高三数学 课堂训练_2-5人教版

第2章 第5节
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1. [2012·浙江百校联考]已知0<a <1，log a (1－x )<log a x ，则( ) A. 0<x <1 B. x <1
2
C. 0<x <12
D. 1
2
<x <1
答案：C 解析：由⎩⎪⎨⎪
⎧
1－x >0x >0
1－x >x
，解得：0<x <1
2
.
2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x (x >0)，2x (x ≤0)，
若f (a )＝1
2，则a 的值为( )
A.－1
B. 2
C.－1或1
2
D.－1或 2
答案：D
解析：由题知，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a ＝12或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ≤0，2a ＝1
2
，可得a ＝2或－1.故选D. 3.已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是( )
答案：B
解析：由题知，a ＝1b ，则f (x )＝(1
b )x ＝b －x ，g (x )＝－log b x ，当0<b <1时，f (x )单增，g (x )
单增，B 正确；当b >1时，f (x )单减，g (x )单减.故选B.
4. 函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A. 2 B. 23 C. 1
3 D. 1
答案：B
解析：由题知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[1
3，1]，所以b －a 的
最小值为2
3
.故选B.
5. 若不等式x 2
－log a x <0对x ∈(0，12恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. {a |0<a <1}
B. {a |
1
16
a <1} C. {a |a >1} D. {a |0<a ≤1
16
}
答案：B
解析：由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈(0，1
2)时，不等式
x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在(0，1
2
)上的图像在f 2(x )＝log a x 图像的下方即可.
当a >1时，显然不成立；
当0<a <1时，如图，要使x 2<log a x 在x ∈(0，1
2)上恒成立，需
f 1(12)≤f 2(12
). 所以有(122≤log a 12，解得a ≥116，
∴
1
16
≤a <1. 6. [2012·东北师大附中摸底考试]若实数a 满足a >|y －1|－|y －2|(y ∈R )恒成立，则函数f (x )＝log a (x 2－5x ＋6)的单调减区间为( )
A. (5
2，＋∞)
B. (3，＋∞)
C. (－∞，5
2
D. (－∞，2)
答案： D
解析：由于a >|y －1|－|y －2|(y ∈R )恒成立，又|y －1|－|y －2|的最大值是1，故a >1.设g (x )＝x 2－5x ＋6，则函数f (x )的定义域是(－∞，2)∪(3，＋∞).又函数g (x )＝x 2－5x ＋6的单调递减区间是(－∞，5
2
)，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log a (x 2－5x ＋6)的单调递减区间是(
－∞，2).
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. [变式题]函数f (x )＝log 2(2x ＋6)的定义域为________. 答案：[－5
2
，＋∞)
解析：由题知log 2(2x ＋6)≥0，即2x ＋6≥1，解得x ≥－5
2，所以函数f (x )＝log 2(2x ＋6)
的定义域为[－5
2
，＋∞).
8. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
3x ＋1
x ≤0
log 2x x >0
，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值范
围是________.
答案：－1<x ≤0或x >2
解析：当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0， ∴－1<x ≤0；
当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2. 综上所述：－1<x ≤0或x >2.
9.设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m －2,2m )内有定义且不是单调函数的充要条件是________.
答案：2≤m ＜3
解析：由题意知，只需1∈(m －2,2m )，且m －2≥0即可.于是0≤m －2<1，且2m >1，于是2≤m <3.
三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 已知y ＝log 4(2x ＋3－x 2). (1)求定义域； (2)求f (x )的单调区间；
(3)求y 的最大值，并求取得最大值的x 值. 解：(1)由真数2x ＋3－x 2
>0，解得－1<x <3. ∴定义域是{x |－1<x <3}.
(2)令u ＝2x ＋3－x 2，则u >0，y ＝log 4u . 由于u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4，
考虑到定义域，其增区间是(－1,1]，减区间是[1,3). 又y ＝log 4u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数， 故该函数的增区间是(－1,1]，减区间是[1,3). (3)∵u ＝2x ＋3－x 2
＝－(x －1)2
＋4≤4，
∴y ＝log 4(2x ＋3－x 2)≤log 44＝1.
∴当x ＝1，u 取得最大值4时，y 就取得最大值1.
11. [2012·辽宁抚顺]已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图像上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图像.
(1)写出函数g (x )的解析式；
(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围. 解：(1)设P (x ，y )为g (x )图像上任意一点，则 Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图像上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝g (x )＝－log a (1－x )(a >1). (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x
≥m .
设F (x )＝log a 1＋x
1－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可.∵F (x )在[0,1)上是增函数，
∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求.
12. 定义在R 上的函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )>0.
(1)求证：f (x )为奇函数； (2)判断f (x )的单调性并证明；
(3)解不等式：f [log 2(x ＋1
x
＋6)]＋f (－3)≤0.
解：(1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0. ∴f (x )为奇函数.
(2)f (x )为R 上的单调增函数，设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2－x 1)>0，∴f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)>f (x 1)，
∴f (x )为R 上的单调增函数.
(3)∵f (0)＝0且f (x )在R 上单调递增，
∴原不等式等价于f [log 2(x ＋1x ＋6)＋(－3)]≤f (0)⇔log 2(x ＋1x ＋6)≤3⇔0<x ＋1
x ＋6≤8⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x 2＋6x ＋1>0x 2－2x ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0x 2
＋6x ＋1<0，x 2－2x ＋1≥0
∴原不等式的解集为{x |x ＝1或－3－22<x <－3＋22}.。