1611从分数到分式
初中数学 15.1.1从分数到分式—魏纯
x321-x x b 351-yx y x -+15.1.1 从分数到分式教学目标1、了解分式的意义，并且会求出分式有意义时字母所满足的条件。
2、理解分式为零时，分子、分母应具备的条件，会求出相应字母的值。
3、通过分式概念的引入，渗透类比、特殊到一般的数学思想。
重点：正确理解分式的概念 难点：分式的值为零时应满足的条件 教学流程 （一）互助解疑在现实生活中，我们经常会遇到下列问题：（1）长方形的面积为10㎡，长为7m ，宽为_______m ；长方形的面积为S ，长为a ，宽为_______。
（2）把体积为200cm³的水倒入底面积为33cm²的圆柱形容器中，水面高度为______cm,把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为_______。
（3）一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，若江水的流速为v 千米/时，则它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间为 小时，以最大航速逆流航行60千米所用的时间 小时。
（二）展示交流观察以上六个结果，它们有什么共同点？如果把它们分成两类，可以如何分？两类之间有什么区别？得到分式的概念：______________________________________________________________练一练：下列各式中哪些是整式，哪些是分式？它们有什么区别？ ①5x-7 ②3x²-1 ③321b a -+ ④ ()7m n p + ⑤ πa⑥ 2221x xy y x -+- ⑦ 25 ⑧45b c+（三）归纳应用思考：1、第2个分式在什么情况下无意义？2、 这三个分式在什么情况下有意义？3、这三个分式在什么情况下值为零？ 你有什么发现吗？得到：___________________________________________试一试：1.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？（1） （2）（3） （4）（5）12-x x232+-x x变式：上面五个分式中的字母满足什么条件时分式无意义？2.当x 为何值时，下列分式的值为0？ （1）x x3217- （2）xx x --21小结：（四）反馈拓展1、列式表示下列各量：（1）某村有n 个人，耕地40公顷， 人均耕地面积为 公顷； （2）△ABC 的面积为S ，BC 边长为a ，高AD 为 。
15.1.1从分数到分式(教案)
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第15章《分式》的第一节“15.1.1从分数到分式”。教学内容主要包括以下两部分：
1.分式的定义：通过复习分数的概念，引导学生理解分式的定义，即分母不为零的整式比值称为分式。
2.分式的性质：探讨分式的分子、分母与分式值的关系，总结分式的性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、性质和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在数学学习和日常生活中灵活运用分式知识。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：分式2x/(x+1)与2x*2/(x的简单运算：学会分式的加减乘除运算，掌握运算规律。
举例：分式2x/(x+1)加上分式3/(x+1)时，只需将分子相加，分母保持不变，即(2x+3)/(x+1)。
2.教学难点
（1）分式与分数的区别：理解分式与分数在概念上的联系与区别，特别是分式的整式特性。
4.合作与交流：通过小组讨论、分享心得，培养学生团队合作和沟通交流的能力，促进学生共同成长。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）分式的定义：理解分式的概念，明确分母不为零的整式比值是分式的核心。
举例：分数5/6可以看作分式，而表达式(2x+1)/(x-3)也是分式，但(x+2)/0不是分式。
（2）分式的性质：掌握分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
教学设计5：15.1.1从分数到分式
15.1.1从分数到分式一、课题：新人教版八年级上册第十五章15.1.1从分数到分式二、课型：新授课三、教材分析：《从分数到分式》的主要内容是分式的概念以及分式有意义、无意义、分式值为0的条件和用分式表示数量关系。
分式是继整式之后对代数式的进一步研究，它以分数知识为基础，类比引出分式的概念。
与整式一样，分式也是表示具体问题情境中的数量关系的一种工具，是解决实际问题的常见模型之一。
本节课的学习为今后学习更为复杂的函数、方程等知识提供重要条件，打下坚实的基础，起到承上启下的作用。
四、教学目标：1、知识与技能：学生通过实际问题中的数量关系，类比、抽象出分式的概念，理解并掌握分式的概念，能求出分式有无意义以及分式值为0的条件。
2、过程与方法：通过对分式与分数的类比，学生亲身经历、探究分式的过程，初步体会运用类比转化的思想方法研究数学问题，培养学生观察、归纳、类比的思想，并体会从特殊到一般的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心。
五、教学重难点：重点：理解并掌握分式的概念，体会其内涵；难点：分式有无意义、分式值为0条件的讨论及运用。
六、教法与学法：根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用的教学方法是问题探究法，探究发现法，即学生在教师的正确引导下，积极主动参与探索发现、归纳类比等数学活动获得知识。
教师着眼于引导，学生着眼于探索。
本节课还利用多媒体辅助教学，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，积极参与、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。
这节课学生积极参与到教学活动中，用启发引导的方式学习分式的概念，并在学习中渗透观察、类比、归纳的数学学习思想，体现以学生发展为本的理念，突出学生是学习的主体。
七、教学设计：。
从分数到分式 (PPT课件)
(2)当x ___1__时,分式 3xx 有意义.
(3)当b
___53__时,
x 1 分式 1
5 3b
有意义.
(4)当x
取全体
_实_数___
时,
分式
x
1
有意义.
x2 1
（5）当x_=___23_时，分式
x 1 2x 3无意义.
(6)当x、y满足关系_x___y__时,
分式 x y 有意义.
一、分式定义：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那
A 么称 B 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
注意：
1）分式是不同于整式的另一类式子，且分 母中含有字母是分式的一大特点。 2)分式比分数更具有一般性。
1.判断下列代数式是否为分式？
（1）m , m , 1 x2, 5 , a2 b2 , x y 8 a 3 x 6 2 5x 2y
c
3a b
思考：
1.分式
A B
的分母有什么条件限制？
当B=0时， 分式 A 无意义.
B
当B≠0时，分式
A B
有意义.
2条.当件？BA =0时，分子和分母应满足什么
当A=0而B≠0时，分式
A B
的值为零.
例1. 已知分式 x2 4 , x2 (1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
所以当 x 3
时，分式
1 x2
9
有意义。
4、把甲、乙两种饮料按质量比 x∶y 混在一起 , 可以
调制成一种混合饮料. 调制 1kg这种混合饮料需要
多少甲种饮料 ?
人教版八年级数学科下册课件：16.1.1从分数到分式(共21张PPT) (1)
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所
以分式的分母不能为0，即当 B时≠，0 分式
A B
才有意义。
例1（:1）当x
时，分式 2 有意义；
分母 3x≠0 即 x≠0
3x
（2）当x
时，分式 x 有意义；
x 1
分母 x－1≠0 即 x≠1
（3）当b
时，分式 1 有意义； 5 3b
分母 5－3b≠0 即 b≠
S
V
问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为20千 米/时，它沿江以最大航速顺流航行100 千米 所用时间，与以最大航速逆流航行 60千米所用时间相等，江水的流速为多
两个少提？示： 时间 = 路程 / 速度
顺流航速 = 船速 + 水速 逆流航速 = 船速 – 水速
100 20 v
=
60 20 v
3
z
③3x 1
2
④
1
⑤
2
⑥ a2b ab2 ⑦ 3x 2 4
x
x2 2x 1
2
1 2
分式中的分母应满足什么条件？
分母不能为0，即B不能为0∴当 B≠0 时，分 式 才有意义。
P5例1. 当x为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分 母不为零，进一步解出字母x的取值范围. [提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义. 你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用， 也可以让学生更全面地感受到分式及标：掌握分式概念，学会判别分式 何时有意义，能用分式表示数量关系。
过程方法目标：经历分式概念的自我建构过程 及用分式描述数量关系的过程，学会与人合作 并获得代数学习的一些方法。
情感态度目标：通过丰富的数学活动，获得 成功的经验，体验数学活动充满着探索和创 造，体会分式的模型思想。
15.1.1 从分数到分式 教案
15.1.1 从分数到分式教案第十五章分式15.1分式15.1.1从分数到分式◇教学目标◇【知识与技能】1.了解分式的概念,会判断一个代数式是否是分式;2.能用分式表示简单问题中数量之间的关系,能解释简单分式的实际背景或几何意义.【过程与方法】能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值,渗透数学中的类比,分类等数学思想.【情感、态度与价值观】通过探索和合作交流,培养创新意识和合作精神.◇教学重难点◇【教学重点】A.2个B.3个C.4个D.5个[解析]1a ,56+x,9x+10y这3个式子的分母中含有字母,因此是分式.其他式子分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.[答案] B探究点2分式有无意义的条件典例2如果分式12x+2有意义,那么x的取值范围是()A.x≠0B.x=-1C.x≠-1D.x≠1[解析]根据分式有意义列不等式求解.由题意得2x+2≠0,解得x≠-1.[答案] C分式有意义的条件,应从以下两个方面理解:分式无意义⇔分母为零;分式有意义⇔分母不为零.变式训练要使分式3x3x-7有意义,则x的取值范围是()A.x=73B.x>73C.x<73D.x≠73[答案] D探究点3分式的值典例3若分式x2-9x+3的值为0,则x的值是()A.±3B.-3C.3D.0[解析]分式的值等于零即分子等于零且分母不等于零.依题意,得x2-9=0且x+3≠0,解得x=3.[答案] C若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.典例4若分式2x+1x2+3的值为正,则x的取值范围是()A.x>12B.x>-12C.x≠0D.x>-12且x≠0[解析]分式的值为正则需要分子分母符号相同,而分母大于0,因此只要分子大于0即可.则2x+1>0,解得x>-12.[答案] B【技巧点拨】分式的值为正时,分子分母同号;分式的值为负时,分式的分子分母异号,可列得不等式组,确定字母取值范围.变式训练 如果分式|x |-1x -1的值为零,那么x 等于( )A.1B.-1C.0D.±1 [答案] B三、板书设计从分数到分式从分数到分式{分式{分式概念分式形式分式有无意义的条件分式的值{分式的值为0分式的值为负数或正数 ◇教学反思◇ 本节的内容是分式的概念,分式的概念是学好全章的基础,是全章中的重点内容之一.借助对分数的认识学习分式的内容,是一种类比的认识方法,本章中常常用类比的方法得到分式的性质,在建立了分式概念之后,必须将分数、分式、整式三个概念之间的联系、区别进一步加以辨析.让学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来,理解分式的概念.。
1611从分数到分式
1、下列两个整数相除如何表示成
分数的形式：
3÷4=
3 4
,
10
10 ÷ 3= 3 ,
12 ÷11=
12 11
,
-7 ÷2=
7 2
.
2、在代数式中，整式的除法也可以类
似地用分数的形式表示: 90
⑴ 90÷x 可以用式子 x 来表示。
60÷(x-6)可以用式子
60 x6
来表示。
(2) a公顷麦田共收小麦b吨, 平均每公 b
都有意义的是（ D ）
A． 1 2x 1
B．
x 2x 1
C．
3x 1 x2
x2
D． 2x2 1
课本P4练习
小结
分式的定义
整式A、B相除可
写为 A 的形式，
B
若分母中含有字
母，那么
A B
叫做
分式。
分式有意义 分式的值为0
分母不 等于0
①分子=0 ②代入分母≠0 ③最后答案
思考：
A
1、分式 B 的分母有什么条件限制？
当B=0时，分式 A 无意义。
当B≠0时，分式
BA B
有意义。
2条、件当？B A =0时分子和分母应满足什么
当A=0而B≠0时，分式 A的值为零。
B
完成课本P3例1
(1)当x ___0__时,分式 2 有意义.
3x
(2)当x ___1__时,分式 x 有意义.
判断：下面的式子哪些是分式？
(1) 2 7
(2) V S
(3)5x 7
(4)x
1 5
(5) 4 x 1
(6) S 32
(7) a
(8) 3000 300 a
从分数到分式课件
本PPT课件将全面介绍有关分数和分式的内容，从基本概念到实际应用，帮助 大家深入理解这一重要概念，让数学更加有趣和易学。
一、引言
分数和分式是数学中重要的概念，我们将从它们的定义和意义入手，引领大 家进入这个主题。
二、分数的基本概念
分子、分母的含义
深入剖析分数的构成元素， 让大家清楚分子和分母所 代表的含义。
分式的化简和约分
讨论分式的化简和约分方 法，帮助大家简化和简约 分式。
四、分式的运算
1
分式的乘法
2
详细介绍分式的乘法运算，以及乘法
运算的特殊情况。
3
分式的加减法
探索分式的加减法规则，帮助大家掌 握正确的运算方法。
分式的除法
解释分式的除法运算，揭示除法运算 中出现的问题和解决方法。
五、分式方程的解让大家理解分式方程的结构和特点。
分式方程的解法举例
通过案例分析，演示分式方程的解法步骤和技巧。
六、实际应用
分数和分式在日常生活中的应用
探索分数和分式在日常生活中的实际应用，如 食谱、体重计算等，让大家理解它们的重要性。
分数和分式在数学中的应用
介绍分数和分式在数学领域的应用，如几何形 状计算、概率统计等，展示它们在数学中的广 泛应用。
七、总结
回顾分数和分式的基本概念，总结它们的重要性，以及我们在本次课件中所学到的关键知识。
八、参考资料
阅读材料
提供相关的阅读材料，供有兴趣的学生进一步学习和深入研究。
参考书籍
推荐一些经典的参考书籍，帮助学生深入理解分数和分式的概念和应用。
网络资源
分享一些网络资源，如在线教学视频和练习题，供学生巩固所学知识。
常见的分数类型
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取什么值时， 例1 当x取什么值时，下列分式有意义？ 取什么值时 下列分式有意义？
2 (1) 3x
；
x (2) x 1
；
(3)
1 5 3x
；
(4)
x+ y x y
． 取
若把题目要求改为： x 变式练习 若把题目要求改为 ：“当 何值时下列分式无意义？ 该怎样做？ 何值时下列分式无意义？” 该怎样做？
巩固性练习（ 巩固性练习（一） 1.把下列各式写成分式： (1) x ÷ y ；
a (2) 6000 ÷ ab； (3) ÷ (b + c )；
(4) (a b) ÷ c ； (5) ( x y ) ÷ ( x + y ) ． 2.下列代数式中,哪些是分式? 4 1 1 (1) ； (2) 2 x + ； (3) x y ； a 3 2 x y x (4) xy ； (5) ； (6) ． 5 x+4 π
(2)小船在静水中每小时走 a千米，水流速度是 b 千米/时，那么小船在逆水中航行 s千米所用的
a+b 时间为_____小时，顺水航行所用时间为_____ a b
小时． 1100 ， s ， s ， s x a b a +b 15
．
s
s
课题
分式
(二) 形成概念
1.根据观察结果，概括什么是分式？ 1.根据观察结果，概括什么是分式？ 根据观察结果
3.交流学习分式概念中应注意的问题． 3.交流学习分式概念中应注意的问题． 交流学习分式概念中应注意的问题 (1) 分式是两个整式相除的商 ， 分数线 可以理解 分式是两个整式相除的商， 分数线可以理解 除号，并含有括号的作用． 括号的作用 为除号，并含有括号的作用． (2) 分式的分子可以含有字母，也可以不含有 分式的分子可以含有字母， 字母， 分母必须含有字母． 字母，但分母必须含有字母． 分母的值不能为0， (3) 分式分母的值不能为 ，否则分式无意 分式分母的值不能为 义． 整式 有理式 分式
x 分析：分式的值是 ， 分析：分式的值是0， 的取值应满足分 子x + 2 = 0,且分母 2 x 5 ≠ 0 ． 且分母
(四) 归纳小结
★ 学习内容：分式的概念 分式有意义的条件是__________． ★分式有意义的条件是 ．
分式无意义的条件是__________ ★分式无意义的条件是
★分式值为0的条件是_____________．
思考 分式
A 在什么条件下值为0？ 在什么条件下值为 ？ B
就可以了吗？ 仅仅是 A = 0 就可以了吗？ 分式的值要为0，需满足的条件是： 归纳 分式的值要为 ，需满足的条件是： 分子的值等于0且分母值不为 且分母值不为0． 分子的值等于 且分母值不为 ．
x+2 例2 当x是什么值时，分式的 是什么值时， 值是0？ 值是 ？ 2x 5
A B 表示两个整式， 一般地， 一般地，用 A 、 表示两个整式，A ÷ B 就可以表示成 B A 中含有字母， 就叫做分式． 的形式． 的形式．如果 B中含有字母，式子 B 就叫做分式．其
叫做分式的分子， 叫做分式的分母． 中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母． 2. 列举几个分式的例子． 列举几个分式的例子．
(一) 创设情景
(1) 随着国民经济持续增长，2001年10月底铁 路运输进行了第4次提速后，运行速度最高达到 了140千米/时．假设火车的速度是 x千米 / 时 ，成 都至昆明约1100千米的路程需要_____小时;如果 1100 x 有一段 s 千米的路程，需要15小时到达，则速度
s 为____千米/时． 15