平行线的判定与性质综合运用
7年级数学 平行线判定及性质
D E EF1 23ACO知识精讲7 年级数学下：平行线的性质定理模块一：平行线的性质定理平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等． （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．例题解析【例 1】如图，AC //DB ， ∠DBC = 56 ，则∠ACB = ． 【答案】124 度．【解析】因为 AC //DB （已知），所以∠DBC + ∠ACB = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补），因为∠DBC = 56 （已知），所以∠ACB = 180︒ - 56︒ = 124︒ （等式性质）D B 【例 2】（1）如图，已知 DE //BC ，∠A = ∠C ，则与∠AED 相等的角（不包含∠AED ）有 个； （2）如图，若 AB //FD ，则∠B = ，若 AC //ED ，则∠DFC = ．AABC 【答案】（1）2 个；（2） ∠3 ；∠2．BD【解析】（1）因为 DE //BC （已知）， 所以∠AED = ∠C （两直线平行，同位角相等），又因为∠A = ∠C （已知），所以∠A = ∠C = ∠AED （等量代换）； （2）∠B = ∠3（两直线平行，同位角相等）；∠DFC = ∠2．【例 3】如图，直线 a / /b ，则 x - y 的值等于（ ） a A ．20 B ．80C ．120D ．180b【答案】A【解析】因为 a / /b ，所以 x = 30又因为3y + x = 180 ，解得 y = 50，故 x - y = 30 - 50 = 20︒ ．【例 4】如图，直线 a / /b ，点 B 在直线b 上，且 AB ⊥ BC ， ∠1 =A ． 35B ． 45C ． 55D ．125【答案】A【解析】因为 AB ⊥ BC （已知），所以∠ABC = 90︒ （垂直的意义）因为 a / /b （已知）， 所以 ∠1 = ∠CBD （两直线平行，同位角相等）因为∠1 = 55 （已知）， 所以∠CBD = 55 （等量代换）因为∠2 + ∠ABC + ∠CBD = 180 （平角的意义） 所以∠2 = 180︒ - 55︒ - 90︒ = 35︒ （等式性质）B【例5】如图，直线a / /b ，c ⊥d ，则下列说法中正确的个数有（）（1）∠2 +∠4 = 90 ；（2）∠1 +∠4 = 90 ；（3）∠1 =∠3 ；（4）∠3 +∠4 = 90 ．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】（1）正确：因为a / /b ，所以∠2 与∠3 互为同位角，d又因为c ⊥d ，所以∠3 +∠4 = 90︒，所以∠2 +∠4 = 90︒；（2）错误：∠1 =∠4 （两直线平行，同位角相等）；（3）错误∠1 +∠3 = 90︒；（4）正确．所以本题选B【例6】如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．【例7】如图，已知AB / /CD ，∠x 等于（）A．75 B．80 C．85 D．95 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角；所以易知∠x = (180︒-120︒) + 25︒= 85︒．A B120°xD 25°C【例8】如图，AB / /CD，MP / / AB，MN 平分∠AMD，∠A = 40 ，∠D = 30 ，则∠NMP 等于（）A．10 B．15 C．5 D．7.5 【答案】C【解析】因为AB / /MP （已知）所以∠A =∠AMP （两直线平行，内错角相等）因为AB / /CD （已知），所以MP / /CD （平行的传递性）所以∠D =∠DMP （两直线平行，内错角相等）B MCAN PD因为∠AMD =∠AMP +∠DMP （角的和差），∠A = 40 ，∠D = 30 （已知）所以∠AMD = 30 + 40 = 70 （等式性质）因为MN平分∠AMD （已知），所以∠AMN =∠NMD = 35 （角平分线的意义）所以∠NMP = 40︒- 35︒= 5︒（等式性质）E【例9】如图，AB / /CD ，∠1 = (2x + 20) ，∠2 = (8x - 40) ，求∠1 及∠2 的度数．【答案】∠1 = 40︒，∠2 = 40︒． A1 B【解析】因为AB / /CD （已知），所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）2 即(2x + 20) = (8x - 40) C DF 解得：x = 10所以∠1 = 40︒，∠2 = 40︒（等式性质）H2G 1CFD3 12 4【例 10】如图，已知∠1 = 40 ，∠2 = 140 ，∠3 = 40 ，能推断出 AB / /CD / / EF 吗？为什么？ 【答案】能；见解析． 【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：∠2 + ∠1 = 180︒，∠2 + ∠3 = 180︒所以 AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行）所以 AB //EF ，即 AB //CD //EF ，即证．N【例 11】已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，求∠A 与∠ B 的度数．【答案】∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ ．【解析】由题意可知， ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，所以∠A = 2∠B - 30︒ ，即∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ 【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例 12】已知：如图， ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠B ，AC / / DE ，且 B 、C 、D 在一条直线上．试说明 AE / / BD ．A E【答案】见解析．【解析】因为 AC / / DE （已知），所以∠2 = ∠4 （两直线平行，内错角相等） 因为∠1 = ∠2 （已知），所以∠1 = ∠（4 等量代换）所以 AB / /CE （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠ECD （两直线平行，同位角相等）B因为∠3 = ∠B （已知），所以∠3 = ∠ECD （等量代换） 所以 AE / / BD （内错角相等，两直线平行）【例 13】已知：如图，E 、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE 、AF 分别交 BC 于 G 、H ，∠ A = ∠ D ， ∠ 1= ∠ 2，试说明： ∠ B = ∠ C ． E 【答案】见解析 A B 【解析】因为∠1 = ∠（2 已知），∠1 = ∠AHB （对顶角相等）所以∠2 = ∠AHB （等量代换）， 所以 AF / / E D （同位角相等，两直线平行）所以∠D = ∠AFC （两直线平行，同位角相等）因为∠A = ∠D （已知）， 所以∠A = ∠AFC （等量代换）所以 AB / /CD （内错角相等，两直线平行） 所以∠B = ∠C （两直线平行，内错角相等）【例 14】如图，直线 GC 截两条直线 AB 、CD ，AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平 分线，且 AE / /CF ，那么 AB ∥CD 吗？为什么？【答案】见解析【解析】因为 AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线（已知）所以∠GAE = ∠EAB ，∠ACF = ∠FCD （角平分线的性质）因为 AE / /CF （已知），所以∠GAE = ∠ACF （两直线平行， 3A1 E2 D同位角相等）所以∠EAB =∠FCD（等量代换）所以AB / /CD ( 同位角相等，两直线平行)【例15】如图∠1 =∠2 ，DC / /OA ，AB / /OD ，那么∠C =∠B【答案】见解析【解析】因为DC / /OA （已知），所以∠COA =∠C（两直线平行，内错角相等），即∠COB +∠1 =∠C因为AB / /OD （已知），所以∠DOB =∠B即∠2 +∠COB =∠B ，又因为∠1 =∠2 （已知），所以∠B =∠C （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】如图，已知AD 平分∠BAC ，∠1 =∠2 ，试说明∠1 =∠F 的理由．【答案】见解析F【解析】因为AD 平分∠BAC （已知），所以∠2 =∠BAD （角平分线的意义）因为∠1 =∠2 （已知），所以∠1 =∠BAD （等量代换）所以EF / / AD （同位角相等，两直线平行）所以∠F =∠2 （两直线平行，同位角相等） B C 所以∠1 =∠F （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】已知：如图，∠AGH =∠B，∠CGH =∠BEF ，EF⊥AB 于F，试说明CG⊥AB．【答案】见解析【解析】因为∠AGH =∠B （已知）C所以HG / /CB （同位角相等，两直线平行）所以∠CGH =∠BCG （两直线平行，内错角相等）E 因为∠CGH =∠BEF （已知），H所以∠BEF =∠BCG （等量代换）A B所以EF / /CG （同位角相等，两直线平行）G F因为EF⊥AB（已知），所以CG⊥AB．【例18】已知，正方形ABCD 的边长为4 cm ，求三角形EBC 的面积．D【答案】8 平方厘米． A E 【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC，且其高即是正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：4 ⨯ 4 ÷ 2 = 8cm2C【例19】如图，AD//BC，BC =5AD ，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．2A D【答案】5: 2 ．4B CBD EA G D【解析】因为 AD / /BC （已知）所以三角形 ABC 与三角形 ACD 的高相等 （平行线间的距离处处相等）所以 S ∆ABC : S ∆ACD = BC : AD = 5：2 （两三角形高相等，面积比等于底之比）【例 20】如图， AB / /GE ， CD / / FG ，BE =EF =FC ，三角形 AEG 的面积等于 7，求四边形AEFD 的面积．【答案】21【解析】联结 BG 、CG ． 因为 AB / /GE（已知）所以 S∆BEGB= S ∆AEG （同底等高的两个三角形面积相等）E FC因为 BE =EF （已知）， 所以 S ∆BEG = S ∆GEF （等底等高的两个三角形面积相等）所以 S ∆AEG = S ∆GEF =7（等量代换）， 同理 S ∆GEF = S ∆DFG = 7 ． 所以 S 四边形AEFD = S ∆AEG + S ∆GEF + S ∆DFG = 7 + 7 + 7 = 21．【例 21】已知 E 是平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，DE 延长线交 AB 延长线于 F ，试说明CS ∆ABE 与S ∆CEF 相等的理由．【答案】见解析1A1F【解析】因为 S △ADE = S △DCF = 2 S 四边形ABCD ，所以 S △CEF = S ∆DCF - S ∆DCE = 2S 四边形ABCD - S ∆DCE ，所以 S = S - S - S = S- 1 S - S = 1 S - S ∆ABE 四边形ABCD ∆ADE ∆DCE 四边形ABCD 2 四边形ABCD ∆DCE 2四边形ABCD∆DCE所以 S ∆ABE = S ∆CEF模块二：辅助线的添加例题解析【例 1】如图，已知 AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ． 【答案】见解析【解析】过点 C 作 AB 的平行线 CF ，因为 AB ∥ED （已知）所以 AB / /CF / / ED （平行的传递性）所以∠B = ∠BCF ，∠D = ∠DCF 所以∠B + ∠D = ∠BCF + ∠DCF = ∠BCD （等式性质） E【例 2】如图所示，已知， ∠A +∠B +∠C = 360︒ ，试说明 AE ∥CD ．5FE 【答案】见解析 A E 【解析】过点 B 向右作 BF //AE ，所以∠A + ∠ABF = 180（︒ 两直线平行，同旁内角互补）因为∠A +∠B +∠C = 360︒ （已知） B F 所以∠FBC + ∠C = 180︒ （等式性质） C D所以 BF / /CD （同旁内角互补，两直线平行） 所以 AE / /CD （平行的传递性）【例 3】如图，已知：AB //CD ，试说明： ∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （至少用三种方法）．【答案】见解析 A【解析】方法一：连接 BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于 180因为 AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补）C所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360° 方法二：过点 E 作 EF //CD ，因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质）即∠B +∠D +∠BED =360°； 方法三：过点 E 作 EF / / BA 因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠ABE + ∠BEF = 180︒ ，∠FED + ∠EDC = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补） 所以∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （等式性质）；方法四：过点 E 作 EF ⊥CD 的延长线与 F ，EG 垂直于 AB 的延长线于 G ， 则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【例4】如图所示，在六边形 ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明 BC ∥EF 的理由．【答案】见解析 A F【解析】连接 AD 、BE B因为 AF ∥CD （已知）E所以∠FAD = ∠ADC （两直线平行，内错角相等）C D 因为∠BAF = ∠CDE （已知）， 所以∠BAD = ∠ADE （等式性质）所以 AB ∥DE （内错角相等，两直线平行）所以∠ABE = ∠BED （两直线平行，内错角相等）因为∠ABC = ∠FED （已知）， 所以∠EBC = ∠BEF （等式性质）所以 BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【例 5】如图已知，AB //CD ，∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系．3 3【答案】∠E : ∠F = 3：2 ．C【解析】过点 E 、点 F 分别作 AB 的平行线 EG 、FH ．6ABD21因为 EG / / AB ，FH / / AB所以 AB / / EG / FH / /CD (等量代换)所以∠ABF = ∠BFH （两直线平行，内错角相等）所以∠CDF = ∠DFH （两直线平行，内错角相等）所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF （等量代换）同理： ∠BED = ∠DEG + ∠BEG = ∠ABE + ∠CDE （等量代换）因为∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2∠CDE3 3所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF = 2 (∠ABE + ∠CDE ) = 2∠BED3 3所以∠E : ∠F = 3：2【例 6】如图，已知：AC //BD ，联结 AB ，则 AC 、BD 及线段 AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点 P 落在某个部分时，联结 PA 、PB ，构成 ∠ PAC 、∠ APB 、∠ PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是 0 °角）（1） 当点 P 落在第①部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB ； （2） 当点 P 落在第②部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB 是否成立?（3）当点 P 落在第③部分时，全面探究∠ PAC 、 ∠ APB 、 ∠ PBD 之间的关系是 ，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．A 3A 3CCCA 3C21 B4DB 4DB4B4D【解析】（1）过点 P 作 PE // AC ．因为 AC / / BD ，所以 AC / / PE / / BD （平行的传递性）所以∠PAC = ∠APE ，∠BPE = ∠PBD （两直线平行，内错角相等） 因为∠APB = ∠APE + ∠BPE （角的和差）所以∠APB = ∠PAC + ∠PBD （等量代换）（2）不成立，过点 P 作 AC 的平行线即可证明． （3）分类讨论如下：①当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ； ②当动点 P 在射线 BA 上时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB 或∠PAC = ∠PBD + ∠APB 或∠APB = 0︒，∠PAC = ∠PBD （任写一个即可） ③当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ．2P 1 A 321随堂练习【习题1】 填空：（1） 如图（1），AB //CD ，CE 平分∠ACD ， ∠A = 120 ，则∠ECD ； （2） 如图（2），已知 AB //CD ， ∠B = 100 ，EF 平分∠BEC ， EG ⊥ EF ，则∠DEG = ．【难度】★GB A FC【答案】（1）30°； （2）50°．E图（2）C【解析】（1）因为 AB ∥CD （已知），所以∠A + ∠ACD = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = 120 （已知）， 所以∠ACD = 180 -120 = 60 （等式性质） 又因为 CE 平分∠ACD （已知）， 所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为 AB ∥CD （已知）， 所以∠B + ∠BEC = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠B = 100 （已知）， 所以∠BEC = 180 -100 = 80 （等式性质） 又因为 EF 平分∠BEC （已知）， 所以∠BEF =40°（角平分线的意义）因为 EG ⊥EF （已知）， 所以∠GEF = 90 （垂直的意义）因为∠DEG + ∠GEF + ∠CEF = 180 （平角的意义） 所以∠DEG = 180 - 90 - 40 = 50 （等式性质） 【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】 填空：（1）如图，直线 a / /b ，三角形 ABC 的面积是 42 cm 2 ，AB =6 cm ，则 a 、b 间的距离为 ；（2）如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，则三角形 ACD 和三角形 ABC 的面 积之比为 ．【难度】★【答案】（1）14 厘米 ；（2） 1． 2 A D【解析】（1）三角形 ABC 的高为： 42 ⨯ 2 ÷离B 为 14 厘米；C（2）因为三角形 ACD 和三角形 ABC 高相等， 所以面积之比等于底之比，即 S ∆ACD = S ∆ABC AD = 1 AB 2【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．A B E图（1） DD．【习题3】 如图，已知 FC //AB //DE ， ∠α : ∠D : ∠B = 2 : 3 : 4 ,则∠α 、∠D 、∠B 的度数分别为 ．【难度】★ 【答案】∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【解析】因为 FC //AB //DE （已知），A 所以∠B + ∠CFB = 180(∠D = ∠CFD （两直线平行，内错角相等）设∠α = 2x ，∠D = 3x ，∠B = 4x ，则可列方程：180 - 4x + 2x = 3x ，解得： x = 36︒ 则∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ． 【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 3 倍多 12°，则这两个角是( )． A ．42°和 138° B ．都是 10°C ．42°和 138°或都是 10°D ．以上都不对【难度】★★ 【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为 A 、B ，则有： ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 3 倍多 12°，则有： ∠A = 3∠B + 12︒ ， 即180︒- ∠B = 3∠B + 12︒，解得：∠B = 42︒，∠A = 138︒ ． 【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】 如图，已知 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线 PQ 、MN的位置关系． P Q 【难度】★★ 【答案】见解析．1【解析】因为 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知）R所以∠PQN = 2∠1 ， ∠MNQ = 2∠2 （角平分线的意义） 因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质）2所以 PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行） M N【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】 如图，已知：AB ∥CD ，EF 和 AB 、CD 相交于 G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．【难度】★★【答案】略．【解析】 AB / /CD （已知）∴∠BGH = ∠DHF （两直线平行，同位角相等）又 MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF∴∠1 = 1 ∠BGH , ∠2 = 1∠DHF2 2 ∴∠1 = ∠（2 等量代换）∴GM / / H N （同位角相等，两直线平行） 【总结】本题考查平行线的判定A B 1 2 O CBCM 1【习题7】 如图所示，在直角三角形 ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点 O 到各边的距离相等，求这个距离是多少． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】设这个距离是 x ，则有：S ∆ABC = 6 = 1( AC + BC + AB ) ⨯ x = 6x ， 解得： x = 1 ．2【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】 如图，已知 AB ，CD 分别垂直 EF 于 B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明： BM / / AF ． A【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为 CD ⊥EF ， 所以∠CDF = 90 （垂直的意义）因为∠DCF =60°（已知）， 所以∠F =30°（三角形的内角F 和等于 1D 80°） BE因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F （等量代换）所以 BM ∥AF （同位角相等，两直线平行） 【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】 如图，已知直线l 1 / /l 2 ；（1）若∠1 = (x + 2 y ) ， ∠2 = x ， ∠4 = ( y + 30) 求∠1 ， ∠2 ， ∠4 的度数； （2）若∠2 = x， ∠3 = y， ∠4 = [2(2x - y )]，求 x 、 y 的值．1 2 3l【难度】★★【答案】见解析4 l 2【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以 x + 2 y + x 180︒ ，即 x +y =90°因为l 1∥l 2 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = y +30， 解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°； （2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以 x +y =180°，因为l 1∥l 2 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等） 即 x = 4x - 2 y ， 解得：x =72°，y =108°．【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算． 【习题10】 如图， ∠ ADC =∠ABC ， ∠ 1+ ∠ FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明 BC 为∠DBE 的平分线． 【难度】★★★ E【答案】见解析．【解析】因为∠ 1+ ∠ FDB =180°（已知），又因为∠1 = ∠ABD （对顶角相等）所以∠ABD + ∠BDF = 180 （等量代换）所以 AB / / F D （同旁内角互补，两直线平行）F D CA EC 所以∠ABD = ∠2 （两直线平行，内错角相等）因为∠ADC = ∠ABC （已知）， 所以∠ADB = ∠CBD （等式性质） 因为 AE / / FC （已证）， 所以∠EBD = ∠FDB （两直线平行，内错角相等）即∠ADB + ∠ADF = ∠CBD + ∠CBE （角的和差）因为 AD 是∠FDB 平分线， 所以∠ADB = ∠ADF = ∠CBD = ∠EBC （角平分线的意义） 即 BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】 如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么? D 【难度】★★★【答案】相等，证明见解析． F 【解析】因为∠DAE + ∠EAC + ∠BAC = 180 （平角的意义）又∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 （三角形内角和等于 180°）所以∠DAE + ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB （等式性质）B 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知） 所以∠ABC = ∠ACB = ∠DAE = ∠CAE 所以 AE / / B C （内错角相等，两直线平行）所以 AE 与 BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等） 所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．课后作业【作业1】 如图，AB //CD ，直线l 分别交 AB 、CD 于 E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠EFG = 40 ，则∠EGF 的度数是（ ）A ． 60B ． 70C ． 80D ． 90【难度】★【答案】B【解析】因为 AB //CD （已知），所以∠BEF + ∠EFG = 180因为∠EFG = 40 （已知）， 所以∠BEF =140°（等式性质）因为 EG 平分∠BEF （已知），所以∠BEG = 1 ∠BEF = 70（角平分线的意义）2因为 AB //CD （已知）， 所以∠BEG = ∠EGF （两直线平行，内错角相等）所以∠EGF =70°（等量代换） 【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】 如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（ ）A ． ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180B ． ∠1 + ∠2 - ∠3 = 90C ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180D ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 90【难度】★ 【答案】CA11B3CD21D 12 E 3【解析】由题意可得： (180︒- ∠3) + (180︒- ∠2) + ∠1 = 180︒ ，解得： ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180︒ 【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】 若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（ ）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行， （3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直 A ．3 个 B ．2 个 C ．1 个 D ．0 个 【难度】★ 【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；（3）×； （4）只有当这对同旁内角互补时才成立，× 【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】 直线 a ∥c ，且直线 a 到直线c 的距离是 3；直线b / /c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线 a 到直线b 的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．2 或 8 【难度】★★ 【答案】D【解析】当直线 a 和直线 b 在直线 c 的两侧时，距离为 8；当直线 a 和直线 b 在直线 c 的同一侧时，距离为 2． 【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】 已知：如图 5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． A 【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为∠1 = ∠B （已知）所以 DE / / B C （同位角相等，两直线平行）所以∠2 = ∠C （两直线平行，同位角相等）又因为 EF / / AB （已知）， 所以∠3 = ∠B 所以∠3 = ∠C （等量代换） BFC（两直线平行，同位角相等） 【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】 已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ． 【难度】★★l 【答案】略．【解析】设∠2 的对顶角为∠3，因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换） 所以 AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）A 1BCD又因为 AB ∥CD （已知） 所以 CD ∥EF （平行的传递性） E2F【总结】本题主要考查平行线的判定．D ′ C′F【作业7】 如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】因为∠4=∠B （已知）所以 CD ∥AB （同位角相等，两直线平行）所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等） 又因为∠1=∠3（已知）， 所以∠1=∠2（等量代换），A B所以 AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】 如图， AD / / BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A : ∠ABC = 2 :1 ，求∠DBC 的度数．【难度】★★AD【答案】30°．【解析】因为 AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补）BC又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知）， 所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质） 又因为 BD 平分∠ABC （已知）， 所以∠DBC =30°（角平分线的意义） 【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D 、C 分别落在 D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则∠C 'FB 的度数为 ． A E D【难度】★★【答案】65°【解析】因为翻折， 所以∠D 'EF = ∠DEF （翻折的性质） B 因为∠AED ' + ∠D 'EF + ∠DEF = 180 （平角的意义） 又∠AED ′＝65°（已知）， 所以∠D 'EF = ∠DEF =180 - ∠AED '= 57.5 （等式性质）2因为 AD / / BC （已知）， 所以∠DEF + ∠EFC = 180 （两直线平行，同旁内角互补） ∠EFB = ∠DEF （两直线平行，内错角相等）所以∠EFB = 57.5 ， ∠EFC = 180 - 57.5 = 122.5 （等式性质）因为∠EFC ' = ∠EFC （翻折的性质） 所以∠C 'FB = ∠EFC ' - ∠EFB = 65︒ ． 【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】 如图，已知 AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分∠FEG ， ∠A = ∠D = 110 ，试说明线段 EH 的长是 AD 、BC 间的距离． A E D 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为 AD //BC （已知）所以∠A + ∠B = 180 ， ∠C + ∠D = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = ∠D = 110 （已知）， 所以∠B =∠C =70°（等式性质）B F H G因为 AB //EF ，DC //EG （已知），D 43 C12所以∠EFG=∠B，∠EGF=∠C（两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换），所以∠FEG=40°因为EH 平分∠FEG （已知），所以∠FEH=1∠FEG=20 （角平分线的意义）2所以∠FHE = 180 -∠FEH =∠EFH = 90 （三角形内角和等于180°）即EH 的长是AD、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】如图，AB ⊥l ，CD ⊥l （点B、D 是垂足），直线EF 分别交AB、CD 于点G、H．如果∠EGB =m ，∠FGB =n ，且∠EHD = (3m -n ) ，试求出∠EGB 、∠BGF 、∠EHD的度数．【难度】★★★【答案】∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【解析】因为AB ⊥l ，CD ⊥l （已知）所以AB / /CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以∠FGB +∠EHD =180 （两直线平行，同旁内角互补）∠EGB =∠EHD （两直线平行，同位角相等）即n + 3m -n = 180 ，m = 3m -n ，解得：m = 60︒，n = 120︒．所以∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．【作业12】如图，已知AB / /CD ，EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN ，那么∠GEF +∠DFH = 90 ，试说明理由．【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为AB / /CD （已知）所以∠AEF =∠CFN （两直线平行，同位角相等）因为∠CFN +∠DFN = 180︒（平角的性质）又因为EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN （已知）所以∠AEG +∠GEF +∠DFH +∠NFH = 180︒（角的和差）即2∠GEF +∠DFH = 180︒，所以∠GEF +∠DFH = 90 ．【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】如图，已知AB∥EF，∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°，试说明x、y、z 之间的关系．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意，过C、D 两点分别作AB 的平行线CM、DN 因为AB∥EF（已知）所以AB / /CM / / DN / / EF （平行的传递性）N所以∠B =∠BCM ，∠MCD =∠CDN ，∠EDN =∠E （两直线平行，内错角相等）因为∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°（已知）所以x - 45 =y -z （等式性质）即x -y +z = 45 ．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．。
专题03 专项训练卷(一) 平行线的判定与性质的综合应用(解析版)七年级数学下册(人教版)
2020-2021学年度人教版七年级数学下册新考向多视角同步训练专项训练卷(一) 平行线的判定与性质的综合应用1.(2020江苏镇江期末,18,★★☆)如图,在△ABC中点D、E分别在AB、BC上,且DE∥AC,∠1=∠2(1)求证:AF∥BC;(2)若AC平分∠BAF,∠B=50°,求∠1的度数.2.(2019广东湛江二中月考,18,★★☆)如图所示,已∠1+∠2=180°,∠DEF=∠A(1)试判断DE与AC的位置关系,并说明理由;(2)若∠A=60°,∠ACD=35°,求∠1的度数.3.(2020山西临汾三中期末,20,★★☆)如图,点F在线段AB上,点E,G在线段CD上,FG∥AE,∠1=∠2(1)求证:AB∥CD;(2)若FG⊥BC于点H,BC平分∠ABD,∠D=112°,求∠1的度数4.(2019江苏苏州模拟,19,★★☆)如图所示,AB∥CD直线EF分别与AB、CD相交于M、N,∠AME=60°(1)求∠DNF的度数;(2)若∠P=90°,∠2=∠6=60°,求证:MP平分∠BMN5.(2019山东济南四中期末,20,★★☆)如图所示B、C、E三点在同一条直线上,A、F、E三点在同一条直线上,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4(1)试判断AD与BE是否平行,说说你的理由;(2)若∠1=46°,∠4=75°,求∠ABC的度数6.(2019浙江温州实验学校期末,20,★★☆)如图所示,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°(1)请你判断AD与EC的位置关系,并说明理由;(2)若DA平分∠BDC,CE⊥FA,∠1=70°,试求∠FAB的度数.7.(2020四川成都九中期中,21,★★☆)如图①,AB,BC被直线AC所截,点D是线段AC上的点,过点D作DE∥AB连接AE,∠B=∠E(1)求证:AE∥BC;(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,图②,连接DQ.若∠E=75°,DE⊥DQ,求∠Q的度数8.(2020湖南师大附中期末,19,★★☆)如图,D,E,G分别是AB,AC,BC边上的点,∠1+∠2=180°,∠3=∠B(1)请说明DE∥BC的理由;(2)若DE平分∠ADC,∠2=2∠B,判断CD与EG的位置关系,并说明理由9.(2020独家原创试题)如图①,已知∠ACB=80°,点A在直线EF上,点B在直线GH上,且∠CAE+∠CBG=80°(1)试判断直线EF与GH的位置关系,并说明理由;(2)如图②,若点B在直线GH上运动,作∠CP=2∠CAE,作∠CBP=2∠CBG,试判断∠PB的大小是否会随着点B的运动而发生变化,若不变,求出∠APB的大小;若变化,请说明理由.10.(2020重庆南开中学期末,20,★★☆)如图,CD⊥AB于D,FE⊥AB于E,∠ACD+∠F=180°(1)求证:AC∥FG;(2)若∠A=45°,∠BCD:∠ACD=2:3,求∠BCD的度数.11.(2019四川乐山模拟,22,★★★)【问题情境】我们知道“两条平行线被第三条直线所截,位角相等,内错角相等,同旁内角互补”所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用已知三角板ABC中,∠BAC=60°,∠B=30°,∠BCA=90°,长方形DEFG中,DE∥GF【问题初探】(1)如图①所示,若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上,BC与DE相交于点M,AB⊥DE于点N,求∠EMC的度数分析:过点C作CH∥GF,则CH∥DE∥GF,从而得∠CAF=∠HCA,∠EMC=∠BCH,然后可以求得∠EMC的度数根据分析,请你直接写出:∠CAF的度数为________,∠EMC的度数为________；【类比再探】(2)若将三角板ABC按如图②所示的方式摆放(AB与DE不垂直),请你猜想∠CAF与∠EMC的数量关系,并说明理由12.(2019广西柳州期末,23,★★★)为了安全起见,在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图①所示,灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.已知灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度,假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BA M:∠BAN=2:1.(1)填空:∠BAN=________；(2)若灯B先转动30秒,灯A才开始转动,在灯B的光线到达BQ之前,灯A转动多少秒时,两灯的光线互相平行?(3)如图②所示,若两灯同时转动,在灯A的光线到达AN之前.若两灯的光线交于点C,过C作∠ACE交PQ于点E,且∠ACE=120°,请探究在两灯转动的过程中∠BAC与∠BCE的数量关系是否发生变化若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由13.(2019黑龙江齐齐哈尔一模,22,★★★)(1)问题情境:如图①所示,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°求∠APC的度数小明想到一种方法,但是没有解答完:如图②所示,过P作PE∥AB,∴∠APE+∠PAB=180°∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°AB∥CD,∴PE∥CD请你帮助小明完成剩余的解答;(2)问题迁移:请你依据小明的思路,解答下面的问题如图③所示,AD∥BC,点P在射线OM上运动,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β(i)当点P在A、B两点之间时,∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;(ii)当点P在A、B两点的外侧时(点P与点不重合),请直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系【参考答案及解析】1.解析:(1)证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠C, ∵∠1=∠2,∴∠C=∠2 ∴AF∥BC(2)∵AF∥BC,∴∠B+∠BAF=180°,∵∠B=50°,∴∠BAF=180°-50°=130°, ∵AC 平分∠BAF, ∴∠2=12 ∠BAF=65°∵∠1=∠2,∴∠1=65° 2.解析:(1)DE∥AC 理由如下:∵∠1+∠2=180°,∠BDC+∠2=180°,∴∠1=∠BDC,∴BD∥EF,∴∠DEF=∠BDE,∵∠DEF=∠A,∴∠BDE=∠A,∴DE∥AC.(2)∵∠A=60°,∠ACD=35°,∴∠2=180°-∠A -∠ACD=85°, ∵∠1+∠2=180°,∴∠1=180°-∠2=95° 3.解析:(1)证明:如图,∵FG∥AE,∴∠2=∠3, ∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AB∥CD(2)∵AB∥CD,∴∠ABD+∠D=180°,∵∠D=112°,∴∠ABD=180°-∠D=68°, ∵BC 平分∠ABD,∴∠4=12∠ABD=34°,∵FG⊥BC,∴∠1+∠4=90°,∴∠1=90°-34°=56° 4.解析:(1)∵AB∥CD,∠AME=60°,∴∠CN E=∠AME=60°, ∴∠DNF=∠CNE=60°.(2)证明:∠AME+∠1+∠2=180°,∠DNF+∠5+∠6=180°,∠2=∠6=60°,∠AME=60°,∠DNF=60° ∴∠1=∠5=60°,∴MQ∥NP,∴∠PMQ=∠P=90° ∴∠3=∠PMQ -∠2=30°∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠EMN=180° ∴∠4=180°-∠1-∠2-∠3=30° ∴∠3=∠4,即MP 平分∠BMN5.解析:(1)AD∥BE理由AB∥CD,∴∠BAE=∠4,∵∠2=∠1,∴∠1+∠C AE=∠2+∠CAE, ∴∠BAE=∠CAD,∠CAD=∠4 ∵∠3=∠4,∴∠3=∠CAD,AD∥BE (2)∵∠3=∠4,∠4=75°∴∠3=75∴∠ABC=180°-(∠1+∠3)=180°-(46°+75°)=59° 6.解析:(1)AD∥EC理由∵∠1=∠BDC,∴AB∥CD,∴∠2=∠ADC, 又∵∠2+∠3=180°,∠ADC+∠3=180° ∴AD∥EC(2)∵∠1=∠BDC,∠1=70°,∴∠BDC=70° ∵DA 平分∠BDC,∴∠ADC=12 ∠BDC=35°∴∠2=∠ADC=35°,∵CE⊥AE,AD∥EC ∴∠FAD=∠AEC=90°∴∠FAB=∠FAD -∠2=90°-35°=55° 7.解析:(1)证明:∵DE∥AB,∴∠BAE+∠E=180°, ∵∠B=∠E ∴∠BAE+∠B=180°,∴AE∥BC (2)如图,过D 作DF∥AE 交AB 于F, ∵PQ∥AE,∴DF∥PQ∥AE, ∴∠E+∠EDF=180°∵∠E=75°,∴∠EDF=180-75°=105°, ∵DE⊥DQ ∴∠EDQ=90°,∴∠FDQ=360°-105°-90°=165°,∵DF∥PQ,∴∠FDQ+∠Q=180°,∴∠Q=180°-165°=15°8.解析:(1)∵∠1+∠2=180°,∠1=∠DFG,∴∠2+∠DFG=180°,∴AB∥EG,∴∠B=∠EGC 又∵∠B=∠3,∴∠3=∠EGC,∴DE∥BC (2)CD⊥EG∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE=∠EDC,∵∠2=2∠B,∠2+∠ADE+∠EDC=180°,∴2∠B+∠B+∠B=180°,∴∠B=45°∴∠2=2∠B=90°,∴CD⊥AB,又∵AB∥EG,∴CD⊥EG9.解析:(1)EF∥GH理由如下:如图,过点C作CD∥EF,∴∠CAE=∠ACD,∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°,∠CAE+∠CBG=80°∴∠BCD=∠CBG∴CD∥GH,∴EF∥GH(2)∠APB的大小不会随着点B的运动而发生变化∵∠CAP=2∠CAE,∠CBP=2∠CBG∴∠CAP+∠CBP=2∠CAE+2∠CBG=2(∠CAE+∠CBG)=2×80°=160°∴∠APB=360°-∠ACB-(∠CAP+∠CBP)=360°-80-160°=120°故∠APB的大小为120°10.解析:(1)证明:CD⊥AB,FE⊥AB,∴∠AEH=∠ADC=90°∴EF∥DC,∴∠AHE=∠ACD,∵∠ACD+∠F=180°,∴∠AHE+∠F=180°∠AHE+∠EHC=180°,∴∠EHC=∠F,∴AC∥FG(2)∵∠BCD:∠ACD=2:3,∴设∠BCD=2x,∠ACD=3x,∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∴45°+3x=90°∴x=15°,∴∠BCD=2x=30°11.解析:(1)答案为30°；60过点C作CH∥GF,则CH∥DE∥GF∴∠CAF=∠HGA,∠EMC=∠MCH,∵∠BAF=90°,∴∠CAF=90°-60°=30°∴∠HCA=30°,∴∠MCH=90°-∠HCA=60°,∠EMC=60°(2)∠CAF+∠EMC=90°理由如下:过点C作CH∥GF,则∠CAF=∠ACH∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°12.解析:(1)∵∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=2:1, ∴∠BAN=180°×13=60°,故答案为60°(2)设灯A 转动t 秒时,两灯的光线(AC 和BD)互相平行 ①当0<t≤90时,如图1, ∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA, ∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA,∴∠CAM=∠PBD,∴2t=1·(30+t),解得t=30.②当90<<150时,如图2, ∵PQ∥MN,∴∠PBD+∠BDA=180°, ∵AC∥BD,∴∠CAN=∠BDA, ∴∠PBD+∠CAN=180°,∴1·(30+t)+(2t -180)=180,解得t=110综上所述,当t=30或110时,两灯的光线互相平行 (3)∠BAC 和∠BCE 的数量关系不会变化 设灯A 转动的时间为m 秒,则∠CAN=(180-2m)°,∴∠BAC=60°-(180-2m)°=(2m -120)°, ∵MN∥PQ,∠BAN=60°,∴∠ABP=180°-60°=120° ∴∠ABC=(120-m)°,∴∠BCA=180°-∠ABC -∠BAC=(180-m)°,∵∠ACE=120°,∴∠BCE=120°-∠BCA=120°-(180-m)=(m-60)°, ∴∠BAC:∠BCE=2:1,即∠BAC=2∠BCE 13.解析:(1)剩余过程:∴∠CPE+∠PCD=180°∴∠CPE=180°-120°=60°,∴∠APC=50°+60°=110°如图1,过P作PE∥AD交CD于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β(ii)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β详解:当P在BA的延长线上时,∠CPD=∠β-∠α理由如下:如图2,过P作PE∥AD交ON于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α当P在B、O之间时,∠CPD=∠α-∠β理由:如图3,过P作PE∥AD交ON于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β综上,∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β。
教案平行线的性质与判定
经典教案平行线的性质与判定教学目标：1. 理解平行线的定义及性质；2. 掌握平行线的判定方法；3. 能够应用平行线的性质与判定解决实际问题。
教学重点：1. 平行线的定义及性质；2. 平行线的判定方法。
教学难点：1. 平行线的性质与判定在实际问题中的应用。
第一章：平行线的定义及性质1.1 平行线的定义1. 引入直线、射线、线段的概念；2. 讲解平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。
1.2 平行线的性质1. 性质1：平行线上的任意一对对应角相等；2. 性质2：平行线上的任意一对内错角相等；3. 性质3：平行线上的任意一对同位角相等。
第二章：平行线的判定方法2.1 判定方法1：同位角相等1. 引入同位角的概念；2. 讲解判定方法：如果两条直线上的同位角相等，这两条直线平行。
2.2 判定方法2：内错角相等1. 引入内错角的概念；2. 讲解判定方法：如果两条直线上的内错角相等，这两条直线平行。
2.3 判定方法3：对应角相等1. 引入对应角的概念；2. 讲解判定方法：如果两条直线上的对应角相等，这两条直线平行。
第三章：平行线的性质与判定在实际问题中的应用3.1 利用平行线的性质解决实际问题1. 举例讲解：平行线之间的距离；2. 练习：已知一条直线上有点A，求距离点A固定距离的点B所在直线与已知直线的位置关系。
3.2 利用平行线的判定解决实际问题1. 举例讲解：已知两条直线上的角相等，求这两条直线平行的证明；2. 练习：已知两条直线上的角相等，证明这两条直线平行。
第四章：平行线的综合应用4.1 利用平行线的性质解决几何问题1. 举例讲解：平行线与三角形的关系；2. 练习：已知三角形ABC，求证：AB//CD。
4.2 利用平行线的判定解决几何问题1. 举例讲解：平行线与四边形的关系；2. 练习：已知四边形ABCD，求证：AD//BC。
第五章：课堂小结与拓展5.1 课堂小结1. 回顾本章所学内容，总结平行线的定义、性质及判定方法；2. 强调平行线在实际问题中的应用。
平行线的判定、性质公理及定理【最新】
一、学习内容：平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理二、学习目标：1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理2.能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．三、学习重难点重点：平行线的判定性质公理及定理. 难点：推理过程的规范化表达.四、学习方法：教师精讲点拨与学生自主探究相结合五、使用课时：2课时六、学习导航考点一平行线的判定公理1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。
例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD ．（1） （2） 3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。
达标训练： 一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( )A ．(1)(3)B ．(2)(4)C ．(1)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CDC ．∠3=∠4D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°二．填空题5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．αγβED CBAD6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比 为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空． （1）∵∠A =_______（已知） ∴AC ∥ED （ ） （2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （ ）三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ． 求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.根据下面的条件完成证明． 已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：CFDEBAOHG321EFD C BA1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等.定理：两直线平行，内错角相等.定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D ，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
平行线的性质与判定(典型例题)
E
B
C
例4.如图，∠A+∠C=1800，∠D=∠E,则AB与EF平行 吗？为什么？
A
B
C
E
D F
解：∵∠A+∠C=1800（ 已知 ） ∴AB//CD（同旁内角互补， 两直线平行） 又∵∠D=∠E（ 已知 ） ∴EF//CD（ 内错角相等，两直线平行） ∴AB//EF（ 两直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也平行)
C D F B 2 E 3 A G
1
D 4．如图，若m∥n，∠1 = 105°，则∠2 =（ A．55° B．60° C．65° D．75°
）
1 2
m n
5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为 垂足，如果∠EOD = 38°，则∠AOC = 52°，∠COB = 128 。 °
A O C
E D B
6.如图所示，下列推理正确的是（C ） A．∵∠1=∠4，∴BC∥AD B．∵∠2=∠3，∴AB∥CD C．∵AD∥BC，∴∠BCD＋∠ADC=180° D．∵∠1＋∠2＋∠C=180°，∴BC∥AD B A 1 2 4 3 D
1 B C
例7.如图，若AB⊥BC,BC⊥CD,∠1=∠2 求证：BE//CF A
1 证明： ∵AB⊥BC,BC⊥CD（ 已知） ∴∠ABC=∠BCD =900（垂直的定义 ） 2 ∵∠1=∠2（ 已知 ） E C ∴∠ABC－∠1=∠BCD－∠2（等式的性质） 即∠EBC=∠BCF ∴ BE// CF （内错角相等，两直线平行） B F
例2、如图有一块梯形的玻璃，已知量得 ∠A＝115°，∠D＝100°，请你想一想， 梯形的另外两个角各是多少度。
解：∵AD∥BC （已知） ∴ A ＋ B＝180°
平行线的判定与性质的综合应用 专题练习
1DFCB A 2E平行线的判定与性质的综合运用 专题一、推理填空题1．已知：如图，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，将说明∠1＝∠2成立的理由填写完整.解：∵ DE ∥BC （ ）∴∠ADE ＝_______（ ） ∵∠ADE ＝∠EFC （ ）∴_______＝_______ （ ）∴DB ∥EF （ ） ∴∠1＝∠2（ ） 2.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A ＝∠3.求证：AC ∥DE 证明：∵∠1＝∠2（ ）∴AB ∥＿＿＿＿( ) ∴∠A ＝∠4( )又∵∠A ＝∠3（ ）∴∠3=＿＿＿＿（ ）∴AC ∥DE （ ）3.已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ．且∠1＝∠3．求证：AB ∥DC ． 证明：∵∠ABC ＝∠ADC ，.2121ADC ABC ∠=∠∴( ) 又∵BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，.212,211ADC ABC ∠=∠∠=∠∴ ( ) ∴∠______＝∠______．( )∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝∠______．(等量代换)∴______∥______．( )二、证明题4.如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37º，求∠D 的度数．4321ABCABCDE5.如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，求∠α的度数。
6．如图，CD AB //，AE 平分BAD ∠，CD 与AE 相交于F ,E CFE ∠=∠。
求证：BC AD //。
7.如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB 有怎样的位置关系，为什么？8.已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.α21F E DCBA21FEDCBAF E DCBA。
平行线的判定与性质综合
)
) )
(2)已知： CD∥EF, ∠AGD= ∠ACB. 求证： ∠1= ∠2
(3)已知：∠AGD= ∠ACB
∠1= ∠2.
求证： CD∥EF.
解: ∠A与∠F 理由如下： ∵∠1＝∠2 (已知) ∠1＝∠3 (对顶角相等) ∴ ∠2=∠3（等量代换）
如图,已知,分别和直线,交于点,,分别和直线,交于点,, 点在上(点与,,三点不重合). 如果点在,两点之间运动时,,,之间有何数量关系请说 明理由; 如果点在,两点外侧运动时,,,有何数量关系(只须写出 结论).
思考5: 已知,如图,BE平分∠ABD，DE平分 ∠1+∠2 =90° ∠BDC，DG平分∠CDF， 求证：1)AB CD 2)BE DG C 3)ED GD A G E 4 3 6 5 2 1 B D F
平行线的判定与性质的 综合运用
判定两直线平行的方法有三种:
(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。 (2)平行公理推论（平行的传递性）：两条直线都和第三条直 线平行,这两条直线也平行。 b C (3)在同一平面内：因为a⊥c,a⊥b；
所以b//c (4)三种角判定(3种方法): 同位角相等,两直线平行。 内错角相等,两直线平行。 同旁内角互补,两直线平行。 在这六种方法中，定义一般不常用。 A C E
训练二
如图，AB∥CD，AD∥BC，试探求∠B与∠D， ∠A与∠C的关系？ D
C
A
B
（变式）如果 AB ∥ CD ，且 ∠ B= ∠ D ，你能推 理得出AD∥BC吗？
题组训练（1）
1.如图，已知∠1=∠2，∠A=76°，求∠ABC的度数。 D
《平行线的性质和判定及其综合运用》教案 (公开课)2022年人教版数学
第2课时平行线的性质与判定及其综合运用一、教学目标1．理解平行线的性质与平行线的判定是相反的问题，掌握平行线的性质．2．会用平行线的性质进行推理和计算．3．通过平行线性质定理的推导，培养学生观察分析和进行简单的逻辑推理的能力．4．通过学习平行线的性质与判定的联系与区别，让学生懂得事物是普遍联系又相互区别的辩证唯物主义思想．二、学法引导1．教师教法：采用尝试指导、引导发现法，充分发挥学生的主体作用，表达民主意识和开放意识．2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现，认真研究．三、重点·难点解决方法〔一〕重点平行线的性质公理及平行线性质定理的推导．〔二〕难点平行线性质与判定的区别及推导过程．〔三〕解决方法1．通过教师创设情境，学生积极思维，解决重点．2．通过学生自己推理及教师指导，解决难点．3．通过学生讨论，归纳小结．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、三角板、自制投影片．六、师生互动活动设计1．通过引例创设情境，引入课题．2．通过教师指导，学生积极思考，主动学习，练习稳固，完成新授．3．通过学生讨论，完成课堂小结．七、教学步骤〔一〕明确目标掌握和运用平行线的性质，进行推理和计算，进一步培养学生的逻辑推理能力．〔二〕整体感知以情境创设导入新课，以教师引导，学生讨论归纳新知，以变式练习稳固新知．〔三〕教学过程创设情境，复习导入师：上节课我们学习了平行线的判定，回忆所学内容看下面的问题〔出示投影片1〕．1．如图1，〔1〕∵〔〕，∴〔〕．〔2〕∵〔〕，∴〔〕．〔3〕∵〔〕，∴〔〕．2．如图2，〔1〕，那么与有什么关系？为什么？〔2〕，那么与有什么关系？为什么？图2 图33．如图3，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角是，第二次拐的角是多少度？学生活动：学生口答第1、2题．师：第3题是一个实际问题，要给出的度数，就需要我们研究与判定相反的问题，即两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质．板书课题：【教法说明】通过第1题，对上节所学判定定理进行复习，第2题为性质定理的推导做好铺垫，通过第3题的实际问题，引入新课，学生急于解决这个问题，需要学习新知识，从而激发学生学习新知识的积极性和主动性，同时让学生感知到数学知识来源于生活，又效劳于生活．探究新知，讲授新课师：我们都知道平行线的画法，请同学们画出直线的平行线，结合画图过程思考画出的平行线，找一对同位角看它们的关系是怎样的？学生活动：学生在练习本上画图并思考．学生画图的同时教师在黑板上画出图形〔见图4〕，当同学们思考时，教师有意识地重复演示过程．【教法说明】让同学们动手、动脑、观察思考，使学生养成自己发现问题得出规律的习惯．学生活动：学生能够在完成作图后，迅速地答出：这对同位角相等．提出问题：是不是每一对同位角都相等呢？请同学们任画一条直线，使它截平行线与，得同位角、，利用量角器量一下；与有什么关系？学生活动：学生按老师的要求画出图形，并进行度量，答复出不管怎样画截线，所得的同位角都相等．根据学生的答复，教师肯定结论．师：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等．我们把平行线的这个性质作为公理．［板书］两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．【教法说明】在教师提出问题的条件下，学生自己动手，实际操作，进行度量，在有了大量感性认识的根底上，动脑分析总结出结论，不仅充分发挥学生主体作用，而且培养了学生分析问题的能力．提出问题：请同学们观察图5的图形，两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？学生活动：学生观察分析思考，会很容易地答出内错角相等，同分内角互补．师：教师继续提问，你能论述为什么内错角相等，同旁内角互补吗？同学们可以讨论一下．学生活动：学生们思考，并相互讨论后，有的同学举手答复．【教法说明】在前面复习引入的第2题的根底上，通过学生的观察、分析、讨论，此时学生已能够进行推理，在这里教师不必包办代替，要充分调动学生的主动性和积极性，进而培养学生分析问题的能力，在学生有成就感的同时也鼓励了学生的学习兴趣．教师根据学生答复，给予肯定或指正的同时板书．［板书］∵〔〕，∴〔两条直线平行，同位角相等〕．∵〔对项角相等〕，∴〔等量代换〕．师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？学生活动：同学们积极举手答复以下问题．教师根据学生表达，板书：［板书］两条平行经被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：西直线平行，内错角相等．师：下面清同学们自己推导同分内角是互补的，并归纳总结出平行线的第三条性质．请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成．师生共同订正推导过程和第三条性质，形成正确板书．［板书］∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕．∵〔邻补角定义〕，∴〔等量代换〕．即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成，两直线平行，同旁内角互补．师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即它们的符号语言分别为：∵〔见图6〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕．∵〔〕，∴〔两直线平行，内错角相等〕．∵〔〕，∴．〔两直线平行，同旁内角互补〕〔板书在三条性质对应位置上．〕尝试反响，稳固练习师：我们知道了平行线的性质，看复习引入的第3题，谁能解决这个问题呢？学生活动：学生给出答案，并很快地说出理由．练习〔出示投影片2〕：如图7，平行线、被直线所截：图7〔1〕从，可以知道是多少度？为什么？〔2〕从，可以知道是多少度？为什么？〔3〕从，可以知道是多少度，为什么？【教法说明】练习目的是稳固平行线的三条性质．变式训练，培养能力完成练习〔出示投影片3〕．如图8是梯形有上底的一局部，量得，，梯形另外两个角各是多少度？图8学生活动：在教师不给任何提示的情况下，让学生思考，可以相互之间讨论并试着在练习本上写出解题过程．【教法说明】学生在小学阶段对于梯形的两底平行就已熟知，所以学生能够想到利用平行线的同旁内角互补来找和的大小．这里学生能够自己解题，教师防止包办代替，可以培养学生积极主动的学习意识，学会思考问题，分析问题．学生板演教师指正，在几何里我们每一步结论的得出都要有理有据，标准学生的解题思路和格式，培养学生严谨的学习态度，修改学生的板演过程，可形成下面的板书．［板书］解：∵〔梯形定义〕，∴，〔两直线平行，同旁内角互补〕．∴．∴．变式练习〔出示投影片4〕1．如图9，直线经过点，，，．〔1〕等于多少度？为什么？〔2〕等于多少度？为什么？〔3〕、各等于多少度？2．如图10，、、、在一条直线上，．〔1〕时，、各等于多少度？为什么？〔2〕时，、各等于多少度？为什么？学生活动：学生独立完成，把理由写成推理格式．【教学说明】题目中的为什么，可以用语言表达，为了培养学生的逻辑推理能力，最好用推理格式说明．另外第2题在求得一个角后，另一个角的解法不惟一．对学生中出现的不同解法给予肯定，假设学生未想到用邻补角求解，教师应启发诱导学生，从而培养学生的解题能力．〔四〕总结、扩展〔出示投影片1第1题和投影片5〕完成并比较．如图11，〔1〕∵〔〕，∴〔〕．〔2〕∵〔〕，∴〔〕．〔3〕∵〔〕，∴〔〕．学生活动：学生答复上述题目的同时，进行观察比较．师：它们有什么不同，同学们可以相互讨论一下．〔出示投影6〕学生活动：学生积极讨论，并能够说出前面是平行线的判定，后面是平行线的性质，由角的关系得到两条直线平行的结论是平行线的判定，反过来，由直线平行，得到角相等或互补的结论是平行线的性质．【教法说明】通过有形的具体实例，使学生在有充足的感性认识的根底上上升到理性认识，总结出平行线性质与判定的不同．稳固练习〔出示投影片7〕1．如图12，是上的一点，是上的一点，，，．〔1〕和平行吗？为什么？图12〔2〕是多少度？为什么？学生活动：学生思考、口答．【教法说明】这个题目是为了稳固学生对平行线性质与判定的联系与区别的掌握．知道什么条件时用判定，什么条件时用性质、真正理解、掌握并应用于解决问题．八、布置作业〔一〕必做题课本第99～100页A组第11、12题．〔二〕选做题课本第101页B组第2、3题．作业答案A组11．〔1〕两直线平行，内错角相等．〔2〕同位角相等，两直线平行．两直线平行，同旁内角互补．〔3〕两直线平行，同位角相等．对顶角相等．12．〔1〕∵〔〕，∴〔内错角相等，两直线平行〕．〔2〕∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕，〔两直线平行，同位角相等〕．B组2．∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕，〔两直线平行，内错角相等〕．∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕，〔同上〕．又∵〔已证〕，∴．∴．又∵〔平角定义〕，∴．3．平行线的判定与平行线的性质，它们的题设和结论正好相反．4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司 话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】 利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下列图．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费；(2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】 建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B 种饮料有(500－x )箱，那么y ＝(63－55)x ＋(40－35)(500－x )＝3xy ＝3x ＋2500(0≤x ≤500)；(2)由题意，得55x ＋35(500－x )≤x ≤125.∴当x ＝125时，y 最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23. 答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
平行线的判定和性质(综合篇)
北京四中编稿：史卫红审稿：张杨责编：姚一民之马矢奏春创作平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质.难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式.二、例题：这部份内容所涉及的题目主要是从已知图形中识别出对顶角、同位角、内错角或同旁内角.解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念, 关键是掌控住这些角的基本图形特征, 有时还需添加需要的辅助线, 用以突出基本图形的特征.上述类型题目年夜致可分为两年夜类.一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题.其方法是“由线定角”, 即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补.另一类题目主要是“由角定线”, 也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行, 解此类题目必需要掌握好平行线的判定方法.例1．如图, 已知直线a,b,c被直线d所截, 若∠1=∠2, ∠2+∠3=180°, 求证：∠1=∠7分析：运用综合法, 证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行, 然后再由两直线平行解决其它角的关系.∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角.须证a//c.法（一）证明：∵d是直线（已知）∴∠1+∠4=180°（平角界说）∵∠2+∠3=180°, ∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的补角相等）∴a//c（同位角相等, 两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行, 同位角相等）法（二）证明：∵∠2+∠3=180°, ∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=180°（等量代换）∵∠5=∠1, ∠6=∠3（对顶角相等）∴∠5+∠6=180°（等量代换）∴a//c （同旁内角互补, 两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行, 同位角相等）.例2．已知如图, ∠1+∠2=180°, ∠A=∠C, AD平分∠BDF, 求证：BC平分∠DBE.分析：只要求得∠EBC=∠CBD, 由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC, 从而推出AE//FC, 从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC.因此又可得AD//BC, 最后再运用平行线性质和已知条件即可推出∠EBC=∠DBC.证明：∵∠2+∠BDC=180° （平角界说）又∵∠2+∠1=180°（已知）∴∠BDC=∠1（同角的补角相等）∴AE//FC（同位角相等两直线平行）∴∠EBC=∠C（两直线平行内错角相等）又∵∠A=∠C（已知）∴∠EBC=∠A（等量代换）∴AD//BC（同位角相等, 两直线平行）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行, 内错角相等）∠ADF=∠C（两直线平行, 同位角相等）又∵DA平分∠BDF（已知）∴∠ADB=∠ADF（角平分线界说）∴∠EBC=∠DBC（等量代换）∴BC平分∠DBE（角平分线界说）说明：这道题反复应用平行线的判定和性质, 这是以后在证题过程中经常使用的方法, 见到“平行”应想到有关的角相等,见到有关的角相等, 就应想到能否判断直线间的平行关系.把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起, 这样解题能驾轻就熟, 灵活自如.三、小结：证明角相等的基本方法1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）两直线平行, 同位角相等；内错角相等；同旁内角互补.以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器, 可是何时用这些武器, 用什么武器, 怎样使用, 这是遇到的一个具体问题,需要认真进行分析.首先必需分析, 在题设中给出了哪些条件, 与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置, 与已知条件有什么关联, 怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡.例3, 如图∠1=∠2=∠C, 求证∠B=∠C.分析：题设中给出三个相等的角, 其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角, 由∠2=∠C则DE//BC.再看题中要证明的结论是∠B=∠C, 由于∠C=∠1, 所以只要证明∠1=∠B, 而∠1与∠B是两条平行直线DE, BC被直线AB所截构成的同位角,∠1=∠B是很显然的, 这样我们就理顺了从已知到求证的途径：证明：∵∠2=∠C（已知）, ∴DE//BC（同位角相等, 两直线平行）,∴∠1=∠B（两直线平行, 同位角相等）,又∵∠1=∠C（已知）,∴∠B=∠C（等量代换）.例4、已知如图, AB//CD, AD//BC, 求证：∠A=∠C, ∠B=∠D.分析：要证明∠A=∠C, ∠B=∠D, 从这四个角在图中的位置来看, 每一组既不构成同位角, 也不是内错角或同旁内角, 由此不成能利用题设中的平行关系, 经过一次推理获得结论, 仍然如同例10一样通过等角进行转化, 从题设条件动身, 由AB//CD,且AB与CD被直线BC所截, 构成了一对同旁内角, ∠B、∠C, 因此∠B+∠C=180o, 同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截, 构成的一对同旁内角∠B、∠A, ∠B+∠A=180o, 通过∠B的中介, 就可以证明得∠A=∠C.同理, 也可获得∠B=∠D, 整个思路为：证明：AD//BC（已知）, ∴∠A+∠B=180o（两直线平行, 同旁内角互补）,∵AB//CD（已知）,∴∠B+∠C=180o（两直线平行, 同旁内角互补）,∴∠A=∠C（同角的补角相等）,同理可证∠B=∠D.例5、已知如图, AD⊥BC于D, EG⊥BC于G, ∠E=∠3, 求证：∠1=∠2.分析：要证明∠1=∠2, 而从图中所示的∠1和∠2的位置来看, 根据题设或学过的界说、公理、定理无法直接证明这两个角相等, 因我们可将视野再拓广一下, 寻找一下∠1、∠2与周边各角的关系, 我们看到直线AD与GE被直线AE所截, 形成同位角∠1、∠E；被AB所截, 形成内错角∠2、∠3；而题设明确告诉我们∠3=∠E, 于是目标集中到证明AD//GE, 根据题设中AD⊥BC, EG ⊥BC, 我们很容易办到这一点, 总结一下思路, 就可以获得以下推理法式：证明：∵ AD ⊥BC于D（已知）,∴∠ADC=90o（垂直界说）,∵EG⊥BC于G（已知）,∴∠EGD=90o（垂直界说）,∴∠ADC=∠EGD（等量代换）,∴EG//AD（同位角相等, 两直线平行）,∴∠1=∠E（两直线平行同位角相等）,∠2=∠3（两直线平行内错角相等）,又∵∠E=∠3（已知）,∴∠1=∠2（等量代换）.四、两条直线位置关系的论证.两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行, 证明两条直线垂直, 证明三点在同一直线上.1、学过证明两条直线平行的方法有两年夜类（一）利用角；（1）同位角相等, 两条直线平行；（2）内错角相等, 两条直线平行；（3）同旁内角互补, 两条直线平行.（二）利用直线间位置关系：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；*（2）垂直于同一条直线的两条直线平行.例6、如图, 已知BE//CF, ∠1=∠2, 求证：AB//CD.分析：要证明AB//CD, 由图中角的位置可看出AB与CD被BC 所截得一对内错角∠ABC和∠DCB, 只要证明这对内错角相等, 而图中的直线位置关系显示, ∠ABC=∠1+∠EBC, ∠BCD=∠2+∠FCB, 条件中又已知∠1=∠2, 于是只要证明∠EBC=∠BCF. 证明：∵BE//CF（已知）,∴∠EBC=∠FCB（两直线平行, 内错角相等）∵∠1=∠2（已知）,∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等）,即∠ABC=∠BCD（等式性质）,∴AB//CD（内错角相等, 两直线平行）.例7、如图CD⊥AB, EF⊥AB, ∠1=∠2, 求证：DG//BC.分析：要证明DG//BC, 只需证明∠1=∠DCB, 由于∠1=∠2, 只需证明∠2=∠DCB, ∠2与∠DCB又是同位角, 只需证明CD//EF.根据题设CD⊥AB, EF⊥AB, CD//EF, 很容易证得, 这样整个推理过程分成三个条理.（1）（平行线的判定）（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行线的性质）（3）∠1=∠DCB DG//BC（平行线判定）在这三个推理的环节中, 平行线的判定和性质交替使用, 条理分明.证明：∵CD⊥AB于D（已知）,∴∠CDB=90o（垂直界说）,∵EF⊥AB于F（已知）,∴∠EFB=90o（垂直界说）,∴∠CDB=∠EFB（等量代换）,∴CD//EF（同位角相等, 两直线平行）,∴∠2=∠DCB（两直线平行, 同位角相等）又∵∠1=∠2（已知）,∴∠1=∠DCB（等量代换）,∴DG//BC（内错角相等, 两直线平行）.说明：从以上几例我们可以发现, 证明两条直线平行, 必需紧扣两直线平行的条件, 往往归结于求证有关两个角相等, 根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角, 设法证明这一组同位角或内错角相等, 或同旁内角互补.而证明两角相等, 又经常归于证明两直线平行.因此, 交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的经常使用思路.2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：（1）两直线垂直的界说（2）一条直线和两条平行线中的一条垂直, 这条直线也和另一条垂直.（即证明两条直线的夹角即是90o而获得.）例8、如图, 已知EF⊥AB, ∠3=∠B, ∠1=∠2, 求证：CD⊥AB.分析：这是一个与例14同样结构的图形, 但证明的目标却是两条直线垂直.证明CD⊥AB, 根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条, 必垂直于另一条.”又由于已知条件EF⊥AB, 只要证明EF//CD, 要证EF//CD, 结合图形, 只要证明∠2=∠DCB, 因为∠1=∠2, 只需证明∠DCB=∠1, 而∠DCB与∠1是一对内错角, 因而根据平行线的性质, 就需证明DG//BC, 要证明DG//BC根据平行线的判定方法只需证明∠3=∠B, 而这正是题设给出的条件, 整个推理过程经过以下几个条理：∠3=∠B DG//BC∠DCB=∠2（1）平行线判定（2）平行线性质CD⊥AB（3）平行线判定性质（4）垂直界说证明：∵∠3=∠B（已知）,∴DG//BC（同位角相等, 两直线平行）∴∠1=∠DCB（两直线平行, 内错角相等）,∵∠1=∠2（已知）,∴∠DCB=∠2（等量代换）,∴DC//EF（同位角相等, 两直线平行）,有括号部份的五步也可以用以下证法：接DC//EF（同位角相等, 两直线平行）,又∵EF⊥AB（已知）,∴CD⊥AB（一条直线和两条平行线中的一条垂直, 这条直线也和另一条垂直.）3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过, 若证明E、O、F三点共线, 通常采纳∠EOF=180o, 利用平角的界说完成三点共线证明.此方法不再举例.五、一题多解.例9、已知如图, ∠BED=∠B+∠D.求证：AB//CD.法（一）分析：要证明AB//CD, 从题设中条件和图形动身考虑, 图形中既不存在“三线八角”, 又不存在与AB、CD同时平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线, 这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行.能不能为此缔造条件呢？如果我们能够在图中添置一条直线, 使这条直线和AB、CD中的一条平行, 那么我们就有可能证明它也平行于另一条, 从而获得AB//CD.根据平行公理, 经过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行, 所以这样的直线是存在的.接下来的问题是：过哪一点作这条平行线, 考虑题设中的已知条件, 三个角的关系围绕着E点展开的, 因而选择E点作AB的平行线是较为理想的位置.证明：过点E作EF//AB, ∴∠B=∠1（两直线平行, 内错角相等）,∵∠BED=∠1+∠2（全量即是部份之和）,∴∠2=∠BED-∠1（等式性质）,又∵∠BED=∠B+∠D（已知）,∴∠D=∠BED-∠B（等式性质）∴∠2=∠D（等量代换）∴EF//CD（内错角相等, 两直线平行）,∵EF//AB（作图）,∴AB//CD（平行于同一直线的两直线平行）.说明：在光凭题设条件无法直接证得结论时, 在图中添置新的线, 以构成一个条件充沛的图形, 从而得出所求证的结论, 像这样添置的线叫做辅助线, 在画图时, 辅助线用虚线画出.法（二）分析：如果在E点的另一侧添置AB的平行线（如图）, 同样可以凭此证得结论, 可是由于所取的角的位置分歧,推理的依据过程也有所分歧.证明：过点E作EF//AB（如图）, ∴∠B+∠1=180o（两直线平行, 同旁内角互补）,∵∠1+∠2+∠BED=360o（周角界说）,∠BED=∠B+∠D（已知）,∴∠B+∠D+∠1+∠2=360o（等量代换）,∴∠D+∠2=360o-（∠B+∠1）（等式性质）=360o-180o（等量代换）=180o∴EF//CD（同旁内角互补, 两直线平行）,∵EF//AB（作图）,∴AB//CD（平行于同一直线的两条直线平行）.注意：在添置辅助线EF时, 只能过E点作直线EF平行于直线AB、CD中的一条, 而不能同时平行于AB和CD.从另一个方面考虑这个命题, 仍然是这个图形如果我们交换题设和结论部份：即已知AB//CD, 能否获得∠BED=∠B+∠D的结论, 仍然像例16法（一）那样添置AB的平行线EF, 可获得∠B=∠BEF, 又由于AB//CD, 则EF//CD.于是又有∠D=∠DEF, 很显然∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED.可知, 交换原命题的题设和结论部份, 仍然获得一个真命题.北京四中水池中的水浮莲有一种水生植物水浮莲, 生长速度很快, 每昼夜能长一个新的水浮莲.就是说, 一昼夜能一变二, 两昼夜后, 就成4棵, 这样一天一天地增多.有一个小的水池, 放进1棵水浮莲, 20天后,就长满了整个水池.如果开始时放进2棵水浮莲, 几天可以长满水池？是10天吗？想一想, 你会得出正确谜底的！谜底：19天．因为水浮莲的繁殖速度是经过一天, 就一变二, 放进1棵, 第二天就酿成了2棵.现在第一天放进2棵, 就相当于放1棵经过一昼夜繁殖后水池中的棵数.经过19天后, 池溏也同样满了.放进1棵到水池, 其生长状况是：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 放进2棵后的生长状况是2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …, 从比力可以看出, 放进2棵, 只相当于提早了一天.北京四中平行线的性质考点扫描:会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算．名师精讲:平行线的性质是指在两条直线平行的前提条件下, 能够获得的与图形有关的位置及数量关系．平行线的性质有：（1）平行线永远不相交（界说）；（2）两直线平行, 同位角相等（性质公理）；（3）两直线平行, 内错角相等（性质定理1）；（4）两直线平行, 同旁内角互补（性质定理2）．平行线的判定和平行线的性质不能混淆, 应分清定理（或公理）的条件结论：（1）判定定理说的是满足了什么条件（性质）的两条直线是互相平行的．（2）性质定理说的是如果两条直线平行, 它具有什么性质．由此可见, 判定定理与性质定理是因果关系颠倒的两类定理（称为“互逆”定理）．中考典例:1．（北京海淀区）已知：如图, AB∥CD, CE平分∠ACD, ∠A＝110°, 则∠ECD的度数即是（）A、110°B、70°C、55°D、35°考点：平行线的性质, 角平分线评析：因为∠A与∠ACD是同旁内角, 又AB∥CD, 由平行线的性质：两直线平行, 同旁内角互补, 可知∠A+∠ACD=180°．当∠A＝110°时, ∠ACD=70°．又CE平分∠ACD, 所以∠ACE=∠ECD=∠ACD=35°, 故应选D．2．（福建福州）如图, 已知：l1//l2, ∠1=100°, 则∠2=．考点：平行线的性质评析：∠1与∠3是同位角, 根据“两直线平行, 同位角相等”的性质：可知∠1=∠3=100°．又∠2与∠3是邻补角, 所以∠2=180°–100°=80°真题专练:1．（山西省）如图, 直线a、b被直线c所截, 且a//b, 若∠1=118°, 则∠2的度数为_________．⑴2．（龙岩市）如图AB∥CD, 若∠ACD=69°, 则∠CAB=__________3．（苏州市）如图AB∥CD, 直线EF分别交AB、CD于点E、F, ED平分∠BEF, 若∠1=72°, 则∠2=_______（3）4．（仙桃市）如图直线L1∥L2、L3分别与L1, L2相交,则∠1与∠2的关系为（）（4）A、∠1=∠2B、∠1+∠2=180°C、∠1+∠2=90°D、∠1+∠2=360°5．（镇江市）如图l1∥l2, ∠α是∠β的2倍, 则∠α即是（）A：60° B：90° C：120° D：150°6．（临沂市）如图AB∥CD, 那么∠1+∠2+∠3=（）A、180°B、360°C、540°D、720°7．（呼和浩特市）如图DE∥BC, EF∥AB, 图中与∠BFE互补的角共有（）A、3个B、2个C、5个D、4个谜底：1、62°2、111°3、54°4、B5、C6、B （提示：过E作EF∥AB（或连结AC）利用平行线间的同旁内角互补可知∠1+∠AEF=180°∠3+∠CEF=180°∴∠1+∠2+∠3=360°；7、D （提示：图中∠1、∠2、∠3、∠4都与∠BFE互补）．。
平行线的性质与判定综合题
直线平行的条件和性质1．三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线a ，b 被直线所截（1）∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线a ，b 的上方，叫做（位置相同）（2）∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线a ，b 之间（内），叫做（位置在内且交错）（3）∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线a ，b 之间（内），叫做。
（4）三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。
2.平行线的性质（1）两直线平行， 相等； （2）两直线平行， 相等； （3）两直线平行， 互补。
3.平行线的判定（1） 相等，两直线平行； （2） 相等，两直线平行； （3） 互补，两直线平行。
l l ll a bl1、了解同位角、内错角、同旁内角的概念，会找同位角、内错角、同旁内角2、会用同位角、内错角、同旁内角之间的数量关系来说明两直线平行3、能理解并区分平行线的性质和平行线的条件4、熟练地运用平行线的判定和性质正确的进行分析推理和计算5、综合应用判定、性质进行推理证明题型一：平行线的性质与判定的综合例1. 已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E＝∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由。
解：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）∴∠4＝∠5＝90°（）∴AD∥EG（）∴∠1＝∠E（）∠2＝∠3（）∵∠E＝∠3（已知）∴＝（）∴AD是∠BAC的平分线（）练习1. 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADB＝∠EFB＝90°，∴EF∥AD（），∴+∠2＝180°（）．又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3（），∴AB∥（），∴∠GDC＝∠B（）．例2. 如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1=∠2，试说明：FG//BC．练习1. 如图，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D. F，∠1=∠2.(1)DG与BA平行吗?为什么?(2)若∠B=51∘,∠C=54∘，求∠CGD的度数。
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6.如图，AB，CD，EF，MN均为直线，∠2=∠3=70°， ∠GPC=80°，GH平分∠MGB，求∠1的度数.
解：∵∠2=∠3=70°(已知)， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)， ∴∠BGP=∠GPC(两直线平行，内错角相等)， ∵∠GPC=80°(已知)， ∴∠BGP=80°(等量代换)， ∴∠BGM=180°-∠BGP=100°(平角的定 义)，
(完整版)《平行线的判定与性质的综合运用》教学课件
平行线的性质
第2课时 平行线的判定与性质的综合运用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
三、平行线的基本性质3
思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角
之间的数量关系？ 如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么?
解: ∵a//b （已知）,
A.80° B.65° C.60°
D.55°
3.如图，BD⊥AB，BD⊥CD，则∠a的度 数是（ A ） A.50° B.40° C.60° D.45°
4.已知AB∥DE，试问∠B，∠E，∠BCE有什么关系.请
完成填空：
A 解：过点C作CF∥AB， 则_∠__B__=_∠__1__ （ 两直线平行，内错角相等 ）. C
B
1
F
2
又∵AB∥DE，AB∥CF，
D
E
∴__C_F__∥__D_E____（平行于同一直线的两条直线平行 ）.
∴∠E＝∠__2__（两直线平行，内错角相等）.
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2（等式的性质），
即∠B＋∠E＝∠BCE．
5.已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G， ∠E=∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是， 请说明理由．
北师大八年级数学下册第七章7.3平行线的判定和性质综合应用
B
C
∴AB∥CD（同旁内角互 补，两直线平行） 你能说明AD∥BC吗？
如图甲所示
∵ ∠ADE＝ ∠DEF（已知）
∴ AD ∥ EF （内错角相等，两直线平行 ） 又∵ ∠EFC+ ∠C= 180 ° ∴ EF ∥ BC （ 同旁内角互补，两直线平行 ） ∴ AD ∥
BC
。
（平行于同一条直线的两条直线互相平行 ）
练习
1、观察右图并填空： (1)∠1 与 ∠4 是同位角; (2) ∠5 与 ∠3 是同旁内角; (3) ∠1 与 ∠2 是内错角;
m
2
n
3 5
a b
1
4
2、当图中各角满足下列 条件时,你能指出哪两条直线 平行? n (1) ∠1 = ∠4; a∥b. (2) ∠2 = ∠4; l∥m. (3) ∠1 + ∠3 = 180; l∥n .
m
l
4
a
2
1 3
b
看图填空：
C D
1
A 2
（1）如右图，∵∠1＝∠2
∴ AC∥ DE ，
3
E
( 内错角相等，两直线平行 )
∵∠2＝ ∠4 或 ∵∠3＋∠4＝180° ∴DE∥ FG ，( 同旁内角互补，两直线平行) ∴AC∥FG.
4 F
∴DE∥ FG（同位角相等，两直线平行）
B
G
看图填空：
(2)如右图，∵ ∠2=（ ∠4 ） A
C
A
B
（变式训练二）如果 AB∥CD ，且 ∠ B=∠D ， 你能推理得出AD∥BC吗？
题组训练（5） 1 B E G 3 4D C2 F H
A
如图，∠1= ∠2=45 °，∠3=70 °， 则∠4等于 （ B ） （A）70 ° （B）110 ° （C）45 ° （D）35°
平行线的判定与性质(含答案)-
22.平行线的判定与性质知识纵横在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线(parallel lines).角是平面几何图形中最活跃的元素,前面我们已学习过特殊角、•数量关系角等角的知识。
当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用。
与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1.由角定角 已知角的关系−−−→判定两直线平行−−−→性质确定其他角的关系.2.由线定线 已知两直线平行−−−→性质角的关系−−−→判定确定其他两直线平行.例题求解【例1】如图,AB ∥CD,AC ⊥BC,图中与∠CAB 互余的角有_______个.(2003年安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断。
解：3个 提示:分别为∠BCD,∠ABC,∠EBF. 【例2】如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交,图中的同旁内角共有( • ).A.4对B.8对C.12对D.16对 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手。
解：选D 提示:原图形可分解出如下8个基本图形.BFDG E C AB FHD GECA【例3】如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°,求证:AB∥EF思路点拨解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB或CD平行的直线。
解：过C点作CG∥AB,过点D作DH∥AB,可证得∠HDE=10°=∠DEF,故HD∥EF,•又HD∥AB,所以AB∥EF.【例4】如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线.•求证:∠EDF=∠BDF.思路点拨综合运用角平分线、垂直(vertical)的定义、平行线的判定与性质等知识,因图形复杂,故需恰当分解图形.解:提示:由DF∥CE得,∠BDF=∠BCE,∠FDE=∠DEC,由AC∥DE得,∠DEC=∠ECA【例5】探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?B F DE CAB FDECAB (a)DE CA B (b)DEC A(c)B D EC A B (d)F DG E C A F 2E nE 2F n-1F 1B(e)DE 1CA思路点拨:已知AB ∥CD,连结AB 、CD 的折线内折或外折；或改变E 点位置、•或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间。
平行线的判定及性质
平行线的判定及性质 Prepared on 22 November 2020平行线的判定及性质（一）【知识要点】一.余角和补角:1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等.四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行.2、内错角相等, 两直线平行.3、同旁内角互补, 两直线平行.4、同平行于一条条直线平行.5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等；2. 两直线平行, 内错角相等；3. 两直线平行, 同旁内角互补.【典型例题】一、余角和补角例1. 如图所示，互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________；变式训练：1. 一个角的余角比它的的13还少20o ，则这个角为_____________。
2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD是∠AOB 的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=12∠EOC, ∠DOE=72o, 求∠EOC 的度数。
二、“三线八角”例2 （1） 如图，哪些是同位角内错角同旁内角（2） 如图，下列说法错误的是（ ）A. ∠1和∠3是同位角B. ∠1∠5是同角C. ∠1和∠2是内角D. ∠5和∠6是内错角（3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,则图中共有ED CB A O AB C DE F1 2 3 4 567 8 2 3 4 5 6 11 23同位角 对，内错角 对，同旁内角 。
三、平行线的判定例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2∴ _____∥_____， （ ） ② ∵ ∠2＝_____∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180o∴ ____∥_____， （ ） ∴ AC ∥FG ， （ ）变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B∴ ∥_____， （ ） ∵ ∠1/∠2∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180o ，∴ AB ∥EF ( )例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，求AB ∥CD ,变式训练：如图，已知直线a 、b 、e ，且∠1=∠2，∠3+∠4=180o, 则a ∥c 平行吗五、平行线的性质例5 如图所示，AB ∥EF ，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，求 ∠BEC 的度数。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理3.掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成,对于给定的命题,能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交,三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地,重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等,两直线平行判定方法2：内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等,两直线平行判定方法3：同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补,两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行,同位角相等；性质2：两直线平行,内错角相等；性质3：两直线平行,同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句,叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……,那么…….”,也可写成：“若……,则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题,叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题,叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发,经过推理证实得到的另一个真命题,定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可．要点六、平移1.定义：在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置.2.性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离,平移不改变线段、角的大小,具体来说：1平移后,对应线段平行且相等；2平移后,对应角相等；3平移后,对应点所连线段平行且相等；4平移后,新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内,下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行;其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d,如果a∥b、c∥b、c∥d,则a∥d.2两条直线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截,同位角相等.4在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行．A．1个个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3.如图,给出下列四个条件：1AC＝BD；2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有.A．12B．34C．24D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°,第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°,第二次向左拐130°例4.如图所示,已知∠B＝25°,∠BCD＝45°,∠CDE＝30°,∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示,在∠BCD的内部作∠BCM＝25°,在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°,∠E＝10°已知,∴∠B＝∠BCM,∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM,EF∥DN内错角相等,两直线平行．又∵∠BCD＝45°,∠CDE＝30°已知,∴∠DCM＝20°,∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等,两直线平行．∵AB∥CM,EF∥DN已证,∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示,分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°,∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°,∴∠CNB ＝180°-∠NCB-∠B ＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE ＝30°,∴∠EDM ＝150°．又∵∠E ＝10°,∴∠EMD ＝180°-∠EDM-∠E ＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB ＝∠EMD 等量代换．所以AB ∥EF 内错角相等,两直线平行．变式3已知,如图,BE 平分ABD,DE 平分CDB,且1与2互余,试判断直线AB 、CD 的位置关系,请说明理由． 解：AB ∥CD,理由如下：∵BE 平分∠ABD,DE 平分∠CDB,∴∠ABD ＝2∠1,∠CDB ＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°,∴∠ABD+∠CDB ＝180°．∴AB ∥CD 同旁内角互补,两直线平行．变式4已知,如图,ABBD 于B,CDBD 于D,1+2=180°,求证：CD 1234//,//l l l l 答案48°,132°,48°变式6如图所示,直线l 1∥l 2,点A 、B 在直线l 2上,点C 、D 在直线l 1上,若△ABC 的面积为S 1,△ABD 的面积为S 2,则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B 类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题,如果是命题,是正确的还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交,有几个交点；③若a ∥b,b ∥c,则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式．1两直线平行,同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行,那么同位角相等.2如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角,那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示,将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置,若∠CAB ＝50°,∠ABC ＝100°,则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9上海静安区一模如图所示,三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB,∵CD∥AB,∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行,同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行,同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b,c∥d,所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上,另一边互相平行,则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图,能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCBD．CD⊥AB,GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°,第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°,第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°,第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°,第二次向左拐40°．5．如图所示,下列条件中,不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACEC．∠B＝∠ECDD．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的如图,1—4:从图中可知,小敏画平行线的依据有①两直线平行,同位角相等．②两直线平行,内错角相等．③同位角相等,两直线平行．④内错角相等,两直线平行．A.①②B.②③C.③④D.④①二、填空题7.在同一平面内的三条直线,它们的交点个数可能是________．8．如图,DF平分∠CDE,∠CDF＝55°,∠C＝70°,则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1,a2,a3…,a100,若a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4…,按此规律,a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°,则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C,如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行,则A、B、C 三点,其依据是12.如图,AB⊥EF于点G,CD⊥EF于点H,GP平分∠EGB,HQ平分∠CHF,则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图,∠1＝60°,∠2＝60°,∠3＝100°,要使AB∥EF,∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示,她想知道它的上下边缘是否平行,而小敏身边只有一个量角器,你能帮助她解决这一问题吗15．如图,把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠,已知∠ADB＝20°,那么∠BAF为多少度时,才能使AB′∥BD16．如图所示,由∠1＝∠2,BD平分∠ABC,可推出哪两条线段平行,写出推理过程,如果推出另两条线段平行,则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1.答案A解析只有④正确,其它均错．2.答案D3.答案B解析内错角相等,两直线平行．4.答案B5.答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6.答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7.答案0或1或2或3个；8.答案BC,DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°,而∠FDE＝∠CDF＝55°,所以∠CFD＝∠FDE．9.答案a1∥a100；解析为了方便,我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100,因为a1⊥a2∥a3,所以a1⊥a3,而a3⊥a4,所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9,a9∥a12∥a13,…,接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100,所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线,平行公理；解析此题考查是平行公理,它是论证推理的基础,应熟练应用．12.答案AB∥CD,GP∥HQ；。
北师大版数学七年级下册 平行线的判定与性质的综合应用教案与反思
第2课时平行线的判定与性质的综合应用师者，所以传道，授业，解惑也。
韩愈市实验学校陈思思【知识与技能】经历掌握平行线性质与判定的过程，能用它们进行简单的推理和计算.【过程与方法】经历观察、测量、推理、交流等活动，进一步提高推理能力.【情感态度】通过学习平行线性质和判定直线平行条件的联系与区别，让学生懂得事物既是普遍联系又是相互区别的辩证唯物主义思想．【教学重点】平行线的三条性质及简单应用.【教学难点】平行线的性质与平行线判定方法的区别.一、情景导入，初步认知在前几节课我们探究了如何去判别两条直线是平行的，即平行线的判定.下面我想请同学来回答一下有哪些方法可以判定两条直线平行？二、思考探究，获取新知请用学过的同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件填空：（1）因为∠1=∠5(已知)；所以a∥b（）.（2）因为∠4=∠ (已知)；所以a∥b（内错角相等，两直线平行）.（3）因为∠4+∠ =180°(已知)；所以a∥b（）.【教学说明】判定平行线的条件和平行线的性质是互逆的,对初学者来说易将它们混淆．因此,复习判定直线平行的条件能为后面学习性质做好准备.三、运用新知，深化理解1.见教材52例1、例2、例3，2.如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线（D）A.互相垂直B.互相平行C.互相重合D.以上均不正确3.如图已知∠1＝∠2，∠BAD＝∠BCD，则下列结论(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)∠B＝∠D；(4)∠D=∠ACB中正确的有（C）A.1个B.2个C.3个D.４个4.如图，如果∠1=∠2，那么∠2+∠3=180°吗？为什么？解：∵∠1=∠2，∴L1∥L2. ∴∠2+∠3=180°.5.如图，AB∥CD，BF∥CE，则∠B与∠C有什么关系？请说明理由.解：∵AB∥CD，∴∠B=∠1.∵BF∥CE，∴∠C=∠2.∵∠1+∠2=180°，∴∠B+∠C=180°.即∠B与∠C互补.6.如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，试探索∠BEF与∠EFC之间的关系，说明理由.解：∠BEF=∠EFC.理由如下：分别延长BE.DC相交于点G.∵AB∥CD，∴∠1=∠G（两直线平行，内错角相等）.∵∠1=∠2，∴∠2=∠G，∴BE∥FC.∴∠BEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）.【教学说明】通过练习及时巩固所学知识，进一步激发学生的探究兴趣，灵活运用所学知识解决一些数学问题.四、师生互动，课堂小结通过刚才的应用，大家能谈一谈今天学习的平行线的性质和上一节判定直线平行的条件有什么不同么？五、教学板书1.布置作业:教材习题2.6”中第1、2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.在平行线的性质这一课时中，重点内容为平行线性质的探究及应用，所以在授课过程中应将着眼点放在学生对性质的理解上，并强化学生基于性质之上的应用，使学生掌握并进行实际应用.在挖掘概念的过程中提炼出内容的实质并注重知识的落实.【素材积累】1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。
北师大版数学七年级下册第2课时平行线性质与判定的综合运用课件
第二章 相交线与平行线
2.3 平行线的性质
第2课时 平行线性质与判定的综合运用
复习回顾 思考1 平行线的判定与性质之间的关系.
同位角_相__等_ 内错角相__等__ 同旁内角_互__补_
判定 性质
两条直线平行
思考2 平行线的其他判定方法，请用几何语言表示.
a 如果 a∥b，b∥c， b 那么 a∥c.
A．35°
B．70°
C．90° D．110°
解析：由∠1 =∠2，
可根据“同位角相等，两直线平行”，
判断出 a∥b，可得∠3 =∠5.
再根据邻补角互补可以计算出∠4 的度数．
3. 如图，AE∥CD，若∠1 = 37°，∠D = 54°，求∠2 和 ∠BAE 的度数.
解：因为 AE∥CD， 根据“两直线平行，内错角相等”， 所以∠2 = ∠1 = 37°. 根据“两直线平行，同位角相等”， 所以∠BAE = ∠D = 54°.
解：因为 a∥b， 根据“两直线平行，内错角相等”，
13 a
所以 ∠2 =∠1 = 107°.
2
因为 c∥d，
c
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
b d
所以 ∠1+∠3 = 180°，所以∠3 = 73°.
练一练 1. (1)如图1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写根据.
c
探究新知
1 平行线的性质与判定的综合应用
例1 根据如图所示回答下列问题：
（1）若∠1 =∠2，可以判定哪两条直线平行？根据
是什么？
A
M
解：(1)∠1 与∠2 是内错角，若∠1 =∠2，
数学六年级下册第五章-平行线的判定与性质的综合运用-课件与答案
角______
(3)两直线
∵ a∥ b ,
平行,同旁
∠1+∠2=180°
∴_______
互补
内角_____
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内错角
相等
,
两直线平行
第五章
5.3
∵∠1=∠2 ,
∴_______
a∥b
同旁内角
∠1+∠2=180°
∵
,
互补 ,
a∥b
∴_______
两直线平行
数学
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解:∵∠A=∠1,
∴AC∥DF.
∴∠C=∠DGB.
又∵∠C=∠F,
∴∠F=∠DGB.
∴BC∥EF.
第五章
5.3
数学
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第五章
4.如图,AB∥CD,∠B=115°,∠C=45°.求∠BEC的度数.
5.3
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解:如图,过点E作EF∥AB.
∵EF∥AB,
∴∠BEF+∠B=180°.
平行的?
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第五章
5.3
解:两个镜子MN与PQ是平行的,根据两直线平行,内错角
相等得∠2=∠3.
又∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴180°-(∠1+∠2)=180°-(∠3+∠4),
即∠5=∠6.
根据内错角相等,两直线平行,可得AB∥CD.
∴开始进入和最后离开潜望镜的光线是平行的.
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(2)解:∵DE∥AB,
∴∠D=∠ABC=∠ABG+∠GBC.
∵∠D=100°,
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综合运用
课前回顾
平行线的判定：
1，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 2，同位角相等，两直线平行； 3，内错角相等，两直线平行； 4，同旁内角互补，两直线平行； 5，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
平行线的性质：
1，两直线平行，同位角相等； 2，两直线平行，内错角相等； 3，两直线平行，同旁内角互补。
8，如图，AB//CD,<1=<2，试说明：<E=<F.
9,如图，<ABC=<ACB,BE平分<ABC,CD平分<ACB,<EBF=<F,试说明：CD//EF.
10，如图，<1=<2，<C=<D,试说明：DF//AC
小结:
通过本节课的学习你有哪些收获？ 你还有哪些疑惑？
我思,我进步 1
思考？
1，如图，AB,CD相交于点O,<C=<AOC,<D=<BOD,<A=40度，求<B的度数
2，如图，在四边形ABCD中，CD//AB,CB//AD. (1)试说明<B=<D; (2)若AC平分<BAD,那么AC平分<BCD吗？
3，如图，AB⊥BD于点B,CD ⊥BD于点D,<1+<2=180度， 试问CD与EF平行吗？为什么？
Hale Waihona Puke 4，如图，若AB//CD,你能确定<B,<D与<BED之间的数量关系吗？试说明理由。
5，如图，AB//CD,探索<B,<D与<BED之间的数量关系？并说明理由。
6，如图，是一大门的栏杆，BA垂直于地面AE于A,CD平行于地面AE,则 <ABC+<BCD的度数为（ ）
7，如图，AD ⊥BC于点D,EG ⊥BC于点G,AD平分<BAC,试说明<3=<E.