24[1].2.4直线与圆的位置关系习题课
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
24.2与圆有关的位置关系(第6课时)修订版 -习题课
圆与圆的位置关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含
(R>r) 交点
d 和R、r关系
d>R+r
d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r 相交 R-r 内切 R+r 外切 外离
0 1 2 1 0
内含
0 同心
d
应用举例：内含
内切
相交 7 外切
外离
解： 两圆的半径是方程x 8x 13 0的根
2
x1 x2 8，x1 x2 13
2 2
x1 x2 x1 x2 4 x1 x2 12
x1 x2 2 3 3.464
3.464 d 8
∴两圆相交
1.若半径为7和9的两圆相切,则这两圆的圆心距长 一定为( C ) A.16 B.2 C.2或16 D.以上均不对
1、 O1和 O2的半径分别为3cm和4cm，如果O1O2满足下列
1 0 条件， O1和 O2有什么位置关系？ 同心 dcm
（1）O1O2 =8cm
（2）O1O2 =7cm （3）O1O2 =5cm
（4）O1O2 =1cm （5）O1O2 =0.5cm （6）O1和O2重合 解：设 O1和 O2半径r1 =3cm和r2 =4cm，O1O2 =d
内切
外切
d=R-r d=9-7=2
d=R+r d=9+7=16
2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( B ) A.d＜6 B. 4＜ d ＜6 C.4≤d≤6 D.1＜d＜5
3.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的 位置关系为( C ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
直线与圆的位置关系习题课
2
2 2
,则有
5
5
3
− 1，解之得 = ± 5,则所求圆的方程为
5
3
6
9
2
2
（x − 5） + （y − 5） =
借助图像
5
5
5
3
6
9
2
2
或（x + 5） + （y + 5） = 数形结合
5
5
5
2
=
变式(3)：已知点P（ − 1， − 1）和圆C： 2 +
2 + 2 + 4 + 1 = 0，求过点P的直线与圆C
三、一种技巧：点到直线的距离
四、一种思想：数形结合思想
五、当堂检测：
1. 在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3
＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为
__________．
2 55
5
2.过点P(3，6)且被圆x 2+y 2=25截得的弦长为8
的直线方程为__________．
x = 3或3x − 4y + 15 = 0
距离d =
2 5
5
< = 2,所以直线与圆相交
小结：判断直线与圆的位置关系的关键是什么，
请讨论？
应抓住圆心——定圆的位置,抓住半
径——定圆的大小,这是关键之处。
问题：已知直线L：y = 2x − 2,圆C：
2
2
+ + 2 + 4 + 1 = 0,
（2）求直线L被圆C截得的弦长AB?
则圆心C（ − 1， − 2），半径r = 2
因为直线被圆截得的弦长为 2 3 ，由公式弦长 AB = 2 2 − 2 可得，
直线与圆的位置关系题型很全
注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，
2.设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。
若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。
小结：求圆的切线方程一般有两种方法：
(1)证明直线l与圆C相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时, 直线l的方程.
题型五、判断点的个数问题
例1、圆x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 3 = 0上到直线x + y +1 = 0的 距离为 2的点共有几个.
练习1:已知圆
x y ,4
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
2 2
B
A
O
x
| AB | (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ]
2．已知直线 y=x+1 与圆 x 2 y 2 4 相交于A,B两点，求
弦长|AB|的值
解三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形） 设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则 y
2 d 2 1 (1) 2 | AB | 2 r d 14
y y ，由直线 l 与圆的方程构造以 x x
为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 kOP kOQ 的值，从而使问题得以解决．
解：设点 P 、 Q 的坐标为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ．一方面，由 OP OQ ，得
kOP kOQ 1 ，即
y1 y2 1 ，也即： x1 x2 y1 y2 0 ． x1 x2
24.2.2直线与圆的位置关系第一课时说课稿
直线与圆的位置关系说课稿（第一课时）尊敬的各位老师，大家好。
今天我说课的题目是《直线与圆的位置关系》，这是人教版九年级第二十四章《圆》的第二节的内容。
这节课分两个课时，我说的是第一课时。
下面我将从教材分析，说教法，说学法，与教学过程四个方面对本课进行说明。
一、教材分析1、教材的地位与作用“直线和圆的位置关系”是《圆》这章的重点内容之一，是在学生已经学习过圆的有关性质基础上进行的，它既是对前面所学知识的进一步深化，又是以后学习圆的切线的判定与性质的预备知识。
另外，向学生渗透数形结合与转化思想进而渗透由量变到质变的辨证唯物主义思想。
根据教材的地位和作用，我制定了如下的教学目标。
2、教学目标1）知识目标1、从具体的事例中认识和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义。
2、会用定义来判断直线与圆的位置关系。
3、探究直线与圆的位置关系的数量表示，并运用其关系。
2）能力目标：体验数学活动中的探索与创造，培养学生的观察、归纳能力，以及分析问题，解决实际问题的能力。
3）情感目标：1、体会事物间的相互渗透，初步掌握转化的思想；2、感受数学思维的严谨性，并在合作学习中获得成功的体验。
3、教材的重点难点直线和圆的三种位置关系是重点，本课的难点是直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
二、说教法本节课中我采取自主探究与类比迁移法，并结合多媒体直观演示、数形结合、动手操作等多种形式的教学手段进行教学，这样不仅充分调动了学生的积极性，也让整个课堂活跃起来。
三、说学法教是为了学生更好地学，学生是课堂教学的主体，现代教育更重视在教学过程中对学生的学法指导。
我主要指导学生采用小组讨论、分析及归纳等多种学习方法，从而真正落实到把课堂还给学生，让学生成为课堂的主角。
四、教学过程复习导入、回顾旧知——创设情境，提出问题——探究发现，建构知识——应用举例，巩固提高——回顾反思，拓展延伸1、复习导入、回顾旧知1.点和圆的位置关系有哪几种？2.如何判定点和圆的位置关系？【设计意图】通过提问帮助学生复习了点和圆的位置关系的相关知识，既加深了学生对点与圆位置关系的认识，同时也为本节课从数量关系判定直线和圆的位置关系打下了伏笔2创设情境，提出问题首先利用唐诗中的“大漠孤孤烟直，长河落日圆”体会这里蕴涵的数学意境，再让学生观察太阳升起的过程，我们能发现什么?引出课题【设计意图】问题是数学的心脏，是学生思维和兴趣的开始。
直线与圆的位置关系(习题课) 课件
[方法感悟]
解与圆有关的最值问题，要明确其几何意义：
(1)k＝
y－b x－a
表示圆上的点(x，y)与定点(a，b)连线的
斜率，直线方程可与圆的方程联立得到关于x的一元二次
方程，利用Δ≥0求k的最值；也可用圆心到直线的距离
d≤r，求k的最值．
(2)直线与圆相离时，直线上的点到圆的距离的最大
值为d＋r，最小值为d－r.
直线与圆的位置关系(习题课)
1．直线与圆的位置关系有哪几种？
2．如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关 系？
3．如何求过某点的圆的切线方程？ 4．如何求圆的弦长？
与圆有关的切线问题
[例1] 自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上的点A 处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－ 6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线方程．
2．已知直线l：y＝－ 33x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内 有交点，求m的取值范围． 解：∵l：y＝－ 33x＋m，圆x2＋y2＝1， ∴l可变形为： 3 x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)， 半径长r＝1. 当直线和该圆相切时，应满足d＝|－33＋m9|＝1，解得m＝
2 ±
3
3，在平面直角坐标系中作出图象，
(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为xa＋ay＝1 或 y＝ kx， 于是由圆心(2,1)到切线距离为 1，得|3－2a|＝1 或|21k＋－k12|＝1. 解得 a＝3± 2，k＝0 或 k＝43. 故所求切线方程为 x＋y＝3± 2或 y＝0 或 y＝43x.
与圆有关的参数问题
[例2]
法二：令xy＋ ＋21＝k， 则k表示圆上任一点与(－1，－2)点连线的斜率， ∴kx－y＋k－2＝0， 由|0－1k＋2＋k－ 1 2|≤1， 得k≥43. ∴xy＋ ＋21的最小值为43.
中考数学 第24讲 直线与圆的位置关系课件
(4)三角形的内切圆：和三角形三边都__相__切____的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心是_三__角__形__三_．条角平分线的交点
内切圆的圆心叫做三角形的__内__心________，内切圆的半径是内心 到三边的距离，且在三角形内部．
A．线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DC 重合 B．线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DI 重合 C．∠CAD 绕点 A 顺时针旋转一定能与∠DAB 重合
D．线段 ID 绕点 I 顺时针旋转一定能与线段 IB 重合
【例 1】 (1)如图，⊙O 的半径为 4 cm，OA⊥OB，OC⊥AB 于 点 C，OB＝4 5 cm，OA＝2 5 cm，试说明 AB 是⊙O 的切线．
5×4 10
5＝
4.又∵⊙O 的半径为 4，∴AB 是⊙O 的切线．
(2)过点 O 作 OC⊥AB 于 C.∵OA＝OB＝13，∴AC＝BC＝12AB＝
1－AC2＝ 132－122＝5＝r，∴直线 AB 与⊙O 相切．
1．(1)(2016·驻马店模拟)如图，两个同心圆，大圆的半径为 5，小 圆的半径为 3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范
1．(2016·郑州模拟)如图，∠O＝30°，C 为 OB 上一点，且 OC＝ 6，以点 C 为圆心，半径为 3 的圆与 OA 的位置关系是( C )
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情况均有可能
2．(2016·酒泉)如图，AB 和⊙O 相切于点 B，∠AOB＝60°，则
∠A 的大小为( B )
围是( A )
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
直线与圆的位置关系练习(含参考答案)
直线与圆的位置关系习题课班级 学号 姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析 由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别 为（ ）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为 ． 解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析 由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析 选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于 ．解析 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y轴的交点A 的坐标为(0，3)．由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ．解析 法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)． 法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析 设圆方程为22()()25x a y b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x； （2）y －x ； （3）(x +1)2＋y 2．解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b取得=，解得b ＝2±6.所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程． 解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
直线与圆位置关系习题课课件
请你来 找茬
圆心到切线的距离等于半径 2k 3 2 得：k 5
即：l : 5x 12 y 50 0
1 k2
y A 12
分析: 从形的角度看:
过圆外一点作圆的切线有几条？两条
那为什么会漏解呢？
C
没有讨论斜率不存在的情况
正解:1 斜率不存在时，直线为x 2 是圆的一条切线x
例1.已知圆C： x 2 ( y 2)2 1，过P （1，0），
作圆C的切线，切点A,B，
（5）若Q点是X轴上的动点, 过Q点作圆C的切线。切点 为G、H, 求四边形GCHQ的面积的最小值.
解: 设Q（m，0）
S四边形GCHQ＝CH QH
CQ＝ m2 4
y
CH G
QH CQ2 CH 2 m2 3
Qx
S m2 3 3
当Q（0，0）时，
S
m
＝
in
3
必修2-第四章圆与方程- 4.2.1直线与圆的位置关系
例2. 已知⊙C : (x 1)2 ( y 2)2 25,
直线l : (2m 1)x (m 1) y 7m 4 0
(1)证明: 不论m取什么实数，直线 l与圆恒交于两点；
l （2）求直线 l 被圆C截得弦长最小时 的方程。
已知切线上的一个点 点在圆上
题型一: 求切线方程 已知切线的斜率
点在圆外
1.已知⊙C : x2 ( y 2)2 Βιβλιοθήκη ,求过点A（ 3，1）的切线 l的方程
y
分析：点 A与⊙C是怎样的位置关系？
点在圆上, 即A为圆的切点
C
法一：CA l
kCA
3 3
直线与圆的位置关系典例+讲解+习题+答案
4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（典例）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。
例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。
法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，∵点P在圆O内，∴直线L与圆O相交。
法二：圆心O到直线L的距离为当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，∴14m2+4m+17>0∴m∈R所以直线L与直线O相交。
2．切线问题：例3：(1)已知点P(x0，y)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(xx+yy=r2)法一：∵点P(x，y)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴当x≠0且y≠0时，∴切线方程为当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+yy=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y)2∴x0x+yy=r2且P(x，y)满足上面的方程。
综上，所求切线方程为x0x+yy=r2。
(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。
解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0则圆心O到PT的距离为所以PT的方程为综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0 例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1)；（2） B(4，5)解：(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，法一：设切线方程为，则圆心到切线的距离为，∴所求切线方程为法二：∵AC⊥l，∴所求切线方程为(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为又直线x=4也是圆的切线方程，∴所求切线方程为例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求的取值范围。
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系习题课 新人教A版选修4-1
圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF
＝，则线段CD的长为____． 4
3
栏
目
链
接
精品课件
3．如图所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足 为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则 DF·DB＝________．
解析：利用相交弦定理及射影定理求
栏
解．
目
链
由题意知，AB＝6，AE＝1，
(1)求证：AB2＝AD·AE；
(2)当D为BC延长线上一点时，(1)问中的结论还成立吗？
若成立，请证明；若不成立，试说明理由．
栏
目
证明：(1)如图甲，连接BE.
链
接
精品课件
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
栏
又∵∠BAE为公共角，
目
链
∴△ABD∽△AEB.
∴∠DAB＝∠CEB.
栏 目
又∵∠EAB＝∠ECB，且∠EAB＝∠DAB，
链 接
∴∠CEB＝∠ECB，∴BC＝BE.
在△CBD与△EBF中，∠C＝∠E，∠D＝∠F，
BC＝BE，∴△CBD≌△EBF，
∴CD＝EF.
精品课件
︵︵ 11．如图所示，已知圆上的弧AC＝BD，过点 C 的圆的切线与 BA 的
接
∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.
(2)当D为BC延长线一点时，如图乙，连接BE，结
论依然成立，证法同(1)．
精品课件
10．两圆相交于点A、B，过点A作两直线分别交 两圆于点C、D和点E、F.若∠EAB＝∠DAB，求证： CD＝EF.
课时作业21：4.2.1 直线与圆的位置关系
§4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系一、选择题1.直线3x＋4y－25＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系为()A.相切B.相交C.相离D.相离或相切考点直线与圆的位置关系题点判断直线与圆的位置关系答案 C2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是() A．相切B．相交C．相离D．不确定答案 B解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.∴圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．3.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为()A.y－2＝0B.x＋2y－5＝0C.2x－y＝0D.x－1＝0答案 B解析当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0)，所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝2－01－0＝2，故所求直线的斜率为－12，所以所求直线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.4.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1,3]C.[－3,1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)考点 直线与圆的位置关系题点 已知直线与圆的位置关系求参数的值或范围答案 C解析 圆(x －a )2＋y 2＝2的圆心C (a,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ，则d ≤r ＝2⇔|a ＋1|2≤2⇔|a ＋1|≤2⇔－3≤a ≤1.5.如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则( )A.E ≠0，D ＝F ＝0B.D ≠0，E ≠0，F ＝0C.D ≠0，E ＝F ＝0D.F ≠0，D ＝E ＝0考点 圆的切线问题题点 由相切求圆的方程答案 A解析 由题意得，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 且圆心在y 轴上，D ＝0， 且半径为⎪⎪⎪⎪－E 2＝12D 2＋E 2－4F ， 化简可得E ≠0，D ＝F ＝0.6.若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A.0或4B.0或3C.－2或6D.－1或 3考点 圆的弦长问题题点 直线和圆相交求圆的方程答案 A解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎫2222＝ 2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.7.已知直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m >0)被圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －6＝0截得的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍，则m 等于( )A.6B.8C.11D.9考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题答案 D解析 圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －6＝0可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，圆心坐标为(－1,1)，半径为22，由题意可知，圆心到直线的距离d ＝|1＋m |5＝2. ∵m >0，∴m ＝9.8.圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个考点 圆的弦长问题题点 直线和圆相交求直线方程答案 C解析 圆的一般方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为22，圆心到直线l 的距离为|－1－2＋1|12＋12＝22＝ 2.因此和直线l 平行的圆的直径的两端点及与直线l 同侧且与直线l 平行的圆的切线的切点到直线l 的距离都为 2.二、填空题9.已知圆(x ＋2)2＋(y －2)2＝a 截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为6，则实数a 的值为________. 考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题答案 11解析 圆(x ＋2)2＋(y －2)2＝a 的圆心为(－2,2)，半径为a ，弦心距d ＝|－2＋2＋2|2＝2，则a ＝(2)2＋⎝⎛⎭⎫622＝11.10.自圆外一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线PM ，PN (M ，N 为切点)，若∠MPN ＝90°，则动点P 的轨迹方程是________________.考点题点答案 x 2＋y 2＝2解析 设点P 的坐标为(x ，y )，则|PO |＝x 2＋y 2.∵∠MPN ＝90°，∴四边形OMPN 为正方形，∴|PO |＝2|OM |＝2， ∴x 2＋y 2＝2，即x 2＋y 2＝2.11.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.考点 圆的切线问题题点 求圆的切线方程答案 －43或－34解析 由已知得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1， 解得k ＝－43或k ＝－34. 三、解答题12.一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.考点题点解 因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上，故设圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2.又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2， 解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.13.设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程. 考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为(a ，b )，半径长为r .∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上. ∴a ＋2b ＝0，①且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②又∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为22， ∴r 2－d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＝(2)2.③ 解由方程①②③组成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.14.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________.考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题答案 10 2解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，易知点E 在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC |＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，且与AC 垂直，设点F 为其圆心，坐标为(1,3). 故|EF |＝5，∴|BD |＝210－(5)2＝25，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝10 2. 15.已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0.(1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长.考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题(1)证明 直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)，由点斜式可知，直线过点P (4，－3).由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交.(2)解 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短.此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－(－6)4－3＝3， 所以直线l 的斜率为－13， 则2m ＝－13，所以m ＝－16. 在Rt △APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5.所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
24.2.4直线与圆的位置关系习题课
一、知识点：
2、切线的判定定理：经过半径的_________并且________于这条半径的_______是圆的切线。
3、切线的性质：圆的切线_____于经过_____的半径
4、证明圆的切线的类型与方法：
类型一：知切点方法：连半径，____________
类型二：不知切点方法：作垂直，_____________
5、切线长定理：从圆外一点引圆的________切线，它们的切线长______，圆心和这一点的连线平分_______________夹角。
6、关于切线长的基本图形
(1)等量关系：_____________________________________
(2)垂直关系：_____________________
(3)互补关系：_____________________
(4)全等关系：________________________
7、三角形的内切圆：
（1）与三角形各边都______的圆叫做三角形的内切圆
（2）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的_______
（3）三角形的内心是三角形三条__________的交点，它到三角形三边的距离相等。
二、练习
1.下列命题中，正确的命题有( )
①圆的切线垂直于半径②垂直于切线的直径必过圆心
③经过圆心且垂直于切线的直线过切点
④如果圆的两条切线平行，那么过两切点的直线必过圆心
⑤三角形的内心不一定在三角形的内部⑥三角形的内切圆圆心到各边的距离相等
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2．已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 相交或相离
3．如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）
A. 70°
B. 35°
C. 20°
D. 10°
4. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，∠A=50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( ) A.65° B.115°
C.65°或115°
D.130°或50°
5．如图，AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD =20，则△ABC 的周长为（ ）
A. 20
B. 30
C. 40
D. 2
135
第3题图 第4题图 第5题图
6.如图，从点P 向⊙O 引两条切线 PA 、PB ，A 、B 为切点．AC 为弦， BC 是直径．若∠P=60°，PB=2cm ，求AC ．
7.如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于 E ，F ，G ，且AB//CD ，BO=6cm ， CO=8cm ，求BC 的长。
B
D
C
E
F
8.如图,已知AB 是⊙0的直径, ⊙0过BC 的中点D,且DE ⊥AC. (1)求证:DE 是⊙0的切线; (2)若∠C=30°,CD=10㎝,求⊙0的半径.
9．如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ． 求证：BD 是⊙O 的切线；
10．如图，在ABC △中，A B A C =，以AB 为直径的O 分别交A C 、BC 于点D 、E ，点
F
在A C 的延长线上，且12
CBF CAB
∠=
∠.
求证：直线BF 是⊙0的切线；
F
11. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. 求证：AE 与⊙O 相切；
12.△ABC 的内切圆⊙O 与AB 、BC 、AC 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝6，BC ＝8， AC ＝7，求BE 的长.
13.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°,BC ＝a,AC ＝b, AB ＝c,⊙O 为Rt △ABC 的内切圆. 求：Rt △ABC 的内切圆的半径 r .
(第5题
)。