2012二模数学分析

从黄浦二模看高考捞分策略上海市向明中学（20020） 侯宝坤二模过了，高考复习的也接近尾声了，我们在二模中能得到什么启示？每个同学都有自己的关心方向。

今天，我们将结合2012年黄浦区的理科二模试题、高考改卷体会，和同学们谈谈，如何在现有的知识下尽量捞分的策略，希望对提高大家的高考分数有所帮助。

1.常规题得分在“稳”1.1基础是永远的灵魂近年上海高考试题在难度上稳中有降，高难度试题明显减少，基础题都在90分以上。

这次黄浦二模试卷明显为基础题的是1—12、14、15、19、20、21计96分，如果在加上22（1）、23（1）就共有106分的基本分，拿到这些基本分再略有突破就可以达到115分左右，就能达到或者超过一本的平均分了，因此，我们复习中基础永远是重中之重，是必胜的基石，必须拿全拿稳！要拿稳基本分，就要对考纲要求的知识点有一个全面的把握，概念必须清晰，对常见的错误要有一个清醒的认识。

如，（黄浦7）．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若100110i 0z z z =（i 是虚数单位），则z = ．对行列式的运算、复数概念只有最基本的要求，但考试中有很多同学认为复数不包括实数，正确答案是0，-i ，他漏写了0，白白浪费了4分！再如（黄浦11）．若(12)n x +（*n ∈N ）二项展开式中的各项系数和为n a ，其二项式系数和为n b ，则11lim n n n n nb a a b +→∞+-=+ ． 这题也是考察二项式定理中的两个基本概念，有同学刚好混淆了，正确答案是13-，他写成了2，又白白浪费了4分！1.2计算是绕不开的关键数学除了考思维，就是考计算。

数学解题是一个连续化简的过程，计算是永远绕不开的湾。

在弄清题意、形成思路后剩下的只有计算。

上海同学平时过多的依赖计算器，对字母型的计算往往较为惧怕。

如（黄浦22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知定点(2,0)F ，直线:2l x =-，点P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ PF PQ ⊥+ （）．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，求证：111||||2AF BF +=； （3）记OA 与OB 的夹角为θ（O 为坐标原点，A 、B 为（2）中的两点），求cos θ的取值范围．对解析几何而言，这应当是个较为常规的问题，大家练习过不少这样的题，但那些平时怕算的同学考场上就更害怕了，裹足不前，犹豫不决，既浪费时间又得不到分数。

只有有耐心，我们用下列最基本的方法就可以得到答案。

解：（1）略（2）因为过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，所以1l 的斜率不为零，故设直线1l 的方程为2x my =+． （已知横截距设这个形式比较方便计算，应当收集记忆）于是A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组28,2,y x x my íï=ïìï=+ïî的实数解． 消x 并整理得28160y my --=．于是12128,16,y y m y y +=⎧⎨=-⎩进一步得21212221212484,4.88x x my my m y y x x ⎧+=++=+⎪⎨=⋅=⎪⎩（对抛物线计算12x x 用22y px =代人比用直线快点，但直线也可，应当有心收集）又因为曲线28y x =（0x ≥）的准线为2x =-， 所以12121212411111||||222()42x x FA FB x x x x x x +++=+==+++++，得证． （3）由（2）可知，11(,)OA x y =uu r ，22(,)OB x y =uu u r ．于是cos ||||OA OB OA OB q ?===×uu r uu u r uu r uu u r ，不知道用2118y x =代人，创造使用韦达定理的条件，应当用心体会、学会）求得cos q =的取值范围为3,05轹÷ê-÷÷êøë． 近年，解析几何多从直线与圆锥曲线的关系入手，题型熟悉、套路明显，计算是决定成败的关键，只要大家针对性选上10道题练习练习，体会一下算法的选择、计算的技巧和套路，就会找到信心，提高得分机会。

2高.难题得分要“抢”2.1填选难题讲技巧每年高考填选题的最后两题，都具有把关的性质，以能力型问题为主，有一定的难度。

这些问题往往背景新颖，或较为抽象。

但这些题有很多时候不是死算得到的，而是以代人检验、特殊化、排除法等方法技巧性的求出，有些题甚至都不要动笔。

对背景新颖的题目，一定要淡定，按照题目的顺序依次操作，按部就班就能将问题解决得较好。

如（黄浦14）．已知△FAB ，点F 的坐标为(1,0)，点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么△FAB 的周长的取值范围为 ．这题将圆与圆锥曲线融合，新但不难，我们只要将要计算的周长表达成||||||2||||AF BF AB AF AB ++=++，然后想到用抛物线的定义，只要求B 点到准线的距离范围即可，由图像易知Ｂ在（３,０）时B 点到准线的距离最大为４；Ｂ在（１，±２）时B 点到准线的距离最小为２，所以△FAB 的周长的取值范围为（４，６）．对于抽象性较高的填选题，我们可以具体化，采用特殊值、特例法、排除法等技巧性性处理，这样既快又好，收效明显！如（黄浦17）．已知△ABC 的三边分别是a b c 、、，且a b c ≤≤（*a b c ∈N 、、），若当b n =（*n ∈N ）时，记满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式 【答】（ ）．A ．21n a n =-B ．(1)2n n n a +=C ．21n a n =+D ．n a n = 我们只要用1,2,3n =列举，代人即可得到正确答案B （事实上3n =即可）。

记住对与n 有关的问题，我们用列举、归纳、猜想的方法！这样又轻松得到5分！ 再如（黄浦18）．已知O 、A 、B 、C 是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数1λ、2λ、3λ，使得1230OA OB OC λλλ++= ，则三个角AOB ∠、BOC ∠、COA ∠【答】（ ）．A ．都是钝角B ．至少有两个钝角C ．恰有两个钝角D ．至多有两个钝角 这道题字母多，抽象度较高， 全区对分率36%.如果我们联想到三角形的重心，取1231λ=λ=λ=，再取特殊的正三角就知道三个角都为1200，排除C 、D 选项，再取含30的直角三角形就得到两个钝角、一个锐角，从而得到正确答案B 。

我问了答对的同学，他们也大部分用这种方法处理的，并不知一般性方法和问题的本质，但没关系，我们又在艰难的情况下，轻松地抢到了5分！这里提到的方法在上海对2011年高考13、14、17、18这几道较难的填选题都有非常好的抢分效果，同学用这种方法也可以检验一下今年各区新的二模试题，练练手、长长胆。

2.2领会暗示，各个击破攻压轴高考压轴题都有较高的抽象性、新颖性、字母多、问题多，很多同学拿到手就发懵、恐惧。

其实，压轴题的问题往往具有一定递进性，不是每个问题都难的；另外，在改卷时难题的尺度会适当放宽。

我们不指望得全分，但也要抱着抢几分算几分的心态，如果能结合题目间的相互暗示，采用猜想解答、缺步解答、跳步解答、高频知识试答等手段，很多时候反而能抢回许多分数。

那么如何能抢到分数呢？首先，我们将问题归类，弄清题型，是函数、方程、不等式，还是数列、解析几何类；是求值（以方程为主）、求范围（以转化成函数、不等式、数形结合为主），还是研究对象的性质（以证明、探究为主），这样会有熟悉感，以便确定解答的大方向，不为复杂的形式所囿。

如（黄埔23）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．对*n ∈N ，定义函数2()()n f x x n n =--+，1n x n -≤≤．（1）求证：()n y f x =图像的右端点与1()n y f x +=图像的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．（2）若直线n y k x =与函数2()()n f x x n n =--+，1n x n -≤≤（2n ≥，*n ∈N ）的图像有且仅有一个公共点，试将n k 表示成n 的函数．（3）对*n ∈N ，2n ≥，在区间[0,]n 上定义函数()y f x =，使得当1m x m-≤≤（*m ∈N ，且1m =，2，…，n ）时，()()m f x f x =．试研究关于x 的方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数（这里的n k 是（2）中的n k ），并证明你的结论．这题大看是函数问题，（1）证明在直线上就是求直线方程，也就是看点的横纵坐标的关系，求出2()()n f n n n n n =--+=，即得坐标右端点(,)n n ，同理得1()n y f x +=图像的左端点(,)n n ，当然重合，并得直线y x =。

轻松抢到4分！（2）问具体来说是函数图象交点问题，也是方程2(),[1,]n k x x n n x n n =--+∈-根的分布问题，简单的可以解方程，复杂的用数形结合、参变量分离就可处理，（2）、（3）问都可以这样处理（下面再展示）。

其次，要善于利用问题问法的暗示、问题间的暗示帮我们寻找解题思路。

如利用图象结合（1）的暗示——图象的端点都在直线上，只能是相切时才只有一个交点，于是得到0∆=，即2n k n =4分！如果注意（2）提问：“将n k 表示成n 的函数”就在暗示我们应该是一个等式，所以只能0∆=，也可以抢到4分！如果在利用图象或特殊值检验，又可以帮我们肯定2n k n =，这样又多得2分，得6分已经很好了！如果回看定义域和韦达定理122[1,]2n n k x x n n -==∈-，即可得2n k n =，这样就可以得全8分。

如果用参变量分离22(),[1,],n n n k n x x n n x-=-+∈-利用大家熟知的“耐克“函数性质或图象易知，2()2(),[1,]n n g x n x x n n x-=-+∈-在[n -上递增，在]n 递减，且()(1)1g n g n =+=，所以2n k g n ==-8分。

对（3）只要大胆根据特殊值猜想解答：21n -，就可以得到2分，多么轻松！很多同学知道答案没敢写，浪费了机会，如果善于从答题过程中找出暗示——n k 的变化影响交点个数，就可以抓住解题的关键——研究n k 的单调性：当2n ≥时，2n k n =-=，可得12n k <<，且n k 单调递减．对于1i n -1≤≤，总有1n i k k <<，亦即直线n y k x =与函数()i f x 的图像总有两个不同的公共点（直线n y k x =在直线y x =与直线i y k x =之间）．此时方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数为2(1)121n n -+=-．就能将题目解决得很好，如果你能写上单调性进行缺步解答，也可得到4分了，对压轴题这是很了不起的成绩了！高考要成绩，刻苦、坚韧、自信，必不可少；如果再重视上述答题的技巧，就可以达到准确、规范、快速，平均多10分的机会还是有的，真正达到高考必胜！。