高考数学常见创新题型赏析

（原创、首发、专投稿，适合高二、高三年级11月份用，同意删改）高考数学创新题分类探究贵州省龙里中学 洪其强（551200）一、建构数列型：数列作为特殊的函数，在高考数学中占有相当重要的位置，主要涉及增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，建立起等差、等比、或递推数列的模型来解题．例1 （2003年朝阳区高三统一练习（二））2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（Ⅰ）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为1041=a ，经过n 年后绿化的面积为,1+n a 试用n a 表示1+n a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的第1+n 项1+n a ；解析 （Ⅰ）设现有非绿化面积为1b ，经过n 年后非绿化面积为.1+n b 于是.1,111=+=+n n b a b a 依题意：1+n a 是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积n a 减去被非绿化部分n a 1002后剩余的面积n a 10098，另一部分是新绿化的面积.1008n b 于 是1+n a =n a 10098+.1008n b =n a 10098+.252109)1(1008+=-n n a a （Ⅱ）1+n a =,252109+n a 1+n a －54=－).54(109-n a , 数列}54{-n a 是公比为,109首项5254104541-=-=-a 的等比数列. n n a )109)(52(541-+=∴+二、信息迁移型：信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、 图形图像信息型等. 1．定义信息型 例1 定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足11z ii i=+，则复数在的模为A ．1+．1-解析 由11z i i i=+得1212izi i i z i i +-=+⇒==-，∴z ==，故选C 。

例2 （2001上海22）对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围. 解析 （1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞) ∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时 n n n n x x x x =+-=+1241 ，故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f ，若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2； 若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2，依次类推可得数列{x n }的所有项均满足x n +1＞x n （n ∈N *） 综上所述，x 1∈(1,2)，由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2). 2．图表信息型例3 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。

据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.解析 设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为41.0290120≈，而它是蓝色的概率为59.0290170≈. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的. 例4 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位小时）的函数，记作y =f (t )，下表是某日各时的浪高数据经长期观测y =f (t )的曲线可近似地看成函数y =A cos ωt +b .（1）根据以上数据，求出函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.解析 （1）由表中数据，知T =12，ω=62ππ=T . 由t =0,y =1.5得A +b =1.5.由t =3,y =1.0,得b =1.0.所以，A =0.5,b =1.振幅A =21， ∴y =16cos 21+t π(2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放.∴16cos 21+t π>1, t 6cos π>0.∴2k π–2262ππππ+<<k t ,即有12k –3<t <13k +3.由0≤t ≤24,故可令k =0,1,2,得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24. ∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00. 3. 图形、图像信息型例5 一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.解析：设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点，（如图），则AQ =30–20t ,BP =40–10t ,PQ =20,且有AQ ⊥BP ，PQ ⊥AQ ，PQ ⊥PB ，设小船所在平面为α,AQ ,QP 确定平面为β,记α∩β=l ,由AQ ∥α,AQ ⊂β得AQ ∥l ,又AQ ⊥PQ ，得PQ ⊥l ,又PQ ⊥PB ，及l ∩PB =P 得PQ ⊥α.作AC ∥PQ ，则AC ⊥α.连CB ，则AC ⊥CB，进而AQ ⊥BP ，CP ∥AQ 得CP ⊥BP ，∴AB 2=AC 2+BC 2=PQ 2+PB 2+PC 2=202+（40–10t ）2+(30–20t )2=100［5(t–2)2+9］,t =2时AB 最短，最短距离为30 m.答案：30 m例6 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图1所示的一条件线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如下图2所示的抛物线段表示.(1)写出如图1所示市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；写出如下图2所示种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)图1图2解析 (1)f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t t ；g(t)=2001(t-150)2+100，0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h(t)=-2001(t-50)2+100，所以，当t=50时,h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h(t)=-2001(t-350)2+100所以，当t=300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.三、函 数 与 数列、不 等 式 证 明 的综合型：函 数 与 数列、不 等 式 证 明的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值同时这类问题在高考中频频出现,是历年高考试题中不容忽视的一个考点。

例7 已知函数f (x )=aa a xx +（ａ＞０，ａ≠１）．(1) 证明函数f (x )的图象关于点P (21,21)对称．(2) 令a n ＝)1()(n f n f a -，对一切自然数n ，先猜想使a n ＞ｎ２成立的最小自然数a ,并证明之．(3) 求证：n n n n )(!(lg 3lg )1(41>+∈Ｎ).解析 (1)关于函数的图象关于定点P 对称, 可采用解几中的坐标证法.设M (x ,y )是f (x )图象上任一点，则M 关于P (21,21)的对称点为M ’（１－ｘ，１－ｙ），yx f aa aaa ay a a a a a a a aa a xxxxxx x -=-∴+=+-=-+=⋅+=+--1)1(1111∴Ｍ′(1-x ,1-y )亦在f (x )的图象上，故函数f (x )的图象关于点P (21,21)对称.(2)将f (n )、f (1-n )的表达式代入a n 的表达式，化简可得a n ＝ａｎ猜a =3, 即3ｎ＞ｎ２．下面用数学归纳法证明． 设n =k (k ≥２)时，3ｋ＞ｋ２． 则n =k +1时，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２ 又3k ２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－21）２－23≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）∴３ｎ＞ｎ２.(3)∵３ｋ＞ｋ２∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ 令k =1,2,…，n ，得n 个同向不等式，并相加得：).!lg(3lg )1(4),21lg(23lg 2)1(n n nn n n >-⨯>+故 四、方案优化型寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法主要涉及线性规划、均值不等式、单调性等求最值的方法．例8 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.（1）用x ，y 表示混合食物成本c 元； （2）确定x ，y ，z 的值，使成本最低.解析 （1）依题意得 100,4911=++++=z y x z y x c 又 y x c 57400++=∴.（2）由{y x z z y x z y x --=≥++≥++100,6300050040080056000400700600及 , 得{130332064≥-≥+y x y x ， .45057≥+∴y x ,85045040057400=+≥++=∴y x c当且仅当{{2050,130332064==≥-=+y x y x y x 即时等号成立., ∴当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低为850元.五、是否存在型：给出一定的条件,让我们去证明在给定条件下,一些给定的结论一定存在或一定不存在,或者要求我们去判断在给定条件下的结论是否存在.例9 已知方向向量为v =(1,3)的直线l 过点（0，－23）和椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅OM ， cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解析 (Ⅰ)由题意可得直线ι：y -①过原点垂直ι的方程为,y x =② 解①②得x=32.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C 的右准线上, ∴23232a c =⨯=.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0). ∴a 2=6,c=2,b 2=2,故椭圆C 的方程为22162x y +=. ③ (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),当直线m 不垂直x 轴时,直线m ：y=k(x+2)代入③,整理得(3k 2+1)x 2+12k 2x+12k 2-6=0,则x 1+x 2=221231k k -+,x 1x 2=2212631k k -+,==点O 到直线MN 的距离d=.∵OM ON ⋅=∠MON,即||||cos 0OM ON MON ⋅∠=≠ ,∴||||sin OM ON MON ⋅∠= ∴||OMN S MN d =∴⋅=即2|3)k k =+.整理得21,33k k =∴=±.当直线m 垂直x 轴时,也满足OMN S =故直线m 的方程为33y x =+或y=33x --或x=-2. 经检验上述直线均满足0OM ON ⋅≠.所在所求直线方程为y =或y=x -或x=-2.. 六、恒成立型例10 （2002年全国高考题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?解析 设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，……，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b n n +=+94.01所以，当2≥n 时，x b b n n +=-194.0，两式相减得：()1194.0-+-=-n n n n b b b b（1）显然，若012=-b b ，则011==-=--+ n n n n b b b b ，即301===b b n ，此时.8.194.03030=⨯-=x （2）若012≠-b b ，则数列{}n n b b -+1为以8.106.0112-=-=-x b x b b 为首项，以94.0为公比的等比数列，所以，()8.194.01-⋅=-+x b b n n n .（i ）若012<-b b ，则对于任意正整数n ，均有01<-+n n b b ，所以，3011=<<<+b b b n n ，此时，.8.194.03030=⨯-<x（ii ）当万8.1>x 时，012>-b b ，则对于任意正整数n ，均有01>-+n n b b ，所以，3011=>>>+b b b n n ， 由()8.194.01-⋅=-+x b b n n n ，得()()()()()3094.0194.01112112211+---=+-++-+-=----n n n n n n b b b b b b b b b b()()3006.094.018.11+--=-n x ，要使对于任意正整数n ，均有60≤n b 恒成立，即()()603006.094.018.11≤+---n x对于任意正整数n 恒成立，解这个关于x 的一元一次不等式 , 得8.194.018.1+-≤nx , 上式恒成立的条件为：上的最小值在N n nx ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-≤8.194.018.1，由于关于n 的函数()8.194.018.1+-=n n f 单调递减，所以，6.3≤x .七、环境保护型例11 有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量都是r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )=r p +［g (0)- rp］·e t v r-(p ≥0),其中，g (0)是湖水污染的初始质量分数.（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （2）求证：当g (0)<rp时，湖泊的污染程度将越来越严重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？解析 （1）∵g (t )为常数, 有g (0)-r p=0, ∴g (0)= rp .(2) 我们易证得0<t 1<t 2, 则g (t 1)-g (t 2)=［g (0)- rp ］e 1t vr --［g (0)-rp ］e 21t v r -=［g (0)-rp］［e 1t vr --e21t v r -］=［g (0)-rp ］)(2112)(t t vrt vr t vr ee e+-,∵g (0)·rp<0,t 1<t 2,e 21t v r>e 1t v r,∴g (t 1)<g (t 2) .故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.(3)污染停止即P =0，g (t )=g (0)·et vr-,设经过t 天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g (t )=5% g(0)∴201=e t v r-，∴t =rv ln20，故需要rvln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.八、估测计算型例12 为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：张先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)张先生家每月应还款多少元?(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651) 解析 设月利率为r ，每月还款数为a 元，总贷款数为A 元，还款期限为n 月 第1月末欠款数 A (1＋r )－a第2月末欠款数 [A (1＋r )－a ](1＋r )－a ＝ A (1＋r )2－a (1＋r )－a第3月末欠款数 [A (1＋r )2－a (1＋r )－a ](1＋r )－a＝A (1＋r )3－a (1＋r )2－a (1＋r )－a ……第n 月末欠款数 0)1()1()1()1(21=-+--+-+-+--a r a r a r a r A n n n 得：1)1()1(-+⨯+=n n r rr A a对于12年期的10万元贷款，n ＝144，r ＝4.455‰ ∴37.9421004455.1004455.0004455.1100000144144=-⨯⨯=a对于15年期的15万元贷款，n ＝180，r ＝5.025‰ ∴22.12681005025.1005025.0005025.1150000180180=-⨯⨯=a由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款 a r a r a r a r A X -+--+-+-+=)1()1()1()1(142143144 其中A ＝150000，a ＝1268.22，r ＝5.025‰ ∴X ＝41669.53 再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．九、类比归纳型：给出一个数学情景或一个数学命题，要求我们发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题，或者根据一些特殊的数据，特殊的情况去归纳出一般的规律。