高等数学上期末考查A
10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准
共 2 页 第 1 页10-11-3高数A 期末试卷（A ）参考答案及评分标准11.6.21一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 4；2. 2；3. 224()t f t π；4. π-；5. 4π；6. 2，3；7. i π；8. 12；9.2-，0. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ，（4分）切线方程为1111492x y z ---==-.（3分）（或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩（7分）） 11．解22201d cos d cos d 2xyy x x x x y x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（3+2+2分） 12．解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ，利用Green 公式得2sin 220sin 033(1)d d d d d sin d 24x xCDy x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.（3+2+2分） 13. 解 补两个面2211:1x y S z ⎧+≤⎨=⎩，2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,S S S 所围成的区域记为Ω，利用Gauss 公式得()d d ()d d Sy x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰12()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3+3分）三（14）．（本题满分8分）解1()n n a a ∞=∑未必收敛，例11n a n =+，10n a n ≤<，而111n n ∞=+∑发散；（2分）1()(1)nn n b a ∞=-∑未必收敛，例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n a n ≤<，而11(1)n n n ∞=-∑收敛，11sin n n ∞=∑发散，故1(1)11(1)sin 2n nn n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散；（2分）1()n c ∞=11n a n =+，10n a n ≤<，而1n ∞=发散；（2分）21()(1)n n n d a ∞=-∑必定收敛，2210n a n ≤<，共 2 页 第 2 页而211n n ∞=∑收敛，所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛，故21(1)n n n a ∞=-∑收敛. （2分） 四（15）。
厦门大学微积分I高等数学期末考试(A卷)
厦门大学微积分I高等数学期末考试(A卷)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。
2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。
3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。
4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.215．计算定积分()123021sin 21x x dx x π⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭+⎢⎥⎣⎦⎰。
6．求方程2x y dy dx+=的通解。
7．求不定积分2(1)(1)x dx x x ++⎰。
8．求方程1y y x x'-=的通解。
9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。
二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1． 求极限20)(02sin limx dt e x x t x x ⎰-→⋅。
2. 计算322sin cos cos 2cos x x x x dx x ππ-⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦⎰。
3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。
4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。
5．求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。
6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。
高等数学A(一)期末试题及答案
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ．(3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-⎰10211dx x 2π . (5) =⎰∞+121dx x1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D)21. (2) 设xx x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B)(A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1.(4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C)(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对.(5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D)(A) ⎰=')()(x f dx x f . (B)C x f dx x f dx d +=⎰)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x-='⎰. (D) )())((0x f dt t f x ='⎰.三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2) 22)2(sin ln lim x x x -→ππ.解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dxdy 和22dx y d . 两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y所以得; yy ln 21+=' yy ln 21+='四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) ⎰-dx x x )2sin(2. 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222 (2) ⎰-dx x 21. 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1 C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) ⎰10arctan xdx . 解：⎰⎰+-=10210101]arctan [arctan dx x x x x xdx 2ln 214)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) ⎰10dx e x . 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=10102dt te dx e t x 22][22101010=-==⎰⎰dt e te tde t t t 五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=⎰22031t u du e y t t x 所确定，求函数)(x y y =的极值. 解：23124t te dx dy t +=，令0=dxdy ，得0=t ，代入得：1=x 。
工程大学2023-2023学年第1学期《高等数学(上)》期末考试试卷(A卷)及标准答案
工程大学2023-2024学年第1学期《高等数学（上）》期末考试试卷（A卷）及标准答案试卷题目：高等数学（上）期末考试试卷（A卷）科目：高等数学（上）时间：2024年1月一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1.在直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x 的顶点坐标是（）A. (1, -1)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (-1, 1)2.设函数f(x) = sin(2x + π/3)，则函数 f(x) 的一个周期是（）A. π/3B. π/2C. πD. 2π3.函数 y = 3ln(2x + 1) 的图像在 x 轴上的截距是（）A. -1/2B. 1/2C. 0D. -14.设函数 f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x，则 f(x) 的极值点是（）A. (-1, -1)B. (0, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)5.已知曲线 C 的参数方程为 x = t^2 - 4, y = t - 1，则曲线 C 属于（）A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线…二、填空题（共10题，每题3分，共30分）1.函数 f(x) = sin(2x) 的最小正周期是 _______。
2.函数 y = x^3 + 4x^2 的导函数是 _______。
…三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求方程组 x^2 + y^2 = 4, x - y = 1 的解。
2.计算不定积分∫(cos^2x + 2sinx)dx。
…四、大题（共2题，每题20分，共40分）1.设 y = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 均为常数，且a ≠ 0。
若曲线 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (1, -1)，且该曲线与直线 y = x + 1 相切于点 (2, 3)，求曲线方程。
2.设函数 f(x) = e^x / (1 + e^x)，求f’(x) 和f’’(x)。
同济大学《高等数学》(上)期末试卷A及答案
高等数学(上)期末考试试卷试 题一、填空、选择题1．函数)(x f 在],[b a 上可积是)(x f 在],[b a 上连续的 条件，函数)(x f 在],[b a 上可导是)(x f 在],[b a 上连续的 条件．2．曲线(ln y x =在点(),ln(1处的切线方程是 ．3．函数()(1)cos sin f x x x x =−−在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．4．曲线()x x y x −=2e 上有 个拐点．5．设可导函数()g x 满足(0)0g =，()00≠′g ，设())(sin 2x g x G =，则当0x →时， ．（A ）()G x 与()g x 是等价无穷小． （B ）()G x 与()g x 是同阶的无穷小． （C ）()G x 是比()g x 高阶的无穷小．（D ）()G x 是比()g x 低阶的无穷小．6．极限nnn nnn 333lim 21+++∞→"= ．7．如果一物体沿直线运动，物体的运动速度的变化曲线如图3所示（单位省略），则物体在这段位移过程中的平均速度为 ．8．微分方程x x y x y sind d =+的通解为 ． 二、1．设函数ln sec y x =，,22x ππ⎛⎞∈−⎜⎟⎝⎠．(1)讨论函数的单调区间与该函数的图形的凹凸性； (2)该曲线在哪点处的曲率半径为2？2．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∫,0,,0,d e 22x a x x t x x xt ϕ 求a 的值，使得()x ϕ在0=x 处连续，并用导数定义求(0)ϕ′．三、1．求定积分I =∫−π22d sin 1x x x ．2．若()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=,0,11,0,112x x x x xx f 对于(,)x ∈−∞+∞，求()()∫∞−=xt t f x F d ．四、1．设曲边梯形由曲线1y x x=+（0x >）与直线0y =，x a =，1x a =+所围成（其中0a >），问：当a 为何值时，曲边梯形的面积为最小，最小面积是多少？2．设一平板浸没在水中且垂直于水面(水的密度为1000kg/m 3)，平板的形状为双曲四边形，即图形由双曲线2244x y −=，直线1y =与1y =−所围成(如图4所示，单位：m)．(1)如果平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的水的总压力是多少？(2)如果水位下降，在时刻t ，水面位于y =()h t 处，且水面匀速下降，速率为0.01（m/s ），问：当水面下降至平板的中位线(即x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率是多少？五、设函数()f x 满足方程x x f u u f x u x 2cos )(d )()(0+=−∫，求()f x ．参考答案一、1．必要，充分．2．|1x y ′，因此所求切线是ln(1y x =．3．()(1)sin f x x x ′=−−，在区间(0,)2π内有唯一驻点1x =且为极大值点，因此所求最大值是(1)sin1f =−．4．()x x y x 3e 2+=′′有2个零点3x =−与0x =，且y ′′在这2个零点的左、右两侧邻近异号，因此该曲线上有2个拐点．5．2222000(sin )(0)()(sin )sin (0)sin lim lim lim 00()(0)()()(0)x x x g x g G x g x x g x g x g g x g x x g x→→→−′==⋅=⋅=−′，因此当0x →时，()G x 是比()g x 高阶的无穷小，故选（C ）．6．利用定积分的定义，得3ln 2d 3333lim1021==+++∫∞→x n x nn n n n "． 7．1011()d 101v v t t =−∫，根据定积分的几何意义，其中的定积分101()d v t t ∫是图中的图形面积，即10111118()d [4(61)4(86)(24)(108)]1019223v v t t ==⋅⋅−+⋅−++⋅−=−∫． 8．通解为()11d d sin 1cose e d sin d x x x x x x Cy x C x x C x xx−⎛⎞−+∫∫=+=+=⎜⎟⎝⎠∫∫． 二、1．(1)tan y x ′=，在,02π⎛⎞−⎜⎟⎝⎠内，0y ′<；在0,2π⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0y ′>．故,02π⎛⎤−⎜⎥⎝⎦是单调减少区间，0,2π⎡⎞⎟⎢⎣⎠是单调增加区间；而由2sec 0(,)22y x x ππ⎛⎞′′=>∈−⎜⎟⎝⎠得，该函数的图形是凹的． (2)322|||cos |(1)y K x y ′′==′+．由12K =，得3x π=±，故曲率半径为2的点是(,ln 2)3π±．2．11e e 2lim d e lim2224020=−=→→∫xx x xxt x xt ，因此1=a 时，()x ϕ在0=x 处连续． 22020d e lim1d e lim)0()(lim)0(22x x t xx t xx x xt x x xt x x −=−=−=′∫∫→→→ϕϕϕ02e 2e 16lim 21e e 2lim 22224040=−=−−=→→xx x x x x x x x ．三、 1．I =∫∫∫−=ππππ222022d cos d cos d |cos |x x x x x x x x x[][]πππ22202sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin xx x x xxx x x x −+−−+=4222−+=ππ．2．当0x <时，()2arctan d 112π+=+=∫∞−x t t x F x ； 当0x ≥时，()2arctan 2]arctan 2[2d )1(1d 11002ππ+=+=+++=∫∫∞−x t t t t t t x F xx ． 因此()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=.0,2arctan 2,0,2arctan x x x x x F ππ 四、1．曲边梯形的面积1111()()d ln2a a a A a x x a x a ++=+=++∫， 11()11A a a a ′=+−+．令()0A a ′=，解得在0a >范围内的唯一驻点12a −=，易知该点为极小值点，因此必为最小值点．而其最小面积min 1)ln 22A A −==+ 2．(1)水压力111000(1)2000F g y y g y −=−=∫∫10120002ln(10004ln 2g y g +⎤=++=+⎥⎦．(2)在时刻t ，水面位于()y h t =，平板一侧所受到的水压力为()(()1111000[()]1000()1000h t h t h t F g h t y y gh t y g y −−−=−=−∫∫∫，上式两边对t 求导，得(1d d 1000d d h t F hg y t t−=∫， 由于d 0.01d ht=−，因此，当水面下降至平板的中位线(即x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率为01d 10102ln(d F g y g y t −−⎤=−=−++⎥⎦∫154ln 2g =−+． 五、原方程为x x f u u f x u u f u xx 2cos )(d )(d )(0+=−∫∫，代入0x =，得(0)1f =−．上式两端对x 求导，得x x f u u f x2sin 2)(d )(0−′=−∫，代入0x =，得(0)0f ′=．上式两端再对x 求导，得x x f x f 2cos 4)()(−′′=−．故()y f x =满足初值问题⎩⎨⎧=′−==+′′==.0|,1|,2cos 400x x y y x y y 解得124cos sin cos 23y C x C x x =+−，代入初始条件解得113C =，20C =．故14()cos cos 233f x x x =−．。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
物理11级高等数学第一学期期末试题答案(A)
第 1 页 共 2 页陇东学院2011——2012学年第一学期物电学院非物理学专业高等数学课程期末试题答案(A)一、选择题（每小题2分，共20分）.1．若函数()y f x =在点0x 处连续，则0lim ()x x f x →（ B ）A .不存在；B .等于0()f x ；C .存在但不等于0()f x ；D .不确定.2. 1lim (1)xx x→∞-=（ D ）A .１；B .e ；C .∞；D ．1e.3. =∞→xx x sin lim（ B ）A .1；B .0；C .∞；D .不存在但不为∞.4．下列说法正确的是（ C ）A .有界数列必收敛；B .单调数列必收敛；C .收敛数列必有界；D .发散数列必无界.5. 若函数()sin f x x =，则()f x 在点0x =处（ A ）A .连续但不可导；B .连续且可导；C .可导但不连续；D .不连续也不可导.6．若函数()f x 在区间[],a b 上连续,在区间(,)a b 内可导,则在区间(,)a b 内至少存在一点ξ, 使得()f ξ'= ( C )A ．0；B ．1；C .()()f b f a b a--； D .()()f b f a -7. 下列各式正确的是( A )A .()()f x dx f x C '=+⎰； B .22()()x a df x dx f x dx=⎰； C .()()x ad f x dx f x dx'=⎰； D .()()bad f x dx f x dx=⎰8.121arctan 1x dx x-=+⎰( D ）A .2π； B .4π； C . 2； D . 0 .9．若0()0f x '=，0()0f x ''>，则0x 为函数()f x 的 ( A )A . 极小值点；B .极大值点；C .非极值点；D . 不一定是极值点.10．若广义积分1padx x+∞⎰收敛，则（ B ）A .1p ≤；B .1p >；C .0p ≤；D .01p <<．二、填空题（每小题３分，共1５分）.11．420sin xdx π=⎰316π；12．设2ln(1)y x =+, 则微分dy =221x dx x+；13．曲线22tx t y e⎧=⎨=⎩在1t =相应的点处的切线方程y ex e =+； 14. 函数xy e =的n 阶麦克劳林公式为231()1!2!3!!nxnx xxxe o x n =+++++；15．微分方程2dy xy dx=的通解2xy Ce=．三、计算题（每小题5分，共４０分）.16．解：32322111323363limlimlim6221321x x x x x x x x x x x x x →→→-+-===---+--；或3232211132(1)(2)23limlimlim121(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-++===+--+-+17．解：22cos limlim cos 1x x x t dt x x→→==⎰；试 卷 密 封 装 订 线院 系 班 级 姓 名 学 号第 2 页 共 2 页18．解： 两端取对数 ln sin ln y x x =，再求导1cos ln sin y x x x yx'=+，得 sin sin (cos ln )x x y x x x x'=+19．解：两端求导 0y e y y xy ''++=，从而yy y x e'=-+20．解：21143()(2)(3)3256x x dx dx dx x x x x x x ++==------+⎰⎰⎰=434ln(3)3ln(2)32dxdxx x x x -=-----⎰⎰21．解：22ln ln (sin cos )sin cos x x x x dx dx x xdx xx+=+⎰⎰⎰22311ln (ln )sin (sin )ln sin 23xd x xd x x x C =+=++⎰⎰22．解：11111000222222ttt tt te dt tee dt e e=-=-=⎰⎰⎰23．解：2111arctan lim arctan arctan 12441x dx x x xπππ+∞+∞→+∞==-=-=+⎰四、应用题(共２0分)24．讨论函数1y x x=+的性态，描绘函数图象.（８分）解：(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，函数是奇函数 221x y x-'=， 32y x''=，令0,0y y '''==，得1x =±1lim lim ()x x y x x→→=+=∞ ∴有铅直渐近线0x =又21limlim (1)1x x y k xx→→==+= ，1lim ()lim ()0x x b y kx x x x→∞→∞=-=+-=∴有斜渐近线y x =25．求抛物线2y x =与直线1x =所围平面图形的面积A 以及此图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积V ．（６分）解：13124433A x ===⎰，11222V xdx xπππ===⎰26．求二阶常系数齐次微分方程230y y y '''--=的通解．（６分）解：特征方程2230r r --=，特征根121,3r r ==，通解为2312x xy C e C e =+五、证明题(５分)选做一题27．证明当0x >时，ln(1)x x >+证：令()ln(1)f x x x =-+，则当0x >时，1()1011x f x xx'=-=>++故()f x 在[)0,x 上单调增加，因此当0x >时，()ln(1)(0)0f x x x f =-+>= 即 当0x >时，ln(1)x x >+28．证明方程510x x +-=只有一个正根．证：令5()1f x x x =+-，则()f x 在(,)-∞+∞内连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>，由零点定理知，()f x 在(0,1)内至少有一个零点．又4()510f x x '=+>，所以5()1f x x x =+-只有一个零点，在(0,1)内，故方程510x x +-=只有一个正根．。
13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。
10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。
得 分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。
14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________课程名称：高等数学(上)(A卷) 考试日期：2008年1月10日注意事项：1.本试卷满分100分，要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2.考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3.考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4.如有答题纸，请将答案全部写在答题纸上，否则不给分。
考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
一、单选题（每题3分，共15分）1.lim(sin(x^2-1)/(x-1))，x趋近于1，等于()A)1；(B)0；(C)2；(D)不存在。
2.若f(x)的一个原函数为F(x)，则∫e^(-x)f(e^x)dx等于()A)F(e^x)+c；(B)-F(e^-x)+c；(C)F(e^-x)+c；(D)F(e^-x^2/2)+c。
3.下列广义积分中()是收敛的。
A)∫sinxdx，从负无穷到正无穷；(B)∫1/|x|dx，从-1到1；(C)∫x/(1+x^2)dx，从负无穷到正无穷；(D)∫e^x dx，从负无穷到0.4.f(x)为定义在[a,b]上的函数，则下列结论错误的是()A)f(x)可导，则f(x)一定连续；(B)f(x)可微，则f(x)不一定可导；(C)f(x)可积（常义），则f(x)一定有界；(D)函数f(x)连续，则∫f(x)dx在[a,b]上一定有定义。
5.设函数f(x)=lim(n→∞)(1+x^2n)^2，则下列结论正确的是()A)不存在间断点；(B)存在间断点x=1；(C)存在间断点x=0；(D)存在间断点x=-1.二、填空题（每题3分，共18分）1.极限lim(x→∞)(x^2+1-1)/x=______。
2.曲线y=3t在t=2处的切线方程为y=______。
3.已知方程y''-5y'+6y=xe^(2x)的一个特解为-1/2(x+2x)e^(2x)，则该方程的通解为______。
2005-2006第一学期工商学院高数期末试卷A(8学分)答案
2 x 1 2
](1
2 2 ) e 2x 1
1
(cot x) ln x . 2．求极限 lim
x 0 1 ln x
(cot x) 解： lim
x 0
e ＝ lim
x 0
1 ln cot x ln x
e 1
1 ( csc 2 x) ln cot x x cot x 其中 lim lim lim ( ) 1 . x 0 x 0 x 0 1 ln x sin x cos x x
Q
50 Q 10Q 200 2
1 Q 2 15Q 200 2
L(Q) Q 15 ，所以，当 Q 15 时， L(Q) 0 .
当 Q 15 时，工厂日总利润 L 最大.
6
九、(７分)某工厂生产某产品,日总成本为 C 元, 其中固定成本为 200 元, 每多生产一单位产品, 成本增加 10 元. 该商品的需求函数为 Q 50 2 P ,求 Q 为多少时工厂日总利润 L 最大?
得分
解： L(Q) R(Q) C (Q)
Q P (10Q 200)
1 1 ( , ) ，下凸区间为 ( ,1), (1, ) ，极小值为 f (0) 1 . 2 2
x 2 , x 1 七、 （５分）确定常数 a 、 b 的值，使函数 f ( x) 在其定义域内可导． ax b , x 1
得分
解：显然函数 f ( x) 在 x 1 及 x 1 时是可导的， x 1 处，
得分
五、证明题（每题５分，共 1０分）
得分
１．函数 f ( x) 和 g ( x) 都在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导， f (1) g (1) ，且对所有 x (0, 1) 有
2005-2006第一学期高数期末A卷
2
x
2． 求极限
lim[(1 x)e
x
1 x
x]
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对外经济贸易大学信息学院
高等数学（上）
期末考试试卷 A
f x) 二阶可导，求 y 。 3. 设 y f ln 1 x ，其中 （
4. 设参数方程
x ln(1 t 2 ) y t arctgt
B D
f '(0) f (1) f (0) f '(1) f '(0) f '(1) f (1) f (0)
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对外经济贸易大学经贸学院
高等数学（上）
期末考试试卷 A
5 3．函数 y ln sin x 在 , 上满足罗尔定理的 = （ 6 6
（1） f x 在 , 上连续； （2） f x 在 , 上可导。 解： （1）显然 f x 除了 x 0 外必连续， 而 f 0 0 lim ln ax b ln b f 0 ， f 0 0 lim sin x 0 ，
D
） 。
(B) ( x x0 )[ f ( x) f ( x0 )] 0 ; (D) lim
t x0
f (t ) f ( x) 0 ( x x0 ) ; (t x) 2
2
t x0
f (t ) f ( x) 0 (t x) 2
( x x0 ) 。
得分
三、计算题： （每题 6 分，共 42 分） 1． 求极限 lim(1 x ) tan
2
5． 设 f ( x) 为可导函数，且 lim 切线斜率是_________.
大学高等数学期末考试题A卷(答案)
广东海洋大学2006 —— 2007 学年第 二学期《高等数学》试题答案（A 卷）一、填空题。
（每小题3分，共24分） 1.曲线2x y =与直线xy 2= 所围成的平面图形面积为A= 34；2.设向量{}2,3,1-=a，{}2,2,1-=b，则a·b= -3 ；3. 函数221yx z--=的定义域为 }1),({22≤+y x y x ；4.过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程为： 3x -7y +5z -4=0 ；5.设函数x y Z cos =，则yx Z ∂∂∂2= -sinx ；6.改变累次积分I=⎰⎰102),(xx dy y x f dx 的次序为I = ⎰⎰10),(X yy d y x f dy ；7. 设曲线方程为⎩⎨⎧=+-=++0380422222z y x z y x ，该曲线在Oxy 面上的投影方程为： ⎩⎨⎧==+0042z y x .8. 写出函数x x f sin )(=的幂级数展开式，并注明收敛域：x sin = )(,)!12()1(!5!312153R x n xxxx n n ∈+--+-+---二、选择题。
（每小题3分，共15分）1.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的（ D ）(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.下列方程中，通解为12e e x x y C C x =+的微分方程是（ A ）． (A) 02=+'-''y y y (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 (D) '=y y ． 3. 设函数),(v x f Z=，),(y x v ϕ=，其中ϕ,f 都有一阶连续偏导数，则xZ ∂∂等于（ B ）班级：姓名：学号：试题共 页加白纸张密封线(A)xf ∂∂ ;(B)vf xf ∂∂+∂∂·x∂∂ϕ ; (C)xxf ∂∂+∂∂ϕ ; (D)xf ∂∂·x∂∂ϕ4.设函数),(y x f Z=在点（1，2）处有)2,1(='x f ，)2,1(='y f ，且1)2,1(="xx f ，0)2,1(="xy f ，2)2,1(="yy f ，则下列结论正确的是（ D ）（A ）)2,1(f 不是极大值； （B ）)2,1(f 不是极小值； （C ）)2,1(f 是极大值； （D ）)2,1(f 是极小值。
《高等数学》2019-2020学年第一学期期末考试A卷
河海大学2019-2020学年第一学期期末考试《高等数学》试题（A）卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题（每题3分，共12分）1.若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为().(A)1(B)2(C)3(D)-12.已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为（）.(A)1(B)3(C)-1(D)123.定积分22ππ-⎰的值为（）.(A)0(B)-2(C)1(D)24.若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处().(A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导(D)必无极限二、填空题（每题3分，共12分）1．平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为.2.1241(sin )x x x dx -+=⎰.3.201lim sinx x x→=.4.3223y x x =-的极大值为.三、计算题（每题6分，共42分）1.求2ln(15)lim.sin 3x x x x→+2.设2,1y x =+求.y '3.求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4.求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5.设函数()y f x =由方程0cos 0yxte dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6.设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7.求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（每题6分，共24分）1.设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2.求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3.求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4.求函数y x =+在[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(10分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明：1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰标准答案一、1B;2C;3D;4 A.二、131;y x =+22;330;40.三、1解原式25lim3x x x x →⋅=5分53=1分2解22ln ln ln(1),12xy x x ==-++ 2分2212[121xy x x '∴=-++4分3解原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰3分222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x =++-+⋅+⎰2分2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+1分4解令1,x t -=则2分321()()f x dx f t dt-=⎰⎰1分1211(1)1cos t tdt e dtt -=+++⎰⎰1分210[]t e t =++1分21e e =-+1分5两边求导得cos 0,yey x '⋅+=2分cos yx y e '=- 1分cos sin 1x x =-1分cos sin 1xdy dxx ∴=-2分6解1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰2分21sin(23)2x C =++4分7解原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4分=32e2分四、1解令ln ,xt =则,()1,t t x e f t e '==+3分()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++2分(0)1,0,f C =∴= 2分().x f x x e ∴=+1分2解222cos x V xdx πππ-=⎰3分2202cos xdxππ=⎰2分2.2π=2分3解23624,66,y x x y x '''=-+=-1分令0,y ''=得 1.x =1分当1x -∞<<时,0;y ''<当1x <<+∞时,0,y ''>2分(1,3)∴为拐点,1分该点处的切线为321(1).y x =+-2分4解1y '=-=2分令0,y '=得3.4x=1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭2分∴最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2分五、证明()()()()()()bbaax a x b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰1分[()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰1分[2()()ba x ab df x =--+⎰1分{}[2()]()2()bba a x ab f x f x dx =--++⎰1分()[()()]2(),ba b a f a f b f x dx =--++⎰1分移项即得所证.1分。
苏州大学高等数学(一)上期末试卷A卷答案2018
苏州大学 高等数学一（上）期末试卷 共 页 考试形式：闭卷 院系 年级专业学号姓名成绩特别提醒：请将答案填写在答题纸上，若填写在试卷纸上无效. 一． 选择题：（每小题3分，共15分）1. 求下列极限，能直接使用洛必达法则的是( )BA. sin limx x x →∞ B. 0sin lim x x x → C. π2tan5lim sin3x xx →D. 201sinlimsin x x x x →2. 设函数()sin cos ,f x x x x =+下列命题正确的是 ( )D A. (0)f 是极大值，π()2f 也是极大值B. (0)f 是极小值，π()2f 也是极小值C. (0)f 是极大值，π()2f 是极小值D. (0)f 是极小值，π()2f 是极大值3. 下列等式正确的是( )D A.() d ()f x x f x '=⎰B.d() d ()d f x x f x C x=+⎰ C. d () d ()d b a f x x f x x =⎰ D. d () d 0d ba f x x x=⎰序号4. 函数133()2f x x x =-在下列区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是( )BA.[0,1] B. [1,1]- C. 27[0,8D. [1,0]- 5. 设ππ43422ππ222sin cos d ,(sin cos )d ,1x M x x N x x x x --==++⎰⎰π2342π2(sin cos )d ,P x x x x -=-⎰则有( )AA. P M N <<B. N P M <<C. M P N <<D. N M P <<二． 填空题：（每小题3分，共15分）1. 函数2()ln(4)f x x =-在区间 上是连续的. (2,2)-2. 已知()f x 具有任意阶导数，且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时， ()()n f x = . 1![()]n n f x +3．设函数()y y x =由方程e 1yy x -=所确定，则22d d x y x==______________.22e4. 设()d arcsin ,xf x x x C =+⎰则1d ()x f x =⎰. C +5. 设1lim(e d ,a axt x x t t x-∞→∞+=⎰则常数a = .2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限 （1）2011lim(tan x x x x→-. 解：原式=2232000tan tan sec 1lim lim lim tan 3x x x x x x x x x x x x →→→---== …………..3分220tan 1lim .33x x x →== …………..2分 （2）25ln(1)d limtan x x x t tx→+⎰.解：原式=2254ln(1)d ln(1)d limlimx x x x x t tt t x x →→++=⎰⎰ ………….3分2302ln(1)1lim .42x x x x →+== …………..2分2. 求摆线1cos ,sin x t y t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02π)t ≤≤的弧长.解：d 2sin d ,2ts t t == …………..5分2π02sin d 8.2ts t ==⎰ …………..5分3. 设函数π0()()cos d ,f x x f x x x =-⎰求().f x解：令π()cos d ,()cos cos cos ,A f x x x f x x x x A x ==-⎰ …………..4分ππcos d cos d 2,() 2.A x x x A x x f x x =-=-∴=+⎰⎰ …………..6分4. 求函数()ln e xf x x =-+的单调区间、最值及零点的个数.解：()ln e x f x x =-+ 则 11e ()e e xf x x x -'=-=令 ⇒='0)(x f 驻点 e x = …… 4分在(0,e)内，0)(>'x f ，)(x f 单调增加.在(e,)+∞内0)(<'x f ，)(x f 单调减少(e)0f =>为函数的最大值，没有最小值, …… 4分又0lim ()lim(ln )ex x xf x x ++→→=-=-∞ -∞=-=+∞→+∞→)(ln lim )(lim exx x f x x )(x f ∴在(0,e)内有且仅有一个零点，在(e,)+∞内有且仅有一个零点,所以函数恰有两个零点. ……2分四．解下列各题：（共30分）1. （12分）已知曲线e ,sin ,0,1x y y x x x ====围成平面图形， （1）求该平面图形的面积S;（2）求该平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体的体积,.x y V V 解：1(e sin )d e cos12,x S x x =-=+-⎰ ……..4分1222120011111π(e sin )d π[e sin 2]π[(e sin 2)1].22422x x x V x x x x =-=-+=+-⎰ ……..4分102π(e sin )d 2π[1sin1cos1].x y V x x x =-=-+⎰ ……..4分2. （12分）设()f x 在[,](0)a a a ->上连续， （1）证明：0()d [()()]d ;aaaf x x f x f x x -=+-⎰⎰（2）利用上述结论计算定积分π24π4cos d .1exxx --+⎰证明：（1）0()d ()d ()d aa aaf x x f x x f x x --=+⎰⎰⎰00()d ()d ()d aaaf x x f t t f x x -=--=⎰⎰⎰ ……..4分（2）ππππ22224444π0004cos cos cos d d d cos d 1e 1e 1ex x x x x x x x x x x ---=+=+++⎰⎰⎰⎰……..4分 π401cos 2π1d .284x x +==+⎰……..4分 3. （6分）已知()f x 在[0,1]上具有连续导数，试证明：1101()d ()d max{()}.x f x x f x x f x ≤≤'+≥⎰⎰证明：由连续函数的最大值定理，存在0001[0,1],..()max{()},x x s t f x f x ≤≤∈= (2)分由积分中值定理，存在10[0,1],..()d (),s t f x x f ξξ∈=⎰……..2分111()d ()d ()()d f x x f x x f f x x ξ''+=+⎰⎰⎰0001()()d =()()()()max{()}.x x f f x x f f x f f x f x ξξξξ≤≤'≥++-≥=⎰ ..2分。
上海交通大学·2002_年第一学期高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)
试题照登上海交通大学·高等数学期末试题(A 卷)(附参考答案)2002年第一学期一、选择题(每题3分,共15分,每题选项仅有一项符合要求,把所选项前的字母填入括号内)1.f (x )在a 连续,且lim x ※a f (x )-f (a )(x -a )m =c >0,其中m 是偶数,则(B ……………………………)A .a 是f (x )的极大值点; B .a 是f (x )的极小值点;C .a 不是f (x )的极大值点;D .不能判别a 是否f (x )的极值点.2.f (x ),g (x )均为恒不为零的可微函数,且f ′(x )g (x )-g ′(x )f (x )>0,则当x >a 时,成立不等式(A ……………………………………………………………………………………………………)A .f (x )g (a )>f (a )g (x );B .f (x )g (x )>f (a )g (a );C .f (a )g (x )>f (x )g (a );D .f (a )g (a )>f (x )g (x ).3.函数f (x )=lim n ※∞n 1+x 2n 在(-∞,+∞))连续且(C ………………………………………………)A .处处可导; B .仅有一个不可导点;C .仅有二个不可导点;D .至少有三个不可导点.4.∫1-11+x sin 2x 1+x 2dx =(B ………………………………………………………………………………)A .π4 B .π2 C .π D .0.5.微分方程y ″-2y ′=xe 2x 的特解形式可设为(C ……………………………………………………)A .(ax +b )e 2x ;B .x (ax +b );C .x (ax +b )e 2x ;D .axe 2x .二、填空题(每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上)1.f (x )=ln (1+ax b ), x ≥0,e x 2-1sin2x, x <0在x =0可导,则a =12,b =1.2.设函数y =y (x )由方程y =∫2x +y 0sin t 2dt -∫x 20e -t dt (其中x >0)所确定,则其导数dy dx =2sin (x +y )2-2xe -x 1-sin (2x +y )23.∫20x 44-x 2dx =2π.4.x ※0时,∫x 30sin 3tdt 是βχα的等价无穷小,则α= 4 β= 34 .5.f (x )为连续函数,F (x )=∫2x0f (x +t )dt ,则F ′(x )=3f (3x )-f (x ).三、计算下列积分(18分)1.∫x (e x2x x 122-12+12(6分)63Vol .6,No ,4Dec .,2003 高等数学研究STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS2.∫π0dx 2+cos x =23arctan x 3|+∞0=π33.∫+∞2dx x 4x 2-1=12arcsin 15四、解下列方程(14分)1.(x y -x 2)y ′=y 2 e y x =cy2.y ″+2y ′+2y =4e x sin x 通解为y =12e x (sin x -cos x )+c 1e -x cos x +c 2e -x sin x 五、(14分)1.设f (x )=ln x -2x 2∫e 1f (x )xdx ,求f (x ). f (x )=ln x -e -2x 22.设f 2(x )=2∫x 0f (t )1+f ′2(t )dt -2x ,求f (x ). f (x )=1-e x六、应用题(18分)1.求心脏线r =a (1+cos θ)(a >0)上对应0≤θ≤π2的孤线段的长度,且求该弧段与射线θ=0及θ=π2所围图形绕极轴旋转所得旋转体的体积.V =52πa 32.(8分)D 是由抛物线y =2x (2-x )与x 轴所围成的区域,直线y =kx 交区域D 分为面积相等的两部分,求k 的值。
大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印
第一学期期末考试机电一体化专业《 高等数学 》 试卷( A )1．函数()314ln 2-+-=x x y 的定义域是（),2[]2,(∞+--∞Y ）。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)1(f （ -5 ）。
3．=→xx x 20lim （ 0 ） 4．函数xxx f -=)(的间断点是x =（ 0 ）。
5． 设735223-+-=x x x y 则y '＝（ 31062+-x x ）。
1、设()00=f , 且()00='f 存在, 则()=→xx f x 0lim ( C )；Ａ. ()x f ' Ｂ. ()0f ' Ｃ. ()0f Ｄ. ()021f 2、17下列变量中是无穷小量的有 ( C )； Ａ. )1ln(1lim0+→x x Ｂ. )1)((2()1)(1(lim 1-++-→x x x x x Ｃ. x x x 1cos 1lim ∞→ Ｄ. xx x 1sin cos lim 0→3、下列各组函数为同一函数的原函数的是 ( C )；Ａ. 31)(x x F =与324)(x x F -= Ｂ. 31)(x x F =与32214)(x x F -=Ｃ. C x x F +=21sin 21)(与x C x F 2cos 41)(2-=Ｄ.x x F ln )(1=与22ln )(x x F =4、在函数()x f 连续的条件下, 下列各式中正确的是 ( C )；Ａ. ()()x f dx x f dx d b a =⎰ Ｂ. ()()x f dx x f dx d ab =⎰Ｃ. ()()x f dt t f dx d x a =⎰ Ｄ. ()()x f dt t f dxd ax =⎰ 5、下列说法正确的是 ( D )； Ａ. 导数不存在的点一定不是极值点 Ｂ. 驻点肯定是极值点 Ｃ. 导数不存在的点处切线一定不存在Ｄ. ()00='x f 是可微函数()x f 在0x 点处取得极值的必要条件1、函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )2、函数)(x f 在区间[]b a ,上连续是)(x f 在区间[]b a ,上可积的充分条件。
高等数学(上)期末试卷
华东理工大学2005–2006学年第一学期《 高等数学(上)11学分》课程期末考试试卷 2005.12 A开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟考生姓名： 学号： 任课老师 ： 班级： 题序 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分 评卷人注意：试卷共3大张，10大题一．填空题.(每小题4分，共28分)1．极限0lim_______________.sin()4x x x e e x x π−→−=+2．设()f x 与()x ϕ都是可导函数,且[][](2)(3),(0)0,(0)0y f x f x f ϕϕϕ=+==则'(0)______________.y =3．已知()f x 的一个原函数是sin ln ,x x ⋅则1'()_____________.xf x dx π=∫4．极限121lim _____________.1n n x x x x x nx −→++++−=−"5．1min(_________________.2x e dx +∞−=∫，6．设1()(0),xy x x x =>，则2____________.x dy dx ==7. 幂级数2342342222222510171n n x x x x x n +++++++""的收敛域是___________.二．单选题.(每小题4分，共16分)1. 下列级数中，条件收敛的是：( )A.112(1)()3n n n −∞=−∑ B. 11(1)n n −∞=−∑C.1211(1)n n n−∞=−∑ D. 111(1)2n n n n −∞=−∑2. 曲线2ln(1)y x =−上满足102x ≤≤的一段弧的弧长s =( ) A.122211x dx x +−∫ B.∫C.∫ D.∫3. 心形线4(1cos )ρθ=+与射线0,2πθθ==围成的平面图形绕极轴旋转所得的旋转体的体积V ( ) =A. 2216(1cos )d ππθθ+∫B. 22216(1cos )sin d ππθθ+∫ θC. []022216(1cos )sin4(1cos )cos d ππθθθ++∫ θD. []22216(1cos )sin 4(1cos )cos d ππθθθ++∫ θ4. 质线位于区间[],a b 上,在[],a b 上任一点x 处其密度函数为2,x u e −=则该线段的质量为M =( ) A. B. 2()b a x ae −+∫dx x x 2()b x a ae d −−∫C.D.2b a x edx −−∫2()0b a a x e d −−+∫三．（本题6分）求数列的极限1lim(arctan4n n n π→∞+−如图，2x y a =是区间[]0,2上的抛物线，直线y a =(04)a <<与曲线2x y a=相交，问为何值时，能使图中的阴影部分面积相等？a五．（本题6分）设211()cos ,()1,2244f x x P x x ==−+x 求能使极限式0()()lim 0n x f x p x x →−=成立的正整数的最大值.n设1ln ,e n n I xdx n =∫为正整数，试导出n I 与1n I −之间的关系式(递推公式).七．(本题8分)求.设()f x 在[],a b 上有阶导数且n (1)()()'()()0,n f b f a f a f a −==="=试证明：至 少有一点[],a b ξ∈，使()()0n f ξ=.九．(本题8分)试将函数展开为麦克劳林级数. ln() (0,0)y a bx a b =+>>设221(),t x f t e−=∫dx 计算1().I tf t dt =∫华东理工大学2006–2007学年第_一_学期《高等数学（上）11学分》课程期末考试试卷 A 2007.1开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师题序 一二三四五六七总分 得分 阅卷注 意：试 卷 共 三 页 七 大 题一．填空题（每小题4分，共32分）：1．若存在，，)(x f ′′2)1(−=f 10)1(=′f ，2)1(=′′f ，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=x f x g 21e)(，则=′′)2(g __________．2．若记曲线 与 轴交点为2sin 22323=−+y x y x y P ，则曲线在P 点处的法线方程为______________________．3．=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+∞→xx x x x 122lim 22__________． 4．函数在区间xx x f −−=e )1()(),0[+∞上的最大值为 ．5．设∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=xu u t tx f 023d 1d )(则=′′)2(f _________． 6．若函数在区间上连续，且)(x f ′′]1,0[1)0(+=πf ，1)1(−=πf ，，，则___________．0)0(=′f 2007)1(=′f =′′−∫1d )()1(x x f x 7．无界区域⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤≥=340,0),(2x x y x y x D 绕x 轴旋转一周所形成的无界旋转体的广义体积为=V ______________．8．设∑∞=+−+−=0123)3(!)1()(n n n x nn x f ，则_________． =)3()5(f二．选择题（每小题4分，共32分）：1．若2111)(xx x f −+=间断点的个数为，可去间断点的个数为，则 （ ） n k （A ）； （B ）1,2==k n 2,2==k n ； （C ）； （D ）1,3==k n 2,3==k n ．2．若，则 （ ） 0)(=′a f （A ）)()()(a x o a f x f −=−； （B ）a x a f x f −−~)()(； （C ）； （D ）以上都不对．)]()([a f x f o a x −=−3．设x x f πsin )(=，则 （ ） （A ）ππ−=′=′+−)1(,)1(f f ； （B ）ππ=′−=′+−)1(,)1(f f ； （C ）π=′=′+−)1()1(f f ； （D ）π−=′=′+−)1()1(f f ． 4．若，则C x x x f +=∫)cos(d )(2=′)(πf （ ）（A ）； （B ）； （C ）1−0π2−； （D ）π4．5．在换元t x cos =下定积分∫−−012d )1(x x f 可化为 （ ）（A ）∫−ππ2d sin )sin (t t t f ； （B ）∫ππ2d sin )(sin t t t f ；（C ）∫−ππ2d sin )(sin t t t f ； （D ）∫−−ππ2d sin )sin (t t t f ．6．心形线)cos 1(θρ+=a )0(>a 所围成区域在第一象限内的部分绕x 轴旋转生成立体的体积为 （ ）（A ）∫′++202d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([2πθθθθθπa a ；（B ）∫′++22d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([πθθθθθπa a ；（C ）∫′++022d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([2πθθθθθπa a ；（D ）∫′++022d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([πθθθθθπa a ．7．“” 是“L n f n =+∞→)(lim L n f n =+∞→)2(lim ”的 （ ）（A ）充分条件，非必要条件； （B ）必要条件，非充分条件； （C ）充要条件； （D ）既不是必要条件，也不是充分条件．8．级数∑∞=+−11)1(n n n n α条件收敛的充要条件是 （ ） （A ）10≤<α； （B ）21<≤α； （C ）2321≤<α； （D ）223<<α． 三．（本题8分）求曲线上拐点处的法线方程．∫−++=1)1(d e 312xt t x y四．（本题6分）已知∫=13d )sin()(xt t x f π，求．∫1d )(x x f五．（本题8分）半径为1（m ）深为2（m ）的圆锥形水池，其中盛满了水，现在要将其中的水从上口全部抽尽，问需作功多少（KJ ）？（取14.3≈π，，水的密度为）2m/s 81.9=g 3g/m 1000k =ρ六．（本题8分）求幂级数∑∞=−+−0)1(!)12()1(n n n x n n 的收敛域与和函数．七．（本题6分）设函数在闭区间上连续，在开区间内有二阶导数，且函数在闭区间上的最大值点和最小值点都在开区间内．试证明：存在)(x f ],[b a ),(b a )(x f ],[b a ),(b a ),(b a ∈ξ，使)()(ξξf f ′=′′．华东理工大学2007-2008学年第一学期《高等数学（上）11学分》课程期终考试试卷（A ）2008.1开课学院：理学院 考试方式：闭卷 所需时间：120分钟考生姓名____________学号_______________班级_________任课老师____________题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 阅 卷注 意：试 卷 共 三 页 八 大 题一.填空题(每小题4分,共32分):1. 数列极限nn n n )11(lim 2++∞→=____________.2. 设x b x a x x f 2sin 2sin )(−−=满足,0)(lim 50≠=→A x x f x 则.______=−b a3. 积分∫−πθθ202cos 1d =___________.4. 积分=−+∫21212211arcsin －dx xx x =___________.5. 设是可导函数, )(u f 21)2(',1)2(==f f , 又设,则___________.])2([)(2x x f f x F +==)1('F 6. 设有连续的导数，且当时，与是同阶无穷小，则＝________.)(x f ∫−=≠′=x dt t f t x x F f f 022)()()(0)0(0)0(，，，0→x )(x F ′kx k 7. 幂级数∑∞=+−⋅01!)(32n n n n x 的和函数是___________.8. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=−=2233t y tx t 相应于30≤≤t 的弧长为____________.二.选择题(每小题4分,共24分):1. 设在区间[]上b a ，0)(0)(0)(>′′<′>x f x f x f ，，，，∫=b ax x f S d )(1[]，，)()()(21))((32a b a f b f S a b b f S −+=−=则有 ( ). (A) 321S S S <<; (B) 312S S S <<;(C) ; (D) 213S S S <<132S S S <<.2. 设x x x f sin )2()(+=则在)(x f 0=x 处 ( ).(A) ; (B) 2)0(=′f 0)0(=′f ; (C) 1)0(=′f ; (D) 不可导.3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤−+−=02sin 0244)(2x xx x xx x x f ，当，当,则关于的连续性的正确结论是 ( ).)(x f (A) 仅有一个间断点; (B) 仅有一个间断点0=x 2=x ;(C) 有二个间断点及; (D) 处处连续.0=x 2=x 4. 设有级数∑∞=12)1(23cos n nn n π 和级数)2()(ln 1ln ∑∞=n nnn n , 其敛散性的判定结果是( ).（A）（1）（2）都发散; （B）（1）（2）都收敛; （C）（1）发散,（2）收敛; （D）（1）收敛,（2）发散.5. 的阶泰勒展开式的拉格朗日余项为)(x f n =)(x R n ( ). (式中10<<λ)(A) 10)1()()!1()(++−+n n x x n x fλ ; (B)n n x x n x f )(!)(0)(−λ ; (C)100)1()()!1(])1([++−+−+n n x x n x x fλλ; (D)n n x x n x x f )(!])1([00)(−−+λλ.6. 设在)(x f 0x 如果阶导数的某邻域内有连续的三,0)()(00=′′=′x f x f ,, 则 ( ).0)(0>′′′x f (A) 是; (B) 是的极小值点; 0x )(x f 的极大值点0x )(x f (C) 不是的极值点; (D) 不能断定是否为极值点.0x )(x f 0x三.(8分)求)286(lim 22x x x x x x ++++−∞→.四.(8分) 求微分方程yy x y 2sin cos 1+=′的通解.五. (8分) .12cos 22确定的平面图形的面积和求由不等式≥≤ρθρ六.（8分）;)1.(02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=−==y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x七.(6分) 试将函数展开为2arctan x y =x 的幂级数.八. (6分) 设在[上可微, 且满足)(x f ]10，0)(2)1(21=−∫dx x xf f , 试证明在内存在点)10(，ξ, 使得:ξξξ)()(f f −=′ .。
浙江师范大学 高等数学(上) 期末试题 A卷答案(理科1)
浙江师范大学《 高等数学（上） 》 A 卷答案（理科1）一、 选择题（每小题2分，共12分）1、C2、C3、D4、D5、B6、A二、 填空题（每小题2分，共16分）①e -3 ② 0 ③[1,1]- ④ln cos sin 2x x x C --++⑤ 5ln 6⑥ 2 ⑦ ⑻ x xy 224+'=() 三、问答题（5分） 221()x f x x x x-=-指出sin 的间断点，并判别其类型． 解 (1)(1)()01()(1)x x x f x x x f x x x +-===-sin ，与是的间断点 00(1)lim ()lim 2x x x x f x x →→+==sin 因，11(1)sin lim ()lim 2sin1x x x x f x x→→+==， 1()f x 所以0和都是的可去间断点。
四、 计算题（每小题7分，共49分）1、1lim xx x →+∞求极限 11ln lim ln lim lim 0.1xx x x x x y x y x →+∞→+∞→+∞====解设,则 01e ==原式2、44411ln ,d 4(1)41x y y x x=+++设 求． 解d ()d y y x x '=33324442141441d d 4(1)41(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-=+-=⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦ 3、.d )1(3x e e x x ⎰+求 解x e e x x ⎰+d )1(3)1d()1(3++=⎰x x e e 41(1).4x e C =++ 4、.)1)(1(d 2⎰++x x x 求 22d 111:()d (1)(1)211x x x x x x x -=-++++⎰⎰解2221d 1d(1)1d 214121x x x x x x +=-++++⎰⎰⎰ 2111l n 1l n 1a r c t a n .242x x x C =+-+++（） 1200d ()d ln(1)d d y t y y x xy e t t t x -=+⎰⎰5、设是由方程所确定的隐函数，求． 解 y xy e y y +'-'=0，'=-y y e xy6、求232sec ,d sec tan d sec tan d 1d cos d sin cos sec tan sec 22x t x t t tt t t t t t t t t C t t t ==⋅⋅====++⋅⎰⎰⎰解 令 原式11arccos .2C x = 7、求微分方程d 1d e yy x x =+的通解。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x ⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x 。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→xx x 11lim20_____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
高数a上册期末试题及答案
高数a上册期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20题）1. 设函数 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，则其定义域为A. $(-\infty, \frac{2}{3}]$B. $\left[ \frac{2}{3}, \infty \right)$C. $[\frac{2}{3}, \infty)$D. $(-\infty, \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \infty)$答案：C2. 函数 $y = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的值域为A. $(-\infty, 1]$B. $[0, 1]$C. $[1, \infty)$D. $[\frac{1}{2}, 1]$答案：B3. 设函数 $f(x) = e^x \ln x$，则 $f'(x) = $A. $e^x \ln x$B. $e^x \left( \frac{1}{x} + \ln x \right)$C. $e^x \left( \ln x - \frac{1}{x} \right)$D. $e^x \left( \frac{1}{x} - \ln x \right)$答案：B4. 若直线 $y = 3x + b$ 与抛物线 $y = ax^2 + bx + 1$ 相切，则 $a + b = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D5. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的渐近线为A. $y = x - 1$B. $y = x + 1$C. $y = -x + 1$D. $y = -x - 1$答案：A6. 函数 $f(x) = \ln(1 + e^{2x})$ 的反函数为A. $f^{-1}(x) = \ln(x) - \ln(1 - x^2)$B. $f^{-1}(x) = \ln(x^2 - 1)$C. $f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$D. $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x) + \ln(1 - x)$答案：D7. 设函数 $f(x) = \arcsin (\sin x)$，则当 $x = \frac{5\pi}{6}$ 时，$f(x) =$A. $\frac{5\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{6}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\frac{2\pi}{3}$答案：C8. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 的最大值为A. 1B. $\sqrt{3}$C. 2D. $2\sqrt{3}$答案：D9. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值为A. 0B. 1C. 2答案：D10. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称，则 $a = $A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B11. 设 $\sin \alpha = \frac{1}{4}$，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，且$\alpha$ 和 $\beta$ 都是第二象限角，则下列四个式子中成立的是A. $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{3}{4}$B. $\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{8}$C. $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$D. $\cos (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$答案：C12. 如果点 $A(1, 2)$ 在抛物线 $y = -x^2 + 3x + k$ 上，那么 $k = $A. -3B. -5D. -9答案：B13. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$，则 $f'(x)$ 的零点有A. -2, 2B. -1, 3C. -4, 3D. -1, 4答案：A14. 设点 $P(x, y)$ 满足 $y^2 = px$，其中 $p > 0$ 是常数，则焦点所在的直线方程为A. $y = -\frac{p}{2}$B. $x = -\frac{p}{2}$C. $y = \frac{p}{2}$D. $x = \frac{p}{2}$答案：B15. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值为A. -1B. 0D. 2答案：A16. 设直线 $y = 2x + 1$ 与曲线 $y = x^2 + bx + c$ 相切，则 $b + c = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. 2答案：C17. 设函数 $f(x) = (1 - x^2) \cos x$，则 $f''(x)$ 的一个零点在A. $(0, \frac{\pi}{2})$B. $(0, \pi)$C. $(\pi, 2\pi)$D. $(\pi, 3\pi)$答案：B18. 设函数 $f(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$，则$f(x)$ 的最大值为A. 2B. $2\sqrt{2}$C. 3D. $2 + \sqrt{3}$答案：C19. 设函数 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$，则 $f(x) \cdot g(x) = $A. $e^{x^2}$B. $x^2 e^x$C. $x^2 e^{x^2}$D. $x^2 + e^x$答案：B20. 设 $a > 0$，则 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^x}$ 的值为A. 0B. $\frac{1}{e}$C. 1D. $+\infty$答案：A二、计算题（每题10分，共4题）1. 求函数 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$.解：使用“分子分母可约”的性质，可将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x) = 2x - 1$，则 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.答案：12. 求曲线 $y = e^x$ 与直线 $y = kx$ 相交的两个点的坐标，其中 $k > 0$ 是常数.解：将曲线 $y = e^x$ 和直线 $y = kx$ 代入方程中，得到 $e^x = kx$，然后可以使用迭代法或图像法求得相交点的坐标.答案：相交点的坐标为 $(x_1, e^{x_1})$ 和 $(x_2, e^{x_2})$，其中$x_1$ 和 $x_2$ 是满足方程 $e^x = kx$ 的两个解.3. 求曲线 $y = \sin x$ 与直线 $y = x$ 相交的点的个数，并说明理由.解：将曲线 $y = \sin x$ 和直线 $y = x$ 代入方程中，得到 $\sin x = x$，然后可以通过分析函数的周期性和图像来确定相交点的个数.答案：方程 $\sin x = x$ 的解存在无穷个，但相交点的个数取决于给定的区间. 在区间 $[0, \pi]$ 上，方程有一个解；在区间 $[2\pi, 3\pi]$ 上，方程又有一个解. 因此，相交点的个数是不确定的.4. 求函数 $y = x^2 + x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点.解：首先求导数 $y' = 2x + 1$，然后令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，将 $x = -2, -\frac{1}{2}, 2$ 代入函数 $y = x^2 + x$，得到对应的 $y$ 值. 最大值为 $y = y_{\text{max}}$ 对应的点为 $(-\frac{1}{2},y_{\text{max}})$，最小值为 $y = y_{\text{min}}$ 对应的点为 $(-2,y_{\text{min}})$ 和 $(2, y_{\text{min}})$.答案：最大值为 $y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$，取得最大值的点为 $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$；最小值为 $y_{\text{min}} = -2$，取得最小值的点为 $(-2, -2)$ 和 $(2, -2)$.三、证明题（每题20分，共2题）1. 证明函数 $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$ 的导数 $f'(x)$ 恒大于零.证明：求导数 $f'(x) = x^2 - 2x + 2$，我们可以通过判别式来判断 $f'(x)$ 的正负性.判别式为 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$，由于 $\Delta < 0$，所以判别式小于零，即 $f'(x)$ 的二次项系数小于零，说明二次项的系数是正的，从而导数 $f'(x)$ 恒大于零.证毕.2. 证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证明：要证明函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称，需证明对于任意$x$ 值，函数 $f(x)$ 和 $f(2 - x)$ 的函数值相等.将 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 代入 $f(2 - x)$，得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 -3(2 - x)^2 + 3$，对其进行展开和化简得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 -x)^2 + 3 = x^3 - 3x^2 + 3 = f(x)$，即 $f(x) = f(2 - x)$，证明了函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证毕.四、应用题（每题50分，共1题）1. 求函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值.解：求导函数 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3$，令 $f'(x) = 0$，求得驻点的 $x$ 坐标，然后将其代入原函数求得对应的 $y$ 坐标.求导的一阶导数方程为 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 = 0$，通过求根公式求得 $x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$，将其代入原函数 $f(x)$ 得到对应的$y$ 坐标.将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) = -1 + 1+ 3 = 3$，将 $x = \frac{1}{3}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(\frac{1}{3}) =(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} +\frac{1}{9} - 1 = 0$.因此，函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$.答案：驻点为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$，分别对应极大值和极小值.。
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高等数学（上）期末考查A一、填空题（每题3分，共30分） 1.利用定积分的几何意义求220aa x dx -⎰ (0)a >=2.若定积分20d 01axx x =+⎰，则常数a =3.设()x f 是连续函数，且()()⎰+=102dt t f x x f ，()x f =4.设微分方程2444x y y y xe -'''++=的特解为2()k x y x Ax B e -=+，则k =5.cos 0limxu x e du x→=⎰6.不定积分dxx x x=+⎰7.由抛物线 25y x =-与直线3x y +=所围图形的面积为8.设函数)(x f 在),0[+∞上连续，且⎰+=xx x dt t f 0),cos 1()(则=)2(πf9.微分方程0)4(2=-+dy x x ydx 的通解为________ 10.对数螺线θρe =，],0[πθ∈的弧长为 二、选择题（每题3分，共15分) 1.与定积分()d ba f x x ⎰无关的量是A.aB.bC.fD.x2.设函数()()⎰+=dt t x f x2ln 2，则()x f '的零点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.33.设函数()x f 与()x g 在[0,1]上连续，且()x f ≤()x g ，且对任何()1,0∈c A .()()dt t g dt t f cc⎰⎰≥2121 B.()()dt t g dt t f cc⎰⎰≤2121C .()()dt t g dt t f cc⎰⎰≥11 D.()()dt t g dt t f cc⎰⎰≤114.微分方程250y y y '''++=的通解为A. 12(cos2sin 2)x y e C x C x =+B. 12(cos2sin 2)x y e C x C x -=+C.212(cos sin )x y e C x C x =+D.212(cos sin )x y e C x C x -=+5.已知()x g 是[]b a ,上的连续函数，()()dt t g x f xa ⎰=，则下列说法中正确的是A.对()f x 求一阶导数得()()()f x g x g a '=+B.函数()f x 一定满足：()lim()x af xg a x →=C.在()b a ,内方程()()0=--ab b f x g 至少有一个根 D.由估值定理估计()b ag t dt ⎰的值，则可得()()()b ag a g t dt g b ≤≤⎰ 三、解答题（共55分） 1.（5分）广义积分⎰∞+-0dx xe x 收敛还是发散？如果收敛，计算其值。
2.（4分）求22cos 3()x xd f t dt dx ⎰3.（14分）求下列不定积分（1）⎰+)2(7x x dx（2）dx xa x ⎰-2224.（6分）已知⎰=''+=ππ03sin )]()([,1)(xdx x f x f f 且，求)0(f5.（10分）已知某曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的纵坐标和横坐标之积，且曲线经过点()1,1，求它的方程.6.（10分）已知曲线2y x =，试在区间[0,1]内求一点0x ，使图中有阴影的两部分面积相等，并将此两部分面积绕直线0x x =旋转，求所得旋转体积.002x x x x y得旋转体积旋转,此两阴影部分面积绕直线部分面积相等,并将,使图中有[0,1]内求一点,试在区间17.已知曲线求所Oxy xy 2(1,1)11x 0阴影的两7.（6分）设)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x f 在),(b a 内单调递减，证明函数ax dtt f x F xa-=⎰)()(在区间),(b a 内单调递减。
一、填空题（每题3分，共30分） 1.214πa 2.0 3.1-x 4.2 5.e 6.2arctan x C + 7.92 8.12π- 9.x c y x 14)4(=- 10.)1(2-πe二、选择题（每题3分，共15分) 1.D 2.B 3.D 4. B 5. C三、解答题（共55分） 1.（5分）原式=⎰∞+--0)(x e xd =⎰∞+-∞+---00]|[dx e xe x x =1 ∴广义积分收敛2.（4分）)3()3()(cos )(cos )(22cos 32222'⋅-'⋅=⎰x x f x x f dt t f dx d x x)3(6)(cos sin 2222x xf x f x x --=3.（14分）求下列不定积分（1）令tx 1=，则⎰+)2(7x x dx ⎰⎰⎰++-=+-=-⋅+=12)12(141121)21(11777627t t d dt t t dt t t tC x x C t ++-=++-=|2|ln 141||ln 21|12|ln 14177 （2） 解法一dx xa x ⎰-222⎰⎰⎰-+--=-+-=2222222222)(xa dx a dx x a dx xa a a xa xa dx x a xx x a x arcsin 2222222⎰+--⋅+--==a xa dx x a x x a x arcsin 222222+----⎰所以dx x a x ⎰-222C a xa x a x ++--=a r c s i n 2121222解法二 令)2,2((sin ππ-∈=t t a x ，则tdt a dx cos =，t a x a cos 22=-，所以⎰⎰⎰⎰-==⋅=-dt t a tdt a t a tdt a t a dx xa x 22cos 1sin cos cos sin 22222222C t t t a C t t a +-=+-=)c o s s i n (2)2s i n4121(22C x a x axa C a x a x a x a +--=+--=)a r c s i n (21)1(a r c s i n 2222222 4.（6分）⎰⎰'+=ππ)(sin sin )(x f xd dx x x f 左边=⎰⎰'-'⋅+πππ00cos )(|)(sin sin )(xdx x f x f x xdx x f=⎰⎰--πππ00sin )(|cos )(sin )(xdx x f x x f xdx x f=.2)0(,3)0()(=∴=+f f f π5.（10分）（方法1）设所求曲线的方程为()y y x =,曲线在点(,())x y x 的切线的动点坐 标为(,)X Y ,则曲线在点(,())x y x 的切线的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-, 令0X =，Z 则得切线在纵轴上的截距Y 为 ()()y x xy x '-, 由题意得()()()y x xy x xy x '-=, 即()(1)()xy x x y x '=-也即d (1)d y x xy x-= 两边积分得 ln ln y x x C =-+ 由曲线经过点（1，1）知，1C =,于是所求曲线的方程为ln ln 1y x x =-+，即ln1yx x=- ， 即1e x yx-= ，也即1e x y x -= （方法2）设所求曲线的方程为()y y x =,曲线在点(,())x y x 的切线的动点坐 标为(,)X Y ,则曲线在点(,())x y x 的切线的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-, 令0X =，Z 则得切线在纵轴上的截距Y 为 ()()y x xy x '-, 由题意得()()()y x xy x xy x '-=,即10xy y x-'-= 因此1d ln ee e xx x x x xy C C Cx -+⎰===由曲线经过点（1，1）知，1C =, 于是所求曲线的方程为1e x y x -=6.（10分）1832 1.0,3232,32.32)1(31)1(3)1(210230030012200d y y Vy yx x yx x x x x d x x dx x x 从而所求旋转体的体积为即则在新坐标系中抛物线的方程为将坐标原点移至点由此得即依题意有解.,7.（6分）证明 由已知 2)()()()()(a x dtt f x f a x x F xa--⋅-='⎰， （1）又由积分中值定理知，存在],[x a ∈ξ，使⎰-=xaa x f dt t f ))(()(ξ （2）而)(x f 在),(b a 内单调递减，从而由（1）、（2）得 0)())()(()()(2≤--⋅-='a x f x f a x x F ξ 所以 )(x F 在区间),(b a 内单调递减。