高中三年级文科数学模拟试卷第18章
高三文科数学试卷电子版
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页…………外………………内……………○……在※※装※※订※※线………○……第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若(x2+a)(x+x)8的展开式中x8的系数为9,则a的值为.14．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题,大意是:酒店把酒坛层层堆积,底层摆成长方形,以后每上一层,长和宽两边的坛子各少一个,堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术,设底层长和宽两边分别摆放a,b个坛子,一共堆了n层,则酒坛的总数S=ab+(a-1)(b-1)+(a-2)(b-2)+…+(a-n+1)(b-n+1).现在将长方形垛改为三角形垛,即底层摆成一个等边三角形,向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如图2),若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛,顶层摆放1个酒坛,那么酒坛的总数为.15．定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=13x3-12x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是.16．设函数f(x)=exx+a(x-1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点,则a2+b2的最小值为.三、解答题(共6题，共70分)17．已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,且4S n=a n2+2a n-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若T n=a1+1S1−a3+1S3+a5+1S5-…+(-1)n+1a2n-1+1S2n-1,比较T n与1的大小.18．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a sin(C+π6)=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=√7,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-3,角A的平分线交边BC于点T,求AT的长.19．垃圾是人类生产和生活中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,因此需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析,得到样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,20),其中x i和y i分别表示第i个镇的人口(单位:万人)和该镇年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得∑i=120x i=80,∑i=120y i=4 000,∑i=120(x i-x¯)2=80,∑i=120(y i-y¯)2=8 000,∑i=120(x i-x¯)(y i-y¯)=700.(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度;(2)求y关于x的线性回归方程;(3)某机构有两款垃圾处理机器,其中甲款机器每台售价100万元,乙款机器每台售价80万元,下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:根据以往经验可知,某镇每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元,若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年),以频率估计概率,该镇选择购买哪一款垃圾处理机器更划算?参考公式:相关系数r=∑i=1n(x i-x¯)(y i-y¯)√∑i=1(x i-x¯)2∑i=1(y i-y¯)2,对于一组具有线性相关关系的数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nx i y i−nx-y-∑i=1nx i2−nx-2，a^=y-−b^x-.20．如图,已知各棱长均为2的直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1EC;(2)求点B1到平面A1EC的距离.21．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点S(-13,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.22．已知函数f(x)=lnx,g(x)=-12x.(1)令F(x)=ax·f(x)-2x2·g(x),讨论F(x)的单调性;(2)设φ(x)=f(x)x-g(x),若在(√e,+∞)上存在x1,x2(x1≠x2)使不等式|φ(x1)-φ(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.第3页共4页◎第4页共4页参考答案1.D【解析】解法一 因为A ={x ||x |≤3}={x |-3≤x ≤3},(题眼)(方法点拨:含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边,小于在中间”,即|x |≤a 的解集是{x |-a ≤x ≤a },|x |≥a 的解集是{x |x ≤-a 或x ≥a })B ={x |x ≤2},所以A ∩B ={x |-3≤x ≤2},故选D.解法二 因为3∉B ,所以3∉(A ∩B ),故排除A,B;因为-3∈A 且-3∈B ,所以-3∈(A ∩B ),故排除C.故选D. 【备注】无 2.B【解析】解法一 z =4-3i 2-i=(4-3i)(2+i)(2-i)(2+i)=11-2i 5=115−25i,所以|z |=√(115)2+(-25)2=√5,(题眼)故选B.解法二 |z |=|4-3i2-i |=|4-3i||2-i|=√42+(-3)2√22+(-1)2=√5=√5,故选B.(方法总结:若z 1,z 2∈C ,则|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|(|z 2|≠0)) 【备注】无3.A【解析】解法一 由sin x =1,得x =2k π+π2(k ∈Z ),则cos (2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又由cosx =0,得x =k π+π2(k ∈Z ),而sin(k π+π2)=1或-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,(判断充分、必要条件应分三步:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论(充分性),从结论推条件(必要性);(3)确定条件和结论是什么关系)故选A.解法二 由sin x =1,得x =2k π+π2 (k ∈Z ),则cos(2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又cos 3π2=0,sin 3π2=-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,故选A. 【备注】无 4.A【解析】由题可知,数列{a n }是首项为29、公比为12的等比数列,所以S n =29[1-(12)n ]1-12=210-210-n,T n =29×28×…×210-n=29+8+…+(10-n )=2n(19-n)2,由T n >S n ,得2n(19-n)2>210-210-n,由n(19-n)2≥10,可得n 2-19n +20≤0,结合n ∈N *,可得2≤n ≤17,n ∈N *.当n =1时,S 1=T 1,不满足题意;当n ≥18时,n(19-n)2≤9,T n ≤29,S n =210-210-n>210-1>29,所以T n <S n ,不满足题意.综上,使得T n >S n 成立的n 的最大正整数值为17. 【备注】无 5.B【解析】依题意,1=a 2+b 2-2a ·b =1+1-2a ·b ,故a ·b =12,所以(a -b )·(b -c )=a ·b -b 2-(a -b )·c =(b -a )·c -12=|b -a ||c |·cos<b -a ,c >-12≤1-12=12,当且仅当b -a 与c 同向时取等号.所以(a -b )·(b -c )的最大值为12.故选B.【备注】无 6.D【解析】由已知可得∠xOP =∠P 0OP -∠P 0Ox =π2t -π3,所以由三角函数的定义可得y =3sin∠xOP =3sin(π2t -π3),故选D.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查古典概型、排列与组合等知识,考查的学科素养是理性思维、数学应用. “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有A 66=720(种)排法,其中“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类:①“数”排在第一节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 41A 22A 33=48(种)排法;②“数”排在第二节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 31A 22A 33=36(种)排法.(方法总结:解决排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置))故“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排法共有48+36=84(种),所以“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的概率P =84720=760,故选B. 【备注】无 8.C【解析】解法一 由已知可得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.在平面ACC 1A 1内,过点C 1作C 1H ⊥PC ,垂足为H ,如图.由CC 1⊥底面ABC ,可得CC 1⊥BC ,因为AC ⊥BC ,AC ∩CC 1=C ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1,所以BC ⊥C 1H ,又C 1H ⊥PC ,PC ∩BC =C ,所以C 1H ⊥平面PBC ,连接BH ,故∠C 1BH 就是直线BC 1与平面PBC 所成的角.在矩形ACC 1A 1中,CP =√CA 2+AP 2=√42+22=2√5,sin∠C 1CH =cos∠PCA =AC CP =2√5=√5=C 1H CC 1=C 1H 3,故C 1H =3×√5=√5.故在△BC 1H中,sin∠C 1BH =C 1HBC 1=√53√2=√105,所以直线BC 1与平面PBC 所成角的正弦值等于√105.故选C.解法二 由已知得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.如图,以C 为坐标原点,分别以CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C C_1的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,4,2),B (3,0,0),C 1(0,0,3),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2),B ⃗ C_1=(-3,0,3).设平面BCP 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由{n ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥CP⃗⃗⃗⃗ 可得{n·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x =0,n·CP ⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0,即{x =0,2y +z =0,得x =0,令y =1,得z =-2,所以n =(0,1,-2)为平面BCP 的一个法向量.设直线BC 1与平面PBC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,B ⃗ C_1>|=|n·B⃗⃗ C_1||n||B⃗⃗ C_1|=√(-3)2+32×√12+(-2)2=√105.故选C.【备注】求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角.(2)向量法,sin θ=|cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|(其中AB 为平面α的斜线,n 为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).9.B【解析】本题主要考查集合以及自定义问题的解题方法；G =N,⊕为整数的加法时，对任意a,b ∈N ，都有a ⊕b ∈N ，取c =0，对一切a ∈G ，都有a ⊕c =c ⊕a =a ，G 关于运算⊕为“融洽集”. 【备注】无 10.D【解析】对于A,甲街道的测评分数的极差为98-75=23,乙街道的测评分数的极差为99-73=26,所以A 错误;对于B,甲街道的测评分数的平均数为75+79+82+84+86+87+90+91+93+9810=86.5,乙街道的测评分数的平均数为73+81+81+83+87+88+95+96+97+9910=88,所以B 错误;对于C,由题中表可知乙街道测评分数的众数为81,所以C 错误;对于D,甲街道的测评分数的中位数为86+872=86.5,乙街道的测评分数的中位数为87+882=87.5,所以乙的中位数大,所以D 正确. 故选D. 【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的图象与性质,数形结合思想的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解法一 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,显然x ≠-3,当x ≠0且x ≠−3时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得a =|x|x 3+3x 2,设g (x )=|x|x 3+3x 2,则g (x )的图象与直线y =a 有3个不同的交点.当x >0时,g (x )=1x 2+3x ,易知g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (x )∈(0,+∞).当x <0且x ≠-3时,g (x )=-1x 2+3x,g'(x )=2x+3(x 2+3x)2,令g'(x )>0,得-32<x <0,令g'(x )<0,得−3<x <−32或x <−3,所以函数g (x )在(−∞,−3)和(−3,−32)上单调递减,在(−32,0)上单调递增,且当x 从左边趋近于0和从右边趋近于−3时,g (x )→+∞,当x 从左边趋近于-3时,g (x )→−∞,当x →−∞时,g (x )→0,可作出函数g (x )的大致图象,如图所示,由图可知,a >49.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).解法二 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,当x ≠0时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得1|x|=a (x +3),则该方程有3个不同的根.在同一坐标系内作出函数y =1|x|和y =a (x +3)的图象,如图所示.易知a >0,当y =a (x +3)与曲线y =1|x|的左支相切时,由-1x=a (x +3)得ax 2+3ax +1=0,Δ=(3a )2-4a =0,得a =49.由图可知,当a >49时,直线y =a (x +3)与曲线y =1|x|有3个不同的交点,即方程1|x|=a (x +3)有3个不同的根.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).【备注】【方法点拨】利用方程的根或函数零点求参数范围的方法及步骤:(1)常规思路:已知方程的根或函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图象一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.(2)常用方法:①直接法——直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围;②分离参数法——先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;③数形结合法——先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.(3)一般步骤:①转化——把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况;②列式——根据零点存在性定理或结合函数图象列式;③结论——求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围 12.B【解析】因为圆x 2+y 2=a 2与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,所以∠A 1MA 2=90°,tan∠MOA 2=ba,所以∠PMA 2=90°.因为△MPA 2是等腰三角形,所以∠MA 2P =45°.因为∠PA 2M 的平分线与y 轴平行,所以∠OA 2M =∠PA 2x ,又∠OA 2M +∠A 2MO +∠MOA 2=180°,∠OA 2M =∠A 2MO ,所以∠MOA 2=∠MA 2P =45°,(题眼)所以b a=tan∠MOA 2=1,所以C 的离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=√2.故选B.【备注】无 13.1【解析】二项式(x +1x )8的展开式中,含x 6的项为C 81x 7(1x )1=8x 6,含x 8的项为C 80x 8(1x )0=x 8,所以(x 2+a )(x +1x)8的展开式中,x 8的系数为8+a =9,解得a =1.【备注】无 14.220【解析】根据题目中已给模型类比和联想,得出第一层、第二层、第三层、…、第十层的酒坛数,然后即可求解.每一层酒坛按照正三角形排列,从上往下数,最上面一层的酒坛数为1,第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1+2+3,第四层的酒坛数为1+2+3+4,…,由此规律,最下面一层的酒坛数为1+2+3+…+10,所以酒坛的总数为1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220. 【备注】无 15.(34,32)【解析】由题意,知f '(x )=x 2-x 在[0,m ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<m ),满足f '(x 1)=f '(x 2)=f(m)-f(0)m=13m 2-12m ,所以方程x 2-x =13m 2-12m 在(0,m )上有两个不相等的解.令g (x )=x 2-x-13m 2+12m (0<x <m ),则{Δ=1+43m 2-2m >0,g(0)=-13m 2+12m >0,g(m)=23m 2-12m >0,解得34<m <32.【备注】无16.e 48 【解析】设x 0为函数f (x )在区间[1,3]上的零点,则e x 0x 0+a (x 0-1)+b =0,所以点(a ,b )在直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0上,(题眼)而a 2+b 2表示坐标原点到点(a ,b )的距离的平方,其值不小于坐标原点到直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0的距离的平方,(名师点拨:直线外一点到直线上的点的距离大于等于该点到直线的距离)即a 2+b 2≥e 2x 0x 02(x 0-1)2+12=e 2x 0x 04-2x 03+2x 02.令g (x )=e 2xx 4-2x 3+2x 2,x ∈[1,3],则g'(x )=2e 2x (x 4-2x 3+2x 2)-e 2x (4x 3-6x 2+4x)(x 4-2x 3+x 2)2=2x(x-1)2(x-2)e 2x (x 4-2x 3+x 2)2,则当1≤x <2时,g'(x )<0,当2<x ≤3时,g'(x )>0,所以函数g (x )在区间[1,2)上单调递减,在区间(2,3]上单调递增,所以g (x )min =g (2)=e 48,所以a 2+b 2≥e 48,所以a 2+b 2的最小值为e 48. 【备注】无17.解:(1)令n =1,则4a 1=a 12+2a 1-3,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.因为4S n =a n 2+2a n -3 ①,所以4S n +1=a n+12+2a n +1-3 ②,②-①,得4a n +1=a n+12+2a n +1-a n 2-2a n ,整理得(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0, 因为a n >0,所以a n +1-a n =2,所以数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列,所以a n =3+(n -1)×2=2n +1.(2)由(1)可得,S n =(n +2)n ,a 2n -1=4n -1,S 2n -1=(2n +1)(2n -1), 所以a 2n-1+1S 2n-1=4n (2n+1)(2n-1)=12n-1+12n+1.当n 为偶数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…-(12n-1+12n+1) =1-12n+1<1; 当n 为奇数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-1+12n+1)=1+12n+1>1.综上,当n 为偶数时,T n <1;当n 为奇数时,T n >1. 【解析】无 【备注】无 18.无【解析】(1)由已知及正弦定理,得2sin A sin(C +π6)=sin B +sin C ,所以sin A cos C +√3sin A sin C =sinB +sin C.(有两角和或差的正弦(余弦)形式,并且其中有一个角是特殊角时,常常将其展开) 因为A +B +C =π,所以sin B =sin(A +C ),所以sin A cos C +√3sin A sin C =sin(A +C )+sin C ,则sin A cos C +√3sin A sin C =sin A cos C +cos A sin C +sin C ,即√3sin A sin C =sin C cos A +sin C.因为sin C ≠0,所以√3sin A =cos A +1,即sin(A -π6)=12. 因为0<A <π,所以A =π3.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3可知cb cos 2π3=-3,因此bc =6. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos∠BAC =(b +c )2-2bc -bc =7,可得b +c =√7+3×6=5. 由S △ABC =S △ABT +S △ACT 得,12bc sin π3=12c ·AT ·sin π6+12b ·AT ·sin π6,(与角平分线相关的问题,常常利用三角形的面积来解决)因此AT =bcsinπ3(b+c)sinπ6=6×√325×12=6√35. 【备注】无19.解:(1)由题意知,相关系数r =∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2=√80×8 000=78=0.875, 因为y 与x 的相关系数接近于1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系.(2)由题意可得,b ^=∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)∑i=120(x i-x ¯)2=70080=8.75,a ^=y -−b ^x -=4 00020-8.75×8020=200-8.75×4=165,所以y ^=8.75x +165.(将变量x ,y 的平均值代入线性回归方程,求得a ^)(3)以频率估计概率,购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X (单位:万元)的分布列为E (X )=-50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2=30(万元).购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y (单位:万元)的分布列为E (Y )=-30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1=25(万元).因为E (X )>E (Y ),所以该镇选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.(根据已知数据,分别计算随机变量X 和Y 的分布列、期望,期望越大,说明节约费用的平均值越大,也就越划算)【解析】本题主要考查变量相关性分析、线性回归方程的求解、概率的计算以及随机变量期望的意义和求法,考查的学科素养是理性思维、数学应用.第(1)问,由已知数据,代入相关系数公式,求得相关系数r 即可判断x 和y 的相关程度;第(2)问,根据最小二乘估计公式,求得b ^,a ＾的值,从而确定y 关于x 的线性回归方程;第(3)问,根据统计数据计算随机变量X 和Y 的分布列,并分别求期望,由期望的意义可知,数值越大表示节约的垃圾处理费用的平均值越大,从而确定购买哪一款垃圾处理机器. 【备注】无20.(1)如图,连接AC 1交A 1C 于点O ,连接OE ,则BC 1∥OE.(题眼)BC 1∥OEOE ⊂平面A 1EC BC 1⊄平面A 1EC }⇒BC 1∥平面A 1EC.(运用直线与平面平行的判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线)(2)如图,连接A 1B ,则V A 1-ACE =12V A 1-ABC =12×13V ABC-A 1B 1C 1=12×13×√34×22×2=√33.(题眼) 根据直三棱柱的性质,易得A 1A ⊥平面ABC ,因为CE ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥CE .因为E 为AB 的中点,△ABC 为正三角形,所以CE ⊥AB. 又AA 1∩AB =A ,AA 1,AB ⊂平面ABB 1A 1,所以CE ⊥平面ABB 1A 1, 因为A 1E ⊂平面ABB 1A 1,所以A 1E ⊥CE .在Rt△A 1CE 中,A 1E ⊥CE ,A 1C =2√2,A 1E =√5,EC =√3,所以S △A 1CE =12×√5×√3=√152. 设点A 到平面A 1EC 的距离为h ,则点B 1到平面A 1EC 的距离为2h .因为V A 1-ACE =V A-A 1CE =13×S △A 1CE ×h ,(点到平面的距离可转化为几何体的体积问题,借助等体积法来解决.等体积法:轮换三棱锥的顶点,体积不变;利用此特性,把三棱锥的顶点转换到易于求出底面积和高的位置是常用方法) 所以h =2√55,即点A 到平面A 1EC 的距离为2√55, 因此点B 1到平面A 1EC的距离为4√55.【解析】无【备注】高考文科数学对立体几何解答题的考查主要设置两小问:第(1)问通常考查空间直线、平面间的位置关系的证明;第(2)问通常考查几何体体积的计算,或利用等体积法求点到平面的距离.21.解:(1)由椭圆的定义可得2a =2√2,则a =√2, ∵椭圆C 的离心率e =ca =√22,∴c =1,则b =√a 2-c 2=1,∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),(由于存在直线l 与x 轴重合的情形,故需进行分类讨论) 由{x =my-13y 22+x 2=1消去x 并整理,得(18m 2+9)y 2-12my -16=0,Δ=144m 2+64(18m 2+9)=144(9m 2+4)>0恒成立,则y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3,y 1y 2=-1618m 2+9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ,则TA ⊥TB ,TA⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13,y 1),TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2-t -13,y 2), 则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13)(my 2-t -13)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-m (t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2=-16(m 2+1)-m(t+13)×12m18m 2+9+(t +13)2=(t +13)2-(12t+20)m 2+1618m 2+9=0,∵点T 为定点,∴t 为定值,∴12t+2018=169,(分析式子结构,要使此式子的取值与m 无关,必须要将含有m 的相关代数式约去,通常采用分子与分母的对应项成比例即可解决) 解得t =1,此时TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43)2-169=0,符合题意. 当直线l 与x 轴重合时,AB 为椭圆C 的短轴,易知以AB 为直径的圆过点(1,0).综上所述,存在定点T (1,0),使得无论直线l 如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T .【解析】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维、数学探索.(1)首先由椭圆的定义求得a 的值,然后根据离心率的公式求得c 的值,从而求得b 的值,进而得到椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),与椭圆方程联立,得到y 1+y 2,y 1y 2,由题意得出TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,然后根据平面向量数量积的坐标运算及T 为定点求得t 的值,当直线l 与x 轴重合时,验证即可,最后可得出结论. 【备注】无22.(1)∵F (x )=ax ·f (x )-2x 2·g (x ),∴F (x )=x +ax ·ln x , ∴F'(x )=1+a +a ln x .①当a =0时,F (x )=x ,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增;②当a >0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递增,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )<0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )>0,所以当a >0时,F (x )在(0,e -1-1a )上单调递减,在(e-1-1a,+∞)上单调递增;③当a <0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递减,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )>0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )<0,∴F (x )在(0,e -1-1a )上单调递增,在(e -1-1a ,+∞)上单调递减. (2)由题意知,φ(x )=lnx x+12x,∴φ'(x )=1-lnx x 2−12x 2=1-2lnx 2x 2,令φ'(x )=0,得x =√e ,∴x >√e时,φ'(x )<0,∴φ(x )在(√e ,+∞)上单调递减.不妨设x 2>x 1>√e ,则φ(x 1)>φ(x 2),则不等式|φ(x 1)-φ(x 2)|≥k |ln x 1-ln x 2|等价于φ(x 1)-φ(x 2)≥k (ln x 2-ln x 1),即φ(x 1)+k ln x 1≥φ(x 2)+k ln x 2.令m (x )=φ(x )+k ln x ,则m (x )在(√e ,+∞)上存在单调递减区间, 即m'(x )=φ'(x )+kx=-2lnx+2kx+12x 2<0在(√e ,+∞)上有解,即-2ln x +2kx +1<0在(√e ,+∞)上有解,即在(√e ,+∞)上,k <(2lnx-12x)max .令n (x )=2lnx-12x(x >√e ),则n'(x )=3-2lnx 2x 2(x >√e ),由 n'(x )=0得x =e 32, ∴函数n (x )=2lnx-12x在(√e ,e 32)上单调递增,在(e 32,+∞)上单调递减.∴n (x )max =n (e 32)=2ln e 32-12e 32=e -32,∴k <e -32.故k 的取值范围为(-∞,e -32).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查分类讨论思想、化归与转化思想的灵活应用,考查考生的运算求解能力以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力.(1)通过对函数求导,对参数进行分类讨论,来讨论函数的单调性;(2)依据函数的单调性将不等式转化为函数存在单调递减区间,最后转化为函数的最值问题来解决.【备注】【素养落地】本题将函数、不等式等知识融合起来,借助导数研究函数的性质,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【技巧点拨】解决本题第(2)问的关键是化归与转化思想的应用,先利用函数的单调性将不等式转化为φ(x1)+k ln x1≥φ(x2)+k ln x2,然后根据式子的结构特征构造函数m(x)=φ(x)+k ln x,将m(x)在(√e,+∞))max.上存在单调递减区间转化为m'(x)<0在(√e,+∞)上有解,进而转化为k<(2lnx-12x。
高三文科数学模拟试题含答案
高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。
A。
2.B。
-1.C。
2i。
D。
-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。
A。
{-3,-2,0}。
B。
{0,1,2}。
C。
{-2,0,1,2}。
D。
{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。
A。
2.B。
11/22.C。
-1.D。
-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。
A。
4π/3.B。
π。
C。
3π/2.D。
2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。
A。
(π/6,0)。
B。
(π/3,0)。
C。
(π/2,0)。
D。
(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。
开始是否输出结束A。
-10.B。
-3.C。
4.D。
57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。
A。
x-y+1=0.B。
x-y-1=0.C。
x+y-1=0.D。
x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。
A。
4.B。
6.C。
9.D。
369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。
A。
1.B。
2.C。
11.D。
3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。
浙江省杭州第二中学2018届高中三年级下学期仿真考数学试题+Word版含答案
2018年二中高三仿真考数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ）A ．35-∞⋃+∞（，）（，） B. 3[5-∞⋃+∞（，），）C ．3][5-∞⋃+∞（，，） D. 3]5-∞⋃+∞（，（，） 2．各项都是正数的等比数列}{n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则3445++a a a a 的值为（ ） A 3．函数f (x )＝sin(wx ＋ϕ)(w ＞0，ϕ＜π2)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移π6个单位后得到的函数图象关于直线x ＝π2对称，则函数f (x )的解析式为（ ） A ．f (x )＝sin(2x ＋π3) B ．f (x )＝sin(2x －π3)C ．f (x )＝sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝sin(2x －π6)4．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域S 的面积为9，若点S y x P ∈),(， 则yx z +=2的最大值为（ ）A ．3 B.6 C ． 9 D. 12 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．3231633π+B.16833π+ C ．32363π+ D.836π+6．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知01a b <<<，则（ ）A ．1(1)(1)bba a ->- B. 2(1)(1)b ba a ->- C ． (1)(1)ab a b +>+ D.(1)(1)a b a b ->-8．如图，已知直线l ： 10y k x k =+>（）（）与抛物线24C y x =：相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A. 13B.23C. 223D. 229.已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ） A. 1212,()()p p E E ξξ>< B. 1212,()()p p E E ξξ<> C. 1212,()()p p E E ξξ>> D. 1212,()()p p E E ξξ<< 10．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法： （1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值； （2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已知,a b R ∈，复数z a i =-且11zbi i=++（i 为虚数单位），则ab = ，z = ．12．双曲线22154x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．13．设 ( 2 +x ) 10＝ a 0 + a 1 x + a 2 x 2+…+ a 10 x 10，则2a = ，(a 0 + a 2 + a 4 +…+ a 10) 2－(a 1 + a 3 + a 5 +…+ a 9) 2 的值为 ．14．在ABC ∆中，90C ∠=，2CM MB =．若1sin 5BAM ∠=，则 tan BAC ∠= ． 15．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧（在正方形，包括边界点）上的任意一点，则AP BP ⋅的取值围是 ； 若向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为 .16. 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能．．连续．．固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．17．已知函数2()3|2(4)1|f x ax x a x =+++--的最小值为2，则a = ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-， （Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若1||22CA CB -=，求ABC ∆面积的最大值．19．（本题满分15分）如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，∠AB D=30°，AB ＝2CD ＝2AD ＝2，DE ⊥平面ABCD ，EF //BD ，且BD ＝2EF ．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）若二面角C -BF -D 的大小为60°，求CF 与平面ABCD 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）设函数1f x =（）ln g x x =（）， （Ⅰ）求曲线21y f x =-（）在点（1,0）处的切线方程； （Ⅱ）求函数y f x g x =⋅（）（）在区间1[,]e e上的取值围．654321A DEBCF21．（本题满分15分）如图，焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点()0,1M ，中心都在坐标原点，且椭圆1C 与2C 的离心． （Ⅰ）求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）过点M 的互相垂直的两直线分别与1C ，2C 交于点A ，B （点A 、B 不同于点M ），当MAB ∆的面积取最大值时，求两直线MA ，MB 斜率的比值.22. （本题满分15分）已知数列{}n a 满足：216n n x x +=-，*n N ∈，且对任意的*n N ∈都有n x <, （Ⅰ）证明：对任意*n N ∈，都有3n x -≤≤； （Ⅱ）证明：对任意*n N ∈，都有1222n n x x ++≥+； （Ⅲ）证明：12x =-.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．6- ； ． 12．6； y x =． 13． 7201． 14． 15．[0,1] ； 12 . 16. 60． 17．12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）解：（1）2cos 2b C a =，2sin cos 2sin sin 2sin cos 2sin()sin C B A B C B B C B ∴=-∴=+-，，12sin cos sin cos 23B C B C C π∴=∴=∴=，， ……………………………7分（Ⅱ）取BC中点D ，则1||2||2CA CB DA -==，在ADC∆中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅，（注：也可将1||2||2CA CB DA -==两边平方）即224()22a abb =+-，22ab ab≥-=，所以8≤ab ，当且仅当4,2==a b 时取等号．此时1sin 2ABC S ab C ∆==，其最大值为. ……………………………7分19．（本题满分15分）解：（Ⅰ）在△ABD 中，∠ABD ＝30°，由AO 2＝AB 2+BD 2－2AB·BD cos30°，解得BD ＝3，所以AB 2+BD 2=AB 2，根据勾股定理得∠ADB ＝90°∴AD ⊥BD . 又因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥DE .又因为BD ⋂DE ＝D ，所以AD ⊥平面BDEF ，又AD ⊂平面ABCD ， ∴平面ADE ⊥平面BDEF ， ............................6分（Ⅱ）方法一：如图，由已知可得90ADB ∠=，30ABD ∠=，则30BDC ∠=，则三角形BCD 为锐角为30°的等腰三角形.1,CD CB == 则12CG =. 过点C 做//CH DA ，交DB 、AB 于点G ，H ，则点G 为点F 在面ABCD 上的投影.连接FG ，则CG BD ⊥，DE ⊥平面ABCD ，则CG ⊥平面BDEF . 过G 做GI BF ⊥于点I ，则BF ⊥平面GCI ，即角GCI 为 二面角C -BF -D 的平面角，则=GCI ∠60°.则tan 60CG CI =，12CG =，则GI . 在直角梯形BDEF 中，G 为BD中点，BD GI BF ⊥，GI =，设DE x = ，则GF x =，1122BGF S BG GF BF GI ∆=⋅⋅=⋅⋅，则DE =.tan FG FCG GC ∠==sin FCG ∠=，即CF 与平面ABCD． （Ⅱ）方法二：可知DA 、DB 、DE 两两垂直，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz . 设DE ＝h ，则D(0，0，0)，B(0，3，0)，C(－12，－32，h ).)0,23,21(--=，),23,0(h -=.设平面BCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则00m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0230235.0hz y y x 取x =3，所以m ＝(3，-1，－32h )， 取平面BDEF 的法向量为n ＝(1，0，0)，由cos cos60m n m n m n⋅<>==⋅，，解得86=h ，则86=DE ，又)86,0,21(=,则822=CF ，设CF 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=113382286=+. 故直线CF 与平面ABCD .............................9分 20．（本题满分15分）解：（Ⅰ）当1x =，(21)(1)0y f f =-==. 3/21''(21)(21)y f x x =-=-，当1x =，''(1)1y f ==， 所以切线方程为1y x=-.（Ⅱ）(1ln y x x ==,1'y x =-=因为1[,]x e e ∈，所以0>.令ln ()12x h x =+，'()0h x =>，则()h x 在1[,]e e 单调递减，因为(1)=0h ，所以()()y f x g x =⋅在1[,1]e上增，在[1,]e 单调递增. min (1)(1)0y f g =⋅=,max 11max{()(),()(e)}1,1y fg f e g e e =⋅⋅=-, 因为11>-，所以()()y f x g x =⋅在区间1[,]e e 上的值域为1]-.......................9分21．（本题满分15分）解：（Ⅰ）依题意得对1C ：1b =，222234a b e e a -===，得1C ：2214x y +=； 同理2C ：2214+1x y =. .............................6分（Ⅱ）设直线MA MB ，的斜率分别为12k k ，，则MA ：11y k x =+，与椭圆方程联立得：222211141-4041x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩（），得22114180k x k x ++=（），得1A 218=41k x k -+,21A 2141=41k y k -++，所以2112211841A(,)4141k k k k -+-++同理可得222222224(,)44k k B k k --++.所以221122222211228822=(,),(,)414144k k k k MA MB k k k k ----=++++,从而可以求得()2212211221222222122112822816()11==2414441241(4)k k k k k k k k S k k k k k k -----⋅-⋅++++++因为121k k =-，所以()()3112218+=41k k S k+，不妨设()()342'11111242211+4910(),()4141k k k k k f k f k kk，--+>==++'422111()0491=0f k k k k ，，=∴--+S最大时，21k ，此时两直线MA，MB斜率的比值2112=k k k -. ............................9分22．（本题满分15分）证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则a ） 若3n x <-,则2163n n x x +=->,与任意的*n N ∈都有n x < b ）若n x >,则有n x <则22166n n x x +=-<-=22216(6n n x x ++=->-=与任意的*n N ∈都有n x <故对任意*n N ∈，都有3n x -≤≤成立； .........................5分 （Ⅱ）由216n n x x +=-得21+26+2=+22n n n n x x x x +=-⋅-（）（）， 则1+2+22n n n x x x +=⋅-，由（Ⅰ）知0n x ≤，22n x -≥， 即对任意*n N ∈，都有1222n n x x ++≥+；. (5)分（Ⅲ）由（Ⅱ）得：21-112222222n n n n x x x x ++≥+≥+≥⋅⋅⋅≥+， 由（Ⅰ）知，31n x -≤≤-， ∴121n x ++≤， ∴1221n x +≤，即1122n x +≤， 若12x ≠-，则120x +>,取211log 12n x ⎡⎤≥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦时，有1122n x +>，与1122n x +≤矛盾.则12x =-. 得证. ........................5分。
高三数学模拟试卷(文科)
知识改变命运高三数学模拟试卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合A=},21|{+≤≤-a x a x B=},53|{<<x x 则能使A ⊇B 成立的实数a的取值范围是（ ）（A ）}43|{≤<a a （B ）}43|{≤≤a a （C ）}43|{<<a a （D ）Φ 2.使不等式|x +1|＜2x 成立的充分不必要条件是 A.－31＜x ＜1 B.x ＞－31 C.x ＞1D.x ＞33.函数y =(cos x －3sin x )(sin x －3cos x )的最小正周期为 A.4πB.2πC.πD.2π 4. 与双曲线92x －162y ＝１有相同离心率的曲线方程可以是A. 92x +162y ＝１B. 92x －162y ＝１C. 162y －92x ＝１D. 162y +92x ＝１5.已知f(x )=xx++11,a 、b 为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是A.f (2b a +)＞f (ab )＞f (b a ab+2) B.f (2b a +)＞f (ba ab+2)＞f (ab ) C.f (b a ab +2)＞f (ab )＞f (2b a +)D.f (ab )＞f (b a ab +2)＞f (2ba +)6.下列四个函数：y =tg2x ,y =cos2x ,y =sin4x ,y =ctg(x +4π)，其中以点(4π，0)为中心对称点的三角函数有A.1个B.2个C.3个D.4个 7.如图，在正方体ABCD —A １Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF 是异面直线AC 与A １Ｄ的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与知识改变命运EF 平行的直线 A.有且仅有一条 B.有二条 C.有四条 D.不存在 8.在轴截面是直角三角形的圆锥内，有一个侧面积最大的内接圆柱，则内接圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值是 A.1∶2B.1∶22C.1∶2D.1∶429.从集合｛1,2,3,…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 10.若函数f (x )=a x－1的反函数图象经过点(4，2)，则函数g(x )=log a11x 的图象是11.三角形中，三边a 、b 、c 所对应的三个内角分别是A 、B 、C ，若lgsin A 、lgsin B 、lgsin C成等差数列，则直线x sin ２A +y sin A =a 与直线x sin ２B +y sinC ＝c 的位置关系是 A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合 12.甲、乙两工厂2002年元月份产值相同，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相等，乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相等，已知2003年元月份两厂的产值相等，则2002年7月份产值高的工厂是 A.甲厂 B.乙厂 C.产值一样 D.无法确定二、填空题（共16分）13.若(x ２－x1)n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－x +2x ２)n ＝a ０+a １x +a ２x ２+…+a 2n x 2n ，则a １+a ２＋a ３+…+a 2n ＝______.14.已知奇函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，且f (2)=0，则不等式(x －1)·f (x )＜0的解集是______.15.已知数列｛a n ｝同时满足下面两个条件：(1)不是常数列；(2) a n ＝a 1，则此数列的知识改变命运一个通项公式可以是______.16. 若过点（)2,m 总可以作两条直线和圆（4)2()122=-++y x 相切，则实数m 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分） 设复数z 满足|2z +5|=|z +10|.(Ⅰ）求|z |的值；（Ⅱ）若z i )21(-在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .18. （12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，各棱长都等于a, E 是BB 1的中点 . （Ⅰ）求直线C 1B 与平面A 1ABB 1所成角的正弦值；（Ⅱ）求证：平面AEC 1⊥平面ACC 1A 1.19.（12分）已知椭圆12+m x +my 2＝１(1≤m ≤4)，过其左焦点F １且倾斜角 为3π的直线与椭圆及其准线分别交于A 、B 、C 、D (如图)，记f (m )=||AB |－|CD ||(Ⅰ)求f (m )的解析式；(Ⅱ)求f (m )的最大值和最小值.20.（12分）某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)的每平方米的平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x 层时，每平方米的平均建筑费用用f (x )表示，且C 1B知识改变命运f (n )=f (m )(1+20mn -)(其中n ＞m ,n ∈N )，又知建成五层楼房时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把该楼建成几层?21.（12分）设函数f (x )=222+x x ，数列｛a n｝满足：a １＝3f (1),a n +1＝)(1n a f (Ⅰ)求证：对一切自然数n ，都有2＜a n ＜2+1成立； (Ⅱ)问数列｛a n ｝中是否存在最大项或最小项?并说明理由.22.（14分）已知函数f (x )=a x -－x (Ⅰ)当a =－1时，求f (x )的最值;(Ⅱ)求不等式f (x )＞0的解.文科模拟考参考答案一、1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.A 8.B 9.D 10.D 11.D 12.A 二、13.255 14.(－2,0)∪(1,2) 15.21nn - 16.），（），（∞+-∞-13 三、17.解：设z=x+yi (x ,y ∈R)，则……1分 （Ⅰ）(2x+5)2+(2y)2=(x+10)2+y 2 (4分)得到x 2+y 2=25 .∴|z|=5 . ( 6分)（Ⅱ）(1－2i)z=(1－2i)(x+yi)=(x+2y)+(y －2x)I 依题意，得x+2y=y －2x∴y=－3x . ① (9分) 由（Ⅰ）知x 2+y 2=25 . ②由①②得.210321021032102103210;2103,210i z i z y x y x +-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==或或 (12分)知识改变命运18.解：（Ⅰ）取A 1B 1中点M ，连结C 1M ，BM . ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴C 1M ⊥A 1B 1 C 1M ⊥BB 1 . ∴C 1M ⊥A 1ABB 1 . ∴∠C 1BM 为直线C 1B 与平面A 1ABB 1所成的角 （ 4分）在Rt △BMC 1中，C 1M=23a , BC 1= 2a ,∴sin ∠C 1BM=.4611=BC M C （ 6分） （Ⅱ）取A 1C 1的中点D 1，AC 1的中点F ，连结B 1D 1，EF ，D 1F . 则有D 1F ∥21AA 1 ，B 1E ∥21AA 1. ∴D 1F ∥B 1E . 则四边形D 1FEB 1是平行四边形， ∴EF ∥B 1D 1 （ 8分） 由于三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，∴B 1D 1⊥A 1C 1，又平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1于A 1C 1，且B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1，∴B 1D 1⊥平面ACC 1A 1 （ 10分）∴EF ⊥平面ACC 1A 1 . ∵EF ⊂平面AEC 1，则平面AEC 1⊥平面ACC 1A 1. （12分） 19.解：(Ⅰ)设A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为x １,x ２，x ３,x ４，则|AB |＝２（x ２－x 1） |CD |＝2(x ４－x ３)∴f (m )=2|x ２＋x ３| (2分)将直线y =3 (x +1)代入12+m x +my 2＝１中(3+4m )x ２+6(m +1)x +(m －1)(3－m )=0 (6分) ∴f (m )＝2|x １＋x ２|＝mm 43)1(12++ (1≤m ≤4) (8分)(Ⅱ)∵f (m )=3+m433+在［1,4］上是减函数C 1B知识改变命运∴f (m )max ＝f (1)＝724；f (m )min =f (4)=1960 (12分) 20.解：设该楼建成x 层，则每平方米的购地费用为x 1000101284⨯＝x 1280(2分)由题意知f (5)＝400, f (x )＝f (5)(1+205-x )＝400(1+205-x ) (6分) 从而每平方米的综合费用为y =f (x )+x1280＝20（x +x 64）+300≥20.264+300＝620（元），当且仅当x =8时等号成立 (10分)故当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省. (12分)21.( Ⅰ)证明：a １＝3f (1)=2，a n +1＝)(1n a f ＝nn a a 222+ (2分)①当n =1时，a １∈(2，2+1)，不等式成立 (3分) ②假设n =k 时，不等式成立，即2＜a k ＜2+1，则0＜a k －2＜1a k +1－2＝k k a a 222+－2＝kk a a 2)2(2-∵0＜(a k －2)２＜1，2a k ＞22＞0∴0＜a k +1－2＜221＜1，∴当n ＝k +1时，不等式也成立由①②可知，2＜a n ＜2+1 对一切自然数n 都成立 (8分)(Ⅱ)解：∵a n ＞2，∴a n +1－a n ＝nna a 222-＞0∴｛a n ｝是递增数列，即｛a n ｝中a １最小，没有最大项 (12分) 22.解：(Ⅰ)f (x )＝1+x －x ＝－(1+x －21)２＋43(x ≥－1)∴f (x )最大值为43(4分) x －a ≥0x -a ≥0 x ＜0知识改变命运当a ≥0时，②无解，当a ＜0时，②的解为a ≤x ＜0(8分)x ≥0２－x +a ＜0， 当Δ＝1－4a ≤0时，①无解，当Δ＝1－4a ＞0时，x ２－x +a ＜0解为2411a--＜x ＜2411a-+ 故a ≥0时①的解为2411a --＜x ＜2411a-+； 当a ＜0时①的解为0≤x ＜2411a-+ (12分) 综上所述，a ≥41时，原不等式无解；当0≤a ＜41时，原不等式解为2411a --＜x ＜2411a -+，当a ＜0时，a ≤x ＜2411a -+ (14分)。
辽宁省庄河高级中学2024届高三全真数学试题模拟试卷(18)
辽宁省庄河高级中学2024届高三全真数学试题模拟试卷(18)请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ）A ．25B ．32C ．35D ．40 2．若复数221a i i++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．5D 4．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A B ．C D ．5．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x =-，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{3x x <-或}0x >B ．{0x x <或}2x >C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x > 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺7．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切.其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③8．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数9．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．811B ．810C ．24D ．310．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718 B ．79 C ．718- D ．79- 11．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}2,3- C ．{}1,2,3-- D ．{}3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级数学试卷文科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共85分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.若集合A ={x ∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=（ ）A ．0B ．4C ．0或4D ． 22. 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则:p x A x B ⌝∃∈∈（ ） A ．:,2p x A x B ⌝∃∈∈ B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈ C ．:,2p x A x B ⌝∃∈∉ D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉4．设}3,21,1,1{-∈a ，则使函数ax y =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为( ) A.1,3 B.1,1- C.3,1- D.3,1,1-5.设f(x) 是定义在R 上的函数,则下列叙述一定正确的是（ ） A.()()f x f x -是奇函数 B.()()f x f x -是奇函数 C.()()f x f x --是偶函数 D. ()()f x f x +-是偶函数6．如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC ⊥CO,AC 与BO 交于点E,某指数函数xa y =0(>a 且)1≠a 经过点E,B,则=a （）A ．2 B.3 C.2 D.3 7.设3.02=a ，2.03=b ，1.07=c ，则c b a ,,的大小关系为( )A.b c a <<B.b a c <<C.c b a <<D.a b c <<8．关于函数31)212()(x x f x x•-=和实数n m ,的下列结论中正确的是（）A ．若n m <≤-3，则)()(n f m f < B. 若0≤<n m ,则)()(n f m f < C. 若)()(n f m f <则22n m < D. 若)()(n f m f <则33n m <9.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线()y f x =，另一种平均价格曲线()y g x =，如(2)3f =表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；(2)3g =表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像，实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =，其中可能正确的是（）A ．B ．C ． D.10.在数列{an}中，a1＝2，an ＋1＝an ＋ln(1＋1n)，则an ＝()A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋nln nD ．1＋n ＋ln n11.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，'()f x 为其导函数．当0>x 时，0)(')(>⋅+x f x x f ，且0)1(=f ，则不等式0)(>⋅x f x 的解集为（）A ．)1,0()0,1(⋃-B ．),1()0,1(+∞⋃-C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)1,0()1,(⋃--∞ 12.已知等差数列前n 项的和为Sn ，若S13＜0，S12＞0，则在数列中绝对值最小的项为() A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项 13.已知是定义在 R 上的偶函数，对任意都有且等于 ( )A ．1B ． 2C ．3D ．414.已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．15.设，则下列不等式成立的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则16. 已知直线y ＝mx 与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（） A ．(，4) B ．(，＋∞) C ．(，5) D ．(，)17.对于函数)(x f ，若任意R c b a ∈,,，)(),(),(c f b f a f 为某一三角形的三边长，则称)(x f 为 “可构造三角形函数”，已知函数1)(++=xx e t e x f 是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（）A.),0[+∞B.]1,0[C.]2,1[D.]2,21[第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、 填空题（每题5分，共30分。
2022-2023学年广西南宁市高三年级下册学期一模(文科)数学试题【含答案】
绝密★启用前南宁市2023届高中毕业班第一次适应性测试数学（文科）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）{}{}13,2,4A x N x B =∈-=∣ A B ⋃=A.B.C.D.{}1,2,3{}1,2,3,4{}0,1,2,3,4{}1,0,1,2,3,4-2.已知复数满足（为虚数单位），则复数（）z ()1i 3iz +=-i z =A.B. C.D.12i +12i -1i +1i-3.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A.0.4B.0.6C.0.8D.14.已知，则（ ）2sin cos 1αα=-3sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭B.- B.-1 C.2 D.12-5.下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）A. B.()tan f x x=()1f x x=-C.D.()cos f x x x=-()x xf x e e -=-6，2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房（含预售）突破了90亿元大关.其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿+，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房，现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲､乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为（ ）A.10B.14C.16D.127.如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，3SA =A A则蚂蚁爬行的最短距离为（）A.B.C.6D.2π8.2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂召开，某校全体党员在报告厅集中观看大会盛况.该报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是（ ）A.800B.820C.840D.8809.已知，则（ ）4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A. B. C. D.125-725-242592510.已知函数的图象在处的切线与函数的图象相切，其中为自然对数的底数，()2f x x =1x =()xe g x a =e 则实数（ ）a=C.11.已知抛物线的焦点为，抛物线上两点在第一象限，且满足2:2(0)C y px p =>F A B ､，则直线的斜率为（）3,7,5AF BFAB ===AB A. B. C.1 343512.已知，则（ ）()232ln31ln3,,3a b c e e -===A. B.a b c <<c a b <<C.D.a c b <<b a c<<二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足约束条件则的最大值为__________.,x y 202202x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪⎩3z x y =+14.已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为__________.()()1cos 32f x x ϕ=+4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ϕ15.已知是双曲线的两个焦点，为上一点，，且，则12,F F C P C 1260F PF ∠=2112sin 2sin PF F PF F ∠∠=的离心率为__________.C 16.如图所示，正方体的棱长为分别为，的中点，点是正方体表面上的1111ABCD A B C D -2,E F ､1AA AB P 动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为__________.1C P ∥1CD EF P 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）随着新课程新高考改革的推进，越来越多的普通高中认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观､生活观.某校高一年级1200名学生参加生涯规划知识大赛初赛，学校将初赛成绩分成6组：加以统计，得到如图所示的频[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]率分布直方图，成绩大于等于80分评为“优秀”等级.（1）求a 的值，并估计该年级生涯规划大赛初赛被评为“优秀”等级的学生人数；（2）在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一步的能力测试，求这3人中恰有1人成绩在的概率.[]90,10018.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，ABC A B C ､､a b c ､､()()()sin sin sin sin b c B C a A C -+=-（1）求；B （2）若为锐角三角形，，求的取值范围.ABCb =22ac +19.（本小题满分12分）如图1，平面图形是一个直角梯形，其中，是ABCD ,90,2,6AB CD ABC BC DC AB ∠====∥E 上一点，且.将沿着折起使得平面平面，连接，过点AB 2AE EB =AED ED AED ⊥DEBC AB AC ､作，垂足为，如图2.E EF AB ⊥F （1）证明；AC EF ⊥（2）若是上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.G AC 13CG AC =BG ADC 20.（本小题满分12分）已知函数，()()2ln f x x a x a R =-∈（1）讨论函数的单调性；()f x （2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.()y f x =(]1,e a 21.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，点在上.2222:1(0)x y E a b a b +=>>()1F12P ⎫⎪⎭E （1）求椭圆的标准方程；E （2）已知椭圆的上顶点为，圆，椭圆上是否存在两点使得圆E A 222:(1)(0)M x y r r -+=>E ,B C 内切于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.M ABC BC （二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为xOy O x C.34sin 0,,2πρθθπ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦（1）求的参数方程；C （2）已知点在上，若在处的切线与直线平行，求点的极坐标.D C CD :3l y =-D 23.（本小题满分10分）已知函数()2|1||1|,()|1|f x x xg x x =--+=-（1）在给出的坐标系中画出函数的图象；()y f x =（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.x ()()f x ag x a南宁市2023届高中毕业班第一次适应性测试数学（文科）答案一､选择题：1.【答案】C 【解析】，故选C.{}{}{}130,1,2,3,0,1,2,3,4A x x A B =∈-=∴⋃=N ∣ 2.【答案】A【解析】由题意，可变形为，()1i 3iz +=-()()()()3i 1i 3i 24i12i1i 1i 1i 2z ----====-++-则复数，故选.12i z =+A 3.【答案】B【解析】5件产品中的2件次品记为件合格品记为，“从这5件产品中任取2件”，,,3a b ,,A B C 则该试验的样本空间，()()()()()()()()()(){}Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C =即.设事件“恰有一件次品”，则，故.()Ω10n =A =()6n A =()()()60.6Ω10n A P A n ===4.【答案】B 【解析】22sin1cos αα=- 221cos cos 1,cos cos 20αααα∴-=-+-=或（舍）()()cos 1cos 20,cos 1ααα-+=∴=cos 2α=-又.∴3sin cos 12απα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭ 5.【答案】D 【解析】对于为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意，错误.(),tan A f x x=A 对于，定义域为，所以为奇函数，在定义域内不单()1B,f x x =-()()()(),00,,f x f x ∞∞-⋃+-=-()f x对于C ，，()()()()cos ,cos cos f x x x f x x x x x f x =--=---=--≠-故函数不是奇函数，不符合题意，错误.故选.()cos f x x x=-C D 6.【答案】B【解析】符合题目要求的分类方法共：“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”，三类①“甲3张乙1张”的基本事件为：甲123乙4；甲124乙3，甲134乙2，甲234乙1，共4类；②“甲2张乙2张”的基本事件为：甲12乙34；甲13乙24，甲14乙23，甲23乙14，甲24乙13，甲33乙12，共6类；③“甲1张乙3张”的基本事件为：乙123甲4；乙124甲3，乙134甲2，乙234甲1，共4类；故选B.7.【答案】B【解析】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回A 到点的最短距离为，设，A AA 'ASA ∠α'=圆锥底面周长为，所以所以，在中，由，得2π32AA απ=⨯='23πα=SAA ' 3SA SA ='=AA ='==故选：B.8.【答案】C【解析】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为{}n a n .根据题意，数列是一个公差为的等差数列，且，n S {}n a 2d =1041a =故.1109411823a a d =-=-=由，因此，则该报告厅总有座位数为840个座位.故选C.()201202012028402S a ⨯-=+⨯=【解析】已知，4sin 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，2167cos 2cos 2cos212sin 1233662525ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=--=-⨯=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选B.10.【答案】D 【解析】由，得，则，又，所以函数的图象()2f x x =()2f x x'=()12f '=()11f =()2f x x =在处的切线方程为，即.1x =()121y x -=-21y x =-设与函数的图象相切于点，21y x =-()e xg x a =()00,x y 由，可得解得D.()e xg x a '=()()00000e 2,e 21,x x g x a g x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪===-⎩'⎪32031,e 22x a ===11.【答案】A 【解析】设则由于的斜率存在，设的斜率为.()()1122,,,A x y B x y AB AB k ，都在轴上方，由题意知，由抛物线定义,A B x 0k>12,22p pAF x BF x =+=+则，由弦长公式，112222442p x x x p x ⎧+=⎪⎪⇒-=⎨⎪+=⎪⎩2AB x =-所以，故选A.253544AB x k =-=⇒=⇒=12.【答案】C【解析】设，则，()ln x f x x =()21ln xf x x -'=当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，0e x <<()0f x '>e x >()0f x '<故当时，函数取得最大值，e x =()1e ef =因为，()()()2232ln3e ln31,3,e e 33e a f c f b f -⎛⎫====== ⎪⎝⎭故，设函数的零点为，且，,b a b c >>ln xy m x =-12,x x 120x x <<则，1122ln ,ln mx x mx x ==所以①，()()2121211221ln ln ,ln ln ln x x m x x x x x x m x x -=-+==+令，则，()()21ln ,11x g x x x x -=->+()22(1)0(1)x g x x x +'-=>故在单调递增，，所以，当时，，()g x ()1,∞+()()10g x g >=1x >()21ln 1x x x ->+从而，即②，21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+()21212112ln ln x x x x x x -⋅>-+①代入②得，，令，则，212e x x >21e 3x =23x >故，故，综上.故选：C.()()()123f x f x f =<a c <a cb <<二､填空题：13.【答案】2【解析】由约束条件作出可行域如图所示，由目标函数可知3z x y =+当目标函数过点时，取得最大值，最大值.()2,4C -z 3242⨯-=14.【答案】2π【解析】函数的图象关于点对称，()()1cos 32f x x ϕ=+4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭则有，于是得，43,32k k Z ππϕπ⋅+=+∈7k ,2k Z πϕπ=-∈显然对于是单调递增的，72k πϕπ=-k Z ∈而或4时，，所以的最小值为.3k =2πϕ=ϕ2π15.【答案】e =【解析】由正弦定理得，所以122112sin sin PF PF PF F PF F ∠∠=12212sin 2sin PF PF FPF PF F ∠∠==即，由双曲线的定义可得，122PF PF =1222PF PF PF a-==所以；212,4PF a PF a==因为，由余弦定理可得，1260F PF ∠= 2224164242cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅ 整理可得，所以，即22412c a =2223ce a ==e =16.【答案】+【解析】取的中点的中点，连结.正方体1BB 11G,A B H 111,,,,,GH C G C H A B EG HF 的棱长为2.为中点，所以，1111ABCD A B C D -,,,EF G H 11,EF A B GHA B ∥∥所以且.EF GH ∥EF GH ==因为为分别为的中点，,F H 11,AB A B 所以，且，所以四边形为平行四边形，1FH CC ∥1FH CC =1FHC C 所以.1HC CF ∥因为面面，1HC ⊄1,CD EF CF ⊂1CD EF 所以面.1HC ∥1CD EF同理可证：面.HG ∥1CD EF 又面面，11,GH HC H HC ⋂=⊂1,C GH GH ⊂1C GH 所以面面.1C HG ∥1CD EF 所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形.P 1C HG因为正方体的棱长为2，所以，1111ABCD A B C D -11HC GC ===所以三角形的周长为1C HG 11GH HC GC ++==+三､解答题：17.【答案】（1）人（2）0.025,360a =12【解析】（1）依题意，成绩在的概率为，成绩在的概率为，[]40,5010.1p =[)50,6020.15p =成绩在的概率为，成绩在的概率为，[)60,7030.15p =[)70,8040.3p =成绩在的概率为，成绩在的概率为，[)80,90510p a =⨯[]90,10060.05p =故，()51010.10.150.150.30.050.25p a =⨯=-++++=0.025a ∴=该年级生涯规划大赛初赛成绩“优秀”等级的概率为560.3.p p p =+=该年级生涯规划大赛初赛成绩优秀”等级的学生人数为人；0.31200360⨯=（2）在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，其中成绩在应抽5人，成绩在应抽1人，分别设为，和，[)80,90[]90,10012345,,,,A A A A A B 从6人中随机抽取3人的基本事件为：，()()()()()1213141523,,,,,,,,,,,,,,A A B A A B A A B A A B A A B，()()()()()2425343545,,,,,,,,,,,,,,A A B A A B A A B A A B A A B ，()()()()()123124125134135,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A ，()()()()()145234235245345,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A 共20种，其中恰有1人成绩在的基本事件为：[]90,100，()()()()()1213141523,,,,,,,,,,,,,,A A B A A B A A B A A B A A B ，()()()()()2425343545,,,,,,,,,,,,,,A A B A A B A A B A A B A A B 共10种，故所求概率为.101202P ==18.【答案】（1）3B π=【解析】（1）由()()()sin sin sin sin b c B C A C a -+=-根据正弦定理可得，()()()b c b c a c a -+=-所以，，222a cb ac +-=由余弦定理可得，2221cos 22a c b B ac +-==，()0,B π∈ 因此.3B π=（2）由余弦定理，得，222222cos ,3b a c ac B a c ac =+-∴=+-即223a c ac +=+由正弦定理，得，2sin sin sin a c bA C B====即，又，所以2sin ,2sin a A c C ==23C A π=-224sin sin 4sin sin cos 2sin 3ac A C A A A A Aπ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭.cos212sin 216A A A π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭由，解得，022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩62A ππ<<所以，所以，52666A πππ<-<1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以，所以.(]2,3ac ∈(]2235,6a c ac +=+∈19.【答案】（1）见解析（2【解析】（1）证明：在图1中，，6,2,4,2AB AE EB AE BE ==∴== 四边形是正方形，.,90,2,AB DC ABC BC DC ∠===∴∥ DEBC DE AB ∴⊥在图2中，平面平面，平面平面，AED ⊥DEBC AED ⋂,DEBC ED AE ED =⊥面DEB C.，AE ∴⊥AE BC ∴⊥又平面,,BC BE BE AE E BC ⊥⋂=∴⊥ AEB，BC EF ∴⊥又，且平面，EF AB ⊥AB BC B EF ⋂=∴⊥AEB .AC EF ∴⊥（2）解法1：由（1）可知直线EA ､EB ､ED 两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴，建立E EB ED EA ､､x y z 空间直角坐标系，则E xyz -，()()()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,4.0,2,4,2,2,4,2,0,0B C D A DA CA DC ∴=-=--=1224244,,,,,3333333CG CA BG BC CG ⎛⎫⎛⎫∴==--∴=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是平面的一个法向量(),,n x y z =ADC 由得即n DC n DA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n DC n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20240x y z =⎧⎨-+=⎩取得02x y z =⎧∴⎨=⎩1z =()0,2,1n =设直线与平面所成角为，则BG ADCθsin BG nBG nθ⋅===⋅（2）解法2：由（1）可知平面BC ⊥AEB BC AB⋅∴⊥在Rt 中在Rt 中，.AEBAB ==∴ABCAC ==，又.cos BC ACB AC ∠∴==13CG AC ==在中，.∴BCG2BG ==由，得平面.,,CD DE CD AE DE AE E ⊥⊥⋂=CD ⊥,AED CD AD ∴⊥在Rt 中，.AEDAD ==连接，设到平面的距离为，由得BD B ADC h A BCDB ADC V V --=1133BCD ADC S AE S h ⋅=⋅BCD ADC S AE h S ⋅∴===设直线与平面所成角为，则BG ADC θsin h BG θ===20.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）()222(0)a x af x x x x x -=-'=> ①当时，，此时函数在上单调递增；0a ≤()0f x '>()0,∞+②当时，令，得，0a >()220x af x x '-==x =当时，，此时函数在上单调递减；x ⎛∈⎝()0f x '<()f x ⎛⎝当时，，此时函数在上单调递增.x ∞⎫∈+⎪⎪⎭()0f x '>()f x ∞⎫+⎪⎪⎭（2）由题意知：在区间上有两个不同实数解，2ln x a x =(]1,e 即直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点，y a =()2ln x g x x =(]1,e 因为，令，得，()()22ln 1(ln )x xg x x -'=()0g x'=x =所以当时，，函数在上单调递减；(x ∈()0g x '<(当时，，函数在上单调递增；x ⎤∈⎦()0g x '>⎤⎦则，而，且.min ()2e g x g==2129991999ln e g e e e ⎛⎫==> ⎪⎝⎭()2e e 9g =<所以要使直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点，则y a =()2ln x g x x =(]1,e 22e e a <≤所以的取值范围为.a (22e,e⎤⎦21.【答案】（1）2214x y +=（2）直线存在，且直线的方程为.BCBC 20x y -+=【解析】解：（1）由题意可知椭圆的右焦点为，因为点在椭圆上，所以)2F 12P ⎫⎪⎭C 121224,22PF PF a a a +==+==，所以，c =1b =椭圆的方程为.E 2214x y +=（2）由（1）可知椭圆的上顶点为()0,1A 假设这样的存在，且设，则直线的斜率为,B C ()()1122,,,B x y C x y AB 111y k x -=直线的方程为.AB ()11110y x x y x --+=因为直线与圆相切，则AB M d r =r=两边平方化简得，()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦整理得.()()()()22221111111210r x r y x y -+--+-=因为，消去得.()221141x y =-21x ()()()()()2222111114111210r y r y x y -⋅-+--+-=因为，两边同时除以，得，11y ≠11y -()()()()221111411120r y r y x -⋅++---=整理得()()2211231510,x r y r -+-+-=即点在直线上.B ()()22231510x r y r -+-+-=同理，点也在直线上，C ()()22231510x ry r -+-+-=因此直线的方程为.BC ()()22231510x r y r -+-+-=若直线与圆，BC M r=解得.r =r =因此直线存在，且直线的方程为.BC BC 20x y -++=22.【答案】（1）为参数（2）2cos ,3,22sin .22x y αππαα=⎧⎡⎤∈⎨⎢⎥=-+⎣⎦⎩72,6D π⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】（1），222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=由，34sin 0,,2πρθθπ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦得，[]2240,2,0x y y x ++=∈-所以C 的参数方程为为参数.2cos ,3,22sin .22x y αππααα=⎧⎡⎤∈⎨⎢⎥=-+⎣⎦⎩（2）由（1）所得的参数方程，可设点C ()2cos,22sin D αα-+22sin 2tan 2cos 0ααα-++=⇒=-()35,,1226D πππαα⎡⎤∈∴=-⎢⎥⎣⎦2,tan ρθ===76πθ=点的极坐标为D 72,6D π⎛⎫⎪⎝⎭23.【答案】（1）见解析（2）.[)2,∞+【解析】（1）由题得，()3,1,21131,11,3,1,x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=--+=-+-⎨⎪->⎩画出的图象如图所示：()fx （2）令()(),1,1,1,ax a x h x a g x a x ax a x -+⎧=⋅=-=⎨->⎩ 当时，，1x =-()()14,12f g -=-=要使，即，则需()()110h f --> ()()110a g f ⋅-≥->0a >画出的图象，()hx 由图象知，若恒成立，()()f x ag x 则，()124h a -= 所以，2a 所以实数的取值范围为.a [)2,∞+。
高三年级数学试卷文科【含答案】
高三年级数学试卷文科【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x² 3x + 2，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则a5的值为：A. 9B. 11C. 13D. 153. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面内对应的点位于：A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限4. 设集合A = {x | -1 < x < 3}，B = {x | x > 1}，则A∩B的值为：A. {x | 1 < x < 3}B. {x | -1 < x < 1}C. {x | x > 3}D. {x | x < -1}5. 若向量a = (2, -3)，b = (4, -6)，则2a + 3b的值为：A. (8, -12)B. (16, -24)C. (10, -15)D. (14, -21)二、判断题（每题1分，共5分）6. 若函数f(x) = x³在R上单调递增，则其导数f'(x)恒大于0。
（）7. 若a，b为实数，且a² + b² = 0，则a = b = 0。
（）8. 若矩阵A为对称矩阵，则A的逆矩阵也为对称矩阵。
（）9. 若函数f(x) = |x|在x = 0处可导，则f'(0) = 0。
（）10. 若向量a与向量b垂直，则a·b = 0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 若等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n² + 3n，则a1 = _______。
12. 若复数z满足z² + z + 1 = 0，则|z| = _______。
13. 若函数f(x) = x² 2x + 1，则f(x)的最小值为 _______。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷含答案(18)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷含答案(18)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．13．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．设变量,x y 、满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．95．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+ A ．6B ．7C ．8D ．96．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）ABCD7．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BC．2D ．48．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-9．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <11．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8112．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．137二、填空题13．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 14．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______.15．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷及答案(18)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷及答案(18)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110B ．100C ．55D ．03．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2014．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a =，7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．17B ．3C ．15D ．15 5．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20586．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．137．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5C ．6D ．4或58．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．369．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ）A ．2018B ．2019C ．4036D ．403710．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-12．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为_____________．14．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(及答案)(18)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(及答案)(18)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20192．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年3．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 4．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．145．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．327．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形8．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9009．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12- 10．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．3611．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．14012．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．2二、填空题13．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，记数列{}n a 的前n项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=______.14．在平面直角坐标系中，设点()0,0O ，(3A ，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 15．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，45234a a a a +=+，则144S S a +=______． 16．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.17．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．18．已知12 0,0,2a ba b>>+=，2+a b的最小值为_______________.19．已知数列{}n a的前n项和为n S，11a=，且1n nS aλ=-（λ为常数）．若数列{}n b满足2n na b n=-920n+-，且1n nb b+<，则满足条件的n的取值集合为________．20．如图所示，在平面四边形ABCD中，2AB=，3BC=，AB AD⊥，AC CD⊥，3AD AC=，则AC=__________．三、解答题21．已知在等比数列{}n a中,11a=,且2a是1a和31a-的等差中项.（1）求数列{}n a的通项公式;（2）若数列{}n b满足()*21n nb n a n N=-+∈,求{}n b的前n项和n S.22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a114=，公比q>0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列.（1）求{a n}；（2）设b n()()22212n n nnc n b blog a+==+，，求数列{cn}的前n项和T n.23．已知等差数列{}n a满足1210a a+=，432a a-=.（1）求{}n a的通项公式；（2）设等比数列{}n b满足2337,b a b a==.若6kb a=，求k的值.24．数列{}n a中，11a=，121n na a n+=++.（1）求{}n a的通项公式；（2）设141nnba=-，求出数列{}nb的前n项和.25．在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，14cosa Ca+=，1b=.（1）若90A∠=︒，求ABCV的面积；（2）若ABCV3a，c.26．已知数列{}n a满足：1=1a，()*11,2,nnna na n Na n++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n nb a-=．（1）证明：数列{}2n b +为等比数列； （2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．2．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.3．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列，又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．5．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，1122x x x x+≥⋅=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当12x x+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.6．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++ 22226(2)46(22)4202222y x y x x y x y ++++=++-≥+⋅-=++++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.8．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 9．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．10．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C11．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x x =所以1n a n n =+11nn n a =+1121nS n n n n =+-+--++-L 11n =+-，由1110n S n =+-=解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.12．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.二、填空题13．1078【解析】【分析】根据数列的递推关系求出数列的前四项的最大最小值得出何时和最大何时和最小进而求得结论【详解】解：因为数列{an}满足：即解得；或或；或所以最小为4最大为8；所以数列的最大值为时 解析：1078 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论． 【详解】解：因为数列{a n }满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，{}211a a a ∴-∈即211a a a -=解得22a =； {}3212,a a a a ∴-∈321a a ∴-=或322a a -= 33a ∴=或34a =；{}43123,,a a a a a ∴-∈431a a ∴-=或432a a -=，433a a -=，434a a -=所以4a 最小为4，4a 最大为8；所以，数列10S 的最大值为M 时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：()10112102312M ⨯-==-；10S 取最小值m 时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：()101011011552m ⨯-=⨯+⨯=； ∴1078M m +=． 故答案为：1078． 【点睛】本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．14．【解析】【分析】根据不等式组画出可行域可知；根据向量投影公式可知所求投影为利用的范围可求得的范围代入求得所求的结果【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：在上的投影为：本题正确结 解析：[]3,3-【解析】 【分析】根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦；根据向量投影公式可知所求投影为cosOA AOP ∠u u u v，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结果.【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB π∠=，56AOC π∠=OA u u u v 在OP uuu v上的投影为：cos 9323OA AOP AOP AOP ∠=+∠=∠u u u vAOB AOP AOC ∠≤∠≤∠Q 5,66AOP ππ⎡⎤∴∠∈⎢⎥⎣⎦33cos ,22AOP ⎡∴∠∈-⎢⎣⎦[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈-u u u v 本题正确结果：[]3,3- 【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.15．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题解析：2 【解析】 【分析】利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论． 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q =，∴44121512S -==-，111S a ==，3428a ==，14411528S S a ++==． 故答案为：2． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．16．【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所 解析：(0,2)(2,4)U .【解析】【分析】首先根据无穷等比数列{}n a 的各项和为2，可以确定其公比满足01q <<，利用等比数列各项和的公式得到121a q=-，得到122a q =-，分01q <<和10q -<<两种情况求得1a 的取值范围，得到结果.【详解】因为无穷等比数列{}n a 的各项和为2，所以其公比q 满足01q <<，且121a q=-， 所以122a q =-，当01q <<时，1(0,2)a ∈，当10q -<<时，1(2,4)a ∈，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4)U ，故答案是：(0,2)(2,4)U .【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目. 17．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：d ==，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25，即255CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.18．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换解析：92【解析】【分析】 先化简11122(2)2(2)()22a b a b a b a b +=⋅+⋅=⋅+⋅+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a +=⋅+⋅=⋅+⋅+=++ 1229(5222a b b a ≥+⋅=. 当且仅当221223222a b a b a b ⎧+=⎪==⎨⎪=⎩即时取等. 故答案为：92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换. 19．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足 解析：{5,6}【解析】【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n n a -=，进而得到n b ；利用10n n b b +-<可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果.【详解】当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --\=-=-，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 12n n a -\=2920n n a b n n =-+-Q 219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n n n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >Q ()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n << 又n *∈N 5n ∴=或6∴满足条件的n 的取值集合为{}5,6本题正确结果：{}5,6【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.20．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角 解析：3【解析】分析：详解：设,3AC x AD x ==，在直角ACD ∆中，得CD =，所以sin 3CD CAD AD ∠==，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅ 由于2BAC CAD π∠+∠=，所以cos sin BAC CAD ∠=∠，23=23830x x --=，解得3x =. 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、解答题21．(1) 12n n a -=(2) n S 221n n =+-【解析】【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦L L ()12112212nn n ⎡⎤+--⎣⎦=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．22．（1）a n 11()2n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T .【详解】（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列，可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1，即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ，化为4q 2=1，公比q >0，解得q 12=. 则a n 14= ⋅（12）n ﹣111()2n +=； （2）b n 212222111()(2)(1)n n log a log n --===+， c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥++++⎣⎦， 则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n 14=[22222222221111111111243546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ] 2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.23．（1）22n a n =+；（2）63【解析】【分析】（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k .【详解】（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+；（2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.24．（1）2n a n =；（2）21n n +. 【解析】【分析】(1)直接根据累加法即可求得数列{}n a 的通项公式；(2)利用裂项相加即可得出数列{}n b 的前n 项和。
惠州市2018年高中三年级模拟考试数学(文科)试题
图1惠州市2018届高三模拟考试文科数学全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}(){}2|0,|lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则集合AB =（ ）(A) 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (B) []0,1 (C) 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ (D) 1,2+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知复数2(1)1i z i+=-，则z =（ ）(A) 1(D)3．甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（ ）(A) 13 (B) 12 (C) 23 (D) 344．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题: 今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风 折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断 处离地面的高为（ ）尺.(A)5.45 (B)4.55 (C) 4.2 (D)5.82018.045．执行图2所示的程序框图,若输入的2018x =，则输出的i =（ ）(A)2 (B)3 (C)4 (D) 5 6．将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原 来的12（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图 象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ） (A) ,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ (B) ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(C) ,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (D) 2,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．设函数()1221,,00x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若()01f x >，则0x 的取值范围是（ ）(A) (1,1)- (B) (1,)-+∞(C) (,2)(0,)-∞-+∞ (D) (,1)(1,)-∞-+∞8．已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）(C) 29．某四面体的三视图如图3所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的 正方形，则此四面体的体积是（ ） (A)43 (B)83 (C)4 (D) 810．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =（ ） 图 3图2是否(A)6332(B) 3116 (C) 12364 (D) 12712811．在ABC ∆中，22,120AB AC BAC ==∠=︒，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =，则AB AD ⋅=（ ）(A) 3 (B)2 (C)73(D) 2312．已知F 是抛物线42x =y 的焦点，P 为抛物线上的动点，且点A 的坐标为01-(,)，则PF PA的最小值是（ ）(A) 14 (B) 12(D)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2020-2021高中三年级数学下期中一模试卷附答案(18)
2020-2021高中三年级数学下期中一模试卷附答案(18)一、选择题1．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 5．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =6．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102007．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U8．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b9．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．204710．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 km BkmC．D．11．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<12．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．32二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．14．已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S，且数列也为公差为d 的等差数列，则d =______．15．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.16．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____．17．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．18．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．19．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和.22．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知113a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ． 23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R ，且23sin sin cos 0R A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.24．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132n S n n =-（）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．25．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 26．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.2．D解析：D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++， 设11y k x +=+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率， 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，即12z k =+的最小值是32， 由3122k +=，得14k =，即k 的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011314k a +==+， 得314a +=，得1a =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.3．C解析：C 【解析】 【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2A B π+=可得到结论不正确；③可由余弦定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可． 详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩， 当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.5．B解析：B 【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.6．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.7．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U故选：D【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．8．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C9．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.10．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．11．B解析：B 【解析】试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.12．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.二、填空题13．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛 解析：21a -<<【解析】 【分析】设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为()10f <，即可求解. 【详解】由题意，设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足()10f <，即220a a +-<， 即(1)(2)0a a -+<，解得21a -<<，即实数a 的取值范围是21a -<<.【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为(1)0f <是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.14．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n 成立则解得：【点睛】本题 解析：12【解析】 【分析】表示出n S【详解】等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，设其首项为1a ， 则n S =()112n n na d -+，又数列也为公差为d=()1n d -()1n d =-=上式对任意正整数n成立，则)2120122d d d da d d⎧=⎪=⎪-+=⎪⎩，解得：12d =，134a =-【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题．15．-4【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：作出可行域如图所示当直线经过点时故答案为：【点睛】本题考查简单的线性解析：-4 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：作出可行域如图所示，当直线3z x y =-经过点()2,2时，min 2324z =-⨯=-. 故答案为：4- 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．16．【解析】【分析】由为定值运用均值不等式求的最大值即可【详解】当且仅当时等号成立即而当且仅当时等号成立故的最大值为2故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值对数的运算属于中档题 解析：2【解析】 【分析】由0,0a b >>，20a b +=为定值，运用均值不等式求ab 的最大值即可. 【详解】0,0a b ∴>>,20a b +=,202a b ab ∴=+≥当且仅当10a b ==时，等号成立，即100ab ≤，而lg lg lg lg1002a b ab +=≤=，当且仅当10a b ==时，等号成立， 故lg lg a b +的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.17．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m 的取值范围考点：线性规划 解析：(,1]-∞【解析】试题分析：由题意，由2{30y xx y =+-=，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,{230,,x y x y x m +-≤--≤≥，如图所示，可得1m ≤，则实数m 的取值范围(,1]-∞．考点：线性规划．18．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+解析：5 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1） 此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．19．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7 【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n nS S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-三、解答题21．(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；解析：（1）∵ ∴ ∴，∵，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列∴，∴， ∴，（2），∴① ②①-②得∴.22．（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）13(21)34n n n T ++-⋅=【解析】 【分析】（1）由等差中项可得21343a a a =+,设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,则211143a q a a q ⋅=+⋅,可解得q ,即可求得通项公式；（2）由（1）可得3n nnn a =⋅,再利用错位相减法求解即可. 【详解】解:（1）设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,且1a ,22a ,33a 成等差数列,所以21343a a a =+,即211143a q a a q ⋅=+⋅,解得13q =, 因为113a =,所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3n nn n a =⋅, 所以1231323333nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ,则234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ,作差可得,1231233333n n n T n +-=++++-⋅L则()+13312331n n nT n --=-⋅-，即1132322n n T n +⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭,所以()132134n n n T ++-⋅=【点睛】本题考查等差中项的应用,考查等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和. 23．（1）6π；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan A =，即可求出角A ； （2）由（1）可得tan 6B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0BA A -=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan 3A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan A =，tan B =，1sin 2A =，∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab Ca b B c C Aa b B c C =+-+-222sin ab Ca b c =+-由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan A B A B +=-⨯=- 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题.24．（1）2nn a =，32n b n =-；（2）()110352n n T n +=+-⋅【解析】 【分析】（1）分别利用累加法、数列的递推公式得到数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式． （2）利用数列求和的错位相减即可得到数列{}n c 的前n 项和n T ． 【详解】（1）1212a a -=Q ， 2322a a -=，3432a a -= ，……，112n n n a a ---= ，以上1n - 个式子相加得：()11231121222222212n n nn a a ----=+++?==--2n n a ∴=当2n ≥ 时，1n n n b S S -=-=2132n n （）-213[112]n n （）（）---- 32n =-当1n = 时，111b S == ，符合上式，32n b n \=-；（2）322n n n n c a b n ==-?Q （） 123124272322n n T n =???+-?L （） ① 23412124272322n n T n +=???+-?L （） ② ①-②得23123222322n n n T n +-=++++--?L （）（） ()14122312n --=+⨯-1322n n +--?（）110532n n +=-+-?（）110352n n T n +\=+-?（）【点睛】已知1()n n a a f n +=+ 求数列的通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）的前n 项和采用错位相减法．25．(1)1,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·2n ＋1. 【解析】 试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得12n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和. 试题解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 依题意得解得d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，① 2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，② ①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝－n·2n ＝(1－n)·2n －1， 所以T n ＝(n －1)·2n ＋1. 26．（1）32n a n =-，2nn b =，*n N ∈；（2）()143283n n +-+，*n N ∈.【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】（1）数列{}n b 公比为q ，则2232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q =，∴2nn b =，{}n a 的公差为d ，首项是1a ，则41328a a b ==-，411411112176S b ==⨯=，∴1113281110111762a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．（2）21221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，①23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②①－②得：35212138626262(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯L 1218(14)86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，∴14(32)83n n n T +-+=．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．。
高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析18
高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．要从已编号（1~70）的70枚最新研制的某型导弹中随机抽取7枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是（ ）A ．5，10，15，20，25，30，35B ．3，13，23，33，43，53，63C ．1，2，3，4，5，6，7D ．1，8，15，22，29，36，432．已知R 是实数集，21M x x 禳镲镲=<睚镲镲铪，{}1N y y x ==-，则()M N =R I ð（ ） A ．()1,2 B ．[]1,2 C ．[)1,2 D ．[]0,23．已知等比数列{}n a 中，14a =，且24674a a a =，则3a =（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．144．如下图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23．则阴影区域的面积为（ ）A ．43 B ．83 C ．23 D ．无法计算5．已知向量a r 、b r 的夹角为120︒，且1a =r ，223a b +=r r ，则b =r （ ）A ．32B ．22C ．4D ．26．复数2i +与复数103i +在复平面上的对应点分别是A 、B ，则AOB ∠等于（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2 7．双曲线()22216103x y p p -=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．3 C ．233 D ．4 8．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()sin f x x x =-，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c << 9．已知某几何体的三视图如图所示，三个视图都为直角三角形，其中主视图是以2为直角边的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．16π B ．9π C ．8π D ．4π 10．若函数()33,014,033x x x f x a x x x ⎧+⎪=⎨-+>⎪⎩≤在其定义域上只有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．16a > B ．16a ≥ C ．16a < D ．16a ≤ 11．下列命题中，是假命题的有（ ） ①若m ，n 是异面直线，且m α⊥，n β⊥，则α与β不会平行； ②函数()cos21f x x =-的最小正周期是π； ③命题“a ∀∈R ，函数()()11f x x a =-+恒过定点()1,1”为真； ④“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 12．坐标平面上的点集S 满足()()2442ππ,log 22sin 2cos ,,84S x y x x y y y ⎧⎫⎡⎤=-+=+∈-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，将点集S 中的所有点向x 轴作投影，所得投影线段的长度为（ ） 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．1B ．35+ C ．827- D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在等差数列{}n a 中，已知5716a a +=，则该数列前11项和11S =________．14．设不等式组344312x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥所表示的平面区域为D ．若圆C 落在区域D 中，则圆C 的半径r 的最大值为________．15．已知a 、b 、c 为集合A ={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的算法输出一个整数a ，则输出的数5a =的概率是________．16．若()f n 为()2*1n n +∈N 的各位数字之和，如：2141197+=，19717++=，则()1417f =；记()()1f n f n =，()()()21f n f f n =，()()()32f n f f n =，…，()()()1k k f n f f n +=，*k ∈N ，则()20159f =________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数()24πcos 22cos 3f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的对称轴方程；（2）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若122A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2b c +=，求a 的最小值．18．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），……，第八组：[130，140]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图； （2）估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（可用中值代替各组数据平均值）； （3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差小于10分的概率． 19．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB a ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 是矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，点M 在线段EF 上． （1）求证：BC ⊥平面ACFE ； （2）当EM 为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论．20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，()1,0F c -，()2,0F c 为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且1MF ，12F F ，2MF 构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r ，求出该圆的方程．21．已知函数()2ln f x x ax bx =++（其中a 、b 为常数且0a ≠）在1x =处取得极值． （1）当1a =时，求()f x 的极大值点和极小值点；（2）若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标π4⎫⎪⎭，直线l 的极坐标方程为πcos 4a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）若点A 在直线l 上，求直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），若直线l 与圆C，求a 的值． 23．选修4—5：不等式选讲 已知函数()()30f x x x a a =++->． （1）当4a =时，已知()7f x =，求x 的取值范围； （2）若()6f x ≥的解集为{4x x -≤或}2x ≥，求a 的值．答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】根据系统抽样的定义则编号间距为70710?，则满足条件是3，13，23，33，43，53，63，故选B ．2．【答案】D【解析】∵21M x x 禳镲镲=<睚镲镲铪，∴()(),02,M =-∞+∞U ，∴[]0,2M =R ð，∵{N y y ==，∴[)0,N =+∞，∴()[]0,2M N =R I ð，故选D ．3．【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵24674a a a =，∴414q =，即212q =，∵14a =， ∴2311422a a q ==⨯=，故选C ．4．【答案】B【解析】设阴影部分的面积为S ，由几何概型可知28433SS =⇒=，故选B ．5．【答案】C【解析】∵2a b +=r r ∴2244cos12012a a b b +︒+=r r r r ，即2280b b --=r r ，∴4b =r 或2b =-r （舍），故选C ．6．【答案】B【解析】∵复数()()()103i 103i 3i 3i 3i -==-++-，∴复数103i +在复平面上的对应点()3,1B -，∵复数2i +在复平面上的对应点是()2,1A ，∴()23115OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r，∵OA =u u u rOB =u u u r cos 5OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r，∴cos 2AOB ∠=，∴π4AOB ∠=，故选B ．7．【答案】C 【解析】2222316p c a b =+=+，抛物线的准线方程是2p x =-，所以223164p p +=，解得4p =，所以24c =，23a =，3c e a ===，故选C ． 8．【答案】A 【解析】∵函数()1f x +是偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称， ∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3b f =，()()02c f f ==，又∵当()1,x ∈+∞时，函数()sin f x x x =-，∴当()1,x ∈+∞时，函数()cos 10f x x '=-≤，即()sin f x x x =-在()1,+∞上为减函数，∴b a c <<，故选A ． 9．【答案】B 【解析】由三视图可知，几何体为三棱锥，且一边垂直于底面，其外接球的直径为3=，∴该几何体的外接球的表面积为234π9π2⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故选B ． 10．【答案】A 【解析】①当0x ≤时，()3x f x x =+，∵函数y x =与3x y =在0x ≤时都为增函数， ∴函数()3x f x x =+在(],0-∞上为增函数，又∵()1211303f -=-+=-<，()010f =>， ∴函数()3x f x x =+在()1,0-内有一个零点，②当0x >时，()31433a f x x x =-+， ∴()()()2422f x x x x '=-=-+，令()0f x '<得02x <<，即()f x 在()0,2上为减函数， 令()0f x '>得2x >，即()f x 在()2,+∞上为增函数，∴()f x 在2x =时取得最小值， ∵函数()f x 在其定义域上只有一个零点，且函数()f x 在()1,0-内有一个零点， ∴()20f >，即31242033a ⨯-⨯+>，∴16a >，故选A ． 11．【答案】A 【解析】对于①，假设α∥β，因为m α⊥，故m β⊥，又n β⊥，所以m ∥n ，这与m ，n 是异面直线矛盾，故假设不成立，即α与β不会平行，故①正确；对于②，函数()cos211cos2f x x x =-=-，其最小正周期2ππ2T ==，故②正确；对于③，当10x -=即1x =时，()1f x =，即函数()()11f x x a =-+恒过定点()1,1，故③正确；对于④，“命题p q ∨为真”不能推出“命题p q ∧为真”，即充分性不成立；反之，“命题p q ∧为真”，可以推出“命题p q ∨为真”，故“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故④正确．综上所述，错误的选项为0个，故选A ．12．【答案】D【解析】∵22sin cos 1y y +=，∴()222sin cos 1y y +=，即442221sin cos 12sin cos 1sin 22y y y y y +=-=-，∴4422sin 2cos 2sin 2y y y +=-，∵ππ,84y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ2,42y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2sin 21y -≤≤，∴[]22sin 21,2y -∈，∵坐标平面上的点集S 满足()()2442ππ,log 22sin 2cos ,,84S x y x x y y y ⎧⎫⎡⎤=-+=+∈-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，∴()[]22log 21,2x x -+∈，即2224x x -+≤≤，∴10x -≤≤或12x ≤≤，∴将点集S 中的所有点向x 轴作投影，所得投影线段的长度为112+=，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】88 【解析】∵在等差数列{}n a 中，5716a a +=，∴11116a a +=，∴()1111111882a a S +⨯==，故答案为88．14．【答案】1【解析】由约束条件组344312x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥作出可行域如图所示：要使圆C 的半径r 的最大，只要圆C 与直角三角形ABD 相内切，∵4BD =，3AB =，∴5AD =，设内切圆的半径为r ，则()113434522r ⨯⨯=⨯++，∴1r =，故答案为1． 15．【答案】35【解析】∵所有基本事件有10种，输出数为5的基本事件有6种，∴所求的概率为63105P ==． 16．【答案】11 【解析】∵29182+=，∴()()19910f f ==，∵2101101+=， ∴()()()()2199102f f f f ===，∵2215+=，∴()()()()329925f f f f ===， ∵25126+=，∴()()()()439958f f f f ===，∵28165+=， ∴()()()()5499811f f f f ===，∵2111122+=，∴()()()()6599115f f f f ===， ∴数列(){}9n f 从第3项开始是以3为周期的循环数列，∵201526713=+⨯， ∴()()201559911f f ==，故答案为11． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()ππ26k x k =-∈Z ；（2）a 取最小值1． 【解析】 （1）()24π13πcos 22cos cos 22cos 21cos 213223f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， 由π2π3x k +=得()f x 的对称轴方程为()ππ26k x k =-∈Z ． （2）由π1cos 212232A A f ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得π1cos 32A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵()0,πA ∈，∴π3A =， 在ABC △中，由余弦定理，得()2222π2cos 33a b c bc b c bc =+-=+-， ∵2b c +=，∴212b c bc +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，当且仅当1b c ==时取等号， ∴()223431a b c bc =+--=≥，即a 的最小值为1． 18．【答案】（1）0．08；（2）97（分）；（3）25． 【解析】（1）由频率分布直方图知第七组的频率f 7＝1－（0．004＋0．012＋0．016＋0．03＋0．02＋0．006＋0．004）×10＝0．08．直方图如图．（2）估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为：65×0．04＋75×0．12＋85×0．16＋95×0．3＋105×0．2＋1 15×0．06＋125×0．08＋135×0．04＝97（分）．（3）第六组有学生3人，分别记作A 1，A 2，A 3，第一组有学生2人，分别记作B 1，B 2，则从中任取2人的所有基本事件为（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 2，A 3），（B 1，B 2），共10个．分差大于10分表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），所以从中任意抽取2人，分差小于10分的概率642110105P =-==．19．【答案】（1）见解析；（2）33aEM =，证明过程见解析．【解析】（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，AD DC CB a ===，60ABC ∠=︒， 四边形ABCD 是等腰梯形，且30DCA DAC ∠=∠=︒，120DCB ∠=︒，∴90ACB DCB DCA ∠=∠-∠=︒，∴AC BC ⊥．又∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，交线为AC ，∴BC ⊥平面ACFE ．（2）当3aEM =//AM 平面BDF ，在梯形ABCD 中，设AC BD N =I ，连接FN ，则:1:2CN NA =，∵33aEM =， 而3EF AC a ==，∴:1:2EM MF =，∴//MF AN ，且MF AN =，∴四边形ANFM 是平行四边形，∴//AM NF ，又∵NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ，∴//AM 平面BDF ．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）总存在以原点为圆心的圆22127x y +=满足题设条件．【解析】（1）由题知12122F F MF MF =+，即222c a ⨯=，得2a c =①． 又由223b a =，得232b a =②； 且222a b c =+，综合解得1c =，2a =，3b =E 的方程为22143x y +=． （2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件． （ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y kx m =+，则21m r k =+，即2221m r k =+①， 由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得()()222348430k x kmx m +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，有()12122228344334x x x x km k m k +⎧+=-⎪⎪⎨-=+⎪⎪⎩， 又∵OA OB ⊥u u u r u u u r ，∴12120x x y y +=，即()()22222221383404k m k m m k m +--++=， 化简得()221217m k =+②，由①②求得2127r =，∴所求圆的方程为22127x y +=； （ⅱ）若AB 的斜率不存在，设()11,A x y ，则()11,B x y -，∵OA OB ⊥u u u r u u u r ，∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r ， 有21210x y -=，1122x y =，代入1122143x y +=，得21127x =，此时仍有221127r x ==； 综上，总存在以原点为圆心的圆22127x y +=满足题设条件． 21．【答案】（1）()f x 的极大值点为12，()f x 的极小值点为1；（2）1e 2a =-或2a =-． 【解析】（1）∵()2ln f x x ax bx =++，∴()12f x ax b x '=++． ∵函数()2ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值，∴()1120f a b '=++=， ∴当1a =时，3b =-，则()2123123x x f x x x x -+'=+-=， ()f x '、()f x 随x 的变化情况如下表： x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1 ()1,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋()f x 极大值 极小值∴()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，∴()f x 的极大值点为12，()f x 的极小值点为1．（2）∵()()()()()22211211120ax a x ax x f x ax b x x x x -++--'=+==>+，令()0f x '=得，11x =，212x a =，∵()f x 在1x =处取得极值，∴21112x x a =≠=；（ⅰ）当102a <时，()f x 在()0,1上单调递增，在(]1,e 上单调递减，∴()f x 在区间(]0,e 上的最大值为()1f ，则()11f =，即121a a --=，∴2a =-． （ⅱ）当0a >时，2102x a =>，①当112a <时，()f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，(]1,e 上单调递增，∴()f x 的最大值1可能在12x a =或e x =处取得，而()2111111ln 21ln 10222224f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()2e lne e 21e 1f a a =+-+=，∴1e 2a =-；②当11e 2a <≤时，()f x 在区间()0,1上单调递增，11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，1,e 2a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，∴()f x 的最大值1可能在1x =或e x =处取得，而()()1ln1210f a a =+-+<， ∴()()2e lne e 21e 1f a a =+-+=，即1e 2a =-，与211e 2x a <=<矛盾；③当1e 2a ≥时，()f x 在区间()0,1上单调递增，在(]1,e 上单调递减，∴()f x 的最大值1可能在1x =处取得，而()()1ln1210f a a =+-+<，矛盾． 综上所述，1e 2a =-或2a =-． 选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程 【答案】（1）20x y +-=；（2）22a =或322a = 【解析】（1）由点π2,4A ⎫⎪⎭在直线πcos 4a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上，可得2a = 所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=， 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=． （2）由已知得圆C 的直角坐标方程为()2221x y -+=， 所以圆C 的圆心为()2,0，半径1r =， 而直线l 的直角坐标方程为2x y a +=，若直线l 与圆C 2， 则圆心到直线l 的距离为22，所以22222a d -==，求得22a =或322a =． 23．选修4—5：不等式选讲 【答案】（1）[]3,4x ∈-；（2）1a =． 【解析】（1）因为34347x x x x ++-+-+=≥，当且仅当()()340x x +-≤时等号成立． 所以()7f x =时，34x -≤≤，故[]3,4x ∈-． （2）由题知()()()()3233323a x x f x a x a x a x a ---⎧⎪=+-<<⎨⎪+-⎩≤≥， 当36a +≥时，不等式()6f x ≥的解集为R ，不合题意； 当36a +<时，不等式()6f x ≥的解为3326x a x -⎧⎨--⎩≤≥或236x a x a ⎧⎨+-⎩≥≥， 即392x a x -⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤或32x a a x ⎧⎪⎨+⎪⎩≥≥，又因为()6f x ≥的解集为{4x x -≤或}2x ≥，所以1a =．。
高中三年级文科数学模拟试卷第123章
18.(2019江西六校联考二模,文18,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=2.(1)求证:A1C∥平面AB1D;(2)求点C1到平面AB1D的距离.(1)证明:取C1B1的中点E,连接A1E,ED,CE,则四边形B1DCE为平行四边形,∴B1D∥EC,又A1E∥AD,B1D∩AD=D,A1E∩EC=E,∴平面A1EC∥平面AB1D.∵A1C⊂平面A1EC,∴A1C∥平面AB1D.(2)解:由题意,在△AB1D中,AD=,B1D=,AD⊥B1D,∴.连接C1D,设点C1到平面AB1D的距离为h,则由,可得h=×2×2×,∴h=.19.(2019广西南宁一模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,在四棱锥P-ABCD 中,BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.(1)求证:AC⊥PD.(2)在线段PA上,是否存在点E,使BE∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.(1)证明:∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AC⊥CD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥平面PCD,∵PD⊂平面PCD,∴AC⊥PD.(2)解:在线段PA上,存在点E,使BE∥平面PCD.证明:∵AD=3,∴在△PAD中,分别取PA,PD靠近点P的三等分点E,F,连接EF.∵,∴EF∥AD,EF=AD=1.又BC∥AD,∴BC∥EF,且BC=EF.∴四边形BCFE是平行四边形.∴BE∥CF,BE⊄平面PCD,CF⊂平面PCD,∴BE∥平面PCD.19.(2019广西梧州一模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E,F分别为PD,AC的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)求点F到平面ABE的距离.(1)证明:分别取PA和AB中点M,N,连接MN,ME,NF,则NF∥AD,且NF=AD,ME∥AD,且ME=AD.所以NF∥ME,且NF=ME.所以四边形MNFE为平行四边形.所以EF∥MN,又EF⊄平面PAB,MN⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)解:因为四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为PD 的中点,所以PD⊥AE.因为PD⊥AB,AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE,即DE为D到平面ABE的距离.因为F到平面ABE的距离等于D到平面ABE的距离的一半且DE=,所以F到平面ABE的距离等于.19.(2019江西新余二模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=CD=2,M是线段AE上的动点.(1)试确定点M的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由;(2)在(1)的条件下,求平面MDF将几何体ADE-BCF分成的两部分的体积之比.解:(1)当M是线段AE的中点时,AC∥平面MDF.证明如下:连接CE,交DF于N,连接MN,由于M,N分别是AE,CE的中点,所以MN∥AC.由于MN⊂平面MDF,又AC⊄平面MDF,所以AC∥平面MDF.(2)如图,将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B'CF,三棱柱ADE-B'CF的体积为V=S△ADE·CD=×2×2×4=8,则几何体ADE-BCF的体积V ADE-BCF=V ADE-B'CF-V F-BB'C=8-×2=.三棱锥F-DEM的体积V M-DEF=×1=,故两部分的体积之比为.(答1∶4,4,4∶1均可)。
高中三年级文科数学模拟试卷第218章
1.(2019广西柳州一中一模,文12,双曲线的定义与标准方程,选择题)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),顶点B在双曲线=1的左支上,则等于()A. B. C. D.解析:由题意可知双曲线的焦点坐标就是A,B,由双曲线的定义可知BC-AB=2a=10,c=6,.答案:D2.(2019甘肃张掖4月模拟,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线x2-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且=0,则点M到x轴的距离为()A. B. C. D.解析:已知双曲线x2-=1的焦点为F1(-,0),F2(,0).∵MF1⊥MF2,∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上,故由得|y|=,∴点M到x轴的距离为.答案:D11.(2019江西景德镇二模,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线=1两个焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M,N两点,且△F1MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形,则为()A.18B.12C.18D.12解析:设|NF1|=|MN|=m,则|MF1|=m,由双曲线的定义,可得|NF2|=m-2a,|MF2|=m-2a,∵|NM|=|NF2|+|MF2|=m,∴m-2a+m-2a=m,∴4a=m.∵a2=3,∴m2=24.故m2=×24=12.答案:D11.(2019江西上饶重点中学二模,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线=1(0<b<2)与x轴交于A,B两点,点C(0,b),则△ABC面积的最大值为()A.1B.2C.4D.8解析:∵双曲线=1(0<b<2)与x轴交于A,B两点,∴A(-,0),B(,0),∵点C(0,b),∴S△ABC=×2×b=×b==2,当且仅当b=时取等号.故△ABC面积的最大值为2.答案:B11.(2019山西太原五中二模,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线=1(a>0,b>0,且b∈N*)的两个焦点为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,P为双曲线上一点,且满足|OP|<5(其中O为坐标原点),若|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则双曲线C的方程为()A.-y2=1B.x2-y2=1C.=1D.=1解析:∵|F1F2|2=|PF1|·|PF2|,∴4c2=|PF1|·|PF2|.∵|PF1|-|PF2|=4,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,即|PF1|2+|PF2|2-8c2=16.①设∠POF1=θ,则∠POF2=π-θ,由余弦定理得,|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|·|OP|·cos(π-θ),|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|·cos θ.整理得,|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2.②由①②化简得,|OP|2=8+3c2=20+3b2.∵OP<5,∴20+3b2<25,∵b∈N*,∴b2=1.∵一条渐近线方程为y=x,∴,∴a=2,∴-y2=1.答案:A3.(2019山西太原外国语学校4月模拟,文3,双曲线的定义与标准方程,选择题)过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.x2-=1B.x2-=1C.=1D.=1解析:双曲线的右顶点为(a,0),右焦点F为(c,0),由x=a和一条渐近线y=x,可得A(a,b).以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则|AF|=|OF|=c=2,即有=2,c2=a2+b2=4,解得a=1,b=.故双曲线C的方程为x2-=1.答案:A139双曲线的几何性质1.(2019江西上饶重点中学一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,若直线l与抛物线在第一象限的交点为A,并且点A也在双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析:如图,设A(x0,y0),则|AF|=2,又|AF|=x0+,∴2=x0+,解得x0=p,y0=|AF|=·2p=p.∵A在双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线上,∴p=p,解得b2=a2.由a2+b2=c2,得a2+a2=c2,即,∴双曲线的离心率e=.答案:A。
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21.(2019江西景德镇二模,文21,利用导数解决综合问题,解答题)已知f(x)=x3+ax2的图象为曲线C,M,N是曲线C上的不同点,曲线C在M,N处的切线斜率均为k.(1)若a=3,函数g(x)=的图象在点x1,x2处的切线互相垂直,求|x1-x2|的最小值;(2)若MN的方程为x+y+1=0,求k的值.解:(1)∵当a=3时,f(x)=x3+3x2,g(x)==x2+3x,∴g'(x)=2x+3.∵g(x)的图象在点x1,x2处的切线互相垂直,∴(2x1+3)(2x2+3)=-1,则x2=-,∴|x1-x2|==≥1,当且仅当x1=-2,x2=-1或x1=-1,x2=-2时取最小值1.(2)设M(m,m3+am2),N(n,n3+an2)(m≠n),f'(x)=3x2+2ax,∵3m2+2am=3n2+2an,∴m+n=- a.又M,N在x+y+1=0上,∴m3+am2+m+1=0,n3+an2+n+1=0.∴m3+n3+a(m2+n2)+m+n+2=0,即(m+n)[(m+n)2-3mn]+a[(m+n)2-2mn]+m+n+2=0,将m+n=-a代入上式得2a3-9a+27=0,即2a3-9a+27=(a+3)(2a2-6a+9)=0,解得a=-3.∴m3-3m2+m+1=0,则m3-3m2+m+1=(m-1)(m2-2m-1)=0,解得m=1或m=1±;同理n=1或n=1±.∵m+n=-a=2,且m≠n,∴m,n均满足方程x2-2x-1=0.故k=f'(m)=3m2-6m=3(m2-2m)=3.20.(2019广西南宁一模,文20,利用导数解决综合问题,解答题)设函数f(x)=x2+ax-ln x.(1)若a=1,试求函数f(x)的单调区间;(2)令g(x)=,若函数g(x)在区间(0,1]上是减函数,求a的取值范围.解:(1)∵当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,定义域为(0,+∞),∴f'(x)=2x+1-.∴当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0.∴f(x)在上单调递减,在上单调递增.(2)g(x)=,定义域为(0,+∞),g'(x)=,令h(x)=-x2+(2-a)x+a-+ln x,则h'(x)=-2x++2-a,h″(x)=-2-<0,故h'(x)在区间(0,1]上单调递减,从而对任意x∈(0,1],h'(x)≥h'(1)=2-a.①当2-a≥0,即a≤2时,h'(x)≥0,∴y=h(x)在区间(0,1]上单调递增.∴h(x)≤h(1)=0,即F'(x)≤0.∴y=F(x)在区间(0,1]上是减函数,a≤2满足题意.②当2-a<0,即a>2时,由h'(1)<0,h'=-+a2+2>0,0<<1,且y=h'(x)在区间(0,1]上的图象是一条连续不断的曲线.∴y=h'(x)在区间(0,1]上有唯一零点,设为x0.∴h(x)在区间(0,x0)上单调递增,在(x0,1]上单调递减.∴h(x0)>h(1)=0,而h(e-a)=-e-2a+(2-a)e-a+a-e a+ln e-a<0,且y=h(x)在区间(0,1]上的图象是一条连续不断的曲线,y=h(x)在区间(0,1)上有唯一零点,即y=F'(x)在区间(0,1)上有唯一零点,设为x',又F(x)在区间(0,x')上单调递减,在(x',1)上单调递增,矛盾,a>2不合题意.综上,a的取值范围为(-∞,2].21.(2019贵州贵阳二模,文21,利用导数解决综合问题,解答题)已知函数f(x)=ax+b-ln x表示的曲线在点(2,f(2))处的切线方程为x-2y-2ln 2=0.(1)求a,b的值;(2)若f(x)≥kx-2对于x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.解:(1)函数f(x)=ax+b-ln x的导数为f'(x)=a-,在点(2,f(2))处的切线方程为x-2y-2ln 2=0,即有a-,解得a=1,f(2)=2a+b-ln 2=1-ln 2,解得b=-1,则有a=1,b=-1.(2)f(x)≥kx-2对于x∈(0,+∞)恒成立,即有x-1-ln x≥kx-2对于x∈(0,+∞)恒成立,即有k-1≤对于x∈(0,+∞)恒成立.令g(x)=,g'(x)=,当x>e2时,g'(x)>0,g(x)递增;当0<x<e2时,g'(x)<0,g(x)递减.则当x=e2时g(x)取得极小值,也为最小值,且为-,即有k-1≤-,解得k≤1-.16.(2019江西新余二模,文16,利用导数解决综合问题,填空题)已知过抛物线x2=4y的焦点F 的直线交抛物线于A,B两个不同的点,过A,B分别作抛物线的切线,且二者相交于点C,则△ABC的面积的最小值为.解析:∵抛物线x2=4y的焦点F为(0,1),∴设直线l方程为y=kx+1,由消去y得x2-4kx-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=4k,x1x2=-4.抛物线x2=4y,即二次函数y=x2,对函数求导,得y'=x,所以抛物线在点A处的切线斜率为k1=x1,可得切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简得y=x1x-,同理,得到抛物线在点B处切线方程为y=x2x-,两方程消去x,得两切线交点C纵坐标满足y c==1,横坐标为x=(x1+x2)=2k.点C(2k,-1)到直线AB的距离为d=,线段AB的长度为|x1-x2|,S△ACB=|AB|·d==4≥4.当k=0时等号成立,∴S△ACB的最小值为4.答案:412.(2019江西宜春高安四校一模,文12,利用导数解决综合问题,选择题)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),当x≠x0时,若>0在D内恒成立,则称P 为函数y=h(x)的“类对称点”,则f(x)=x2-6x+4ln x的“类对称点”的横坐标是()A.1B.C.eD.解析:函数y=h(x)在其图象上一点P(x0,h(x0))处的切线方程为:y=g(x)=(x-x0)+-6x0+4ln x0,设m(x)=h(x)-g(x)=x2-6x+4ln x-(x-x0)-+6x0-4ln x0,则m(x0)=0.m'(x)=2x+-6-=2(x-x0)(x-x0),若x0<,m(x)在上单调递减,所以当x∈时,m(x)<m(x0)=0,此时<0;若x0>,φ(x)在上单调递减,所以当x∈时,m(x)>m(x0)=0,此时<0.所以y=h(x)在(0,)∪(,+∞)上不存在“类对称点”.若x0=(x-)2>0,所以m(x)在(0,+∞)上是增函数.当x>x0时,m(x)>m(x0)=0,当x<x0时,m(x)<m(x0)=0,故>0,即此时点P是y=f(x)的“类对称点”.综上,y=h(x)存在“类对称点”,是一个“类对称点”的横坐标.答案:B21.(2019江西宜春高安四校一模,文21,利用导数解决综合问题,解答题)已知函数f(x)=x3-x2+tx-1.(1)若f(x)在(0,2)上无极值,求t的值;(2)若存在x0∈(0,2),使得f(x0)是f(x)在[0,2]上的最大值,求t的取值范围;(3)当t>0时,若f(x)≤x e x-1(e为自然对数的底数)对任意x∈[0,+∞)恒成立,求t的取值范围.解:(1)∵f(x)=x3-x2+tx-1,∴f'(x)=x2-(t+1)x+t=(x-t)(x-1).又f(x)在(0,2)无极值,∴t=1.(2)①当t≤0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,不合题意.②当0<t<1时,f(x)在(0,t)上单调递增,在(t,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,∴f(t)≥f(2).由f(t)≥f(2)得,-t3+3t2≥4在0<t<1时无解.③当t=1时,不合题意.④当1<t<2时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,t)上单调递减,在(t,2)上单调递增,∴∴≤t<2.⑤当t≥2时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,满足条件.综上所述:当t∈时,存在x0∈(0,2),使得f(x0)是f(x)在[0,2]上的最大值.(3)当t>0时,若f(x)≤x e x-1对任意x∈[0,+∞)恒成立,即e x-x2+x-t≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立,令g(x)=e x-x2+x-t,g'(x)=e x-x+,g″(x)=e x->0,g'(x)在x∈[0,+∞)上是递增函数,g'(x)≥g'(0)=1+>0,g(x)在x∈[0,+∞)上递增,g(x)≥g(0)=1-t≥0,即t≤1.故t的取值范围为0<t≤1.。