同济版高等数学6-3 山大老师课件

弧长
s


2 ( t ) 2 ( t )dt .
例 9 求星形线 x y a (a 0) 的全长.
解 星形线的参数方程为
2 3
2 3
2 3
x a cos t 3 y a sin t
3
(0 t 2)
第一象限部分的弧长
2 2
根据对称性
s 4s1
o
x
x dx
x
对应的小体积近似地看做：以 f(x)为长、以 dx 为宽的矩形绕 x 轴旋转形成的圆柱体的体积。体 积微元 dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为
V [ f ( x )]2 dx
a
b
类似地，由连续曲线 x ( y ), 及直线y c, y d , x 0 所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积 y 为 d
4
2 0 2 0
x y dt
4 3a sin t cos tdt 6a .
3、极坐标情形
曲线弧为 r r ( )
( )
其中 r ( ) 在[ , ] 上具有连续导数.
x r ( ) cos y r ( ) sin

b
a
A( x )dx.
柱体的体积：底面积*高
例 7 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并 与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体 积. 解 取坐标系如图
底圆方程为
R
x y R 垂直于x 轴的截面为直角三角形
2 2 2
o

y
x
R
x 1 2 A( x ) ( R x 2 ) tan , 截面面积 2 2 3 1 R 2 2 立体体积 V R (R x ) tan dx 3 R tan . 2

2、参数方程情形
曲线弧为
x (t ) , y (t )
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数.
ds (dx )2 (dy )2 [ 2 ( t ) 2 ( t )](dt )2 2 ( t ) 2 ( t )dt
例8 P281，例10
0


2 2 .
一 般地 y f ( x ), a x b
绕 x 轴旋转
dV = 薄片圆柱的体积（底半径为 f(x) ，高为dx ）
dV f 2 ( x )dx ——柱片法
绕 y 轴旋转
dV = 薄壁圆筒的体积（内径为 x ，外径为x+dx 高为f ( x ))
dV 2xf ( x )dx
——柱壳法
四、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x ) 表示过点
x 且垂直于x 轴
的截面面积，
o
a
x x dx
b
x
A( x ) 为x 的已知连续函数
dV A( x )dx ,
立体体积 V
y sin x

2
由对称性
Vx 2 2 sin 2 xdx
0


1 2 2 2 2 2
绕 y轴旋转的旋转体体积
可看作平面图OABC 与OBC
y
1
C
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
2 x1 ( y)dt Vy x 2 ( y)dt 0
o
B x x2 ( y ) x x1 ( y ) A
y
dy
o
上任取小区间[ x , x dx ] ， 以对应小切线段的长代替小弧段的长
a
x x dxb
x
小切线段的长 ds (dx ) (dy )
2
2
1 y 2 dx
b a
弧长微元 ds 1 y dx 弧长 s 1 y 2 dx.
2
2 3 例 7 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从 a 到 b 3

x

1
2
1
0
( arcsin y) dy (arcsin y) dy
2 2 0 0
1
1
( 2 2 arcsin y)dy 2 2 .
0
1
类似的例题见 P280，例 8
例4 证明由平面图形 0 a b,0 y f ( x ) （f ( x ) 连续） 绕 y 轴旋转而成的立体的体积为
b
s a
1 y 2 dx
n
0
x nt
n

x 1 sin dx n
0

1 sin t ndt
2 2
0
sin t cos t 2 sin t cos t dt 2 2 2 2
sin t cos t dt 4n. n 0 2 2
V ( y )dy
2 c
d
例1 求椭圆
x2 y2 2 2 1 a b
c
o
x ( y)
所围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周所成的旋转 体（旋转椭球体）的体积
x
解
①这个旋转体可以看成是由半个椭圆
b 2 2 y a x a 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体
2 2
( )
r 2 ( ) r 2 ( )d , ds (dx ) (dy )
弧长
s


r 2 ( ) r 2 ( )d .
例 11 求阿基米德螺线r a (a 0) 上相应于
从 0到 2 的弧长.
解
r a,
§2、定积分的 几何应用
二、平面曲线的弧长
弧长的概念
设 A、 B 是曲线弧上的两 y 个端点，在弧上插入分点
M2
M1 M n1
B Mn
A M 0 , M 1 , M i , , M n 1 , M n B
o
A M0
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
的一段弧的长度.
解
y x ,
1 2
ds 1 ( x )2 dx
1 2
所求弧长为
s a 1 xdx
2 [(1 b) (1 a ) ]. 3
3 2 3 2
b
a
b
例8
计算曲线 y

x n
0
n sin d 的弧长 (0 x n) .
解
x 1 x y n sin sin , n n n
b
V 2 xf ( x )dx
a
证
[ x , x dx ] [a , b] 对应的部分量 V
可近似看成内径为 x ，外径为 x + dx 高为 f ( x ) 的薄壁圆筒 故
V [( x dx) x ] f ( x )
2 2
dV 2xf ( x )dx
2
2 3
2 3

3
旋转体的体积 2 2 3 a 32 3 3 3 a . V a x dx a 105
例3 求曲线 y=sinx 对应 [0, ] 的一段图形分别 绕 x 轴、 y 轴旋转构成旋转体的体积.
解
绕 x 轴旋转的旋转体体积
圆柱
圆锥
圆台
【问题】如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直 线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴 旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，x [a , b] y
y f ( x)
在[a , b]上任取微元 [ x , x dx ]，
或展开后近似于长为 2x 宽为 dx 高为 f(x) 的薄长方体 dV 2xf ( x )dx
V 2 xf ( x )dx
a
b
利用这个公式，解上例第2问
Vy 2 x sin xdx 2 xd ( cos x)
0os x 0 cos xdx] 2 2 [sin x] 0

s

0
r 2 ( ) r 2 ( )d
a a d a 0
2 2 2
2
2
2 1d
a 2 1 4 2 ln( 2 1 4 2 ) . 2


三、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
4 b2 2 2 2 V1 2 (a x )dx ab 3 a a
a
②与上同理
椭球体也可以看成由半个椭圆
a 2 x b y2 b 及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体
a2 2 V2 2 (b y 2 )dy b b
b
4 2 a b 3
此折线的长 | M i 1 M i |的极限存在，则称此极限为
i 1 n
曲线弧 AB 的弧长(折线弧长的极限）。
问题：求曲线弧的弧长
1、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x ) (a x b) ，其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数 取积分变量为x ，在[a , b]
特别当 a = b 时
旋转体成为球体