考弱点x 1 cos1，易的则曲线 C 的参数方程为（为参数）则 a 1 |a 21 a s |a 41x 轴,【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意y2ax1 ',y x 1 2a 1 x13.已知变量x, y 满足约束条件 x 1，则 z 1最大值是【解析】画出可行域如图，最优解为1,4，故填5（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚•先化成直角坐标方程X 1 2 y 2y sin15.（几何证明选讲选做题）如图3,在矩形ABCD中，AB 3, BC 3, BE AC，垂足为E，则ED⑵用分层抽样的方法从重量在[80,85）和[95,100）的苹果中共抽取4个，其中重量在【解析】本题对数值要敏感，由AB 3, BC 3，可知 BAC 60从而AE 计，CAD 30，【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些•三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数 f(x) 2 cos x 一 , x R . 12(1)求f 的值;333⑵若cos -,——,2 ，求f 526 【解析】(1) fcos - —v 2 cos -13 3 12441 Vcos3 3,2sin2cos5 25f=2 cos2 cos cossin sin —1644 45【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了17. （本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取 50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下:分组（重量） [80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95）的频率;DEAE 2 AD 2 2AE AD cos3021 2图3［80,85）的有几个?⑶ 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在［80,85）和［95,100）中各有1个的概率.20【解析】（1）苹果的重量在 90,95的频率为20 =0 4 ；505（2） ------------------------- 重量在80,85的有4 =1个；5+15（3）设这4个苹果中80,85分段的为1， 95,100分段的为2、3、4,从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（ 1,3）（ 1 ,4）（ 2, 3）（2,4）（ 3, 4）共 6 种；设任取 2 个，重量在 80,85 和 95,1003 1 中各有1个的事件为A ,贝U 事件A 包含有（1, 2）（ 1 , 3）（ 1, 4）共3种，所以p （A ） 3 '.6 2【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！18. （本小题满分13分）如图4,在边长为1的等边三角形 ABC中，D,E 分别是AB, AC 边上的点，AD AE , F是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将 ABF 沿AF 折起，得到如图A BCF ，其中 BC（1）证明：DE //平面BCF ;⑵证明：CF 平面ABF ;⑶当AD —时，求三棱锥F3 DEG 的体积V【解析】（1）在等边三角形ABC 中， AD AEADAE，在折叠后的三棱A BCF 中DB EC 1 1也成立， DE / /BC ., DE 平面 BCF ,5所示的三棱锥G图5BC 平面BCF , DE // 平面BCF ；（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF BC①，BF CF 1.2在三棱锥A BCF中，BC BC2BF2CF2CF BF ②（2）两问是已知S n 求a n , a n 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（易错点在分成n 1，n 2来做后，不会求印，没有证明q 也满足通项公式. 20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点 F 0,c c 0到直线I : X y 2 o 的距离为3 2.设P 为直线I 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB ，其中代B 为切点. 2（1）求抛物线C 的方程;（2）当点P X o ,y °为直线l 上的定点时，求直线 AB 的方程;⑶ 当点P 在直线I 上移动时，求|AF | |BF |的最小值.抛物线C 的方程为X 2 4y ； (2)设点 A(X 1, y 1),B(X 2,y 2),C 在点A 处的切线PA 的方程为y 力；（x X 1）,11 1 12 2n 121 2n 1 2n 1【解析】（1）依题意d-&2，解得c 1 （负根舍去）2由X 24y ,即卩 y - x 2,得 y4【解析】本题考查很常规, 2）问，作出第（3）问•本题P(x o , y o ),•••抛物线X 1—X 21 2y12X1.?X * . •••点P(x o , y o )在切线I 1 上，• y oX 1刁《y 「同理，y°qx。

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷I)数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )．A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}（2） = ( )（A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A．12 B．13 C．14 D．164．已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)C的渐近线方程为( )．A． B．C．12y x=± D ．5．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )．A．p∧q B．⌝p∧qC．p∧⌝q D．⌝p∧⌝q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛a n｝的前n项和为S n，则（）（A）S n=2a n-1 （B）S n =3a n-2 （C）S n=4-3a n（D）S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．A．[－3,4]B．[－5,2] C．[－4,3]D．[－2,5]8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为( )．A．2 B．．．49．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )．10．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．A．10 B．9 C．8 D．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A．16＋8πB．8＋8π C．16＋16πD．8＋16π12已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝______.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．16．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.星期一已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．星期二如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．星期三为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？星期四已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 星期五已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．星期六（三选一）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(Ⅰ)证明：DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1，BC= ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

2013年高考广东卷文科数学试题及答案

21．（本小题满分14分）
设函数．
(1)当时,求函数的单调区间；
(2)当时,求函数在上的最小值和最大值．
【解析】：
(1)当时
, 在上单调递增.
（2）当时，，其开口向上，对称轴，且过
（i）当，即时，，在上单调递增，
从而当时，取得最小值 ,
当时，取得最大值 .
7．垂直于直线且与圆相切于第Ⅰ象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【解析】直接法可设所求的直线方程为：，再利用圆心到直线的距离等于，求得 .选A.
8．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【解析】借助长方体判断，可知B正确..
分组（重量）
频数（个）
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．
【解析】（1）苹果的重量在的频率为；
（2）重量在的有个；
【解析】：考查三角函数诱导公式，，选C.
5．执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是
A．1 B．2 C．4 D．7
【解析】根据程序框图，s=1+0+1+2=4.选C.
6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
A． B． C． D．
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.
（ii）当，即时，令

2013广东高考数学(文科)试题及详解

图 2俯视图侧视图正视图2013广东高考数学（文科）试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =AA ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}- 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是C A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是D A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知51sin()25πα+=，那么cos α=C A ．25- B ．15- C ．15 D ．255．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是CA ．1B ．2C ．4D ．76．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是B A ．16 B ．13 C ．23D ．1 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是AA ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-= D ．0x y += 解:圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A. 8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是B A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是D A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 10．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ； ②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ； ③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4图 1【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． 11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x Rπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭． (1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．图 318．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC(1) 证明：DE //平面BCF ；(2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE = AD AE DB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ， BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==. 在三棱锥A B C -2222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② B F C F F C FA B ⋂=∴⊥平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列． (1) 证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<．【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列. 2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =,由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴= 21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程； (2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【解析】（1）依题意2d ==，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理，20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002.∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的，∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=；（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --= ()22220000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间； (2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．【解析】：()'2321fx x kx =-+ (1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx = ，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=≤，即0k <时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当(24124330kkk∆=-=>，即k <时，令()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<, (注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+> ()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式.。

2013年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）文科数学一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x |x =n 2,n ∈A }，则A ∩B =A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2．212i 1i +(-)= A ．1-1-i 2 B ．1-1+i 2 C ．11+i 2 D ．11-i 23．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A ．12B ．13C ．14D ．164．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A ．y=14x ± B ．y=13x ± C ．y=12x ± D ．y=±x 5．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1-x 2，则下列命题中为真命题的是A ．p ∧qB ．﹁p ∧qC ．p ∧﹁qD ．﹁ p ∧﹁q6．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n -1B ．S n =3a n -2C ．S n =4-3a nD ．S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3]，则输出的S 属于A ．[-3,4]B ．[-5,2]C ．[-4,3]D ．[-2,5]8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=的焦点，P 为C 上一点，若|PF |=POF 的面积为A ．2B ．C ．D ．49．函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为10．已知锐角ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ， 23cos 2A +cos2A =0， a =7，c =6，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．已知函数f (x )=22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是A ．(-∞,0]B ．(-∞,1]C ．[-2,1]D ．[-2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a +(1-t )b . 若b ·c =0，则t =____.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z =2x -y 的最大值为______. 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______.16．设当x =θ时，函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值，则cos θ=______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5=－5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB=DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求ΔBCF外接圆的半径.23 ．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.(1)当a=-2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>-1，且当x∈1[,)22a-时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年高考全国1卷文科数学参考答案12．解：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2- 3．解：依题所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，满足条件的事件数是2种，所以所求的概率为13. 4．解：依题2254c a =. ∵c 2=a 2＋b 2，∴2214b a =，∴12b a =. ∴渐近线方程为12y x =± 5．解：由20=30知，p 为假命题．令h (x )=x 3-1+x 2，∵h (0)=-1<0，h (1)=1>0， ∴h (x )=0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3=1-x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．6．解：121(1)/133n n n a a q S a q -==--=3-2a n 7．解：当－1≤t <1时，s =3t ，则s ∈[-3,3)．当1≤t ≤3时，s =4t -t 2. ∵该函数的对称轴为t =2，∴s max =4，s min =3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[-3,4]8．解：利用|PF |=P x =x P =∴y P =±∴S △POF =12|OF |·|y P |=9．解：由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π(0,)2时，f (x )>0，排除A. 当x ∈(0,π)时，f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2x +cos x +1.令f ′(x )=0，可得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．解：由23cos 2A +cos 2A =0，得cos 2A =125. ∵A ∈π(0,)2，∴cos A =15. ∵cos A =236491265b b +-=⨯，解得b =5或135b =-(舍)．故选D. 11．解：该几何体为一个半圆柱的上面后方放一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱=12π×22×4=8π，V 长方体=4×2×2=16. 所以体积为16＋8π. 故选A 12．解：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a >0时，y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点，所以排除B,C;当a ≤0时，若x >0，则|f (x )|≥ax 恒成立；若x ≤0，则以y =ax 与y =x 2-2x 相切为界限，联立y =ax 与y =x 2-2消去y 得x 2-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2=0，∴a =-2. ∴a ∈[-2,0]．故选D.二、填空题：13．2 1 4．3 15．9π216．5- 13．解：依题a ·b =111122⨯⨯=，b ·c = t a ·b +(1-t )b 2 =0，∴12t +1-t =0. ∴t =2. 14．解：作出可行域如图所示．画出初始直线l 0:2x -y =0，l 0平移到l ，当直线l 经过点A (3,3)时z 取最大值，z =2×3-3=3.15．解：如图，π·EH 2=π，∴EH =1，设球O 的半径为R ，则AH =23R ， OH =3R . 在RtΔOEH 中，R 2=22()+13R ， ∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2. 16．解：∵f (x )=sin x -2cos x x +φ)，其中tan φ=-2，φ是第四象限角.当x +φ=2k π+π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ=2k π+π2-φ(k ∈Z )， ∴cos θ=πcos()2ϕ-=sin φ=5-. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n =1(1)2n n na d -+. 则11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ …2分解得a 1=1，d =-1. …4分故{a n }的通项公式为a n =2-n . …6分(2)由(1)知21211n n a a -+=1111()321222321n n n n =-(-)(-)--， …8分从而新数列的前n 项和为111111[(11)(1)()][1]23232122112n n T n n n n =--+-++-=--=---- …12分 18．解： (1)设A 药数据的平均数为x B 药观测数据的平均数为y . x =(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3 +2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9 +3.0+3.1+3.2+3.5)/20=2.3，…3分 y ＝+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)/20=1.6. …6分由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)绘制茎叶图如图： … 9分从茎叶图可以看出，A 药疗效数据有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效数据有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．… 12分19． (1)证：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .由于AB =AA 1，∠BAA 1=60°，故ΔAA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 又CA =CB ，所以OC ⊥AB . …3分因为OC ∩OA 1=O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，所以AB ⊥A 1C . …6分(2)解：依题ΔABC 与ΔAA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC =OA 1又A 1C，则A 1C 2=OC 2+OA 12，故OA 1⊥OC ，又OA 1⊥AB ，OC ∩AB =O ，所以OA 1⊥平面ABC ， …9分OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．又ΔABC 的面积S △ABC故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3. …12分20．解：(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 依题f (0)=4，f ′(0)=4. …3分故b =4，a +b =8. 从而a =4，b =4. …6分(2)由(1)知，f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ，f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=2(x +2)·(2e x -1).令f ′(x )=0得，x =-ln 2或x =-2. …8 分所以在(-∞，-2)与(-ln2，+∞)上，f ′(x )>0；f (x )单调递增．在(-2，-ln 2) 上，f ′(x )<0. f (x )单调递减． …10 分当x =-2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (-2)=-4e －2+4． …12 分21．解：(1)由已知得圆M 的圆心为M (-1,0)，半径r 1=1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y )，半径为R .依题， |PM |=R +1. |PN |=3-R . 所以|PM |+|PN |=4. …3 分由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，且a =2，c =1，∴b∴C 的方程为22=143x y +(x ≠-2)． …6 分 (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y )，由于|PM |-|PN |=2R -2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R =2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x -2)2+y 2=4. …7 分若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|= …8 分若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，可设l 与x 轴的交点为Q (m ,0)，由1||222||1QP R m QM r m-===--即，解得m =-4. 所以Q (-4,0)，故可设l ：y =k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k=4±.当k=4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2+8x -8=0，解得x=47-±，所以|AB|x 2-x 1|=187. …10分当k=4-时，由图形的对称性可知|AB |=187. 综上，|AB|=|AB |=187. …12 分 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE =∠BCE . 而∠ABE =∠CBE ，故∠CBE =∠BCE ，所以BE =CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，所以∠DCE =90°，由勾股定理可得DB =DC . …5分(2)解：由(1)知，∠CDE =∠BDE ，DB =DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°，所以CF ⊥BF ，故RtΔBCF. …10分 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25，将x=ρcos θ, y=ρsin θ代入整理得C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. …5分(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0. 联立C 1的方程x 2+y 2 -8x -10y +16=0，解得交点为(1,1)与(0,2)，其极坐标分别为π)(2,)42π与. …10分 24．解：(1)当a =-2时，不等式f (x )>g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3，则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． …5分(2)当a >-1，且x ∈1[,)22a -时，f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 所以x ≥a -2对x ∈1[,)22a -都成立．故2a -≥a -2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是4(1,]3-. …10分。

2013年广东高考文科数学(全解析)逐题详解

正视图侧视图俯视图第6题图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）逐题详解【详解提供】广东佛山市南海区南海中学钱耀周参考公式:椎体的体积公式13V Sh =,其中S 表示椎体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,S x x x x =+=∈R ,{}2|20,T x x x x =-=∈R ,则S T = ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】A ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以{}0S T = ,故选A ． 2．函数()()lg 11x f x x +=-的定义域是( )A . ()1,-+∞B ．[)1,-+∞C ．()()1,11,-+∞D ．[)()1,11,-+∞【解析】C ；依题意1010x x +>⎧⎨-≠⎩,解得1x >-且1x ≠,故选C ．3．若()34i x yi i +=+,,x y ∈R ,则x yi +的模是( )A . 2B ．3C ．4D ．5【解析】D ；依题意34y xi i -+=+,所以4,3x y ==-, 所以43x yi i +=-的模为5,故选D ． 4．已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭,那么cos α= ( ) A . 25- B ．15-C ．15D ．25【解析】C ；由诱导公式可得51sin cos 25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭,故选C ．5．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出的s 的值是 ( )A . 1B ．2C ．4D ．7 【解析】C ；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；循环终止,故输出4,选C . 6．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ( )A .16 B ．13C ．23D ．1 【解析】B ；由三视图可知该三棱锥的底面积为12,高为2,所以1112323V =⨯⨯=,故选B . 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A . 0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=【解析】A ；数形结合!画出直线和圆,不难得到切线方程为y x =-故选A ． 8．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 【解析】B ；ACD 是典型错误命题,选B ．9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ,离心率等于12,在椭圆C 的方程是 ( ) A . 22134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22143x y +=【解析】D ；依题意1c =,12e =,所以2a =,从而24a =,2223b a c =-=,故选D ．10．设a 是已知的平面向量且0a ≠ ,关于向量a的分解,有如下四个命题:① 给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+；② 给定向量b 和c,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+ ；③ 给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a b c λμ=+ ；④ 给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+ . 上述命题中的向量b ,c 和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )A . 1B ．2C ．3D ．4 【解析】C ；考查平面向量基本定理,成立的有①②③,故选B ．说明:对于④,比如给定a和1λμ==,就不一定存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c =+.二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分 (一)必做题(11～13题)11．设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234a a a a +++=________．【解析】15；依题意2342,4,8a a a =-==-,所以1234124815a a a a +++=+++=. 12．若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴,则a =______. 【解析】12；求导得12y ax x '=-,依题意210a -=,所以12a =. 13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩,则z x y =+的最大值是____.【解析】5；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最大值时的点为()1,4A ,且最大值为5.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为_____________. 【解析】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)；曲线C 的普通方程为222x y x +=,即()2211x y -+=,圆心为()1,0,A EDCB 第15题图半径1r =,所以曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).15. (几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD 中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =_________.；依题意AC =在Rt ABC ∆中,由射影定理可得,2AB AE AC =⋅,所以AE =也可以由30ABC ∠=︒得到),在ADE ∆中,由余弦定理可得 2222cos30ED AD AEAD AE =+-⋅︒3219234224=+-⨯⨯=,所以2ED =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, cos sin 66124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭341555⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭.17．（本小题满分13分）从一批苹果中,随机抽取50个,其质量(单位:克)的频数分布表如下:(Ⅰ) 根据频率分布表计算苹果的重量在90,95的频率；(Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,其中重量在[)80,85的有几个?(Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的概率. 【解析】(Ⅰ)依题意,苹果的重量在[)90,95的频率为202505=； (Ⅱ) 抽样比为415155=+,所以重量在[)80,85的有1515⨯=个. (Ⅲ) 设抽取的4个苹果中,重量在[)80,85的为a ,重量在[)95,100中的为,,b c d .从中任取2个,包含的基本事件有:{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d ,共6个；满足重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的基本事件为{}{}{},,,,,a b a c a d ,共3个.所以所求概率为3162=. 18．（本小题满分13分）F ABC F DEG 图1图2如图1,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图2所示的三棱锥A BCF -,其中BC =.(Ⅰ) 证明://DE 平面BCF ； (Ⅱ) 证明:CF ⊥平面ABF ； (Ⅲ) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积V . 【解析】(Ⅰ)方法一:(面面平行)在图1中,因为AD AE =,AB AC =,所以AD AEAB AC=,所以//DE BC ；由翻折的不变性可知,在图2中,//DG BF ,因为DG ⊄平面BCF ,BF ⊂平面BCF所以//DG 平面BCF ,同理可证//GE 平面BCF ,又DG GE G = ,所以平面//DGE 平面BCF 又DE ⊂平面DGE ,所以//DE 平面BCF .方法二:在图2中,由翻折不变性可知AD AE =,AB AC =,所以AD AEAB AC=,所以//DE BC , 因为DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,所以//DE 平面BCF .(Ⅱ) 在图2中,因为12BF CF ==,2BC =,222BF CF BC +=,所以CF BF ⊥ 又CF AF ⊥,BF AF F = ,所以CF ⊥平面ABF .(Ⅲ) 因为//GE CF ,由(Ⅱ)知CF ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面DGF ,依题意可得1123DG GE AD ===,236GF AF AG =-=-=,所以1123636DGF S ∆=⨯⨯=,所以三棱锥F DEG -的体积113363324V =⨯=. 20．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441n n S a n +=--,*n ∈N ,且2a 、5a 、14a 构成等比数列.（Ⅰ）证明:2a （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明:对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< . 【解析】（Ⅰ）在21441n n S a n +=--中令1n =,可得212441S a =--,而20a >,所以2a =（Ⅱ）由21441n n S a n +=--可得()214411n n S a n -=---(2n ≥).两式相减,可得22144n n n a a a +=--,即()2212n n a a +=+,因为0n a >,所以12n n a a +=+,于是数列{}n a 把第1项去掉后,是公差为2的等差数列.由2a 、5a 、14a 成等比数列可得25214a a a =,即()()2222624a a a +=+,解得23a =,由2a 11a =,于是212a a -=,所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,所以()12121n a n n =+-=-. （Ⅲ）因为()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 所以()1223111111111111112335212122212n n a a a a a a n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()32f x x kx x =-+()k ∈R . (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当0k <时,求函数()f x 在[],k k -上的最小值m 和最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()32f x x x x =-+,()2321f x x x '=-+因为()224310∆=--⨯⨯<,所以()0f x '>在R 上恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞,无递减区间.(Ⅱ) ()2321f x x kx '=-+,判别式()()22243143k k ∆=--⨯⨯=-当0∆≤,即0k <时,()0f x '≥ 在R 上恒成立,所以f 所以()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==,最大值M = 当0∆>,即k <,令()0f x '=得13k x =2x = 因为()2321f x x kx '=-+的对称轴为2k x =,且恒过()0,1,画出大致图像如图所示,可知120k x x <<<,当x 变化时,()f x ',()f x 的变化如下表:由表可知,()(){}2min ,m f k f x =,()(){}1max ,M f k f x =-.因为()()()()32222222210f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>,所以()m f k k ==. 因为()()()()()()23232111111210f x f k x kx x k k x k x k k ⎡⎤--=-+---=+-++<⎣⎦, 所以()32M f k k k =-=--.综上所述,当0k <时，函数()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==，最大值()32M f k k k =-=--.。

2013年广东高考文数试题答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）参考答案数学（文科）佛山市南海区南海中学：胡文华一、选择题二、填空题11. 15 12.2113. 5 14. )(sin y cos 1x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=； 15. 221 三、解答题16、（本小题满分12分）已知函数R x x x f ∈-=),12cos(2)(π(1)求)3(πf 的值；（2）若)2,23(,53cos ππθθ∈=，求)6(πθ-f 解：（1）14cos2123cos(2)3(==-=ππππf ；（2）)2,23(,53cos ππθθ∈= ， 54)53(1s i n 2-=--=∴θ )4cos(2126cos(2)6(πθππθπθ-=--=-f514sin sin 4cos (cos 2-=⋅+⋅=πθπθ17、（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在【90，95）的频数；（2）用分层抽样的方式从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个；（3）在（2）中抽取4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率。

解：（1）苹果重量在[90,95)的频率为：4.05020=; （2）12054=⨯（3）2112413=⨯C C 答：略。

18、（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，AD=AE ， F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABC ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A-BCF 其中22=BC （1）证明：BCF DE 平面||; (2) 证明：ABF CF 平面⊥; (3) 当32=AD 时，求三棱锥F-DEG 的体积V 。

（1）证明：AE AD AC AB ==, BC DE ||4易知：在图∴则在三棱锥BCF A -中有：BF DG ,|| ⊄DG 平面BCF ,⊂BF 平面BCF ||DG ∴平面BCF ,同理可证||EG 平面BCF⊂∴DG 平面DGE ,⊂EG 平面DGE G EG DG =∴平面||DEG 平面BCF又,⊂DE 平面DGE∴||DE 平面BCF（2）证明 F 为BC 边上的中点，则CF AF BF,AF ⊥⊥又 21CF F ,22===B BC ,222CF F +=B BC ,则2CFB π=∠,即BF CF ⊥,BF AF F = ⊂BF AF 、平面ABF A B F CF 平面⊥∴(3) 解：233sin1=⨯=πAF ，由（1）知：FC EG BF DG ||,||, ,32===∴AF AG AB AD BF DG 得33,31==AG DG ，同理可得31E =G 63=-=AG AF GF A B F ,||平面⊥FC FC EG ,则ABF 平面⊥GE , A B F 平面⊂DG ,则DG GE ⊥,18121=⨯=∆DG GE S DGE CF AF BF,AF ⊥⊥,FC EG BF DG ||,||E G G FG ,D FG ⊥⊥∴⊂=E G G E G G D ,G D 、平面DGEGE D FG 平面⊥∴3243631813131=⨯⨯=⨯⨯=∆-FG S V DGE DGE F . 19、（本小题满分14分）设各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和为n S ,满足*21,144N n n a S n n ∈--=+,且1452,,a a a 构成等比数列。

2013年高考文科数学全国卷1(含详细答案)

数学试卷第1页（共33页）数学试卷第2页（共33页）数学试卷第3页（共33页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = ( )A .{1,4}B .{2,3}C .{9,16}D .{1,2} 2.212i (1i)+=-( )A .11i 2--B .11i 2-+C .11i 2+D .11i 2-3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( )A .12B .13C .14D .164.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为52,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =± 5.已知命题p ：x ∀∈R ,23x x<；命题q ：x ∃∈R ,321x x =-,则下列命题中为真命题的是( )A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝ 6.设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .21n n S a =-B .32n n S a =-C .43n n S a =-D .32n n S a =-7.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :242y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF △的面积为( )A .2B .22C .23D .49.函数()(1cos )sin f x x x =-在[π,π]-上的图象大致为( )10.已知锐角ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,223cos cos20A A +=,7a =,6c =,则b =( )A .10B .9C .8D .5 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+12.已知函数22,0()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+⎩≤，＞若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是( )A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b ,若0=b c ,则t =________.14.设x ,y 满足约束条件13,10,x x y ⎧⎨--⎩≤≤≤≤,则2z x y =-的最大值为________.15.已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为________.16.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共33页）数学试卷第5页（共33页）数学试卷第6页（共33页）18.（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ).试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？A 药B 药0. 1. 2.3.19.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥；（Ⅱ）若2AB CB ==,16A C =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.20.（本小题满分12分）已知函数2()e ()4x f x ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+.（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.21.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin ,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤＜.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时,求不等式()()f x g x ＜的解集；（Ⅱ）设1a -＞,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学答案解析第Ⅰ卷3/ 114当0a ＞时，y ax ＝与()y f x ＝恒有公共点，所以排除()5 / 11由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得22()0x a x －＋＝． ∵22()0a ∆＝＋＝，∴2a ＝－． ∴,0[]2a ∈－；故选D ．第Ⅱ卷0=b c ，a 1112⨯⨯＝a b 1(0[)]t t ＝＋－＝b c a b b ，即1()t ＋－a b b 1120t t ＋－＝；∴2t ＝．【答案】3【解析】画出可行域如图所示。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1B．S n=3a n﹣2C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n 7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．49．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A．10B．9C．8D．511．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

2013年广东高考文科数学试题及答案解析(word版)

20##普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔文科〕参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、设集合22{|20,},{|20,}S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈,则S T =< >()A {0}()B {0,2}()C {,}-20()D {,,}-2022、函数lg(1)1x y x +=-的定义域是< > ()A (,)-1+∞()B [1,)-+∞()C (,)(,)-111+∞()D [1,1)(1,)-+∞3、若()34,,,i x yi i x y R +=+∈则复数x yi +的模是< >()A 2()B 3()C 4()D 54、已知51sin(),25πα+= 则cos α= < > ()A 25-()B 15-()C 15()D 255、执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3, 则输出s 的值为< >()A 1()B 2()C 4()D 76、某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积为< >()A 16()B 13()C 23()D 1 7、垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第1象限的直线方程是< >()A 20x y +=()B 10x y ++= ()C 10x y +-=()D 20x y ++=8、设l 为直线,,αβ为两个不同的平面,则下列命题中正确的是< >()A 若//,//,l l αβ则//.αβ()B 若,,l l αβ⊥⊥则//.αβ ()C 若,//,⊥l l αβ则//.αβ()D 若//,,⊥l ααβ则.⊥l β9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F 〔1,0〕,离心率等于12,则C 的方程是〔〕()A 22134+=x y ()B 22143+=x ()C 22142+=x y ()D 22143+=x y 10、设a 是已知的平面向量且0a ≠,关于向量a 的分解,有如下四个命题：〔1〕给定向量b ,总存在向量c ,使得a b c =+；〔2〕给定向量b 和c ,总存在实数,λμ,使得a b c λμ=+；〔3〕给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使得a b c λμ=+；〔4〕给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使得a b c λμ=+。

2013年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．解答：解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选A．点评：本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）（2013•广东）函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，D．[﹣1，1）∪（1，+∞）+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C．点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）（2013•广东）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5考点：复数求模；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．解答：解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•广东）已知，那么cosα=（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）（2013•广东）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．解答：解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A点评：本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）（2013•广东）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．解答：解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．解答：解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）（2013•广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．解答：解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选B点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2013•广东）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．解答：解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）（2013•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5．故答案为：5．点评：本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．考点：圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．解答：解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．点评：本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．解答：解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）（2013•广东）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．解答：解：（1）（2）∵，，∴．点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合． 17．（13分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100）频数（个） 5 10 20 15 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．解答：解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．点评：本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF 中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．解答：解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）（2013•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n+1=a n+2，∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．解答：解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率，所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性． 21．（14分）（2013•广东）设函数f （x ）=x 3﹣kx 2+x （k ∈R ）．（1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）当k ＜0时，求函数f （x ）在[k ，﹣k ]上的最小值m 和最大值M ．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）当k=1时，求出f ′（x ）=3x 2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，f （x ）﹣f （k ）及f （x ）﹣f （﹣k ）．解答：解：f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1 （1）当k=1时f ′（x ）=3x 2﹣2x+1， ∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增．（2）当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（x ）≥0，f （x ）在[k ，﹣k ]上单调递增，从而当x=k 时，f （x ）取得最小值m=f （k ）=k ，当x=﹣k 时，f （x ）取得最大值M=f （﹣k ）=﹣k 3﹣k 3﹣k=﹣2k 3﹣k ．（ii ）当，即时，令f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1=0 解得：，注意到k ＜x 2＜x 1＜0，∴m=min{f （k ），f （x 1）}，M=max{f （﹣k ），f （x 2）}， ∵，∴f （x ）的最小值m=f （k ）=k ， ∵，∴f （x ）的最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ．综上所述，当k ＜0时，f （x ）的最小值m=f （k ）=k ，最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k 解法2：（2）当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，都有f （x ）﹣f （k ）=x 3﹣kx 2+x ﹣k 3+k 3﹣k=（x 2+1）（x ﹣k ）≥0，故f （x ）≥f （k ）．f （x ）﹣f （﹣k ）=x 3﹣kx 2+x+k 3+k 3+k=（x+k ）（x 2﹣2kx+2k 2+1）=（x+k ）[（x ﹣k ）2+k 2+1]≤0，故f （x ）≤f （﹣k ），而 f （k ）=k ＜0，f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ＞0．所以，f （x ）min =f （k ）=k ．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。