数学选修2-3：统计案例(1)

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高中数学第三章统计案例 1.2 相关系数知识导航北师大版选修2-3(2021年最新整理)

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1。

2相关系数自主整理判断两个变量之间的线性相关关系的方法有：（1）_______________________________________________________________. (2）_______________________________________________________________。

高手笔记1。

假设两个随机变量的数据分别为（x 1，y 1)，（x 2，y 2）,…，（x n ，y n ），则变量间线性相关系数r 的计算公式为r=∑∑∑∑∑∑======---==---=ni i ni i ni ii ni in i ii ni iyyxx xy yn y xn x yx n yx y yx xy y x xl l l 122122121121)()()()(2。

（1）r∈［—1，1］,|r|值越大，误差Q 越小，变量之间的线性相关程度越高. （2）｜r ｜值越接近0,Q 越大，变量之间的线性相关程度越低。

(3)当r ＞0时，l xy ＞0,b=xxxy l l ＞0,两个变量正相关。

当r ＜0时,l xy ＜0，b=xxxy l l ＜0，两个变量负相关。

当r=0时,两个变量线性不相关。

高中数学选修2-3统计案例之线性回归方程习题课

1．相关关系的分类从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．2．线性相关从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．3．回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^，a^其中，b 是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．4．样本相关系数r＝∑i＝1nx i－x y i－y∑i＝1nx i－x2∑i＝1ny i－y2，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．5．线性回归模型(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差．(2)相关指数用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好．规律(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．注意(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．(2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适用于我们所研究的样本总体．考向一相关关系的判断例1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )A．正方形的面积与周长B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间C．人的身高与体重D．人的身高与视力答案：C例2．对变量x、y有观测数据(x i，y i)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v 有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由题图2可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．例3．下面哪些变量是相关关系( )．A．出租车车费与行驶的里程B．房屋面积与房屋价格C．身高与体重D．铁块的大小与质量解析A，B，D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系．答案C例4.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．答案：D例5．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i、v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )．A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．答案C例6．下列关系属于线性负相关的是( )A．父母的身高与子女身高的关系B．球的体积与半径之间的关系C．汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程D．一个家庭的收入与支出解析：选C.A、D中的两个变量属于线性正相关，B中两个变量是函数关系．例7.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：棉花产量y3334536540544545455(1)(2)判断是否具有相关关系．[审题视点] (1)用x轴表示化肥施用量，y轴表示棉花产量，逐一画点．(2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系．解(1)散点图如图所示(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法．在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．例8. 根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．解析从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律，所以两个变量不具有线性相关关系．答案否考向二线性回归方程例9．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y^＝a＋bx中，回归系数b( )A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0解析：选C.∵b＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但b能大于0也能小于0.例10．已知回归方程y^＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________．解析：x与y的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数14.4＝1044＝522.答案：5 22例11．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )．A.y^＝－10x＋200 B.y^＝10x＋200 C.y^＝－10x－200 D.y^＝10x－200解析因为销量与价格负相关，由函数关系考虑为减函数，又因为x，y不能为负数，再排除C，故选A.答案A例12.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)[审题视点] (2)问利用公式求a^、b^，即可求出线性回归方程．(3)问将x＝100代入回归直线方程即可．解(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．(2)由对照数据，计算得：∑i ＝14x 2i ＝86， x ＝3＋4＋5＋64＝ 4.5(吨)，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5(吨)．已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b^＝∑i＝14x i y i－4x·y∑i＝14x2i－4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系，若它们之间有线性相关关系，再求回归直线方程．例13.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y对x的线性回归方程为( )．A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝88＋12x D．y＝176解析由题意得x＝174＋176＋176＋176＋1785＝176(cm)，y＝175＋175＋176＋177＋1775＝176(cm)，由于(x，y)一定满足线性回归方程，经验证知选C.答案C例14.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)回归直线方程y^＝bx＋a；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：x＝0，y＝3.2，b＝26040＝6.5，a＝y－b x＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y －257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2，即y^＝6.5(x－2 006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6．5(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．例15．下列有关回归直线方程y^＝bx＋a 的叙述正确的是( )①反映y^与x之间的函数关系；②反映y与x之间的函数关系；③表示y^与x之间的不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.y^＝bx＋a表示y^与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系；但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故选D.例16．设有一个回归方程y^＝3－5x，变量x增加一个单位时( )A．y平均增加3个单位B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位D．y平均减少3个单位解析：选B.∵－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y平均减少5个单位．例17．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不．正确的是( ) A．由样本数据得到的回归方程y^＝b^x＋a^必过样本中心(x，y)B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.9362，则变量y 和x 之间具有线性相关关系解析：选C.C 中应为R 2越大拟合效果越好．例18．已知回归方程y ^＝2x ＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是( )A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.04解析：选C.当x ＝2时，y ^＝5，当x ＝3时，y ^＝7，当x ＝4时，y ^＝9.∴e ^1＝4.9－5＝－0.1，e ^2＝7.1－7＝0.1， e ^3＝9.1－9＝0.1.∴ i ＝13e ^i 2＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03. 例19．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②回归方程y^＝bx＋a必过点(x，y)；③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的是________．解析：①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．答案：③④例20．在2009年十一国庆8天黄金周期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 99.5110.511销售量y 1110865yx具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为________．解析：由数据表可得x＝10，y＝8，离差x－x：－1，－0.5,0，0.5,1；离差y－y：3,2,0，－2，－3.∴b^＝－1×3－0.5×2－0.5×2－1×3 1＋0.25＋0＋0.25＋1＝－3.2，a^＝y－b^x＝40，∴回归直线方程为y^＝－3.2x＋40.答案：y^＝－3.2x＋40例21．在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：身高(cm)14315615917216517117716116416体重(kg)41496179686974696854的身高和体重之间是否有相关关系．解：以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．12.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(℃)101113128发芽数y(颗)2325302616组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x ＋a^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？解：(1)设抽到不相邻2组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况有4种，所以P(A)＝1－410＝35.(2)由数据求得，x＝12，y＝27，由公式求得．b^＝52，a^＝y－b^x＝－3.所以y关于x的线性回归方程为y^＝52x－3.(3)当x＝10时，y^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x＝8时，y^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．。

人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

高中数学第三章统计案例综合训练学案新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

第三章统计案例（综合训练1）一、学习要求1．通过典型案例的探究，了解统计学中对两个变量统计分析的思想方法和步骤；2．能综合运用概率、统计的知识解决有关问题。

二、问题探究■合作探究例1．【10新课标（文19）】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例；（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.附：0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828。

【解析】（1）样本中，该地区的老年人需要志愿者提供帮助的有：403070+=（人），∴估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例为：707 50050=。

（2）根据表中数据，得到：，∵，∴有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。

（3）根据（2）的结论可知，地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，所以可按性别进行分层抽样调查，从而能更好地估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例。

■自主探究1．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为。

（Ⅰ）补充完整上面的列联表，并判断是否有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从喜爱打篮球的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？解：（Ⅰ）这50人中喜爱打篮球的人数为:（人）。

列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50，∵，∴有的把握认为喜爱打篮球与性别有关。

基于geogebra平台的数学教学案例——以统计案例中的一道试题为例

基于GeoGebra 平台的数学教学案例王伯龙收稿日期：2019-05-25基金项目：宁夏第五届基础教育课题——高中数学教学中培养学生创新思维的实践研究（JXKT-ZS-05-071）.作者简介：王伯龙（1965—），男，中学高级教师，主要从事高中数学解题及课堂教学实践研究.摘要：通过GeoGebra 平台制作统计案例中不同函数模型拟合效果图及残差图等进行比较分析，为学生创设一个乐学的场域，激发学生学习的积极性.关键词：GeoGebra 平台；统计案例；拟合效果；数学教学——以统计案例中的一道试题为例一、GeoGebra 软件的功能GeoGebra 是一款动态教学软件.该软件功能强大、绘图工具齐全、使用简单、交互性强、易操作，同时具备很多其他软件所没有的字母运算、微积分和统计概率等功能.GeoGebra 作为一款集几何画图、代数运算、数据处理和3D 绘图等功能于一体的动态数学学科软件，可以给我们的数学课堂教学带来方便.通过图形与代数的同步变化，使得对图形的研究更加精细和科学化，更好地实现了数与形的融合.GeoGebra 的计算代数系统和指令输入可以提供更为丰富的数学素材，以及更为生动的动态演示过程.例如，可以直接在命令框里输入方程式、点坐标或其他命令来实现图形的更改，也可以实施各种代数运算；代数区、表格区、运算区、3D 绘图区、绘图区等多个模块区域间的相互关联，保证其可视化应用几乎覆盖了高中数学教学的所有领域.二、基于GeoGebra 的统计案例实施例一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关.现收集了7组观测数据列入下表中，试建立y 关于x 的回归方程.温度x /℃产卵数y /个21723112521272429663211535325此题为人教A 版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—3）》（以下统称“教材”）第86页例2，此题要求建立y 关于x 的回归方程，实质上包括了三个问题的解决：（1）作出温度和产卵数的散点图，根据散点图观察、猜想它们之间的关系；（2）建立以温度为解释变量，产卵数为预报变量的回归模型，并计算残差，通过残差进行分析；（3）计算R 2，利用其值判断所建立的模型能否很好地刻画温度和产卵数之间的关系，并说明理由.此题对于初学统计知识的高中生来说是有一定的难度的，但是它确实是一道很好的范例.首先，它让学生学会认识数据、分析数据.在统计问题中，分析数据是首要的，明确如何利用已知的数据是非常重要的；其次，此题具有很好的示范作用，我们将建立y 关于x 的回归方程这一问题细分为三个小问题，一步步引导学生解决问题，而不是简单地给出一个问题让学生来分析求解.第一步让学生画散点图；第二步给出两个设置好的变量，引导学生建立回归模型；第三步再去分析各个量之间的关系.这样的模式能让学生··61学会解决类似问题的思想方法，这也是解决实际问题的示范步骤.这样的案例设置在高中教材中，不会让学生感到无所适从.1.教材处理及学生困惑分析对于上述例题，教材的处理是利用收集到的数据作出散点图、观察散点图，借助学生已有的函数知识，建立两种回归模型，分别是指数曲线y=c1e c2x和二次曲线y=c3x2+c4.但是这两种模型都不是直线型，然后通过变量代换，令z=ln y和t=x2，使得指数曲线变为直线z=bx+a()a=ln c1，b=ln c2，重新收集数据，再画出变换后的新数据散点图，用线性回归方程来拟合；二次曲线变为y=c3t+c4，重新收集数据，再画出变换后的新数据散点图，发现散点的分布不在一条直线的周围.因此，要比较这两种不同的模型，需要比较它们的残差，要比较残差，需要建立回归方程.于是又建立了二次回归方程.通过两个回归方程，利用残差的计算公式得到两种模型的残差，通过对残差的粗略比较，得出指数曲线模型比二次曲线模型的拟合效果更好.为了进一步验证得到的结论，又指出用R2来比较两种模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好.再利用残差表算出这两个模型的R2分别约为0.98和0.80.因为0.98>0.80，所以进一步证实了指数曲线模型拟合效果比二次曲线模型拟合效果更好.学生学习中的困惑：教材中一共作了三个散点图，需要进行两次变量代换重新收集数据，特别是将指数模型通过对数代换转化为直线模型，学生不易想到，会问为什么这样做.同时，代换后收集数据，需要对数运算，运算量比较大，加之要作出新数据的散点图，由于出现多位小数，给作图带来不便，也给求线性回归方程带来了很大的计算量；对于二次模型，通过代换后收集到的数据数值比较大，导致学生作散点图既不方便，又不精确.同时也给求回归方程带来很大的计算量.教材在比较两个模型的拟合效果时，是通过分别计算它们的残差和相关系数的平方来实现的，尽管计算残差和R2的思路简单，但是计算量非常大.即使学生用计算器来实施此题的相关计算，也是很浪费时间的，教材用了近四个版面对上述例题进行分析解决，课堂效率较低，且不能较好地激发学生学习的积极性.有没有激发学生学习兴趣的实施方法呢？笔者经过学习研究，发现利用GeoGebra平台进行辅助教学效果极佳.2.GeoGebra平台的教学实施由GeoGebra具有数据统计分析、代数运算、函数画图、命令输入等功能，故我们可以将上述案例借助GeoGebra平台来实施.（1）作散点图.打开GeoGebra界面，在“视图”菜单栏里点击表格区，在界面右侧出现表格区，然后在表格区内输入表1中的对应数据，再用鼠标左键拉灰数据，点击右键弹出对话框，点击对话框中的“创建”“点列”，这样就在绘图区内作出了散点图，如图1所示.图1（2）三个不同函数模型的拟合效果比较.作好散点图后，教师引导学生观察，借助函数知识，让学生猜想、建立回归模型.学生通过观察、思考和交流，发现可以建立三种不同的曲线模型，它们分别是指数函数曲线模型、幂函数曲线模型和二次函数曲线模型.①指数函数曲线模型.在图1的基础上，在输入指令栏里输入“指数”，将会弹出“指数拟合（<点列1>），将<点列1>改为“l1”，击键盘回车键后，在界面的绘图区中绘出指数曲线，同时在代数区内显示函数f()x=0.02e0.27x（在“选项”菜单栏里先点击保留小数点后两位）.同时，··62在输入指令栏里输入“可决系数”将会弹出“指数R 方（<点列1>，<函数>），将“<点列1>，<函数>”改为“l 1，f ()x ”，点击键盘回车键后在界面的代数区内显示a =0.98（即R 2=0.98），如图2所示.图2②幂函数曲线模型.与指数模型的操作类似，只需将①中“指数”，换成“幂函数”，“指数拟合（<点列1>）”改为“幂函数拟合（<点列1>）”，“保留两位小数”改为“保留三个有效数字”，将会在界面的绘图区中绘出幂函数曲线，同时在代数区内显示函数f ()x =0.000000000884x 7.42及a =0.925（即R 2=0.925），如图3所示.图3③二次函数曲线模型.在输入指令栏里输入“多项式”将会弹出“多项式拟合（<点列1>，<多项式次数>），将<点列1>，<多项式次数>改为“l 1，2”，点击键盘回车键后，在界面的绘图区中绘出二次曲线，同时在代数区内显示函数f ()x =2.55x 2-123.06x +1480（在“选项”菜单栏里先点击保留小数点后两位），同时，在输入指令栏里输入“可决系数”将会弹出“多项式R 方（<点列1>，<函数>），将“<点列1>，<函数>”改为“l 1，f ()x ”，点击键盘回车键后，在界面的代数区内显示a =0.96（即R 2=0.96），如图4所示.图4作出三种不同的曲线模型效果图后，教师引导学生观察、分析曲线，通过直观感知，判断三种不同曲线的拟合效果，可以放大图象，做进一步的分析、比较，然后利用它们的R 2值来验证学生的判断.通过观察图象及R 2值的大小比较，我们得出了指数函数模型的拟合效果最好，二次函数模型的拟合效果要比教材中建立的二次函数模型的拟合效果更精细，幂函数模型的拟合效果最差.将三种不同函数的模型建立在同一界面中，更具比较性，如图5所示.图5（3）三种不同函数模型的残差分析.指数模型残差图：在图1的基础上，作出指数函数模型曲线，在输入指令区内输入“残差”，将会弹出“残差图（<点列>，<函数>）”，将其改为“残差图（l 1，f ()x ）”，就可以在绘图区内绘出指数函数模型的残差图，然后，用鼠标选中曲线点击右键弹出对话框，在对话框中点击“显示对象”就隐藏了曲线，这样就作出了如图6所示的残差图.··63图6类似的，我们还可以作出幂函数模型的残差图，（如图7），以及二次函数模型的残差图（如图8）.图7图8教师引导学生观察、比较三个残差图，进行分析研究，通过比较三个不同函数模型的残差图，粗略的发现指数函数模型的残差集中在x 轴周围，即残差的绝对值比较小；幂函数模型的残差在x 轴周围比较分散，即残差的绝对值比较大，故得出指数函数模型的拟合效果最好，幂函数模型的拟合效果最差.3.两种教学设计的效果分析教材的设计，作图、计算等容量很大，学生按照教材的叙述或教师的指令操作，无暇思考.尽管这样，一节课也很难完成任务，更不要说做练习题，整堂课的教学是在教师的主动告知与学生的被动接受下进行的，抑制了学生的数学思维，课堂效率较低.基于GeoGebra 平台的设计，给课堂教学创设了一个生动、逼真的情境，使学生在一个丰富的、可视化的场域中快乐的学习，学生参与、思考、交流的意识强烈.同时，为课堂教学节余了一定的时间，使得学生有自主学习、练习强化的时间，提高了课堂教学的效率.另外，本设计比教材设计多出了一个幂函数模型，能够让学生对更多模型进行对比分析.特别是残差图比教材中计算出来的残差值更具直观性，有利于观察、分析，更重要的是调动了学生学习的积极性.三、结束语在“互联网+”时代，信息技术的应用正在对数学教育产生深远的影响.如何使数学教学适应时代的发展，已经成为相关人士所关注的焦点.在本节课的教学中，运用GeoGebra 平台制作统计中函数模型拟合图象、显示出回归方程及R 2的值和绘制残差图等，不仅创设了教学情境，而且达到了启发学生思维的作用，较好地落实了培养学生数学核心素养的目标.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］王贵军.GeoGebra 与数学实验［M ］.北京：清华大学出版社，2017.［3］张志勇.高中数学可视化教学：原则、途径与策略：基于GeoGebra 平台［J ］.数学通报，2018，57（7）：21-24，28.读者可加入地域读者沟通群资源··64。

(北师大版)南京市高中数学选修2-3第三章《统计案例》测试题(答案解析)

一、选择题1．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.53z x =+，则c =（） A ．3B ．3eC ．0.5D ．0.5e2．2019年10月18日-27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌.为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12；②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．0B ．1C ．2D ．33．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（） A ．回归分析和独立性检验没有什么区别；B ．回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；C ．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．D ．回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；4．已知x 与y 之间的几组数据如下表:x 1 2 4 5 y 0 2 3 5假设根据上表数据所得线性回归直线方程y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2),求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是( ) A ．b>b',a>a' B ．b<b',a<a' C ．b>b',a<a'D ．b<b',a>a'5．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算2K 的观测值10k ，则下列选项正确的是（） A ．有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5％的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9％的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9％的把握认为使用智能手机对学习无影响6．某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：序号 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20数学成绩 95 75 80 94 92 65 67 84 987167 93 64 787790 57 83 72 83物理成绩90 63 72 87 917158 82 93 817782 48 85 69 91 61 84 78 86若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀，则有多少把握认为学生的数学成绩与物理成绩有关系（）A ．95%B ．97.5%C ．99.5%D ．99.9%7．下列判断错误的是A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,30.72N P σξ≤=,则()10.28P ξ≤-=；B ．若n 组数据()()()1122,,,,...,,n n x y x y x y 的散点都在1y x =-+上，则相关系数1r =-；C ．若随机变量ξ服从二项分布： 15,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭, 则()1E ξ=； D ．am bm >是a b >的充分不必要条件；8．某中学共有5000人，其中男生3500人，女生1500人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：附：22()=()()()()n ad bc K a c b d a d b c -++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.100.050.01 0.0050k 2.7063.8416.6357.879已知在样本数据中，有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理，我们（）A ．没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”B ．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C ．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D ．有99.5%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”9．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：性别与读营养说明列联表女男合计读营养说明 16 28 44 不读营养说明 20 8 28 总计363672请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系 ( ) A ．99%的可能性 B ．99.75%的可能性 C ．99.5%的可能性 D ．97.5%的可能性10．下列命题中：①线性回归方程y bx a =+必过点(),x y ；②在回归方程35y x =-中，当变量增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③在回归分析中，相关指数2R 为0.80的模型比相关指数2R 为0.98的模型拟合的效果要好；④在回归直线0.58ˆyx =-中，变量2x =时，变量y 的值一定是-7．其中假命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．411．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：由上表中数据计算得2K =()21051030204555503075⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”（）A ．1％B ．99％C ．2.5％D ．97.5％12．已知回归方程0.8585.7y x ∧=-,则该方程在样本()165,57 处的残差为( ) A ．111.55B ．54.5C ．3.45D ．2.45二、填空题13．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K 2≈3．852＞3．841，则判断性别与是否爱好运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过________． 14．若两个分类变量X 与Y 的列联表为：则“X 与Y 之间有关系”这个结论出错的可能性为________．15．新闻媒体为了了解观众对央视某节目的喜爱与性别是否有关，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的2×2列联表：试根据样本估计总体的思想，估计约有________的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”．参考附表：(参考公式：K 2＝()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++，其中n=a+b+c+d)16．如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量（吨)与相应的生产能耗（吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为__________．17．已知方程ˆ0.8582.71yx =-是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x 的单位是cm ，ˆy的单位是kg ，那么针对某个体(160,53)的残差是______________． 18．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若{},,1234a b c ∈，，，，且a ，b ，c互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是__________． 19．给出下列结论：（1）在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；（2）某工产加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量；（3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；（4）若关于x 的不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则a 的最大值是1；（5）甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件A ：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B ：“甲，乙都没有击中目标”是相互独立事件．其中结论正确的是．（把所有正确结论的序号填上）20．在2017年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y1110865由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：3.2y x a =-+，则a =__________．三、解答题21．某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚（每间一亩）进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成散点图.光照时长为x （单位：小时），大棚蔬菜产量为y （单位：千斤每亩），记ln w x =.（1）根据散点图判断，y a bx =+与ln y c d x =+⋅，哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y 关于光照时长x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（结果保留小数点后两位）（3）根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14小时内拟合程度良好，利用（2）中所求方程估计当光照时长为2e 小时（自然对数的底 2.71828e ≈），大棚蔬菜亩产约为多少. 参数数据：参考公式：β关于α的线性回归方程m n βα=⋅+中，1221i ii nii n m n αβαβαα==-⋅=-∑∑，n m βα=-⋅22．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，根据上表数据将如下列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关.（2）将200名患者的潜伏期超过6天的频率视为该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该团队随机调查了该地区20名患者，其中潜伏期超过6天的人数为X ，求随机变量X 的期望和方差. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 23．新冠肺炎疫情防控时期，各级各类学校纷纷组织师生开展了“停课不停学”活动，为了解班级线上学习情况，某位班主任老师进行了有关调查研究.（1）从班级随机选出5名同学，对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩，如下表：参考公式：在线性回归方程y bx a =+，()()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xn x====---==--∑∑∑∑，a y bx =-（2）针对全班45名同学（25名女生，20名男生）的线上学习满意度调查中，女姓满意率为80%，男生满意率为75%，填写下面列联表，判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为线上学习满意度与学生性别有关？参考公式和数据：()()()()()2n ad bc x a b c d a c b d -=++++，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P x k k ≥24．为了了解某校高中生的身体质量情况，某调查机构进行了一次高一学生体重和身高的抽样调查，从中抽取了8名学生（编号为18）的身高(cm)x 和体重(kg)y 数据.如下表，某调查机构分析发现学生的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析并计算出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.5ya x =+，且根据回归方程预估一名身高为180cm 的学生体重为71kg ，计算得到的其他数据如下：81170,89920i ii x x y===∑.（1）求a 的值及表格中8名学生体重的平均值y ；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的学生体重数据有误，应为63kg ，身高数据无误.请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm 的学生的体重.附：回归直线方程ˆˆˆy a bx=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-. 25．冠状病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新型冠状病毒（nCoV ）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.（1）某科研团队为研究潜伏期与新冠肺炎患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新冠肺炎患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占15，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占35，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x ，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？附1：()()()()()22n ad bc X a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()20P X k ≥0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 0k 2.7063.8416.6357.87910.828（2）某地区的新冠肺炎治愈人数y （人）与3月份的时间x （日）满足回归直线方程ˆˆˆybx a =+，统计数据如下： 3月日期（日） 2 3 4 5 6治愈人数（人）25304045t已知5=11405i i y y ==∑，52=190i i x =∑，5=1885i i i x y =∑，请利用所给数据求t 和回归直线方程ˆˆˆy bx a =+；附2：()1221ˆni ii ni i x y nx ybx n x ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-. 26．某企业组织应聘该企业的100名应届毕业生参加专业能力测试（满分100分），这100名毕业生的成绩的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，根据频率分布直方图求进入该企业面试的分数线；（Ⅱ）若被测试的毕业生中有40名女生，进入面试的有15名女生，35名男生，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为成绩与性别有关.成绩<分数线成绩≥分数线总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++)2k【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据指对数互化求解即可. 【详解】解：因为0.53z x =+，ln z y =，所以0.53ln x y +=，所以0.5330.5x x y e e e +==⨯，故3c e =.故选：B. 【点睛】本题考查非线性回归问题的转化，是基础题.2．B解析：B 【分析】依次判断每个选项：计算概率为25得到①错误；计算2 5.952K ≈得到②错，③对得到答案. 【详解】任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为20025005=，故①错误；22(2003050220)5005.95225025042080K ⨯-⨯⨯=≈⨯⨯⨯，故②错，③对故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算和独立性检验，意在考查学生的综合应用能力.3．D解析：D 【分析】根据题意可知，利用回归分析和独立性检验的定义，排除错误选项，即可求解出答案．【详解】回归分析是指将具有相关关系的两个变量之间的数量关系进行测定，通过建立数学表达式进行统计估计和预测的统计研究方法．独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析，并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能100%肯定这种关系．根据以上定义，可知A 、B 、C 均错误，故答案选D ．【点睛】本题主要考查了回归分析与独立性检验的定义的区别．4．D解析：D 【解析】【分析】先根据()()1,0,2,2求得直线y b x a ='+'的方程.然后计算出回归直线方程y bx a =+，由此比较大小，得出正确的结论. 【详解】由于直线y b x a ='+'过()()1,0,2,2，将两点坐标代入直线方程得022b a b a +=⎧⎨+=''''⎩，解得2,2b a ''==-.124534x +++==，02352.54y +++==，1122334414122542x y x y x y x y +++=+++=.2222123414162546x x x x +++=+++=，故24243 2.54230121.24643463610b -⨯⨯-====-⨯-， 2.5 1.23 2.5 3.6 1.1a =-⨯=-=-.所以,a a b b >'<'，故选D.【点睛】本小题主要考查利用直线上的两点坐标求直线方程的方法，考查回归直线方程的计算，属于中档题.5．A解析：A 【解析】【分析】由题意结合2K 的观测值k 由独立性检验的数学思想给出正确的结论即可. 【详解】由于2K 的观测值10k =7.879>,其对应的值0.0050.5%=，据此结合独立性检验的思想可知：有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响. 本题选择A 选项. 【点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．6．C解析：C 【解析】分析：根据题意,列出22⨯列联表,求出观测值2K ,根据观测值对应的数值得出结论. 详解：根据题意,列出22⨯列联表,如下;则220(51212)8.80177.879671413K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,因为观测值对应的数值为0.005,所以有99.5%的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系.故选C.点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题．考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力.7．D解析：D 【解析】分析：根据正态分布的对称性求出()1P ξ≤-的值，判断A 正确；根据线性相关关系与相关系数的定义，判断B 正确；根据二项分布的均值计算公式求出()E ξ的值，判断C 正确；判断充分性和必要性是否成立，得出D 错误．详解：对于A ，随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，∴曲线关于1ξ=对称，131310.720.28PP P ξξξ∴≤-=≥=-≤=-=（）（）（），A 正确；对于B ，若n 组数据()()()1122,,,,...,,n n x y x y x y 的散点都在1y x =-+上，则x y ，成负相关，且相关关系最强，此时相关系数1r =-，B 正确；对于C ，若随机变量ξ服从二项分布： 15,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则1515E（），ξ=⨯= C 正确；对于D ，am ＞bm 时，a ＞b 不一定成立，即充分性不成立，a b am bm ＞时，＞不一定成立，即必要性不成立，是既不充分也不必要条件，D 错误．故选：D ．点睛：本题考查了命题真假的判断问题，是综合题．8．B解析：B 【解析】分析：根据题设收集的数据，得到男生学生的人数，进而得出22⨯的列联表，利用计算公式，求解2K 的值，即可作出判断.详解：由题意得，从5000人中，其中男生3500人，女生1500人，抽取一个容量为300人的样本，其中男女各抽取的人数为35003002105000⨯=人，1500300905000⨯=人，又由频率分布直方图可知，每周体育锻炼时间超过4小时的人数的频率为0.75，所以在300人中每周体育锻炼时间超过4小时的人数为3000.75225⨯=人，又在每周体育锻炼时间超过4小时的人数中，女生有60人，所以男生有22560165-=人，可得如下的22⨯的列联表：结合列联表可算得22300(456016530) 4.762 3.8412109075225K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”，故选B.点睛：本题主要考查了独立性检验的基础知识的应用，其中根据题设条件得到男女生的人数，得出22⨯的列联表，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9．C解析：C 【详解】由题意可知16,28,20,8a b c d ====，44,28,36,36a b c d a c c d +=+=+=+=，72n a b c d =+++=，代入公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++得()227216828208.4244283636K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于28.427.879K ≈>，我们就有0099.5的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有0099.5的可能是有关系的，故选C ．10．C解析：C 【解析】对于①，线性回归方程 ˆˆˆybx a =+必过点)x y （，，满足回归直线的性质，所以①正确；对于②，在回归方程ˆ35y x =-中，当变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，不是增加5个单位；所以②不正确；对于③，在回归分析中，相关指数2R 为0.80的模型比相关指数2R 为0.98的模型拟合的效果要好，该判断恰好相反；所以③不正确；对于④，在回归直线0.58ˆy x =-中，变量2x =时，变量y 的值一定是-7．不是一定为7，而是可能是7，也可能在7附近，所以④不正确；故选C.11．D解析：D 【解析】试题由题根据二列联表得出；2K=()21051030204555503075⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.109，对应参考值得 2 5.024K >，则有10.0250.975-=，即有97.5%的把握认为文化程度与月收入有关系。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第三章《统计案例》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表为：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．A ．5,35b d ==B ．15,25b d ==C ．20,20b d ==D ．30,10b d ==2．已知x 与y 之间的几组数据如下表: x 1 2 4 5 y 0 2 3 5假设根据上表数据所得线性回归直线方程y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2),求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是( ) A ．b>b',a>a' B ．b<b',a<a' C ．b>b',a<a' D ．b<b',a>a'3．经过对K 2的统计量的研究，得到了若干个观测值，当K 2≈6.706时，我们认为两分类变量A 、B ( )A ．有67.06%的把握认为A 与B 有关系 B ．有99%的把握认为A 与B 有关系C ．有0.010的把握认为A 与B 有关系D ．没有充分理由说明A 与B 有关系 4．有如下几个结论： ①相关指数R 2越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好； ②回归直线方程：y bx a =+，一定过样本点的中心：(,)x y ③残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适； ④在独立性检验中，若公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，中的|ad-bc|的值越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越强．其中正确结论的个数有（）个． A ．1B ．2C ．3D ．45．下列判断错误的是A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,30.72N P σξ≤=,则()10.28P ξ≤-=；B ．若n 组数据()()()1122,,,,...,,n n x y x y x y 的散点都在1y x =-+上，则相关系数1r =-；C ．若随机变量ξ服从二项分布： 15,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭, 则()1E ξ=； D ．am bm >是a b >的充分不必要条件；6．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y3040506070根据上表可得回归方程y bx a =+，计算得7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为 A ．75万元 B ．85万元 C ．99万元D ．105万元7．下列说法中，不正确的是A ．两个变量的任何一组观测值都能得到线性回归方程B ．在平面直角坐标系中，用描点的方法得到表示两个变量的关系的图象叫做散点图C ．线性回归方程反映了两个变量所具备的线性相关关系D ．线性相关关系可分为正相关和负相关8．为考察数学成绩与物理成绩的关系,在高二随机抽取了300名学生,得到下面的列联表:数学85～100分数学85分以下总计物理85～100分 37 85 122 物理85分以下 35 143 178 总计72228300现判断数学成绩与物理成绩有关系,则犯错误的概率不超过 ( ) A ．0.005 B ．0.01C ．0.02D ．0.059．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是（）A ．男、女人患色盲的频率分别为0.038,0.006B ．男、女人患色盲的概率分别为，C ．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的D ．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关10．已知,x y 的取值如下表：（）x0 1， 2 3 4 y11.33.25.68.9若依据表中数据所画的散点图中，所有样本点()(,)1,2,3,4,5i i x y i =都在曲线212y x a =+附近波动，则a =（） A ．1B ．12C ．13D ．12-11．已知变量x ，y 的一组观测数据如表所示： x 3 4 5 6 7 y4.02.5-0.50.5-2.0据此得到的回归方程为y bx a =+，若a =7.9，则x 每增加1个单位，y 的预测值就（） A ．增加1.4个单位 B ．减少1.2个单位C ．增加1.2个单位D ．减少1.4个单位12．下列说法：①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大.②以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3.③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，2,1,3b x y ===，则1a =.④如果两个变量x 与y 之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据()(,1,2,,)i i x y i n =不能写出一个线性方程正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．x ,y 的取值如下表: x-2-1.5-1-0.50.51y 0.26 0.35 0.51 0.71 1.1 1.41 2.05则x ,y 之间的关系可选用函数___进行拟合.14．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程＝x ＋必过(，)；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________． 15．教材上一例问题如下：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据如下表，试建立y 与x 之间的回归方程．温度 x /℃ 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y /个711212466115325某同学利用图形计算器研究它时，先作出散点图（如图所示），发现两个变量不呈线性相关关系．根据已有的函数知识，发现样本点分布在某一条指数型曲线21c xy c e =的附近（1c 和2c 是待定的参数），于是进行了如下的计算：根据以上计算结果，可以得到红铃虫的产卵数y 对温度x 的回归方程为__________．（精确到0.0001）（提示：21c xy c e =利用代换可转化为线性关系） 16．给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程:l ˆybx a =+，则l 一定经过点(),x y P ； ③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤在回归直线方程0.110ˆyx =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位，其中真命题的序号是___________．17．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1； ③某项测量结果服从正太态布，则； ④对于两个分类变量和的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为___________．18．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，“若2x 的观测值为6．635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系”这句话的意思： ①是指“在100个吸烟的人中，必有99个人患肺病 ②是指“有1%的可能性认为推理出现错误”； ③是指“某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病”； ④是指“某人吸烟，如果他患有肺病，那么99%是因为吸烟”．其中正确的解释是______．19．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若{},,1234a b c ∈，，，，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是__________． 20．下列说法：①线性回归方程y bx a =+必过(),x y ；②命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃<+<” ③相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；其中正确．．的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上）本题可参考独立性检验临界值表：三、解答题21．今年疫情期间，许多老师进行抖音直播上课某校团委为了解学生喜欢抖音上课是否与性别有关，从高三年级中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：男生女生合计喜欢抖音上课 10不喜欢抖音上课8合计 30已知在这30人中随机抽取1人抽到喜欢抖音上课的学生的概率是815．（1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢抖音上课与性别有关？（2）若从这30人中的女生中随机抽取2人，记喜欢抖音上课的人数为X ，求X 的分布列、数学期望．附临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.010 0.005 0k2.7063.8416.637.879参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．22．某校从高三年级的男女生中各随机抽取了100人的体育测试成绩（以下称体测成绩，单位：分），数据都落在[)60100,内，其统计数据如表所示（其中不低于80分的学生为优秀）.（1）请根据如表数据完成22⨯列联表，并通过计算判断，是否有95%的把握认为体测成绩与性别有关？（2）视频率为概率，在全校的高三学生中任取3人，记取出的3人中优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++23．支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对使用这两种支付方式的人数作了对比，从全国随机抽取了100个地区作为研究样本，计算了各个地区样本的使用人数，其频率分布直方图如下，（1）记A表示事件“微信支付人数低于50千人”，估计A的概率；（2）填写下面2╳2列联表，并根据2╳2列联表判断是否有99%的把握认为支付人数与支付方式有关；支付人数＜50千支付人数≥50千人总计人微信支付支付宝支付总计附：2()P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．24．2020突如其来的疫情让我们经历了最漫长、最特殊的一个假期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后某校进行了摸底考试，某数学教师为了调查高二学生这次摸底考试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的等高条形图：（1）根据等高条形图填写下面22⨯列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；数学成绩不超过120分数学成绩超过120分总计每天在线学习数学不超过1小时 25每天在线学习数学超过1小时总计45（2）从被抽查的，且这次数学成绩超过120分的学生中，再随机抽取3人，求抽取的3人中每天在线学习数学的时长超过1小时的人数ξ的分布列与数学期望. 附临界值表()20P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.25．某单位组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下：学习活跃的员工人数学习不活跃的员工人数甲 18 12 乙328（1）根据表中数据判断能否有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；（2）活动第二周，单位为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？说明理由.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：2(0.1) 2.706P K ≥=，2(0.05) 3.841P K ≥=，2(0.01) 6.635P K ≥=. 26．根据国家统计局数据，1999年至2019年我国进出口贸易总额从3万亿元跃升至31.6万亿元，中国在国际市场上的贸易份额越来越大对外贸易在国民经济中的作用日益突出.将年份1999，2004，2009，2014，2019分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t ，y 表示全国进出口贸易总额.（1）根据以上统计数据及图表，给出了下列两个方案，请解决方案1中的问题. 方案1：用y bt a =+作为全国进出口贸易总额y 关于t 的回归方程，根据以下参考数据，求出y 关于t 的回归方程，并求相关指数21R .方案2：用dt y ce =作为全国进出口贸易总额y 关于t 的回归方程，求得回归方程0.57212.3259x y e =，相关指数22R .（2）通过对比（1）中两个方案的相关指数，你认为哪个方案中的回归方程更合适，并利用此回归方程预测2020年全国进出口贸易总额. 参考数据：①0.140.340.66 1.86 2.048.192++++=②222220.140.34 1.86 2.04 2.1412.336++++=③8.1920.0147555.792≈④12.3360.0222555.792≈参考公式：线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-，相关指数()()221211ni ii n ii y y R yy==-=--∑∑.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，分别利用4个选项中所给数据求出2K 的值，比较所求值的大小即可得结果. 【详解】选项A ：22160(535155)3204010502K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，选项B :22260(5251515)152040204016K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，选项C ：22360(5201520)24204025357K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，选项D ：22460(5101530)96204035257K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，可得222431K K K >>22K >，所以由选项D 中的数据得到的2K 值最大，说明X 与Y 有关系的可能性最大，故选D ．【点睛】本题主考查独立性检验的基本性质，意在考查对基本概念的理解与应用，属于基础题.解答独立性检验问题时，要注意应用2 K 越大两个变量有关的可能性越大这一性质.2．D解析：D 【解析】【分析】先根据()()1,0,2,2求得直线y b x a ='+'的方程.然后计算出回归直线方程y bx a =+，由此比较大小，得出正确的结论. 【详解】由于直线y b x a ='+'过()()1,0,2,2，将两点坐标代入直线方程得022b a b a +=⎧⎨+=''''⎩，解得2,2b a ''==-.124534x +++==，02352.54y +++==，1122334414122542x y x y x y x y +++=+++=.2222123414162546x x x x +++=+++=，故24243 2.54230121.24643463610b -⨯⨯-====-⨯-， 2.5 1.23 2.5 3.6 1.1a =-⨯=-=-.所以,a a b b >'<'，故选D.【点睛】本小题主要考查利用直线上的两点坐标求直线方程的方法，考查回归直线方程的计算，属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据所给的观测值，同临界值表中的临界值进行比较，根据P （K 2＞3.841）=0.05，得到我们有1-0.05=95%的把握认为A 与B 有关系．【详解】依据下表：2 6.635K ＞， 2 6.6350.01P K =（＞）∴我们在错误的概率不超过0.01的前提下有99%的把握认为A 与B 有关系，故选B ．【点睛】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解临界值对应的概率的意义，本题不用运算只要理解概率的意义即可．4．D解析：D 【分析】根据相关指数定义、残差平方和含义可得①为真，根据回归直线方程特征可得②为真，根据残差点含义可得③为真，根据卡方含义可得④为真. 【详解】相关指数R 2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好；回归直线方程：ˆy bx a =+，一定过点() ,x y ；若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，则选用的模型比较合适；在独立性检验中，若公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，中的|ad-bc|的值越大，则2K 越大， “两个分类变量有关系”的可能性越强．选D. 【点睛】相关指数R 2越大，残差平方和越小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域，则模型的拟合效果越好；在独立性检验中，若2 K 越大，则两个变量有关系越强；回归直线方程：ˆy bx a =+，一定过点() ,x y .5．D解析：D 【解析】分析：根据正态分布的对称性求出()1P ξ≤-的值，判断A 正确；根据线性相关关系与相关系数的定义，判断B 正确；根据二项分布的均值计算公式求出()E ξ的值，判断C 正确；判断充分性和必要性是否成立，得出D 错误．详解：对于A ，随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，∴曲线关于1ξ=对称，131310.720.28PP P ξξξ∴≤-=≥=-≤=-=（）（）（），A 正确；对于B ，若n 组数据()()()1122,,,,...,,n n x y x y x y 的散点都在1y x =-+上，则x y ，成负相关，且相关关系最强，此时相关系数1r =-，B 正确；对于C ，若随机变量ξ服从二项分布： 15,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则1515E（），ξ=⨯= C 正确；对于D ，am ＞bm 时，a ＞b 不一定成立，即充分性不成立，a b am bm ＞时，＞不一定成立，即必要性不成立，是既不充分也不必要条件，D 错误．故选：D ．点睛：本题考查了命题真假的判断问题，是综合题．6．B解析：B 【解析】分析：根据表中数据求得样本中心(,)x y ，代入回归方程ˆ7ˆyx a =+后求得ˆa ，然后再求当10x =的函数值即可．详解：由题意得11(24568)5,(3040506070)5055x y =++++==++++=， ∴样本中心为(5,50)．∵回归直线ˆ7ˆyx a =+过样本中心(5,50)， ∴ˆ5075a=⨯+，解得ˆ15a =， ∴回归直线方程为ˆ715yx =+．当10x =时，710158ˆ5y=⨯+=，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．故选B ．点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题．7．A解析：A 【解析】要得到线性回归方程应至少有两个变量的两组观测值，因此A 不正确．根据散点图、线性回归方程、线性相关关系的概念可得B ，C ，D 都正确．故选A ．8．D解析：D 【解析】因为K 2的观测值k=2300(371433585)12217872228⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.514>3.841, 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩与物理成绩有关系. 选D.9．C解析：C 【解析】男人中患色盲的比例为，要比女人中患色盲的比例大，其差值为，差值较大，所以认为患色盲与性别是有关的．考点：独立性检验.10．A解析：A 【解析】设2t x = ，则11(014916)6,(1 1.3 3.2 5.68.9)455t y =++++==++++=，所以点（6,4）在直线12y t a =+上，求出1a =，选A. 点睛：本题主要考查了散点图，属于基础题．样本点的中心(),x y 一定在直线回归直线上，本题关键是将原曲线变形为12y t a =+，将点（6,4）代入，求出值． 11．D解析：D 【解析】由表格得 5x =， 0.9y =，∵回归直线方程为7ˆ9ˆ.y bx=+，过样本中心， ∴57.90.9b +=，即75b =-，则方程为77.95ˆyx =-+，则x 每增加1个单位，y 的预测值就减少1.4个单位，故选D.12．C解析：C 【解析】①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大，正确； ②∵kx y ce =，∴两边取对数,可得lny ln =(kx ce )kx lnc lnce lnc kx =+=+，令z lny =，可得z lnc kx =+， ∵0.34z x =+， ∴40.3lnc k ==， ∴4c e =.即②正确；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y =a +bx 中，2,1,3b x y ===，则a =1，正确。

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第一章计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m ×n 种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n 元集合A={a 1，a 2⋯，a n }的不同子集有2n 个。

1.2 排列与组合 1.2.1 排列一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A n m 表示。

排列数公式：n 个元素的全排列数规定：0!=11.2.2 组合一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合(combination)。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C n m 或(n m )表示。

组合数公式：∵ A n m =C n m ∙A m m∴规定：C n 0组合数的性质：1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！ (1) 对称性(2) 当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项C n n 2+1取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项C n n−12，C n n+12同时取得最大值。

高中数学选修2-3统计案例之线性回归方程习题课

1．相关关系的分类从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．2．线性相关从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．3．回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^，a^其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．4．样本相关系数r＝∑i＝1n(x i－x)(y i－y)∑i＝1n(x i－x)2∑i＝1n(y i－y)2，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．5．线性回归模型(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差．(2)相关指数用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好．规律(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．注意(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．(2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适用于我们所研究的样本总体．考向一相关关系的判断例1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )A．正方形的面积与周长B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间C．人的身高与体重D．人的身高与视力答案：C例2．对变量x、y有观测数据(x i，y i)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v 有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由题图2可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．例3．下面哪些变量是相关关系()．A．出租车车费与行驶的里程B．房屋面积与房屋价格C．身高与体重D．铁块的大小与质量解析A，B，D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系．答案 C例4.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．答案：D例5．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v 有观测数据(u i、v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()．A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．答案 C例6．下列关系属于线性负相关的是( )A．父母的身高与子女身高的关系B．球的体积与半径之间的关系C．汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程D．一个家庭的收入与支出解析：选C.A、D中的两个变量属于线性正相关，B中两个变量是函数关系．例7.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：(1)画出散点图；(2)判断是否具有相关关系．[审题视点] (1)用x 轴表示化肥施用量，y 轴表示棉花产量，逐一画点．(2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系．解 (1)散点图如图所示(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法．在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．例8. 根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．解析从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律，所以两个变量不具有线性相关关系．答案否考向二线性回归方程例9．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y^＝a＋bx中，回归系数b( )A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0解析：选C.∵b＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但b能大于0也能小于0.例10．已知回归方程y^＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________．解析：x与y的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数14.4＝1044＝522.答案：5 22例11．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()．A.y^＝－10x＋200 B.y^＝10x＋200 C.y^＝－10x－200 D.y^＝10x－200 解析因为销量与价格负相关，由函数关系考虑为减函数，又因为x，y不能为负数，再排除C，故选A.答案 A例12.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)[审题视点] (2)问利用公式求a ^、b ^，即可求出线性回归方程．(3)问将x ＝100代入回归直线方程即可．解 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．(2)由对照数据，计算得：i ＝14x 2i ＝86，x ＝3＋4＋5＋64＝ 4.5(吨)，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5(吨)．已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b ^＝∑i ＝14x i y i －4x ·y ∑i ＝14x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系，若它们之间有线性相关关系，再求回归直线方程．例13.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y对x的线性回归方程为()．A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝88＋12x D．y＝176解析由题意得x＝174＋176＋176＋176＋1785＝176(cm)，y＝175＋175＋176＋177＋1775＝176(cm)，由于(x，y)一定满足线性回归方程，经验证知选C.答案 C例14.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝bx＋a；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得，x＝0，y＝3.2，b＝26040＝6.5，a＝y－b x＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y －257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2，即y^＝6.5(x－2 006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6．5(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．例15．下列有关回归直线方程y^＝bx＋a 的叙述正确的是( )①反映y^与x之间的函数关系；②反映y与x之间的函数关系；③表示y^与x之间的不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.y^＝bx＋a表示y^与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系；但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故选D.例16．设有一个回归方程y^＝3－5x，变量x增加一个单位时( )A．y平均增加3个单位B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位D．y平均减少3个单位解析：选B.∵－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y平均减少5个单位．例17．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不．正确的是( ) A．由样本数据得到的回归方程y^＝b^x＋a^必过样本中心(x，y)B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r ＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系解析：选C.C中应为R2越大拟合效果越好．例18．已知回归方程y^＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是( )A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.04解析：选C.当x ＝2时，y ^＝5，当x ＝3时，y ^＝7，当x ＝4时，y ^＝9.∴e ^1＝4.9－5＝－0.1，e ^2＝7.1－7＝0.1， e ^3＝9.1－9＝0.1.∴ i ＝13e ^i 2＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03.例19．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②回归方程y ^＝bx ＋a 必过点(x ，y )； ③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是 90%.其中错误的是________．解析：①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．答案：③④例20．在2009年十一国庆8天黄金周期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：9通过分析，发现销售量对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为________．解析：由数据表可得x＝10，y＝8，离差x－x：－1，－0.5,0，0.5,1；离差y－y：3,2,0，－2，－3.∴b^＝－1×3－0.5×2－0.5×2－1×3 1＋0.25＋0＋0.25＋1＝－3.2，a ^＝y －b ^x ＝40，∴回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40. 答案：y ^＝－3.2x ＋40例21．在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系．解：以x 轴表示身高，y 轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．12.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^ x＋a^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？解：(1)设抽到不相邻2组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况有4种，所以P(A)＝1－410＝35.(2)由数据求得，x＝12，y＝27，由公式求得．b^＝52，a^＝y－b^x＝－3.所以y关于x的线性回归方程为y^＝5 2 x－3.(3)当x＝10时，y^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x＝8时，y^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．。

《统计案例》教案新人教A版选修

《统计案例》教案1（新人教A版选修2-3）第三章统计案例3．1回归分析的基本思想及其初步应用（共计4课时）授课类型：新授课一、教学内容与教学对象分析学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。

二、学习目标1、知识与技能通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。

2、过程与方法本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路-进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。

3、情感、态度与价值观通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。

加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。

教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。

体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。

培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。

三、教学重点、难点教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。

教学难点：求回归系数 a , b ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。

高中数学选修2-3知识点、考点、附典型例题

111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学选修2－3知识点第一章计数原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。

),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ5、公式：，11--=m n m n nA A6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n A A C m nm m m n mn-=+--==Λ)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ;mn n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+8、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n+=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r nr n r r+-==101() 考点：1、排列组合的运用2、二项式定理的应用★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。

概率与统计的思想方法

第7章概率与统计的思想方法内容分布必修数学3：统计（约16课时）概率（约8课时）选修1-2：统计案例（约14课时）选修2-3：统计与概率（概率，统计案例；约22课时）统计：必修数学3：（1）随机抽样（2）用样本估计总体（3）变量的相关性选修1-2、选修2-3：统计案例概率必修数学3：（1）概率的意义（2）两个互斥事件的概率加法（3）古典概型（4）模拟方法，几何概型（初步体会）（5）人类认识随机现象的过程选修2-3：（1）取有限值的离散型随机变量及其分布列（2）超几何分布（3）n次独立试验的模型，二项分布（4）取有限值的离散型随机变量均值、方差（5）正态分布（直观认识）一、概率1.概率的发展简史“赌徒分赌金问题”：一次德·美尔和赌友掷硬币，各押赌注32个金币，掷出正面德·美尔胜一局，掷出反面赌友胜一局，谁先掷出三次正面或三次反面就算赢了对方。

赌博进行了一段时间，德·美尔已掷出了两次“正面”，赌友也掷出了一次“反面”。

这时，德·美尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。

那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？2.概率的统计定义概率的统计定义通常可以这样叙述：:在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数m和总的试验次数n之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。

当试验次数n很大时，频率将“稳定”在一个常数p附近。

n越大，频率偏离这个常数p大的可能性越小。

这个常数p称为该事件的概率。

(1)我们所讨论的现象是可以做‘重复试验’的。

(2)频率和概率的关系。

(3)概率反映的是多次试验中频率的稳定性。

(4)出现频率偏离概率较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。

(5)结果的随机性不同于结果未知。

例1（掷硬币问题）把一个均匀硬币掷100次，出现50次正面的概率有多大？下面是一个模拟试验结果（选自费勒著《概率论及其应用》）。

做了100次试验（在这里，我们把“掷100个均匀硬币”看成是一次试验），每次出现正面个数如下：54 46 53 55 46 54 41 48 51 5348 46 40 53 49 49 48 54 53 4543 52 58 51 51 50 52 50 53 4958 60 54 55 50 48 47 57 52 5548 51 51 49 44 52 50 46 53 4149 50 45 52 52 48 47 47 47 5143 47 41 51 49 59 50 55 53 5053 52 46 52 44 51 48 51 46 5443 47 46 52 47 48 59 57 45 4847 41 51 48 59 51 52 55 39 41例2（彩票中奖问题）设发行的彩票中奖率是0.001。

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(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数 y=c1e��2x的附近,于是令
z=ln y,则所有变换后的样本点应分布在直线 z=bx+a,a=ln c1,b=c2 的周围,
数据可以转化为 x1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
由计算器可求得��^�� =0.69x+1.112,则有��^��=e0.69x+1.112.
79≈8.9,
2≈1.4,n-2=3
时,r0.05=0.878. (1)求��, ��; (2)对 x,y 进行线性相关性检验; (3)如果 x 与 y 具有线性相关关系,求出回归直线方程; (4)假设使用年限为 10 年时,维修费用约是多少万元?
探究一
探究二
解:(1)�� = 2+3+54+5+6=4, �� = 2.2+3.8+55.5+6.5+7.0=5. (2)步骤如下:
0.85×170-85.71=58.79(kg).故 D 选项不正确. 答案:D
12345
4.对具有线性相关关系的变量 x 和 Y,测得一组数据如下表: x2 4 5 6 8 Y 30 40 60 50 70
若已求得它们的回归直线方程的斜率为 6.5,则这条回归直线方程
为
.
答案:��^��=6.5x+17.5
探究一
探究二
【典型例题 2】为了研究某种细菌随时间 x 变化时,繁殖个数 y 的变化,收集数据如下:
天数 x(天)
12 3 4 5 6
繁殖个数 y(个) 6 12 25 49 95 190
(1)用天数 x 作解释变量,繁殖个数 y 作预报变量,作出这些数据的散点
图.
(2)描述解释变量 x 与预报变量 y 之间的关系.
^
(4)当 x=10 时,��=1.23×10+0.08=12.38(万元),即假设使用 10 年时,维修
费用约为 12.38 万元.
探究一
探究二
点评:求回归直线方程的步骤:
(1)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据散点图确定两个变
量之间是否存在相关关系.
(2)把数据制成表,从表中计算出��, ��, ��12 + ��22+…+��2�� ,x1y1+x2y2+…+xnyn
3.2 回归分析
-1-
课程目标
1.能通过收集现实问题中两个有关联的变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 2.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.能通过相关性检验,了解回归分析的基本思想与方法. 4.了解非线性回归问题,并能找出解决问题的一般思路.
(3)计算 R2
��2
=
1-
��∑=��1(��-��^��)2
��∑=��1(��-��)2
.
思路分析:利用散点图分析出拟合函数类型,再进行变换求回归直线,最
后别忘了还原回去.
探究一
探究二
解:(1)散点图如图所示.
探究一
探究二
(3)
^
yi
6.06
12.09
24.09
48.04
95.77
190.95
yi 6
12
25
49
95
190
��
=
377 6
,
��
∑
�� =1
^
(yi-��
)2=3.256
8,
��
∑ (yi-��)2≈24
�� =1
642.8,R2=1-234.2654628.8≈0.999
5
^ (3)��
=
��∑=1��-5�� ∑=51��2�� -5��2
=
112.3-5×4× 90-5×42
5=1.23.
^
^
^
�� = �� − ��=5-1.23×4=0.08.所以回归直线方程为��=1.23x+0.08.
探究一
探究二
【典型例题 1】假设关于某种设备的使用年限 x(年)与所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料:
x2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
5
5
5
已知��∑��=1��2��
=90, ∑
�� =1
��2≈140.8,��∑��=1xiyi=112.3,
��
��
量是样本相关系数 r= ��∑=1(��-��)(��-��) =
��∑=1��-n��
.
��∑=��1(��-��)2��∑=��1(��-��)2
点图易发现,样本点散布在某一条直线附近,而不是一条直线上,不能用一次
函数 y=bx+a 描述它们之间的关系,因此用线性回归模型 y=bx+a+e 来表示,
其中
a,b
^
可以由最小二乘法估计��,
^
��,就是
a,b
的估计值.
一二
二、相关性检验
对于变量 x 与 Y 随机抽取到的 n 对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),检验统计
12345
3.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为
��^��=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( )
A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(��, ��) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 解析:D 选项中,若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重约为
一二
4.作统计推断.如果|r|>r0.05,表明有 95%的把握认为 x 与 Y 之间具有线性相关关系.如果|r|≤r0.05,我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻找回归直
线方程是毫无意义的.
思考 4 两个变量具有相关关系和具有函数关系有何区别?
提示:相关关系与函数关系不同,因为函数关系是一种确定性的关系;而相关关系是一种非确定性的关系,它包括两种情况:一是两个变量中,一个变量为可控制变量,另一个变量为随机变量;二是两个变量均为随机变量.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.另一方面,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可以是伴随关系.
学习脉络
一二
一、回归直线方程
对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),回归直线方程为
^
��
=
^
��
+
^^��x,其中�Fra bibliotek��=
��
��∑=1��-n�� ∑=��1��2�� -n��2
12345
5.为了考察两个变量 Y 与 x 的线性相关性,测得 x,Y 的 13 对数据,若 Y 与 x
具有线性相关关系,则相关系数|r|的取值范围是
.
解析:由小概率 0.05 与 13-2=11 在教材附表中查得 r0.05=0.553,所以 Y 与 x
若具有线性相关关系,则相关系数 r 的取值范围是(0.553,1]. 答案:(0.553,1]
探究一
探究二
探究一线性回归分析
作相关性检验,有时也用作散点图的方法,观察所给的数据列成的点是否在一条直线的附近,这样做既直观又方便,因而对解决相关性检验问题比较常用,但在作图中,由于存在误差,有时又很难说这些点是不是分布在一条直线的附近,这时就很难判断两个变量之间是否具有相关关系,这时就必须利用样本相关系数对其进行相关性检验,计算中应该特别细心,不能出现计算的错误.
9.
12345
1.以下四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
解析:①③中的点分布在一条直线附近,适合线性回归模型.
答案:B
12345
2.有关线性回归的说法,不正确的是( ) A.相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直接反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任意一组数据都有回归方程解析:并不是每一组数据都有回归方程.故 D 不正确,其余均正确. 答案:D
①作统计假设:x 与 y 不具有线性相关关系;
5
②∑ xiyi-5�� =112.3-5×4×5=12.3,

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