“超级全能生”2019年福建省高三年级11月联考文数试卷

“超级全能生”2019年福建省高三年级11月联考数学(文科)注意事项：1.本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{230}M x x x =--<，{21}N x x =-<<，则()M N =I ðR ( ) A.[]1,2- B.(]1,1- C.[)3,1 D.()3,2- 2. 命题120:00<>∃x ,x p ，则命题p 的否定是 ( ) A.12000≥>∃x ,xB.12000≥≤∃x ,xC.021x ,x ∀>≥D.021x ,x ∀≤≥3.下列哪个函数的定义域与函数xx f )51()(=的值域相同 ( ) A.x x y 2+= B.ln 2y x x =- C.x y 1=D.xx y 1+=4.已知,,,∈a b c d R ,则下列命题中必然成立的是 ( ) A.若b b,c a >>则c a > B.若d b,c a >>则dbc a > C.若22a b ,>则b a >D.若b a ->,则b c a c +-＜5.已知向量()()()3,,1,0,1,2k =-==c b a .若()()c b b a +-∥2,则k 的值为 ( ) A.38 B.2 C.1- D.34 6.函数x e e x f xxsin )()(⋅+=-的图像大致为 ( )7.等比数列{}n a 不具有单调性,且5a 是4a 和33a 的等差中项,则数列{}n a 的公比q = ( ) A.1-B.32-C.1D.328.已知不等式0252>-+x ax 的解集是M .若M ∈2且M ∉3,a 的取值范围是 ( )A.2πC.34πD.π10.在ABC △中,记=u u u r AB a ,=u u u r AC b ,2,AB =ABC=4π∠,AD 是边BC 的高线,O是线段AD 的中点,则AO =u u u r( )12.已知数列{n a }的前n 项和为n S ,*2312,2929++=∈-⋅+n n n n a n N ,则使不等式1122019nS -<成立的最小正整数n 的值为 ( ) A.11 B.10C.9D.8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量||||2==a b ,若3+=-a b a b ,则2+=a b _____________.14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+-≥,2,063,2y y y x x 则y x 2z -=的最小值为 .15.已知函数()2cos ([0,])f x x x π=∈的图象与函数()3tan g x x =的图象交于A 、B 两点,则OAB △(O 为坐标原点)的面积为 .16.设函数21()sin 2019cos sin 2f x πx x x +=--+（）则2)(=x f 在[π，2-π]上的零点个数是 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知1,)2x ω=-a ,(cos ,cos 2)x x ωω=b )0(>ω,若函数()f x =⋅a b ,()f x 的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位长度后,得到函数)(x g 的图象,若函数)(x g 为偶函数,求函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上的值域.18.(12分)已知数列{n a }中,n a ,b n a ,a a n n n n +=-+==+12111. (Ⅰ)求证：数列{n b }是等比数列; (Ⅱ)求数列{n a }的前n 项和n S .19.(12分)ABC △三内角C B A ,,对边分别为c b a ,,,B c C b a sin cos =-.(Ⅰ)求;B(Ⅱ)若2=AC ,求ABC △面积的最大值.20.(12分)已知数列{n a },211=a ,192=a ,其前n 项和n S 满足2211-+n n-n S =+S S (*2≥∈n ,n N ). (Ⅰ)求{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n nS }(*∈n N )的最大项.21.(12分) 函数3211()132f x =ax +bx +cx+,)('x f 为)(x f 的导函数. (Ⅰ)2)1('af -=,b c>a>223,用a ,b 表示c ,并证明:当0a>时,334b <<a --; (Ⅱ)若21-=a ,2b=,32c =-,求证:当1≥x 时,ln '()x f x ≥.22.(12分)已知函数()()R ∈+=a xax x f ln . (Ⅰ)若曲线()x f y =在点()()11f ，处的切线经过坐标原点,求a 的值; (Ⅱ)若()x f 存在极小值()a g ,使不等式()ma a g ≤恒成立,求实数m 的范围.“超级全能生”2019年福建省高三年级11月联考数学(文科)答案详解1.C【解题思路】由2230x x --<得13x -<<,所以{|13}.M x x =-<<又{21}N x x x =≤-≥或R ð,所以(){13}M N x x =≤<I R ð.故选C. 2.C【解题思路】根据特称命题的否定是全称命题,可知选项C 正确. 故选C.4.D【解题思路】对于选项A.a 与c 的大小关系不确定;对于选项B,取3,1,1,2-=-===d c b a ,满足d c b a ＞＞,,但dbc a >不成立； 对于选项C,取1,2-=-=b a ,满足22a b >，但a b >不成立;对于选项D,b,a b,a <-->则若则b c a c +-＜,选项D 正确, 故选D. 5.A【解题思路】由题意得()3,42=-b a ,()2,k =+c b .因为())(2c b b a +-∥,所以830k -=解得38=k ,故选A. 6.B【解题思路】因为()()sin()xx f x ee x --=+⋅-＝)(sin )(xf x e e x x -=⋅+--,所以函数)(x f 是奇函数,根据奇函数的图象性质可排除A,D,又因为函数)(x f 的定义域是R ,排除C, 故选B. 7.A【解题思路】因为5a 是4a 和33a 的等差中项,所以43532a a a +=,即32411132,a q a q a q +=整理得2230,--=q q 解得1q =-或32q =.因为{}n a 不具有单调性,所以1q =-, 故选A. 8.A【解题思路】由题可知22480132133913099，，，>-⎧∈+>⎧⎧⎪⇒⇒⇒-<≤-⎨⎨⎨∉+≤≤-⎩⎩⎪⎩a M a a M a a ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈913,2a ，故选A.9.B【解题思路】因为2222cos 2cos sin cos sin 1tan tan tan()1sin 2cos sin 2sin cos cos sin 1tan 4ββββββπαβββββββββ-++=====+-+---，所以,4παβ=+即4παβ-=，故选B. 10.D【解题思路】由题意易得由得1BD=BC 3u u u r u u u r,则1111111111()()[()]+2223233636==+=+=+-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AO AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a +b，故选D. 11.C【解题思路】由C c A b B a cos 2cos cos =+结合正弦定理得C C A B B A cos sin 2cos sin cos sin =+,则()C C B A cos sin 2sin =+,由π=++C B A 得sin cos C C C =⋅.因为sin 0C ≠,所以cos C =因为()π,0∈C ,所以4π=C .由22=ABC S △,得1||||sin 2CB CA C ⋅=u u ur u u u r 因为||CB =u u u r 所以||4CA =u u u r ,则CA u u u r 在CB u u u r 方向上的投影为||cos 4CA π=u u u r 故选C. 12. D【解题思路】因为1212311212122121(23)(23)11129292(23)(23)2(23)(23)22323n n n n n n n n n n n n n a +++++++++++---==⋅=⋅=⋅--⋅+------（）,所以122334121111111-2232323232323n n n n S a a a ++=++⋯+=⋅+-+⋯+-------（）2n 2n 31111122323226++=⨯-=----（）,则21-n S =201916213<-+n ,即202523>+n ,因为10112=10242025,220482025,<=>所以113≥+n ,即8n ≥,故使不等式成立的最小正整数n的值为8， 故选D. 13.2【解题思路】由2==a b ,3+=-a b a b 得22(3)()+=-a b a b ,解得4⋅=-a b ,所以22+====a b .14.38-【解题思路】画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示,z 2x y =-即22y z x -=,结合图象可知,目标函数在点B ⎝⎛34,)2处取 得最小值38434min -=-=z . 15.π23【解题思路】由2cos 3tan x x =,可得22cos 3sin x x =, 即22sin 3sin 20x x +-=,解得1sin 2x =,或sin 2x =-(舍去),结合[0,]x π∈, 可得6π=x 或56x π=，∴A (,3)6π，B 5(3)6π,-,画图象如图所示，根据函数图象的对称性可得AB 的中点(,0)2C π,∴OAB △的面积等于OAC △与OCB △的面积之和, 即11113S =O ||||||23.222222OAB A B A B C y OC y OC y y ππ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅-=⋅⋅=△ 16.3【解题思路】由题意得2121cos 2()sin(2019)cos sin sin cos 22xf x πx x x x x +-=--+=- ,πx x x 22)42sin(22222cos 212sin 21221++=++=++令,πx 222)42sin(22=++则,1)42sin(=+πx 所以22()42ππx kx k ,+=+∈Z 即()8=+∈πx k πk Z .令0k =,则],2[8π,ππx -∈=满足条件; 令1k =-,则,π,ππx ]2[87-∈-=满足条件;令2k =-,则,π,ππx ]2[815-∈-=满足条件;令3k =-,则,π,ππx ]2[823-∉-=不满足条件,则()2f x =在]2[π,π-上的零点个数是3.17.解:(Ⅰ)因为1,)2ωx =-a ,(cos ,cos2)=ωx ωxb ,所以()cos cos sin f x ωx ωx ωx ωx π=⋅=-=-12(2)26a b . （3分） 又因为)(x f 的最小正周期为π,所以22ππω=,所以1ω=. （5分） (Ⅱ)由(Ⅰ)知)62sin()(π-=x x f ,其图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后,得到函数)622sin()(πϕ--=x x g 的图象. （7分）因为函数()g x 为偶函数,所以262k ππϕπ+=+,k ∈Z ,解得26k ππϕ=+,k ∈Z ,又因为)20(πϕ，∈,所以6πϕ=. （8分）所以x x x g 2cos )22sin()(-=-=π.因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈30π，x ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3202π，x , 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,212cos x ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,1)(x g . （10分）18.解:(Ⅰ)证明:因为n,a ,b n a a n n n n +=-+=+121所以,b n a n n a n a b n n n n n 2)(2)1(12)1(11=+=++-+=++=++则.b b nn 21=+（3分）又因为，a b 02111≠=+= (4分） 所以数列{n b }是首项为2,公比为2的等比数列. （5分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b n a nn n 2==+ 所以n,a nn -=2（6分）所以2321(22)(23)(2)n n S n =-+-+-++-L （） （7分）232222123n n =++++-++++L L （）（） （8分）2)1(21)21(2n n n +---=1(1)222n n n ++=--. （12分）19.解:(Ⅰ)由正弦定理知A R a sin 2=,B R b sin 2=,C R c sin 2=,其中R 为△ABC 外接圆半径,则2sin 2sin cos 2sin sin R A R B C R C B =+.即B C C B A sin sin cos sin sin +=. （2分） 又∵)(C B A +-=π,C B C B C B C B A sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=∴π,即B C C B C B C B sin sin cos sin sin cos cos sin +=+, （4分）B C C B sin sin sin cos =∴. 0sin ≠C Θ,∴B B sin cos =. 又∵B 为ABC △的内角, ∴4B π=. （6分）(Ⅱ)解法一:由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,即2242cos4a c a π=+-,ac ac ac c a 222422-≥-+=,则)22(2224+=-≤ac ,（9分）当且仅当c a =时取等号，1242sin 21+≤==∆ac B ac S ABC ,故ABC S ∆的最大值为12+. （12分） 解法二:由正弦定理,得A A B A b a sin 22sin 222sin sin =⨯==, 同理得C c sin 22=, （8分）)43sin(sin 22sin sin 22sin 22sin 2242sin 21A A C A C A B ac S ABC -==⨯⨯==∴∆π=)sin 43cos cos 43(sin sin 22A A A ππ- =)sin cos (sin 22A A A +=A A 2cos 12sin -+ =1)42sin(2+-πA , （11分） 故当242A ππ-=,即83π=A 时, ABC △的面积有最大值为12+. （12分）20.解:(Ⅰ)由已知,2211-+n n-n S =+S S (2n ,n ≥∈N *),得1n n-1S 2n n S S =S +---(N*,n n ∈≥2),则12n n a a +-=-(2)n ,n ≥∈N*,且212a a -=-, 满足上式 （3分）∴数列{n a }是以21为首项,2-为公差的等差数列,∴212(1)232n a =n =n ---(n ∈N *). （5分）(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得222)2(2)1(21n n n n n S n -=-⨯-+=,于是2322-n nS n n =. 设23()=22f n n n -(1n ,n ≥∈N *),则2'()=443f n n n -,令()0'=n f ,得344=n , ∴()n f 在44[1,)3上单调递增, 在44(,)3+∞上单调递减. ∵n ∈N *，且()()141568,151575f f ==,∴数列{n nS }(n ∈N *)的最大项为1575. （12分） 解法二:由(Ⅰ)得222)2(2)1(21n n n n n S n -=-⨯-+=,于是2322n nS n n =-， 设{n nS }(n ∈N *)的最大项为2322-n n ,则有23232323*2222(1)(1),2222(1)(1),,⎧-≥---⎪-≥+-+⎨⎪∈⎩n n n n n n n n n N解得15n =,即数列{n nS }(n ∈N*)的最大项为232215151575⨯-= . （12分）21.证明:(Ⅰ)因为函数3211()1()32f x ax bx cx ,f'x =+++为)(x f 的导函数, 则由题得c,bx ax x f'++=2)( （2分） 因为(1)2=-a f',所以2；++=-a a b c 3;2c a b =-- 因为b,c a 223>>所以b,b a a 2233>--> 所以.a b 433-<<- （6分）(Ⅱ)因为,23,2,21-==-=c b a 所以,23221)('2-+-=x x x f （8分）令，)1(23221ln )(2≥+-+=x x x x x g 求导可得,)1(21)('2x x x x x g -=-+=所以,0)('≥x g函数)(x g 在[1,)+∞上单调递增,所以,0)1()(=≥g x g所以当1x ≥时，)('ln x f x ≥成立. （12分）22.解:(Ⅰ)因为函数x ax+=x f ln )(的导函数221)(x ax x a x x f'-=-=, （1分）所以曲线)(x y=f 在点))1(,1(f 处切线的斜率()a f k -==11', （2分）又=a f )1(且切线过坐标原点, 所以a a -=--1010, （3分） 解得21a=（4分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知2)(x ax x f'-=(x ﹥0).若0≤a ,则0)(＞x f'在)0(∞+，上恒成立,则)(x f 在定义域内单调递增,)(x f 没有极值;（6分）若0＞a ,当()a x ,0∈时,0)(＜x f';当)(∞+∈a,x 时,0)(＞x f',所以)(x f 在),0(a 上单调递减,在(,)a +∞上单调递增,所以)(x f 在x=a 处取得极小值,所以)0(1ln )()(＞a a+=a =f a g , （8分）所以不等式()(0)g a ma a ≤＞恒成立等价于1(ln 1)m a+a ≥恒成立, 则max1(ln 1)m a a ⎡⎤≥+⎢⎥⎣⎦.（9分） 设)0)(1(ln 1)(＞a a a a h +=, 则2ln )(a aa h'-=,（10分） 因为当)10(,a ∈时,0)('h ＞a ，当)1(∞+∈,a 时,0＜h'(a),所以)(a h 在）（10,上单调递增,在）（∞+,1上单调递减,所以1)1()(max ==h a h ,（11分） 所以实数m 的范围是)1[∞+,. （12分）。