【小初高学习】2019高考数学一轮复习课时规范练45点与直线两条直线的位置关系理新人教B版
2019高三数学(北师大版理科)一轮训练题课时规范练45 两条直线的位置关系 Word版含解析
课时规范练两条直线的位置关系
基础巩固组
.过点()且与直线平行的直线方程是()
.“”是“直线和直线互相垂直”的()
.充分不必要条件
.必要不充分条件
.充要条件
.既不充分也不必要条件
.(广东揭阳一模)若直线与直线()平行,则的值为()
或
.(浙江温州模拟)直线()和:()()互相垂直,则()
或或
或或
.已知平行四边形的一条对角线固定在()()两点,点在直线上移动,则点的轨迹方程为()
.(广西南宁模拟)直线关于直线对称的直线方程是()
.若动点分别在直线和上移动,则的中点到原点的距离的最小值为()
.如图所示,已知两点()(),从点()射出的光线经直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程是()
〚导学号〛
.经过两条直线的交点,且与直线平行的直线的一般式方程为.
.(宁夏银川模拟)点()到直线(∈)的最大距离是.
.已知点()关于直线对称的点是(),则直线在轴上的截距是.
.(江西八校联考)已知点()到()和()的距离相等,则的最小值为.
综合提升组
.若向量()与向量()共线,则直线必经过定点()。
高考数学一轮复习 专练45 两条直线的位置关系及距离公式(含解析)文 新人教版-新人教版高三全册数学
专练45 两条直线的位置关系及距离公式命题X 围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离[基础强化]一、选择题1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝02．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12 B.32C.14D.343．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝07．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n＝( )A．0 B．1C．－2 D．－18．[2020·某某某某一中高三测试]三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值X围是( )A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10D．k∈R且k≠±5，k≠19．直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )A．3x－2y－4＝0B．x＝2或3x－2y－4＝0C．x＝2或x－2y＝0D．x＝2或3x－2y－8＝0二、填空题10．若曲线y＝a x(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则A到直线x＋y－3＝0的距离为________．11．若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________.12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________.[能力提升]13．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为( )A．1 B．2C．2 2 D．2 314．[2020·某某某某高三测试]当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m 的值为( )A. 2 B．0C．－1 D．115．已知直线l过点(5,10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程为________．16．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线方程是____________．专练45 两条直线的位置关系及距离公式1．A 设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1,0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．D ∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．A 由两条直线平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a a －1＝6，27－a ≠2a －1a ，得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12， ∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0， 故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．B 由点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，得|1＋3×3＋C |12＋32＝|4＋C |2＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．A 过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线即y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．C ∵l 1∥l 2，∴12＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0∴|m ＋3|12＋－22＝|m ＋3|5＝5，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．B 解法一 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，依题意可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，因为P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，所以|4k －2＋1－2k |＝|4＋1－2k |，解得k ＝32，则直线l 的方程为3x －2y －4＝0，故选B.解法二 由题意知，所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点或与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行．当所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x＝2；当所求直线与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行时，由k PQ ＝－4－20－4＝32，得直线l 的方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0，故选B. 10. 2解析：由题意得A (0,1)，由点A (0,1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12＝ 2.11．2或－1解析：因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且2(a 2－1)＋6(a －1)≠0，即a 2－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.12. 2 解析：由题意可知，k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1， 故|AB |＝5－42＋b －a 2＝ 2. 13．B 因为直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，所以(b 2＋1)－ab2＝0.又因为b >0，所以ab ＝b ＋1b≥2，当且仅当b ＝1时等号成立．故选B. 14．C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q (2,1)，所以点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，PQ 垂直直线，即m ·2－13－2＝－1，∴m ＝－1，故选C. 15．x －5＝0或3x －4y ＋25＝0解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.16．2x ＋y ±5＝0解析：设与直线2x ＋y ＋1＝0平行的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠1)，∵直线2x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，∴圆心(0,0)到直线的距离为5，∴|m |5＝5，∴m ＝±5，∴所求的直线方程为2x ＋y ±5＝0.。
新课标2023版高考数学一轮总复习课时质量评价44两直线的位置关系距离公式
课时质量评价(四十四)A组 全考点巩固练1．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为( )A．0 B．1C．0或1 D．－1或1C 解析：直线l1的斜率k1＝＝a．当a≠0时，直线l2的斜率k2＝＝．因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1．当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，此时直线l2为y轴，又A(－2,0)，B(1,0)，则直线l1为x轴，显然l1⊥l2．综上可知，实数a的值为0或1．2．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )A．1 B．C． D．2B 解析：设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l过定点B(－1,0)，知当AB⊥l 时，距离最大，最大值为．故选B．3．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为( )A．－12 B．－14C．10 D．8A 解析：由直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，得2m－20＝0，m ＝10．直线10x＋4y－2＝0过点(1，p)，有10＋4p－2＝0，解得p＝－2．点(1，－2)又在直线2x－5y＋n＝0上，则2＋10＋n＝0，解得n＝－12．故选A．4．(多选题)直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )A．3x－2y－4＝0 B．x＝2C．x－2y＝0 D．3x－2y－8＝0AB 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0．因为P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k ＝，则直线l的方程为3x－2y－4＝0．故选AB．5．已知A(1,6)，B(0,5)，作直线l，使得点A，B到直线l的距离均为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是( )A．d≥1 B．0＜d＜1C．0＜d≤1 D．0＜d＜2B 解析：A，B两点到直线l的距离相等，这样的直线有两类，第一类是过线段AB 的中点的直线；第二类是与直线AB平行的直线．而|AB|＝＝2，要使满足条件的直线l有4条，只需要0＜d＜|AB|＝1．6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0D 解析：设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0．7．(2021·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．6x－y－6＝0 解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0．8．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．x＋2y－3＝0 解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．9．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝．设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝＝，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0．设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝＝，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0．B组 新高考培优练10．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为( )A． B．C． D．2A 解析：直线l1，l2恒过点P(2,4)，直线l1在y轴上的截距为4－k，直线l2在x轴上的截距为2k2＋2．因为0＜k＜4，所以4－k＞0,2k2＋2＞0，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故当k＝时，面积最小．11．一条经过点A(－4,2)的入射光线l的斜率为－2，若入射光线l经x轴反射后与y 轴交于点B，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )A．16 B．12C．8 D．6B 解析：设直线l与x轴交于点C，因为l的方程为y－2＝－2(x＋4)，令y＝0，得点C的坐标为(－3,0)，从而反射光线所在直线的方程为y＝2(x＋3)，令x＝0得B(0,6)，所以△AOB的面积S＝×6×4＝12．12．已知A(－2,1)，B(1,2)，点C为直线y＝x上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为( )A．2 B．2C．2 D．2C 解析：设B关于直线y＝x的对称点为B′(x0，y0)，则解得所以B′(2，－1)．由平面几何知识得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝＝2．故选C．13．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，则直线l 的方程为___________．y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0 解析：当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x．当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．14．已知直线y＝2x是△ABC中∠ACB的平分线所在的直线．若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标是___________．(2,4) 解析：设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得所以BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0．同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，所以AC所在直线方程为y－2＝·(x＋4)，即x－3y＋10＝0．联立得解得则C(2,4)．15．已知直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，其中m∈R．(1)求证：直线恒过定点；(2)当m变化时，求点Q(3,4)到直线的距离的最大值及此时的直线方程；(3)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．(1)证明：直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立，所以解得所以直线恒过定点(－1，－2)．(2)解：设定点为P(－1，－2)．当m变化时，PQ⊥直线l时，点Q(3,4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，即＝2．此时直线过点P(－1，－2)且与PQ垂直，所以－·＝－1，解得m＝．故直线的方程为2x＋3y＋8＝0．(3)解：由于直线经过定点P(－1，－2)，直线的斜率k存在且k≠0，因此可设直线的方程为y＋2＝k(x＋1)，可得与x轴、y轴的负半轴分别交于A，B(0，k－2)两点，＜0，k－2＜0，解得k＜0．所以S△AOB＝××(2－k)＝≥2＋×2＝4，当且仅当k＝－2时取等号．此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，可化为2x＋y＋4＝0．。
高考数学总复习第八章解析几何课时作业45两直线的位置关系文(含解析)新人教A版
高考数学总复习第八章解析几何课时作业45两直线的位置关系文（含解析）新人教A 版课时作业45 两直线的位置关系1．已知直线l 1：(m －4)x －(2m ＋4)y ＋2m －4＝0与l 2：(m －1)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，则“m ＝－2”是“l 1∥l 2”的( B )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ＝－2，则l 1：－6x －8＝0，l 2：－3x ＋1＝0，∴l 1∥l 2.若l 1∥l 2，则(m －4)(m ＋2)＋(2m ＋4)(m －1)＝0，解得m ＝2或m ＝－2.∴“m ＝－2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选B.2．(2019·新疆乌鲁木齐模拟)直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)，则过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程是( A )A ．2x ＋3y －2＝0B ．3x ＋2y －2＝0C ．3x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y ＋2＝0解析：∵直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)，∴2a 1＋3b 1＝2,2a 2＋3b 2＝2，∴过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＝2，即2x ＋3y －2＝0，故选A.3．(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( B ) A ．7 B.172 C ．14D ．17解析：直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)， 即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10， 所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.4．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( D ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0解析：法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0， 即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0， 又直线过点(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0， 解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.5．(2019·安阳一模)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( D )A ．(5，＋∞)B ．(0,5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为－1－22＋[2－－3]2＝34，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]．6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( A )A.345B.365 C.283D.323解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.7．(2019·山西临汾模拟)设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ；P ，Q 分别为l 1，l 2上的点，点M 为PQ 的中点，若AM ＝12PQ ，则m 的值为( A )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：在△APQ 中，M 为PQ 的中点，且AM ＝12PQ ，∴△APQ 为直角三角形，且∠PAQ ＝90°，∴l 1⊥l 2，∴1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2，故选A.8．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)， ∴所求方程为2x ＋3y ＋12＝0.故选D.9．设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( C )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝bsin B，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.10．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( B )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10， 故选B.11．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为6x －y －6＝0.解析：先利用两直线垂直的性质求出点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点，再利用两点式求出反射光线所在直线的方程．设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3×1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －0＝6－02－1(x －1)，即6x －y －6＝0.12．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.解析：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)， ∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.13．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＞|Ax 2＋By 2＋C |，则( C )A ．直线l 与直线P 1P 2不相交B ．直线l 与线段P 2P 1的延长线相交C ．直线l 与线段P 1P 2的延长线相交D ．直线l 与线段P 1P 2相交解析：由题可知，(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0表示两点在直线的同侧． 因为|Ax 1＋By 1＋C |＞|Ax 2＋By 2＋C |， 所以|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2＞|Ax 2＋By 2＋C |A 2＋B 2，所以P 1到直线的距离大于P 2到直线的距离， 所以直线l 与线段P 1P 2的延长线相交，故选C.14．(2019·安徽安庆模拟)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线间距离的最大值为( B )A.24B.22C.12D. 2解析：因为a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以a ＋b ＝－1，ab ＝c . 因为直线x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0之间的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝a ＋b 2－4ab 2＝1－4c2， 因为0≤c ≤18，所以12≤1－4c ≤1，所以14≤1－4c 2≤12，即d 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，所以这两条直线之间的距离的最大值为22，故选B.15．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为( B )A.92B.94 C ．1D ．9解析：动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －2＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3， ∴4－12＋0－m2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝2.又a ＞0，c ＞0，∴12a ＋2c ＝12(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.16．已知x ，y 为实数，则代数式1＋y －22＋9＋3－x2＋x 2＋y 2的最小值是41.解析：如图所示，由代数式的结构可构造点P (0，y )，A (1,2)，Q (x,0)，B (3,3)，则1＋y－22＋9＋3－x2＋x2＋y2＝|PA|＋|BQ|＋|PQ|.分别作点A关于y轴的对称点A′(－1,2)，点B关于x轴的对称点B′(3，－3)，则1＋y－22＋9＋3－x2＋x2＋y2≥|A′B′|＝41，当且仅当P，Q为A′B′与坐标轴的交点时，等号成立，故最小值为41.。
数学一轮复习课后限时集训49两条直线的位置关系理含解析
课后限时集训(四十九）两条直线的位置关系建议用时：40分钟一、选择题1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定C[直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－错误!,则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.]2．已知过点A(－2，m）和B（m，4)的直线为l1，直线2x ＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为（）A．－10 B．－2C．0 D．8A[因为l1∥l2，所以k AB＝错误!＝－2。
解得m＝－8。
又因为l2⊥l3，所以－错误!×（－2)＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10。
］3．经过两直线l1：2x－3y＋2＝0与l2:3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是()A．x－2y＋9＝0 B．4x－2y＋9＝0C．2x－y－18＝0 D．x＋2y＋18＝0C[由错误!解得错误!所以直线l1，l2的交点坐标是（14,10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线l的方程为4x－2y＋C＝0(C≠7)．因为直线l过直线l1与l2的交点(14,10），所以C＝－36.所以直线l的方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0。
故选C。
] 4．若直线l1：x＋3y＋m＝0（m〉0）与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为错误!，则m＝（）A．7 B．错误!C．14 D．17B[直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，所以｜2m＋3|4＋36＝错误!,求得m＝错误!.］5．一只虫子从点(0，0）出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A（1，1)，则虫子爬行的最短路程是(）A。
错误!B．2C．3 D．4B［点(0,0）关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1，1），则最短路程为错误!＝2。
【人教课标A版】【理科数学】高考一轮复习精品课件第45讲 两直线的位置关系与
如：下列两条直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0的交 (-2,2) ． 点是________
第45讲 │ 知识梳理
3．两种距离 (1)点到直线的距离 |Ax0＋By0＋C| P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝___________ A2＋B2 . 这个式子对A＝0或B＝0时的特殊情况下的直线仍然成立， 此时可以直接画出图形，观察即可得出．如：点P(－1,2)到直线 2 y＝4的距离为d＝________. (2)两平行线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0的距
|C1－C2|
离为d＝________ A2＋B2 .
第45讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1 两直线的位置关系 例1 已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：2x－(1－m)y＋2＝0. (1)m为何值时，l1∥l2? (2)m为何值时，l1⊥l2? (3)当l1⊥l2时，求l1、l2与x轴围成的三角形的面积.
第45讲 │ 两直线的位置关系与点到直线的距离
第45讲 两直线的位置关系与 点到直线的距离
第45讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．两直线平行与垂直的判定 (1)两条直线的平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有 k1=k2 ；当l 和l 的斜率都不存在时，l 与l 也是平行关 l1∥l2⇔________ 1 2 1 2 系；当两条直线的方向向量平行时，这两条直线也互相平行． (2)两条直线的垂直 如果两直线l1，l2的斜率存在，设为k1和k2，有l1⊥l2⇔ k1k2=-1 ；当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时， ________ 这两条直线也互相垂直；当两条直线的方向向量垂直时，这两 条直线也互相垂直．
高考数学一轮复习专题训练—两直线的位置关系
两直线的位置关系考纲要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.1．两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． 2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合．(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在．2．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235 B ．2310C ．7D ．72答案 D解析 由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72. 3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.4．(2021·银川联考)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8答案 B解析 ∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1，∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0的方程即为5x ＋2y －1＝0. 将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0， 解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12. ∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选B.5．(2020·淮南二模)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0,3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 法一 由题意可设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)， 则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号． 故所求最小值是4.法二 设P ⎝⎛⎭⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.考点一 两直线的平行与垂直【例1】 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6，可得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23.法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.感悟升华 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 【训练1】 (1)(2020·宁波期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0. (2)由题意知 m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(2020·淮南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，－1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－13，12(2)(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[0,10]解析 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2k ＋1＝0，2x ＋y －2＝0，解得x ＝1－2k 2＋k ，y ＝2＋6k2＋k(k ≠－2)．∵直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限， ∴1－2k 2＋k >0，且2＋6k2＋k >0. 解得－13<k <12.故选D.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．感悟升华 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为对应相等．【训练2】 (1)(2021·贵阳诊断)与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________． 答案 (1)C (2)5x ＋3y －1＝0解析 (1)设与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠－1)， ∴|－1－m |22＋12＝55，解得m ＝0或m ＝－2. ∴与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0. (2)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.考点三 对称问题角度1 点关于点对称【例3】 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.感悟升华 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于M (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .2．直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．角度2 点关于线对称【例4】 一束光线经过点P (2,3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，则入射光线所在直线的方程为________． 答案 5x －4y ＋2＝0解析 设点Q (1,1)关于直线l 的对称点为Q ′(x ′，y ′)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ′－1x ′－1＝1，x ′＋12＋y ′＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2， 即Q ′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q ′在入射光线所在的直线上，又k PQ ′＝3－－22－－2＝54， ∴入射光线所在直线的方程为y －3＝54(x －2)，即5x －4y ＋2＝0.感悟升华 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.2．几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． 角度3 线关于线对称【例5】 (1)(2021·成都诊断)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x －4y ＋5＝0 B ．3x －4y －5＝0 C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．答案 (1)D (2)x －2y ＋3＝0解析 (1)设所求直线上点的坐标(x ，y )，则关于x 轴的对称点(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.感悟升华 求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程．(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程．【训练3】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二 设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.活用直线系方程具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．一、相交直线系方程【例1】 已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 法一 解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0,2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 法二 设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三 设所求直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.二、平行直线系方程【例2】 已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程．解 设直线l 1的方程为x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是x －3y ±43＝0. 【例3】 已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程．解 法一 设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4， b ＝－3.故l 的方程为x 4－y 3＝1，即3x －4y －12＝0. 法二 根据平行直线系方程可设直线l 为3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c 4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为3x －4y －12＝0. 三、垂直直线系方程【例4】 求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.思维升华 直线系方程的常见类型1．过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)；2．平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；3．垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2).A 级 基础巩固一、选择题1．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A. 2B ．2－ 2 C.2－1D ．2＋1答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1. 解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.2．(2021·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－4x －7B ．y ＝4x －7C ．y ＝4x ＋7D ．y ＝－4x ＋7 答案 D解析 过点(0,7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.4．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为() A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．2 3 答案 B解析 由已知两直线垂直可得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b >0，所以ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，所以(ab )min ＝2.故选B.5．坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B ．⎝⎛⎭⎫－45，－85C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D ．⎝⎛⎭⎫45，85答案 A解析 设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，85.6．(2020·上海浦东新区期末)直线x －2y ＋2＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x ＋y －4＝0答案 A解析 设P (x ，y )为所求直线上的点，该点关于直线x ＝1的对称点为(2－x ，y )，且该对称点在直线x －2y ＋2＝0上，代入可得x ＋2y －4＝0.故选A.7．(2021·豫西五校联考)过点P (1,2)作直线l ，若点A (2,3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．4x ＋y －6＝0或x ＝1B ．3x ＋2y －7＝0C ．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0D ．3x ＋2y －7＝0或x ＝1答案 C解析 若A ，B 位于直线l 的同侧，则直线l ∥AB .k AB ＝3＋52－4＝－4，∴直线l 的方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；若A ，B 位于直线l 的两侧，则直线l 必经过线段AB 的中点(3，－1)，∴k l ＝2－－11－3＝－32， ∴直线l 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0. 综上，直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0，故选C.8．(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－3，b ＝16 C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－13，b ＝－6 答案 D解析 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0,2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上， 所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13. 二、填空题 9．(2021·南昌联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．答案 x ＋2y －3＝0解析 由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 10．直线x －2y －3＝0关于定点M (－2,1)对称的直线方程是________．答案 x －2y ＋11＝0解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2,1)的对称点(－4－x,2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.11．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________．答案 2910解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 12．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 答案 25解析 因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－2－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S 四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝1－42＋5－12×0－42＋－2－12＝25.B 级 能力提升13．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝3x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝－x 2＋52 答案 C解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A ″(－1,3)，由角平分线的性质可知，点A ′，A ″均在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.故选C.14．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215 答案 B解析 由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.故选B.15．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，若点A (5,0)到直线l 的距离为3，则l 的方程为________．答案 x ＝2或4x －3y －5＝0解析 法一 两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x －2＝0， 此时A 到直线l 的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0. 由点到线的距离公式得d ＝|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0. 综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.16．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 答案 2解析 因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，函数y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x (x >0)，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.。
2019大一轮高考总复习文数课时作业提升45 两直线的位
课时作业提升(四十五) 两直线的位置关系A 组 夯实基础1．(2018·遵义四中月考)“a ＝2”是“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D a ＝2时，直线2x ＋3y －1＝0和直线6x ＋4y －3＝0不垂直，不是充分条件；直线ax ＋3y －1＝0和直线6x ＋4y －3＝0垂直时，可得a ＝－2，所以不是必要条件，故选D ．2．(2018·清远模拟)已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．6D ．1或2解析：选C ∵直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0的斜率都存在，且l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，即－a2＝3－a ，解得a ＝6.故选C ．3．(2018·新乡一中月考)若m ，n 满足m ＋2n －1＝0，则直线mx ＋3y ＋n ＝0过定点( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，16 B ．⎝⎛⎭⎫12，－16 C ．⎝⎛⎭⎫16，－12 D ．⎝⎛⎭⎫－16，12 解析：选B ∵m ＋2n －1＝0，∴m ＋2n ＝1. ∵mx ＋3y ＋n ＝0，∴(mx ＋n )＋3y ＝0， 当x ＝12时，mx ＋n ＝12m ＋n ＝12，∴3y ＝－12，∴y ＝－16，故直线过定点⎝⎛⎭⎫12，－16.故选B ． 4．(2017·成都五校联考)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1B ． 2C ．22D ． 3解析：选B 过点P 作y ＝x －2的平行直线，当所作直线与曲线y ＝x 2－ln x 相切时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．设P (x 0，x 20－ln x 0)，则有k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0. ∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.故选B ．5．(2018·湖北沙市中学测试)如图所示，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．33D ．2 5解析：选A 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，则点P 关于直线AB 的对称点为P 1(4,2)，P 关于y 轴的对称点为P 2(－2,0)，由光的反射原理可知P 1，M ，N ，P 2四点共线，则光线所经过的路程是|P 1P 2|＝(4＋2)2＋22＝210.6．(2017·长春二模)已知点A (1,0)，B (3,0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足P A ⊥PB ，则k 的取值范围是__________.解析：方法一 设P (x 0，kx 0＋1)， 依题意可得k P A ·k PB ＝－1， 即kx 0＋1x 0－1×kx 0＋1x 0－3＝－1， 即(k 2＋1)x 20＋(2k －4)x 0＋4＝0， 则Δ＝(2k －4)2－16(k 2＋1)≥0， 化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－43，0. 方法二 若直线y ＝kx ＋1上存在点P ，满足P A ⊥PB ， 则直线y ＝kx ＋1与以AB 为直径的圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点， 故|2k ＋1|1＋k 2≤1，即3k 2＋4k ≤0，故－43≤k ≤0，k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0.答案：⎣⎡⎦⎤－43，0 7．(2018·长沙一模)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________.解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝08．(2017·湖南东部十校联考)求经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程．解：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎨⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， ∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝⎛⎭⎫x ＋53， 即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0可解得交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， 代入4x －3y ＋m ＝0得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线的方程为 (2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，①又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.B 组 能力提升1．(2018·烟台调研)设曲线y ＝x ＋1x －1在(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12解析：选B 因为y ′＝x －1－x －1(x －1)2＝－2(x －1)2， 所以曲线在(3,2)处切线斜率k ＝y ′|x ＝3＝－12.又切线与ax ＋y ＋1＝0垂直， 所以－a ·k ＝－1，a ＝－2.2．(2017·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：选D 由ax ＋y ＋3a －1＝0， 可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1， ∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)， 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D ．3．(2017·豫北重点中学联考)已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________．解析：当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|1＋k 2＝2，解得k ＝－7或k ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0. 答案：y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝04．如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解：与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0. 设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0， 即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0. 又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.5．(2017·湖北十堰模拟)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，l 2：4x －2y －1＝0和l 3：x ＋y －1＝0，且两平行直线l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求P 点坐标；若不能，说明理由．解：(1)l 2的方程可化为2x －y －12＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510，∴⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，∴⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， ∵a ＞0，∴a ＝3.(2)能．假设存在满足题意的P 点． 设点P (x 0，y 0)，因为P 点满足条件②，所以P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y ＋C ＝0上，其中C 满足|C －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪C ＋125，C ≠3且C ≠－12，则C ＝132或C ＝116，∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.因为P 点满足条件③， 所以由点到直线的距离公式得 |2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.∵P 点在第一象限，∴3x 0＋2＝0不满足题意． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718，∴存在满足题意的P 点，且P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718.。
2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 43点与直线、
考点规范练43点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2017浙江杭州二模)设k1,k2分别是两条不同直线l1,l2的斜率,则“l1∥l2”是“k1=k2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.过点(1,2)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为()A.x-2y+4=0B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0D.x-2y+5=03.(2017浙江金华四校联考)直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m=()A.2B.-3C.2或-3D.-2或-34.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为()A.-4B.20C.0D.245.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.设直线l1:(a+1)x+3y+2=0,直线l2:x+2y+1=0,若l1∥l2,则a=,若l1⊥l2,则a=.7.点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是.8.(2017浙江宁波测试)点(2,1)关于点(-1,-1)的对称点坐标为;关于直线x-y+1=0的对称点为.能力提升组9.(2017浙江吴越联考)已知a,b都是正实数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直,则2a+3b的最小值为()A.12B.10C.8D.2510.(2017浙江丽水调研)已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为()A.(3,)B.(2,)C.(1,)D.11.若在平面直角坐标系内过点P(1,)且与原点的距离为d的直线有两条,则d的取值范围为()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,4)12.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为()A.6x-y-6=0B.x-6y-6=0C.6x-y-1=0D.x-6y-1=0,B={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},若A∩B=⌀,则a的值为() 13.已知集合A=--A.{-1,1}B.{-4,-1,1}C.-D.--14.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标是.15.(2017浙江金丽二模)直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点,P(1,1)到该直线的距离最大值为.16.(2017浙江新高考冲刺卷)已知m∈R,若点M(x,y)为直线l1:my=-x和l2:mx=y+m-3的交点,l1和l2分别过定点A和B,则|MA|·|MB|的最大值为.17.(1)求点A(3,2)关于点B(-3,4)的对称点C的坐标;(2)求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程;(3)求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标.18.已知三角形的一个顶点A(4,-1),它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1:x-y-1=0和l2:x-1=0,求BC边所在直线的方程.答案：1.C因为l1,l2是两条不同的直线,所以若l1∥l2,则k1=k2,反之,若k1=k2,则l1∥l2.故选C.2.C直线2x+y-5=0的斜率为-2,所以所求直线的斜率为,又直线过点(1,2),所以所求直线方程为x-2y+3=0.3.C直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有-,故m=2或-3.故选C.4.A由两直线垂直得-=-1,∴a=10,将垂足坐标代入ax+4y-2=0,得c=-2,再代入2x-5y+b=0,得b=-12,∴a+b+c=-4.5.A设AC的中点为O,则O-设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则---由3x0-y0+1=0得3x-y-20=0.6-7直线l1:(a+1)x+3y+2=0,直线l2:x+2y+1=0,分别化为y=-x-,y=-x-若l1∥l2,则-=-,解得a=若l1⊥l2,则--=-1,解得a=-7.7.2直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|=-=2所以点P(2,1)到直线l的最大距离为28.(-4,-3)(0,3)设点(2,1)关于点(-1,-1)的对称点为(x0,y0),则--即--即所求对称点为(-4,-3).设点(2,1)关于直线x-y+1=0的对称点为(x1,y1),则----解得故所求对称点为(0,3).9.D∵a,b都是正实数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直,∴2b-(b-3)a=0,变形可得3a+2b=ab,两边同除以ab可得=1,∵a,b都是正实数,∴2a+3b=(2a+3b)=13+13+2=25,当且仅当,即a=b=5时,上式取到最小值25,故选D.10.C直线l1的斜率为k1=tan 30°=,因为直线l2与直线l1垂直,所以k2=-=-,所以直线l1的方程为y=(x+2),直线l2的方程为y=-(x-2).两式联立,解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1,).故选C.11.B设直线的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0,原点到该直线的距离d=-,即(d2-1)k2+2k+d2-3=0,因为直线与原点的距离为d的直线有两条,所以方程(d2-1)k2+2k+d2-3=0有两个不相等的实数根,所以Δ=(2)2-4(d2-1)(d2-3)>0,化简得d2(d2-4)<0,解得0<d<2.12.A设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以------解得又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为----,即6x-y-6=0.13.D集合A,B分别为平面xOy上的点集,直线l1:(a+1)x-y-2a+1=0(x≠2),l2:(a2-1)x+(a-1)y-15=0.由-------解得a=±1.(1)当a=1时,显然有B=⌀,所以A∩B=⌀;(2)当a=-1时,集合A为直线y=3(x≠2),集合B为直线y=-,两直线平行,所以A∩B=⌀;(3)由l1可知(2,3)∉A,当(2,3)∈B时,即2(a2-1)+3(a-1)-15=0,可得a=或a=-4,此时A∩B=⌀.综上所述,当a=-4,-1,1,时,A∩B=⌀.14.(-4,0)AB的中点坐标为(1,2),线段AB的垂直平分线方程为y=x+,将其与欧拉线方程联立,解得外心(-1,1).设C(a,b),则重心,有+2=与(a+1)2+(b-1)2=(2+1)2+(0-1)2=10,联立方程得-或(不合题意,舍去),即C(-4,0).15.(-2,3)直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)可化为λ(y-3)+x+2=0,令-解得-∴直线l恒过定点Q(-2,3),∴P(1,1)到该直线的距离的最大值为|PQ|=16.5动直线l1:my=-x过定点A(0,0),动直线l2:mx=y+m-3化为m(x-1)-(y-3)=0,过定点B(1,3).∵此两条直线互相垂直,∴|MA|2+|MB|2=|AB|2=10,∴10≥2|MA|·|MB|,∴|MA|·|MB|≤5,当且仅当|MA|=|MB|时取等号.故答案为5.17.解(1)设C(x,y),由中点坐标公式得-解得-故所求的对称点的坐标为C(-9,6).(2)设直线l上任一点为(x,y),它关于点P(2,-1)的对称点(4-x,-2-y)在直线3x-y-4=0上,则3(4-x)-(-2-y)-4=0.即3x-y-10=0.故所求直线l的方程为3x-y-10=0.(3)设B(a,b)是A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点,根据直线AB与已知直线垂直,且线段AB的中点在已知直线2x-4y+9=0上,则有----解得故所求的对称点的坐标为(1,4).18.解A不在这两条角平分线上,因此l1,l2是另两个角的角平分线.点A关于直线l1的对称点A1,点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上.设A1(x1,y1),则有-----解得A1(0,3).同理设A2(x2,y2),易求得A2(-2,-1).∴BC边所在直线方程为2x-y+3=0.。
2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 43点与直线、两条直线的位置关系 Word版含解析
考点规范练43点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2017浙江杭州二模)设k1,k2分别是两条不同直线l1,l2的斜率,则“l1∥l2”是“k1=k2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.过点(1,2)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为()A.x-2y+4=0B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0D.x-2y+5=03.(2017浙江金华四校联考)直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m=()A.2B.-3C.2或-3D.-2或-34.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为()A.-4B.20C.0D.245.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.设直线l1:(a+1)x+3y+2=0,直线l2:x+2y+1=0,若l1∥l2,则a=,若l1⊥l2,则a=.7.点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是.8.(2017浙江宁波测试)点(2,1)关于点(-1,-1)的对称点坐标为;关于直线x-y+1=0的对称点为.能力提升组9.(2017浙江吴越联考)已知a,b都是正实数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直,则2a+3b的最小值为()A.12B.10C.8D.2510.(2017浙江丽水调研)已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为()A.(3,√3)B.(2,√3))C.(1,√3)D.(1,√3211.若在平面直角坐标系内过点P(1,√3)且与原点的距离为d的直线有两条,则d的取值范围为()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,4)12.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为()A.6x-y-6=0B.x-6y-6=0C.6x-y-1=0D.x-6y-1=013.已知集合A={(x ,y )|y -3x -2=a +1},B={(x ,y )|(a 2-1)x+(a-1)y=15},若A ∩B=⌀,则a 的值为( ) A.{-1,1}B.{-4,-1,1}C.{-1,1,52}D.{-4,-1,1,52} 14.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A (2,0),B (0,4),若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C 的坐标是 .15.(2017浙江金丽二模)直线l :x+λy+2-3λ=0(λ∈R )恒过定点 ,P (1,1)到该直线的距离最大值为 .16.(2017浙江新高考冲刺卷)已知m ∈R ,若点M (x ,y )为直线l 1:my=-x 和l 2:mx=y+m-3的交点,l 1和l 2分别过定点A 和B ,则|MA|·|MB|的最大值为 .17.(1)求点A (3,2)关于点B (-3,4)的对称点C 的坐标;(2)求直线3x-y-4=0关于点P (2,-1)对称的直线l 的方程;(3)求点A (2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标.18.已知三角形的一个顶点A (4,-1),它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1:x-y-1=0和l 2:x-1=0,求BC 边所在直线的方程.答案：。
2019高考数学一轮复习课时规范练45点与直线、两条直线的位置关系理新人教A版
课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系一、基础巩固组1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=02.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2017广东揭阳一模)若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.44.(2017浙江温州模拟)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或35.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.(2017广西南宁模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.48.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.2B.6C.3D.2〚21500568〛9.经过两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点,且与直线x-3y-1=0平行的直线的一般式方程为.10.(2017宁夏银川模拟)点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是.11.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是.12.(2017江西八校联考)已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.二、综合提升组13.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点()A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)14.(2017河北武邑中学一模)若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-〚21500569〛16.(2017江苏淮安调研)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.三、创新应用组17.(2017浙江杭州月考)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k、P1、P2,使之有无穷多解〚21500570〛18.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为()A.4B.2C.2D.2课时规范练45点与直线、两条直线的位置关系1.A设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.2.C直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直⇔1+1×(-a)=0,故选C.3.B∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.4.C若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.5.A设AC的中点为O,则O设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则因为点D在直线3x-y+1=0上,所以3x0-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3x-y-20=0.6.D设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.7.A依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=38.A易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.于是|DC|==29.x-3y=0两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点为(-3,-1),所以所求直线为y+1=(x+3),即x-3y=0.10.2直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|==2,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为211由题意得线段AB的中点在直线y=kx+b上,故解得所以直线方程为y=-x+令y=0,即-x+=0,解得x=,故直线y=kx+b在x轴上的截距为12.4由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为413.A因为向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).14.A由log6m=-1得m=,若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则直线斜率相等或斜率不存在,解得m=0或m=,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件.15.D如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.所以圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-16.6x-y-6=0设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以解得又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为,即6x-y-6=0.17.B由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组一定有唯一解.18.B设点A关于直线y=x的对称点为B(x1,y1),依题意可得解得即B(1,3),同样可得点A关于y=0的对称点C(3,-1),如图所示,则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当B,M,N,C共线时,△AMN的周长最短,即|BC|==2故选B.。
高三数学一轮复习课时作业45两直线的位置关系与点到直线的距离理试题
课时作业(四十五) [第45讲两直线的位置关系与点到直线的间隔 ]本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
[时间是：35分钟分值：80分]根底热身1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，那么l的方程是( )A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝02．点A(1,1)到直线x cosθ＋y sinθ－2＝0的间隔的最大值是( )A．2 B.2－2C.2＋2 D．43．在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且2lgsin B＝lgsin A＋lgsin C，那么两条直线l1：x sin2A＋y sin A＝a与l2：x sin2B＋y sin C＝c的位置关系是( )A．平行 B．重合C．垂直 D．相交不垂直4．对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是( )A．(2,3) B．(3,2)C．(－2,3) D．(3，－2)才能提升5．点P(m－n，－m)到直线xm＋yn＝1的间隔等于( )A.m2＋n2B.m2－n2C.n2－m2D.m2±n26．直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值是( )A．1或者3 B．1或者5C．3或者5 D．1或者27．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程方程是( )A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝08．0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，那么使得这个四边形面积最小的k值为( )A.18B.14C.12D．29．[2021·卷] 假设直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，那么实数m＝________.10．点A(2,3)，点B在x轴上，点C在y轴上，那么△ABC周长的最小值是________．11．假设直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，那么m 的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)12．(13分)三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4，试判断这三条直线能否构成一个三角形？假设不能，求出对应的实数m的值，并指出原因．难点打破13．(12分)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．课时作业(四十五)【根底热身】1．A [解析] 由可得l 斜率为－32，由点斜式方程得l ：y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 2．C [解析] 由条件得d ＝|cos θ＋sin θ－2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－2，得最大值为2＋2. 3．B [解析] 由得sin 2B ＝sin A sin C ，故sin 2A sin 2B ＝sin A sinC ，从而两直线方程的系数之比都相等，所以两直线重合．4．B [解析] 直线系恒过定点，说明对任意的实数a ，这个点的坐标都能使方程成立，只要按照实数a ，把这个方程进展整理，确定无论实数a 取何值，方程都能成立的条件即可．直线方程即y －2＝a (x －3)，因此当x －3＝0且y －2＝0时，这个方程恒成立，故直线系恒过定点(3,2)．【才能提升】5．A [解析] 把直线方程化为nx ＋my －mn ＝0，根据点到直线的间隔 公式得d ＝|n m －n ＋m －m －mn |m 2＋n 2＝m 2＋n 2m 2＋n2＝m 2＋n 2. 6．C [解析] 利用两直线平行的充要条件得(k －3)×(－2)－2(4－k )(k －3)＝0，解得k ＝3或者k ＝5.7．B [解析] 解题的关键是中心对称的两直线互相平行，并且两直线与对称中心的间隔 相等．设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的间隔 公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112，所以C ＝16(舍去)或者C ＝－38.8．A [解析] 直线l 1的方程可以化为k (x －2)－2y ＋8＝0，该直线系过定点M (2,4)，与两坐标轴的交点坐标是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －8k ，0，B (0,4－k )；直线l 2的方程可以化为(2x －4)＋k 2(y －4)＝0，该直线系过定点M (2,4)，与两坐标轴的交点坐标是C (2k 2＋2,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4＋4k2.结合0<k <4可以知道这个四边形是OBMC ，如下图，连接OM ，那么四边形OBMC 的面积是△OBM ，△OCM 的面积之和，故四边形OBMC 的面积是12×(4－k )×2＋12(2k 2＋2)×4＝4k 2－k ＋8，故当k ＝18时两直线所围成的四边形面积最小．9．1 [解析] ∵直线x －2y ＋5＝0m ＝0，即m ＝1. 10．213 [解析] 由于三角形是折线围成的，直接求△ABC 周长的最小，需要求三个含有变量的二次根式和的最小值，显然不好办，根据关于直线对称的两点到直线上任意一点的间隔 相等，把三角形的周长转化为点A 关于两条坐标轴的对称点和点B ，C 所连折线的长度，根据两点之间线段最短可解．点A 关于x ，y 轴的对称点分别是A 1(2，－3)，A 2(－2,3)，根据对称性A 1B ＝AB ，A 2C ＝AC ，故AB ＋BC ＋CA ＝A 1B ＋BC ＋CA 2≥A 1A 2＝213.11．①⑤ [解析] 两平行线间的间隔 为d ＝|3－1|1＋1＝2，如图，可知直线m 与l 1，l 2的夹角为30°，l 1，l 2的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或者45°－30°＝15°.故填写上①⑤.12．[解答] (1)l 2∥l 3不可能， ∴①假设l 1∥l 2，那么m 4＝1，∴m ＝4； ②假设l 1∥l 3，那么24＝－3m 1，∴m ＝－16； (2)当三直线过同一点时，不能构成三角形，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，得两直线的交点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m (m ≠4)，代入第三条直线方程解得m ＝23，或者m ＝－1；综合(1)(2)所述，当m ＝－1，m ＝－16，m ＝23或者m ＝4时，三直线不能构成三角形，而在其余情况下，三直线总能构成三角形．【难点打破】13．[解答] (1)证明：反证法，假设l 1与l 2不相交，那么l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)证明：证法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1， 而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1. 此即说明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证法二：交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x . 代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0. 整理后，得2x 2＋y 2＝1， 所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高考数学总复习 课时作业45 两直线的位置关系模拟押题 文 新人教A版
课时作业四十五两直线的位置关系A 级1．直线1的斜率为2，1∥2，直线2过点－1,1且与轴交于点＋n＋”是“直线1∥2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知两点A3,2和B－1,4到直线m＋＋3＝0的距离相等，则m的值为A．0或－错误!或－6C．－错误!或错误!D．0或错误!4．若直线1：＝－4与直线2关于点2,1对称，则直线2恒过定点A．0,4 B．0,2C．－2,4 D．4，－25．平面直角坐标系中直线＝2＋1关于点1,1对称的直线方程是A．＝2－1 B．＝－2＋1C．＝－2＋3 D．＝2－36．已知两直线1：m＋8＋n＝0和2：2＋m－1＝0，当1与2相交于点，－1时，m、n的值分别为________、________7．已知两直线1：＋in θ－1＝0和2：2in θ＋＋1＝0，当1⊥2时，θ＝________ 8．点400 m100 m500 m＝0，且an－bm＝0⇒/ 1∥2，故选B3．B 依题意得错误!＝错误!，∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m∴m＝－6或m＝错误!故应选B4．B 由于直线1：＝－4恒过定点4,0，其关于点2,1对称的点为0,2，又由于直线1：＝－4与直线2关于点2,1对称，∴直线2恒过定点0,2．5．D 在直线＝2＋1上任取两个点A0,1，B1,3，则点A关于点1,1对称的点为M2,1，B关于点1,1对称的点为N1，－1．由两点式求出对称直线MN的方程错误!＝错误!，即＝2－3，故选D6．解析：∵m2－8＋n＝0,2m－m－1＝0，∴m＝1，n＝7答案： 1 77．解析：1⊥2的充要条件是2in θ＋in θ＝0，即in θ＝0，∴θ＝π∈Z．∴当θ＝π∈Z时，1⊥2答案：π∈Z8．解析：设＝0，根据平行线间的距离公式得错误!＝错误!⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即：＋－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为错误!＝3错误!2．解析：由于直线－2＋1＝0与－1＝0相交于点1,1，所以要使这三条直线将平面划分为六部分．有以下三种情况：1这三条直线交于一点1,1，此时1＋＝0，＝－12＋＝0与－2＋1＝0平行，此时＝－23＋＝0与－1＝0平行，此时＝0综上知，＝0或－1或－2，实数的取值集合为{0，－1，－2}．答案：{0，－1，－2}3．解析：如图，以小河所在直线为轴，过点A的垂线为轴，建立直角坐标系，则点A0,400，点Ba,100．过点B作BC⊥AO于点C在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝300，由勾股定理得BC＝400，∴B400,100．点A0,400关于轴的对称点A′0，－400，由两点式得直线A′B的方程为＝错误!－400令＝0，得＝320，即点P320,0．故提水站点P在距O点320 m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短．。
2020高考数学一轮复习课时规范练45点与直线两条直线的位置关系理新人教B版-精装版
教学资料范本2020高考数学一轮复习课时规范练45点与直线两条直线的位置关系理新人教B版-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习课时规范练45点与直线两条直线的位置关系理新人教B版基础巩固组1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=02.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(20xx广东揭阳一模)若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为( )A.7B.0或7C.0D.44.(20xx浙江温州模拟)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=( )A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或35.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D 在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为( )A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.(20xx广西南宁模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A.3B.2C.3D.48.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是( )A.2B.6C.3D.2 〚导学号21500568〛9.经过两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点,且与直线x-3y-1=0平行的直线的一般式方程为.10.(20xx宁夏银川模拟)点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是.11.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是.12.(20xx江西八校联考)已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.综合提升组13.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点( )A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)14.(20xx河北武邑中学一模)若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-或-B.-或-C.-或-D.-或- 〚导学号21500569〛16.(20xx江苏淮安调研)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.创新应用组17.(20xx浙江杭州月考)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( )A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k、P1、P2,使之有无穷多解〚导学号21500570〛18.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为( )A.4B.2C.2D.2参考答案课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系1.A 设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.2.C 直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直⇔1+1×(-a)=0,故选C.3.B ∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.4.C 若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.5.A 设AC的中点为O,则O.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则因为点D在直线3x-y+1=0上,所以3x0-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3x-y-20=0.6.D 设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.7.A 依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3.8.A 易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.于是|DC|==2.9.x-3y=0 两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点为(-3,-1),所以所求直线为y+1=(x+3),即x-3y=0.10.2 直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|==2,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.11. 由题意得线段AB的中点在直线y=kx+b上,故解得所以直线方程为y=-x+.令y=0,即-x+=0,解得x=,故直线y=kx+b在x轴上的截距为.12.4 由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.13.A 因为向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).14.A 由log6m=-1得m=,若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则直线斜率相等或斜率不存在,解得m=0或m=,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件.15.D 如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.所以圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.16.6x-y-6=0 设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以解得又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为,即6x-y-6=0.17.B 由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组一定有唯一解.18.B 设点A关于直线y=x的对称点为B(x1,y1),依题意可得解得即B(1,3),同样可得点A关于y=0的对称点C(3,-1),如图所示,则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当B,M,N,C共线时,△AMN的周长最短,即|BC|==2.故选B.。
2020版高考数学一轮复习课时规范练45点与直线两条直线的位置关系理北师大版
课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2018湖北稳派教育二联,3)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为()A. B.4C. D.22.直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为()A.y=-x+B.y=-x+1C.y=3x-3D.y=x+13.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c= ()A.-2B.-4C.-6D.-84.三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是()A.-2B.-1C.0D.15.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.(2018山东栖霞期末,5)过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A.x+2y-5=0B.2x-y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=08.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.2B.6C.3D.29.(2018河北廊坊期末,13)若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m,1)到y轴的距离为.10.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=.11.点A(3,-4)与点B(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程为.12.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.综合提升组13.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[,2]B.[,2]C.[,4]D.[2,4]14.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-16.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为.创新应用组17.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为.18.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是.参考答案课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系1.C∵l1∥l2,∴a≠2且a≠0,∴=≠,解得a=-1,∴l1与l2的方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,∴l1与l2之间的距离d==.2.A将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y=-x,再向右平移1个单位长度,所得直线的方程为y=- (x-1),即y=-x+.故选A.3.B∵直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,∴-×=-1,∴a=10,∴直线ax+4y-2=0方程为5x+2y-1=0.将点(1,c)的坐标代入上式可得5+2c-1=0,解得c=-2.将点(1,-2)的坐标代入方程2x-5y+b=0得2-5×(-2)+b=0,解得b=-12.∴a+b+c=10-12-2=-4.故选B.4.B解方程组得交点坐标为(4,-2),代入ax+2y+8=0,得a=-1.故选B.5.A设AC的中点为O,则O,-2.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则因为点D在直线3x-y+1=0上,所以3x0-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3x-y-20=0.6.D设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.7.A由题意,过原点和点A(1,2)的直线的斜率k1=2,因为所求直线过点A(1,2)且与原点的距离最大,则所求直线与直线OA是垂直,即所求直线的斜率为k=-,由直线的点斜式方程可得y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选A.8.A易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.于是|DC|==2.9. 0或5当m=0时,mx-(m+2)y+2=-2y+2=0,即y=1,3x-my-1=3x-1=0,即x=,此时两直线垂直,点(m,1)到y轴的距离为0;当m≠0时,由题意有·=-1,解得m=5,点(m,1)到y轴的距离为5.10.由题意可知,折痕是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是解得故m+n=.11.x+6y-16=0由题意知直线l是线段AB的垂直平分线,AB的中点为(4,2),k AB=6,所以直线l的斜率k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+6y-16=0.12.4由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.13.B由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0经过定点B(1,3),∵动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,∴PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由基本不等式可得|PA|2+|PB|2≤(|PA|+|PB|)2≤2(|PA|2+|PB|2),即10≤(|PA|+|PB|)2≤20,可得≤|PA|+|PB|≤2.故选B.14.B联立两直线方程得可得两直线的交点坐标为,,∵两直线的交点在第一象限,∴不等式的解集为k>,设直线l的倾斜角为θ,则tan θ>,∴θ∈,,故选B.15.D如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.所以圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.16.(2,4)设点A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则解得∴BC所在直线方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),∴AC所在直线方程为y-2=(x+4),即x-3y+10=0.联立解得则C(2,4).17.6以A为坐标原点,平行于l1的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设B(a,-2),C(b,3).∵AC⊥AB,∴ab-6=0,ab=6,b=.Rt△ABC的面积S=·=·=≥=6(当且仅当a2=4时取等号).18.6x-8y+1=0由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1:y=k(x-3)+5+b,将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,则平移后的直线方程为y=k(x-3-1)+b+5-2,即y=kx+3-4k+b,∴b=3-4k+b,解得k=,∴直线l的方程为y=x+b,直线l1的方程为y=x++b,取直线l上的一点P m,b+,则点P关于点(2,3)的对称点为4-m,6-b-,∴6-b-= (4-m)+b+,解得b=.∴直线l的方程是y=x+,即6x-8y+1=0.。
2020高考数学一轮复习课时规范练45点与直线两条直线的位置关系理北师大版
课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2018湖北稳派教育二联,3)若直线l1;+ay+6=0与l2;(a-2)+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为()A. B.4C. D.22.直线y=3绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为()A.y=-+B.y=-+1C.y=3-3D.y=+13.直线a+4y-2=0与直线2-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c= ()A.-2B.-4C.-6D.-84.三条直线a+2y+8=0,4+3y=10,2-y=10相交于一点,则a的值是()A.-2B.-1C.0D.15.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A.3-y-20=0B.3-y-10=0C.3-y-9=0D.3-y-12=06.直线-2y+1=0关于直线=1对称的直线方程是()A.+2y-1=0B.2+y-1=0C.2+y-3=0D.+2y-3=07.(2018山东栖霞期末,5)过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A.+2y-5=0B.2-y-4=0C.+3y-7=0D.3+y-5=08.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.2B.6C.3D.29.(2018河北廊坊期末,13)若直线m-(m+2)y+2=0与3-my-1=0互相垂直,则点(m,1)到y轴的距离为.10.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n= .11.点A(3,-4)与点B(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程为.12.已知点P(,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2+4y的最小值为.综合提升组13.设m∈R,过定点A的动直线+my=0和过定点B的动直线m-y-m+3=0交于点P(,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[,2]B.[,2]C.[,4]D.[2,4]14.若直线l;y=-与直线2+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-16.已知直线y=2是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为.创新应用组17.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为.18.在平面直角坐标系Oy中,将直线l沿轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是.参考答案课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系1.C∵l1∥l2,∴a≠2且a≠0,∴=≠,解得a=-1,∴l与l2的方程分别为l1;-y+6=0,l2;-y+=0,1∴l与l2之间的距离d==.12.A将直线y=3绕原点逆时针旋转90°得到直线y=-,再向右平移1个单位长度,所得直线的方程为y=- (-1),即y=-+.故选A.3.B∵直线a+4y-2=0与直线2-5y+b=0垂直,∴-×=-1,∴a=10,∴直线a+4y-2=0方程为5+2y-1=0.将点(1,c)的坐标代入上式可得5+2c-1=0,解得c=-2.将点(1,-2)的坐标代入方程2-5y+b=0得2-5×(-2)+b=0,解得b=-12.∴a+b+c=10-12-2=-4.故选B.4.B解方程组得交点坐标为(4,-2),代入a+2y+8=0,得a=-1.故选B.5.A设AC的中点为O,则O,-2.设B(,y)关于点O的对称点为(0,y0),即D(0,y0),则因为点D在直线3-y+1=0上,所以30-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3-y-20=0.6.D设所求直线上任一点(,y),则它关于直线=1的对称点(2-,y)在直线-2y+1=0上,即2--2y+1=0,化简得+2y-3=0.7.A由题意,过原点和点A(1,2)的直线的斜率1=2,因为所求直线过点A(1,2)且与原点的距离最大,则所求直线与直线OA是垂直,即所求直线的斜率为=-,由直线的点斜式方程可得y-2=-(-1),即+2y-5=0,故选A.8.A易得AB所在的直线方程为+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.于是|DC|==2.9. 0或5当m=0时,m-(m+2)y+2=-2y+2=0,即y=1,3-my-1=3-1=0,即=,此时两直线垂直,点(m,1)到y轴的距离为0;当m≠0时,由题意有·=-1,解得m=5,点(m,1)到y轴的距离为5.10. 由题意可知,折痕是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是解得故m+n=.11.+6y-16=0由题意知直线l是线段AB的垂直平分线,AB的中点为(4,2),AB=6,所以直线l的斜率=-,所以直线l的方程为y-2=-(-4),即+6y-16=0.12.4由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为+2y=3,所以2+4y≥2=2=4,当且仅当=2y=时等号成立,故2+4y的最小值为4.13.B由题意可知,动直线+my=0经过定点A(0,0),动直线m-y-m+3=0即m(-1)-y+3=0经过定点B(1,3),∵动直线+my=0和动直线m-y-m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,∴PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由基本不等式可得|PA|2+|PB|2≤(|PA|+|PB|)2≤2(|PA|2+|PB|2),即10≤(|PA|+|PB|)2≤20,可得≤|PA|+|PB|≤2.故选B.14.B联立两直线方程得可得两直线的交点坐标为,,∵两直线的交点在第一象限,∴不等式的解集为>,设直线l的倾斜角为θ,则tan θ>,∴θ∈,,故选B.15.D如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=(-2)-3,即-y-2-3=0.所以圆心到直线的距离d==1,解得=-或=-.16.(2,4)设点A(-4,2)关于直线y=2的对称点为(,y),则解得∴BC所在直线方程为y-1=(-3),即3+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2的对称点为(-1,3), ∴AC所在直线方程为y-2=(+4),即-3y+10=0.联立解得则C(2,4).17.6以A为坐标原点,平行于l1的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设B(a,-2),C(b,3).∵AC⊥AB,∴ab-6=0,ab=6,b=.Rt△ABC的面积S=·=·=≥=6(当且仅当a2=4时取等号).18.6-8y+1=0由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=+b,将直线l沿轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1;y=(-3)+5+b,将直线l1沿轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,则平移后的直线方程为y=(-3-1)+b+5-2,即y=+3-4+b,∴b=3-4+b,解得=,∴直线l的方程为y=+b,直线l1的方程为y=++b,取直线l上的一点Pm,b+,则点P关于点(2,3)的对称点为4-m,6-b-,∴6-b-= (4-m)+b+,解得b=.∴直线l的方程是y=+,即6-8y+1=0.。
近年届高考数学一轮复习课时训练(四十七)两条直线的位置关系理(普通高中)(2021学年)
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课时跟踪检测(四十七) 两条直线的位置关系(一）普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快１．过点(1，0)且与直线x-2ｙ－2＝0垂直的直线方程是（ )A.ｘ-2y-１＝０B.x－２y+１＝0C.2x+y-2=０D.ｘ＋2ｙ-1＝０解析：选C 因为直线ｘ－2y－２=0的斜率为＼f(1，2）,所以所求直线的斜率k=-2。
所以所求直线的方程为y－0＝-２（x-1),即2x＋y-2=0.２．(2018·北京顺义区检测)若直线y=－2x＋3k＋１4与直线x-4y＝－３k－2的交点位于第四象限,则实数ｋ的取值范围是( ）Ａ．（-６，－２) B.（－5，-３）C．(－∞，-6） D．(－２，+∞）解析：选A 解方程组错误!得错误!因为直线y＝－2x＋3k+14与直线x-4y=－3k－2的交点位于第四象限，所以ｋ＋6＞0且ｋ＋2<０,所以-6＜k＜－２。
３．已知直线l的倾斜角为错误!,直线l1经过点A(3，２)和B(a，-１），且直线ｌ与l1平行，则实数a的值为（)A．０B．1C.６ﻩD．０或6解析:选C 由直线l的倾斜角为＼f(3π,4）得ｌ的斜率为-1,因为直线l与l１平行,所以l１的斜率为－１．又直线l１经过点A（3，2)和B(a,－1),所以l１的斜率为错误!,故错误!=－１，解得a＝６.4．若点P在直线3ｘ＋ｙ-5=０上，且Ｐ到直线x－y－1＝0的距离为错误!,则点Ｐ的坐标为( )Ａ．（1,2) Ｂ.(2，1）C.(1,２）或（2,－1） D．(２,1)或(-1，2）解析:选C 设P（x，5－3x)，则d＝错误!=错误!,化简得|4x－6|=2，即4x－6＝±２,解得x＝1或ｘ＝2，故Ｐ(１，2)或(２,－1)．5．（2018·西安一中检测）若直线l１：y=k(x－４）与直线l2关于点(2，１）对称,则直线l２过定点( )Ａ.(0,4) B.(０，２）C．（－2,4)ﻩＤ.(４,-2)解析:选Ｂ由题知直线l1过定点(４，0),则由条件可知,直线l2所过定点关于(２,1)对称的点为(４,0）,故可知直线l2所过定点为（0，2),故选B.６．已知点P(－２,0）和直线ｌ：(１＋3λ）ｘ＋（1+2λ）y-(2＋5λ)=0(λ∈R）,则点P到直线l的距离d的最大值为( )Ａ．2错误! B。
新高考数学一轮复习 课时规范练40 点与直线、两条直线的位置关系 新人教A版高三全册数学试题
课时规范练40 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2019河北衡水二中模拟,3)直线l 在直线m :x+y+1=0的上方,且l ∥m ,它们的距离是√2,则直线l 的方程是( )A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x+y+1=0D.x+y+3=0或x+y-1=02.若把直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为( )A.y=-13x+13B.y=-13x+1C.y=3x-3D.y=13x+13.(2019湖南益阳模拟,5)已知A (1,2),B (3,1)两点到直线l 的距离分别是√2,√5−√2,则满足条件的直线l 共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条4.(2019河南南阳模拟,6)若关于x ,y 的二元一次方程组{mm +4m =m +2,m +mm =m有无穷多组解,则m的取值为( )A.1B.2C.3D.45.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.(2019辽宁葫芦岛二模,6)当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为()A.3B.0C.-1D.18.设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A;P,Q分别为l1,l2上任意两点,M为PQ的中点,若|AM|=12|PQ|,则m的值为()A.2B.-2C.3D.-39.若直线l:y=kx-√3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.π6,π3B.π6,π2C.π3,π2D.[π6,π2]10.已知直线l1:2x-2y+1=0,直线l2:x+by-3=0,若l1⊥l2,则b=;若l1∥l2,则两直线间的距离为.11.(2019湖北仙桃市、天门市、潜江市联考,14)直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d的最大值是.综合提升组12.(2019吉林长春模拟,14)设△ABC的一个顶点是A(-3,1),∠B,∠C的平分线方程分别为x=0,y=x,则直线BC的方程为.13.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.14.(2019江苏如皋质量调研,14)如图,已知△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,光线从AB边的中点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长PQ+QR+RP=.15.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为.创新应用组16.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为.17.(2019贵州遵义模拟,14)若曲线C上任意一点与直线l上任意一点的距离都大于1,则称曲线C“远离”直线l,在下列曲线中,“远离”直线l:y=2x的曲线有(写出所有符合条件的曲线的编号).①曲线C:2x-y+√5=0;②曲线C:y=-x2+2x-9;③曲线C:x2+(y-5)2=0;④曲线C:y=e x+1;⑤曲线C:y=ln4x-2.参考答案课时规范练40点与直线、两条直线的位置关系1.A因为l∥m,且直线l在m:x+y+1=0上方,所以可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),因为它们的距离是√2,=√2,解得c=-1,或c=3(舍去),所以直线l的方程是x+y-1=0,故选A.则√22.A 将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y=-13x ,再向右平移1个单位长度,所得直线的方程为y=-13(x-1),即y=-13x+13.故选A .3.C 当A ,B 两点位于直线l 的同一侧时,一定存在这样的直线l ,且有两条.又|AB|=√(3-1)2+(1-2)2=√5,而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为√2+√5−√2=√5,所以当A ,B 两点位于直线l 的两侧时,存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.故选C .4.B 关于x ,y 的二元一次方程组{mm +4m =m +2,m +mm =m有无穷多组解,所以直线mx+4y=m+2与直线x+my=m 重合,所以m 1=4m =m +2m,解得m=2,即m 的取值为2,故选B .5.A 设AC 的中点为O ,则O52,-2.设B (x ,y )关于点O 的对称点为(x 0,y 0),即D (x 0,y 0),则{m 0=5-m ,m 0=-4-m ,因为点D 在直线3x-y+1=0上,所以3x 0-y 0+1=0,得点B 的轨迹方程为3x-y-20=0.6.D 设所求直线上任一点(x ,y ),则它关于直线x=1的对称点(2-x ,y )在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.7.C 直线mx-y+1-2m=0可化为y=m (x-2)+1,故直线过定点Q (2,1),当PQ 和直线垂直时,距离取得最大值,故m ·k PQ =m ·2-13-2=m ·1=-1,m=-1,故选C .8.A 根据题意画出图形,如图所示.直线l 1:x-2y+1=0与直线l 2:mx+y+3=0的交点为A ,M 为PQ 的中点,若|AM|=12|PQ|,则PA ⊥QA ,即l 1⊥l 2,则1×m+(-2)×1=0,解得m=2.故选A .9.B 联立两直线方程得{m =mm -√3,2m +3m -6=0,可得两直线的交点坐标为3√3+62+3m,6m -2√32+3m,∵两直线的交点在第一象限,∴{3√3+62+3m >0,6m -2√32+3m>0,不等式的解集为k>√33,若直线l 的倾斜角为θ,则tan θ>√33,∴θ∈π6,π2,故选B .10.17√24①∵l 1⊥l 2,∴-2-2×(-1m )=-1,解得b=1.②若l 1∥l 2,则-2-2=-1m ,解得b=-1,因此两条直线方程分别为x-y+12=0,x-y-3=0,则两直线间的距离为|-3-12|√2=7√24.11.√13 因为直线l 1,l 2分别过点M (1,4),N (3,1),它们分别绕点M 和N 旋转,且两直线保持平行,所以当两条平行直线l 1,l 2都与MN 垂直时,它们之间的距离取得最大值|MN|=√(1-3)2+(4-1)2=√13.12.y=2x-5 ∵∠B ,∠C 的平分线分别是x=0,y=x ,∴AB 与BC 关于x=0对称,AC 与BC 关于y=x 对称.A (-3,1)关于x=0的对称点A'(3,1)在直线BC 上,A 关于y=x 的对称点A″(1,-3)也在直线BC 上.由两点式,所求直线BC 的方程为y=2x-5.13.4√2 由题意得点P 在线段AB 的垂直平分线上,则易得点P 的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥2√2m ·4m =2√2m +2m =4√2,当且仅当x=2y=32时等号成立,故2x+4y的最小值为4√2.14.√10 以A 为坐标原点,AB ,AC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,因为△ABC 为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,则l BC :x+y-2=0,点P (1,0),所以点P 关于y 轴的对称点为P 1(-1,0),设点P 关于直线l BC :x+y-2=0的对称点为P 2(x 0,y 0),则m 0m-1=1且m 0+12+m 02-2=0,解得P 2(2,1),则PQ+QR+RP=P 2Q+QR+RP 1=P 1P 2=√10.15.(2,4) 设点A (-4,2)关于直线y=2x 的对称点为(x ,y ),则{m -2m +4×2=-1,m +22=2×-4+m 2,解得{m =4,m =-2,因此BC 所在直线方程为y-1=-2-14-3(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B (3,1)关于直线y=2x 的对称点为(-1,3),AC 所在直线方程为y-2=3-2-1-(-4)(x+4),即x-3y+10=0.联立{3m +m -10=0,m -3m +10=0,解得{m =2,m =4,则点C 的坐标为(2,4).16.6 以A 为坐标原点,平行于l 1的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设B (a ,-2),C (b ,3).∵AC ⊥AB ,∴ab-6=0,ab=6,b=6m .Rt △ABC 的面积S=12√m 2+4·√m 2+9=12√m 2+4·√36m 2+9=12√72+9m 2+144m2≥12√72+72=6(当且仅当a 2=4时取等号). 17.②③⑤ 对于①,由两条平行线间的距离公式得两直线距离为√5√5=1,不符合题意.对于②,设y=2x+b 与抛物线相切,即2x+b=-x 2+2x-94,也即x 2+b+94=0,判别式-4(m +94)=0,b=-94,故切线方程为2x-y-94=0,与2x-y=0的距离为94√5=4√5=√8180>1,符合题意.对于③,方程表示点(0,5),到直线2x-y=0的距离为√5=√5>1,符合题意.对于④,取点(0,2),到直线2x-y=0的距离为√5=√45<1,不符合题意.对于⑤,令y'=1m=2,解得x=12,切点为(12,ln 12-2),到直线2x-y=0的距离为√5>1,符合题意.综上所述,符合题意的有②③⑤.。
高考数学一轮复习 第45讲两直线的位置关系与课件 理 新人教课标A
第45讲 │ 要点探究
[解答] (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 M，坐标为 M(x0，y0)，则
线段
PM
的中点坐标为1＋x0，2＋2 y0，直线
PM
的斜率为
k＝21－－
y0， x0
根据对称关系，得112－＋－2 xxy000＝－－2＋21，y0＋4＝0，
解得xy00＝＝5－，2， 所以 M 的坐标是 M(－2,5)．
第45讲 │ 要点探究
[解答]容易验证，当 m＝0 或 m＝1 时，l1 与 l2 既不平行也不垂直．下 面讨论 m≠0 且 m≠1 的情况．
两直线的斜率分别为 k1＝－m，k2＝1－2 m. (1)当 k1＝k2，即－m＝1－2 m时，解得 m＝－1(舍去)或 m＝2，此时 l1∥l2； (2)当 k1k2＝－1，即－ 1－2mm＝－1 时，解得 m＝13，此时 l1⊥l2； (3)当 l1⊥l2 时，两直线的方程分别为 l1：x＋3y－3＝0，l2：3x－y ＋3＝0， 它们与 x 轴交点坐标分别为 A(3,0)，B(－1,0)，且它们的交点为 C－35，56， l1、l2 与 x 轴围成的三角形的面积为 S＝12·|AB|×65＝12×4×65＝152.
[解答] (1)方法一：取 k＝0，得 x－y＋6＝0，①
取 k＝－1，得－3y＋6＝0，②
解①②构成的方程组，得点 P(－4,2)，将该点坐标代入直线 l 的方
程，则方程恒成立，说明不论 k 取何值，直线 l 都经过点 P(－4,2)．
方法二：将直线 l 方程整理为 k(x＋2y)＋x－y＋6＝0，因为 k 可取
第45讲 │ 要点探究
[解答] (1)设 M(x0，y0)是 l1 上的任一点，N(x，y)是 M 关于点 P 的 对称点，
【高考讲坛】2019届高三数学(理,山东版)一轮限时检测47 两条直线的位置关系(含答案)
课时限时检测(四十七) 两条直线的位置关系(时间：60分钟 满分：80分)命题报告一、选择题(1．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2【解析】 ∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称， ∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3. 即y ＝12x ＋32，∴l 2的斜率为12.【答案】 A2．(2018·济南一中月考)已知两条直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：3x ＋ay ＋2＝0且l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．－13B.13 C ．－3D ．3【解析】 由l 1⊥l 2可得1×3＋1×a＝0，∴a ＝－3. 【答案】 C3．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A ．0 B ．2 C.13D ．4【解析】 ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.【答案】 B4．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1ky －x ＝2k得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0.故交点在第二象限．【答案】 B5．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．6个【解析】 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝－1或23.故实数m 的取值最多有4个． 【答案】 C6．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P(3,2)到直线l 的距离为( ) A.722B.922C.1122D.91010【解析】 由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1. 故切线l 的方程为y －(－1)＝－1[x －(－1)]， 整理得x ＋y ＋2＝0. ∴点P(3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 1：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是________． 【解析】 由l 1∥l 2得a(a －2)－3＝0且2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1. 【答案】 －18．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．【解析】 由题得k PQ ＝4－21－3＝－1，∴k l ＝1，线段PQ 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12，2＋42，即(2,3)，∴直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.【答案】 x －y ＋1＝09．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．【解析】 由题意得36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0.由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或－6，∴c ＋2a ＝±1.【答案】 ±1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 【解】 (1)∵l 1⊥l 2，∴a(a －1)－b ＝0. 又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等． ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b.故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.11．(12分)已知直线l ：(2a ＋b)x ＋(a ＋b)y ＋a －b ＝0及点P(3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．【解】 (1)证明 直线l 的方程可化为a(2x ＋y ＋1)＋b(x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A(－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.12．(13分)过点A(3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC|＝2|AB|，求直线l 的方程．【解】 当k 不存在时B(3,0)，C(3,6)， 此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|.∴直线l 的斜率存在．∴设直线l 的方程为y ＋1＝k(x －3)．令y ＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1k ，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＋1＝－，得C 点横坐标x C ＝1＋3kk －2.若|BC|＝2|AB|，则|x B －x C |＝2|x A －x B |.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3k k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k . ∴1＋3k k －2－1k －3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.。
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课时规范练45 点与直线、两条直线
的位置关系
基础巩固组
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
2.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2017广东揭阳一模)若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()
A.7
B.0或7
C.0
D.4
4.(2017浙江温州模拟)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()
A.-3或-1
B.3或1
C.-3或1
D.-1或3
5.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()
A.3x-y-20=0
B.3x-y-10=0
C.3x-y-9=0
D.3x-y-12=0
6.(2017广西南宁模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()
A.x+2y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0
D.x+2y-3=0
7.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()
A.3
B.2
C.3
D.4
8.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()
A.2
B.6
C.3
D.2〚导学号21500568〛
9.经过两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点,且与直线x-3y-1=0平行的直线的一般式方程
为.
10.(2017宁夏银川模拟)点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是.
11.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距
是.
12.(2017江西八校联考)已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值
为.
综合提升组
13.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点()
A.(1,-2)
B.(1,2)
C.(-1,2)
D.(-1,-2)
14.(2017河北武邑中学一模)若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()
A.-或-
B.-或-
C.-或-
D.-或-〚导学号21500569〛
16.(2017江苏淮安调研)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.
创新应用组
17.(2017浙江杭州月考)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关
于x和y的方程组的解的情况是()
A.无论k,P1,P2如何,总是无解
B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解
C.存在k,P1,P2,使之恰有两解
D.存在k、P1、P2,使之有无穷多解〚导学号21500570〛
18.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为()
A.4
B.2
C.2
D.2
参考答案
课时规范练45点与直
线、两条直线的位置关系
1.A设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.
2.C直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直⇔1+1×(-a)=0,故选C.
3.B∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,
∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.
4.C若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为
k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.
5.A设AC的中点为O,则O.
设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),
即D(x0,y0),则
因为点D在直线3x-y+1=0上,所以3x0-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3x-y-20=0.
6.D设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.
7.A依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的
距离公式得⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,
即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3.
8.A易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.
于是|DC|==2.
9.x-3y=0两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点为(-3,-1),所以所求直线为y+1=(x+3),即x-
3y=0.
10.2直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.
由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|==2,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.
11.由题意得线段AB的中点在直线y=kx+b上,故
解得
所以直线方程为y=-x+.
令y=0,即-x+=0,解得x=,故直线y=kx+b在x轴上的截距为.
12.4由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以
2x+4y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.
13.A因为向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).
14.A由log6m=-1得m=,若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,
则直线斜率相等或斜率不存在,解得m=0或m=,
则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件.
15.D如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).
由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.
故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.
所以圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.
16.6x-y-6=0设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',
所以解得
又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为,即6x-y-6=0.
17.B由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组一定有唯一解.
18.B设点A关于直线y=x的对称点为B(x1,y1),依题意可得解得即B(1,3),同样可得点A关于y=0的对称点C(3,-1),如图所示,
|BC|==2.故选B.。