最新2015届中考数学总复习“考点突破”训练卷第26讲圆的弧长和图形面积的计算含答案

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2015届湘教版中考数学复习课件(第27课时_与圆有关的计算)

命题角度： 1.已知圆心角和半径求弧长； 2.利用转化思想求弧长．
例1 [2013· 扬州] 如图27－1，在扇形 OAB中，∠AOB＝110°，半径OA＝18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰︵好落在 AB 上的点D处，折痕交OA于点C，︵ 5π ．则AD的长为_______
考点聚焦归类探究回归教材
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第27课时┃ 与圆有关的计算
考点2 扇形的面积公式
nπ r2 (1)S扇形＝ (n°是圆心角度数，r是扇形的半径)． 360 扇形面积 (2)S扇形＝1lr(l是扇形的弧长，r是扇形的半径) 2 弓形面积 S弓形＝S扇形±S△
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第27课时┃ 与圆有关的计算
命题角度： 1. 已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积； 2. 已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．
例2 [2012· 岳阳] 如图27－2所示，在⊙O ︵︵中， AD ＝ AC ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD 与弦AB交于点F，连接BC. (1)求证：AC2＝AB· AF； (2)若⊙O的半径长为2 cm，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积．
第27课时┃ 与圆有关的计算
解析
如图，连接OD.
根据折叠的性质知，OB＝DB. 又∵OD＝OB， ∴OD＝OB＝DB，即△ODB是等边三角形， ∴∠DOB＝60°. ∵∠AOB＝110°， ∴∠AOD＝∠AOB－∠DOB＝50°，︵ 50³π ³18 ∴AD的长为＝5π . 180
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考点3
正多边形和圆
正多边形和圆的关系非常密切，将一个圆n(n≥3) 等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆．正

正多边形与圆及弧长与扇形面积的计算【知识点清单】中考数学一轮复习精讲+热考题型(全国通用)

B A O 专题27 正多边形与圆及弧长与扇形面积计算【知识要点】正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

【解题思路】1.正边形半径、边心距和12边长构成直角三角形。

2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。

正多边形的对称性：1）正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。

【小结】正n 变形的内角为(n−2)×180°n ，外角为3600n ，中心角为3600n 内角和为（ n-2 ）×180°。

【扩展】正多边形常见边心距与边长的比值第一种正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，在Rt △BOD 中，OD:BD:OB=1: √3 : 2 (图一) 变式正三角形内切圆与外切圆半径比为1:2 （图二）第二种正方形在⊙O 中四边形是正方形，在Rt △OAE 中，OE:AE:OE=1:1: √2 (图三) 变式正方形内切圆与外切圆半径比为1: √2 （图四）第三种正六变形在⊙O 中六边形是正六边形，在Rt △OAB ，AB:OB:OA=1: √3 : 2 (图五)图一图二图三图四图五设的半径为R ，圆心角所对弧长为l ，弧长公式：l=nπR180（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）扇形面积公式：圆锥的侧面积公式：122S l r rlππ==(其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。

2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期27.3、圆中的计算问题课件9

面积的多少倍？ n倍
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
nR 2 360
扇形面积公式：
若设⊙O的半径为R，圆心角为n°的扇形的面积为S扇形，
2 n R 则 S扇形= 360
注意:
nR 2 （1）在应用扇形的面积公式S扇形= 进行计算时，要 360
注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. （2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
2.（杭州·中考）如图，5个圆的圆心在同一条直线上,
且互相相切，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这
5个圆的周长的和为 (
A.48 C.12 【答案】B B.24 D.6
)
3.（聊城·中考）将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（⌒ AB）对应的中心角（∠AOB）为120º，AO的长为4 cm，则图中阴影部分的面积为（ A． (
扇形的定义:
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧
所围成的图形叫做扇形.
B
B 弧
扇形 A O A
圆心角 O
已知⊙O半径为R，如何求圆心角为n°的扇形的面积? 研究问题的步骤:
（1）半径为R的圆,面积是多少? S=πR2
2 R （2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? 360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的
16 3 16 3 2)
） B．( 8 2 ) cm2 D．(
3 8 3 2 3) cm2
A O C B
cm2
C．(
2 3)
cm2
【答案】C
4.（济南·中考）如图，四边形OABC为菱形，点B、C在

2015浙江中考试题研究数学精品复习课件第26讲圆的弧长和图形面积的计算

10 1 解析：摸到白球的概率为 P＝＝，设口袋里共有 n 个 100 10 5 1 球，则＝，得 n＝50，所以红球数为 50－5＝45，选 A n 10 【点评】本题每摸一次就相当于做了一次试验，因此大量重复的试验获取的频率可以估计概率．
k 解：(1)将点 A(2，3)代入解析式 y＝，得 k＝6 x 6 6 (2)将 D(3，m)代入反比例解析式 y＝，得 m＝＝2，∴点 x 3 D 坐标为(3，2)，设直线 AD 解析式为 y＝kx＋b，将 A(2，3)与 2k＋b＝3， D(3，2)代入得解得 k＝－1，b＝5，则直线 AD 解析 3k＋b＝2，式为 y＝－x＋5
0 (0，－3) (0，－1) ┄┄ (0等可能的情况有 12 种，其中点(x， y)落在第二象限内的情况 2 1 有 2 种，则 P＝＝ 12 6
【例2】 (2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10 次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有( A )个 A．45 B．48 C．50 D．55
它们所对应的其余各组量都分别相等．
(4)圆周角定理及推论：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__．圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧__相等__． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90°的圆周角所对的弦是__直径__．
(5) 点和圆的位置关系 ( 设 d 为点 P 到圆心的距离， r 为圆

【名师面对面】2015中考数学总复习第6章第25讲圆的弧长和图形面积的计算课件

B
2．(2014·嘉兴)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为( D ) A．15 B．2 C．2.5 D． 3 3．(2014·绍兴)如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90° 的扇形，则该圆锥的底面周长为( B )
4．(2014· 金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪得一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是( A )
2 2 2 2
阴影面积的计算
2．(2014· 昆明)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连结BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)
解：(1)连结 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝2∠1， ∵∠A＝2∠1，∴∠A＝∠DOC，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∵OD 为半径，∴AC 是⊙O 的切线 (2)∵∠A＝∠DOC＝60°，OD＝2，∴在 Rt△ODC 中， DC 1 tan60°＝，DC＝OD·tan60°＝2× 3＝2 3，∴S△ODC＝ OD·DC＝ OD 2 1 nπ r 60×π ×2 2 ×2×2 3＝2 3，S 扇形 ODE＝＝＝ π ，∴S 阴影＝ 2 360 360 3 2 S△ODC－S 扇形 ODE＝2 3－ π 3
解：连结 OC，∵△ACE 中，AC＝2，AE＝ 3，CE＝1，∴ AE2＋CE2＝AC2，∴△ACE 是直角三角形，即 AE⊥CD，∵ CE CE sinA＝，∴∠A＝30°，∴∠COE＝60°，∴ ＝sin∠COE， AC OC 即︵︵︵ 1 3 2 3 ＝，解得 OC＝，∵AE⊥CD，∴BC＝BD，∴BD＝ OC 2 3

2015中考数学圆的弧长和图形面积的计算总复习课件试题(中考题)全面版

第1题图
3．(2014·锦州)如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使这恰好围成图②所示的圆锥，则R与r之间的关系是__R＝4r__.
4．(2014·营口)如图，圆锥的底面半径OB长为5 cm，母线AB长为15 cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为__120°__.
第26讲圆的弧长和图形面积的计算
1．弧长及扇形的面积
(1)半径为 r，n°的圆心角所对的弧长公式：__l＝n1π80r__；
(2)半径为 r，n°的圆心角所对的扇形面积公式：__S＝n3π60r2＝12lr__.
2．圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr. (1)圆锥侧面积公式 S圆锥侧＝__πrl__； (2)圆锥全面积公式 S圆锥全＝__πrl＋πr2__.
A．10π cm B．10 2 cm C．5π cm D．5 2 cm
扇形面积公式的运用
【例 2】如图，BD 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果 BO＝65 cm，DO＝ 15 cm，当 BD 绕点 O 旋转 90°时，求刮雨刷 BD 扫过的面积．
解：在△AOC 和△BOD 中，∵OC＝OD，AC＝BD，OA＝OB，∴△AOC ≌△BOD，∴阴影部分的面积为扇环的面积，即 S 阴影＝S 扇形AOB－S 扇形COD＝14π(OA2 －OC2)＝14π×(652－152)＝1000π(cm2)
【点评】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补．此题可利用图形的割补，把△OAC 放到△OBD 的位置．扇形面积公式和弧长公式容易混淆．S 扇形＝3n60πR2＝12lR.

初中数学圆的弧长及扇形面积公式 (含答案)

弧长及扇形面积第一部分知识梳理（一）、圆的弧长及扇形面积公式在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长为C 1,以n °为圆心角的扇形面积为S 1弧长公式：弧长C 1＝180n R π 扇形面积公式： S 1＝2360n R π＝12C 1R注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。

（二）、圆锥的侧面积：注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形其中：（1）h 是圆锥的高,r 是底面半径；（2）l 是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R ；（3）圆锥的侧面展开图是半径等于 l ,弧长等于圆锥底面周长C 的扇形.即： ①l =R ②180n Rπ=2πr ③h 2+r 2=l 2圆锥的侧面积 S 侧面积＝ πrl圆锥的全面积 S 全面积＝ πrl ＋πr 2第二部分中考链接一、有关弧长计算（一）、选择题1、（2018•淄博）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（）A 、2π B. 83π C 34π D. 43π1题图2题图 3题图 4题图 5题图2、（2018•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π3、（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于O ，AB=2，则的长是（）A ．πB ．πC ．2πD ．π4、（2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（）A ．B ．C ．4D ．2+5、（2018•明光市二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧的长是（）A ．B ．C ．D ．6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π6题图 7题图 8题图7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π（二）、填空题1、（2018•潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．．1题图 3题图 4题图5题图8题图2、（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．3、（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为．4、（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是．6、（2018•温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为．．7、（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．（三）、解答题1．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．二、、有关扇形面积计算（一）、选择题1、（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2 D．2πm21题图2题图 3题图4题图2、（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣3、（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π4、（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm25．（2018•十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．66、（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣85题图6题图7题图8题图7、（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2 D．28、（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π9题图10题图11题图12题图13题图9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣12π10、（2019临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．63﹣πB．63﹣2πC．63+πD．63+2π12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π13.（2019四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5πB. 6πC. 20πD. 24π（二）、填空题1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．1题图2题图3题图4题图2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．3、（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O 交BC于点E，则阴影部分的面积为．4、（2018•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）5、（2018•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．5题图6题图8题图9题图10题图6．（2018•香坊区）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为．7、（2018•哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．8、(2019日照)如图，已知动点A 在函数4(0y x x=＞）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当NF ＝4EM 时，图中阴影部分的面积等于．9、（2019泰安）如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为．10、（2019德州）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是．11、(2019无锡市)如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为． A BABCOOCOOI HF GED11题图 12题图 12、（2019四川内江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为．（三）、解答题1、（2019东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线，（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积．2、（2019无锡市）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABO 3OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．xy M BAO3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1）如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积ODEMF EMO图1 图2 4．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．DAOCB三、圆锥（一）、选择题2、（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3、（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．60πB．65πC．78πD．120π4、（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5、（2018•东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．3πcm26、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3（二）、填空题1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．1题图2题图3题图7题图8题图2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．3、（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）4、（2018•聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm．5、（2018•黑龙江）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．6、（2018•扬州）用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为cm ．答案与提示：一、弧长计算（一）、选择题1、D2、D3、A4、B5、B6、B7、D8、C1、解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．1题图2题图3题图6题图8题图2、解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯故选B．5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为6011= 1803ππ⨯．6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．（二）、填空题1、201923π2、2π3、24π4、83π5、26、67、πa8、6π1、解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．2、1203=2 180ππ⨯3、解：∵点A（1，1），∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，∴∠AOB=45°，∴的长为=．故答案为．4、解：由图1得：的长+的长=的长 ∵半径OA=2cm ，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．5、连接OB.OC ，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，1204=1803r ππ⨯ 得：r=26、解：设半径为r ，60=2180rππ⨯，解得：r=6，故答案为：6 7、解：如图．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a ， ∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa ．故答案为πa ．(三)、解答题1、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ；（2）∵OC ⊥AD ，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．二、有关扇形面积计算1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、D8、C9、C 10、A 11、A 12、A 13、A 1、解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC ，∵AB 2+BC 2=22，∴AB=BC=m ，∴阴影部分的面积是=（m 2），故选：A ．2、解：连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=OB=1，在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，∵sin ∠COD==，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =OB ×AC=×2×2=2，S 扇形AOC ==，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO ﹣S 扇形AOC =π﹣2，故选：C ．1题图 2题图 5题图 7题图 8题图3、解：∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C=120°， ∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C ．4、解：设底面圆的半径为R ，则πR 2=25π，解得R=5，圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m 2．故选：A ．5、解：如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC=OA=OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S 扇形AOD ==24π，∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C ．6、解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积﹣△ABD 的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A ． 7、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC 的面积为=，S 扇形BAC ==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D ．8、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6， 226+125Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ，而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD +S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•65×65 =18+18π．故选：C．9、解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．10、解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．12.连接OA、OB，则S阴=S扇形OAB=2606360π⨯=6π故选A13、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π二、填空题1、734-23π2、4π3、40π4、14π5、43π﹣36、8﹣2π7、6﹣π8、3 9、6π10、2.5π 11、34π 12、 13、25 14、233π+解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π1题图 3题图 8题图2、解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O ，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm ，∴OB=1cm ，OC′=，∴B′C′=，∴S 扇形B′OB ==π，S 扇形C′OC ==，∴阴影部分面积=S 扇形B′OB +S △B′C′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C′OC =S 扇形B′OB ﹣S 扇形C′OC =π﹣=π；3、解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ，=﹣×，=﹣，=﹣，4、解：S 阴=S △ABD ﹣S 扇形BAE =×4×4﹣=8﹣2π，故答案为8﹣2π．5、解：∵矩形ABCD ，∴AD=2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，6、解：∵在⊙O 上，∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴此扇形的半径为：=3．故答案为：3．7、解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm 2），故答案为：6π．8．解：作DF ⊥y 轴于点D ，EG ⊥x 轴于G ，∴△GEM ∽△DNF ，∵NF ＝4EM ，∴＝＝4，设GM ＝t ，则DF ＝4t ，∴A （4t ，），由AC ＝AF ，AE ＝AB ，∴AF ＝4t ，AE ＝，EG ＝， ∵△AEF ∽△GME ，∴AF ：EG ＝AE ：GM ，即4t ：＝：t ，即4t 2＝，∴t 2＝，图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，11、解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6，由勾股定理得，OB ＝＝3，∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝30°， ∴CO ＝CB ，CH ＝OC ＝， ∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．11题图12题图 13题图解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝，AC ＝3．∴AB ＝＝2，∵BC ⊥OC ，∴BC 是圆的切线，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝2﹣＝，在Rt △ABC 中，∵sinA ＝＝＝，∴∠A ＝30°，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°﹣∠A ＝60°， ∵＝tanA ＝tan30°，∴＝，∴OD ＝1，∴S 阴影＝＝．故答案是：．13、如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt△O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.14、连接OE,则S 阴=S 扇形OEC +S △OED =260212123336023ππ⨯+⨯⨯=（三）、解答题 1、（1）证明：连接OC ．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°∴∠A ＝∠D ＝30°．∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°．∴∠OCD ＝∠ACD ﹣∠ACO ＝90°．即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠A ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°．∴S 扇形BOC ＝，在Rt △OCD 中，CD ＝OC ，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．2、作MN ⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=12OA=3,OA=6 ,A(-6,0)由sin ∠ABO 3则∠A=60°tan ∠BAO=OBOA∴3 ∴B （0，3）设直线AB:y=kx+b,将A,B 点的坐标代入得：3,b=3∴3x+3 S 阴=S 扇形MAO -S △MAO 2120(23)1634332ππ⨯-⨯-3、证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ．又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

中考数学模拟试卷精选汇编：弧长与扇形面积附答案

弧长与扇形面积一.选择题1．（2015·江苏江阴长泾片·期中）已知圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则圆锥的侧面积是 ( )A ．20 cm 2B ．20兀cm 2C ．12兀cm 2D ．10兀cm 2 答案：B2．（2015·江苏江阴青阳片·期中）圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为（ ▲ ） A ．8π B ．π12C ．43πD ．4π答案：A3．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）一个圆锥底面直径为2，母线为4，则它的侧面积为（） A ．2π B ．12πC ． 4πD ．8π答案：C4．（2015·江苏江阴要塞片·一模）圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为 ( ▲ )A ．4πB ．8πC ．16πD ．43π答案：B5. （2015·湖南永州·三模）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 的斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ．B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为32π，则图中阴影部分的面积为（）A ．9π B ．93πC ．2323π−D ．32233π−答案：D 解析：连接OB ．OE 、BE ，，因为B ．E 是半圆弧的三等分点，所以∠BOE =60°，根据同底等高的三角形面积相等可知△OBE 和△ABE 的面积相等，所以阴影部分的面积等于△ABC 减去扇形OBE 的面积.因为弧BE的长为32π，设半圆的半径为r ，根据弧长公式1806032r ⨯⨯=ππ，解得r =2，323221OBE 2ππ=⨯⨯=扇形S ．根据圆周角的性质可知，∠DAB =∠EAB =30°，连接BD ，则△ABD 是直角三角形，AD =2r =4，cos ∠DAB =ADAB ，AB 在Rt △ABC 中，得BC 由正切计算得AC =3，所以S △ABC所以阴影面积32π．6. （2015•山东滕州张汪中学•质量检测二）用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图1所示），则这个纸帽的高是（）A ．2cmB ．32cmC ．42cmD ． 4cm答案：C ；7. （2015·江西省·中等学校招生考试数学模拟）如图所示，正三角形ABC 中，边AC 渐变成»AC ，其它两边长度不变，则ABC Ð的度数的大小由60 变为（） A ． 180p B ． 120p C ． 90p D ． 60p答案：选A ．命题思路：考查弧长的计算公式的运用8. （2015·山东省枣庄市齐村中学二模）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为（） A ．2．5B ．5C ．10D ．15答案：C9. (2015•山东济南•模拟)扇形的半径为30cm ，圆心角为120°，此扇形的弧长是A ．20πcmB ．10πcmC ．10 cmD ．20 cm 答案：A10. (2015·江苏无锡北塘区·一模)已知圆柱的底面半径为2cm ，高为4cm ，则圆柱的侧面积是( ▲ )A ．16 cm 2B ．16π cm 2C ．8π cm 2D ．4π cm 2 答案: B11. （2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为 ( ▲ )A ．4πB ．8πC ．16πD ．43π答案：B12．（2015·锡山区·期中）一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12cm ，母线长为13cm ，则圣诞帽的表面积为（▲）A ．312π2cm B ．156π2cm C ．78π2cm D ．60π2cm 答案：B二.填空题1. （2015·江苏高邮·一模）半径为6 cm ，圆心角为120°的扇形的面积为 ▲ ．答案：12π2. （2015·江苏高邮·一模）如图，已知正方形ABCD 的顶点A 、B 在⊙O 上，顶点C 、D 在⊙O 内，将正方形ABCD 绕点逆时针旋转，使点D 落在⊙O 上．若正方形ABCD 的边长和⊙O 的半径均为6 cm ，则点D 运动的路径长为 ▲ cm ．答案：π；3. （2015·江苏常州·一模）若扇形的半径为3cm ，扇形的面积为2π2cm ，则该扇形的圆心角为 ▲ °，弧长为 ▲ cm ．答案：80，34π 4. （2015·吉林长春·二模）答案：π5．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1、O 2、O 3、O 4分别OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径是2，则阴影部分的面积为____________________．A BCD答案：86．（2015·江苏江阴要塞片·一模）如图，正△ABC 的边长为9cm ，边长为3cm 的正△RPQ 的顶点R 与点A 重合，点P ，Q 分别在AC ，AB 上，将△RPQ 沿着边AB ，BC ，CA 连续翻转（如图所示），直至点P 第一次回到原来的位置，则点P 运动路径的长为____▲____cm ．（结果保留π）答案：6π7.( 2015·广东广州·二模）如图5，菱形ABCD 的边长为2，∠ADC =120°，弧CD 是以点B 为圆心BC 长为半径的弧．则图中阴影部分的面积为 ▲ （结果保留π）．答案：23π8．（2015•山东滕州东沙河中学•二模）若一个圆锥的轴截面是一个腰长为6 cm ，底边长为2 cm 的等腰三角形，则这个圆锥的表面积为____cm 2．答案：7π；9．（2015•山东滕州羊庄中学•4月模拟）已知扇形的弧长为3πcm ，面积为3πcm 2，扇形的半径是 cm ．答案：2；10. （2015·网上阅卷适应性测试）将一个圆心角为120°，半径为6cm 的扇形围成一个圆锥的侧面，则所得圆锥的高为 ▲ cm ．答案：42第1题图（图5）11． ( 2015·呼和浩特市初三年级质量普查调研)已知圆锥的母线长度为8，其侧面展开图的半圆，则这个圆锥的高为_____________. 答案：4312. （2015·辽宁盘锦市一模）在半径为2的圆中，弦AB 的长为2，则弧的长等于答案：32π 13．（2015·辽宁东港市黑沟学校一模，3分）已知圆锥底面圆的半径为6cm ，它的侧面积为60πcm 2，则这个圆锥的高是____________cm ．答案： 814.（2015·山东省东营区实验学校一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将 Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是____．答案：π615．（2015·广东中山·4月调研）如图，在△ABC中，CA=CB ，∠ACB =90°，AB =2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 _________ ．答案：214−π16．（2015·山东枣庄·二模）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 边的中点，以CD 为直径画圆，则图中影阴部分的面积为____________（结果保留π）．答案：5384π− 17. (2015•山东青岛•模拟)如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2 cm ，以直角顶点B 为圆心，AB 长为半径画弧，再以AC 为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为 cm 2．答案：218. (2015•山东济南•一模)图①所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为____________cm ．答案：（3+3）19．(2015·江苏扬州宝应县·一模)如图，小正方形的边长均为1，扇形OAB 是某圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面周长为 ▲ ．(结果保留π)答案:2π20．(2015·江苏南京溧水区·一模)圆锥的底面直径是6，母线长为5，则圆锥侧面展开图的圆心角是 ▲ 度．答案: 216；21．(2015·江苏无锡崇安区·一模)已知扇形的圆心角为120º，半径为6cm ，则扇形的弧长为 ▲ cm.（第16题）AOB答案: 4π22．（2015·无锡市南长区·一模）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积．．．是 . 答案：3π23．（2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）若一个圆锥底面圆的半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为．答案：15π24．（2015·无锡市新区·期中）已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是 ▲ ．答案：10πcm 225．（2015·无锡市新区·期中）如图，扇形OMN 与正三角形ABC ，半径OM 与AB 重合，扇形弧MN 的长为AB 的长，已知AB =10，扇形沿着正三角形翻滚到首次与起始位置相同，则点O 经过的路径长 ▲ ．答案：37010π+三.解答题 1．（2015·江苏江阴·3月月考）如图四边形ABCD 中，已知∠A =∠C =30°，∠D =60°，AD =8，CD =10．（1）求AB 、BC 的长（2）已知，半径为1的⊙P 在四边形ABCD 的外面沿各边滚动（无滑动）一周，求⊙P 在整个滚动过程中所覆盖部分图形的面积．答案：解：（1）AB =23BC =43ABCABCP（2）在⊙P 的整个滚动过程中，圆心P 的运动路径长为18+167333π+；所以⊙P 在整个滚动过程中，所覆盖部分图形的面积为36+3214333π+；2．（2015·江苏江阴长泾片·期中）如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．等边△ABC 的边长为1，它的一边AC 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将等边△ABC 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，画出顶点A 在等边△ABC 整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求等边△ABC 在整个翻滚过程中顶点A 所经过的路径长；答案：解：（1）如右图所示：……………………………3分（2）点A 所经过的路线长π311……………………………6分3.（2015·邗江区·初三适应性训练）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE =6，CE =32,求线段CE 、BE 与劣弧BC 所围成的图形面积.（结果保留根号和π）答案：解：（1）连结OC ，证得∠AOD =∠COD ；证得△AOD ≌△COD （SAS ）；第3题证得∠OCD =∠OAD =90°；则DE 是⊙O 的切线.（2）设半径为r ，在Rt △OCE 中，OC 2+CE 2=OE 2()()22236r r ∴+=−2，解得2r =．︒=∠∴=∠60,3tan COE COE π32=∴COB S 扇形∴所求图形面积为π3232−=−∆COB COE S S 扇形4. （2015·辽宁东港市黑沟学校一模，12分）如图，⊙O 是△ACD 的外接圆，AB 是直径，过点D 作直线DE ∥AB ，过点B 作直线BE ∥AD ，两直线交于点E ，如果∠ACD =45°，⊙O 的半径是4cm（1）请判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．解：（1）DE 与⊙O 相切．理由如下：连结OD ，则∠ABD =∠ACD =45°， ∵AB 是直径， ∴∠ADB =90°，∴△ADB 为等腰直角三角形，而点O 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∵DE ∥AB ， ∴OD ⊥DE ， ∴DE 为⊙O 的切线；（2）∵BE ∥AD ，DE ∥AB ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴DE=AB=8cm，∴S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD=（4+8）×4﹣=（24﹣4π）cm2．5.（2015·山东省济南市商河县一模）(本小题满分4分)如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA.求：劣弧BC的长．（结果保留π）解：连接OC,OB，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，------------------------------------1分在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，----------------------------2分∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°------------------------------------------------3分∴劣弧长为=π．----------------------------------------4分6. (2015·广东从化·一模)（本小题满分12分某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图（如图9）.（1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（不写作法，但应保留作图痕迹）；12cm，水面最深地方的高度为（2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB=36cm，请你求出这个圆形截面的半径r及破裂管道有水部分的截面图的面积S。

广东省开发区一中人教版2015年初中数学中考复习——第26节：与圆有关的计算(共28张ppt)

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数学
课前预习
1. （2014云南）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ C ） A． B．2π 解析：根据弧长公式： 2. （2014徐州）半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为 cm2．解析：半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为：（cm2）． C．3π D．12π
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数学
π Rl
，
全面积 S= πRl＋πR2 （ R 表示底面圆的半径， l 表示圆锥
底面积×高，底面积×高
,
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考点梳理
4．正多边形与圆 (1)正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形． (2) 圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． (3)正多边形的内角和= (n－2)×180° ；正多边形的每个内角= ；正多边形的周长 = 边长×边数；正多边形的面积 = ×周长×边心距.
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课前预习
3. （2014济宁）如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（ B ） A．10cm2 B．10π cm2 C．20cm2 D．20π cm2
解析：圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π． 4. （2014珠海）已知圆柱体的底面半径为3cm，髙为4cm，则圆柱体的侧面积为（ A ） A．24π cm2 B．36π cm2 C．12cm2 D．24cm2
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数学
考点突破
3. （2014广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直

初中数学知识归纳圆的弧长面积及相关计算

初中数学知识归纳圆的弧长面积及相关计算圆的弧长与面积是初中数学中重要的内容，我们通过归纳总结可以更好地理解和应用这些知识。

在本文中，我们将重点讨论圆的弧长与面积的相关计算方法。

一、圆的弧长圆的弧长指的是圆周上的一部分弧所对应的长度。

首先，我们需要了解以下两个概念：1. 弧度制：弧度制是一种表示角度大小的单位，用弧长所对应的弧度数来度量，通常用符号"rad"表示。

一个圆的周长等于2π，也可以表示为360°。

根据这个规定，一个弧度等于圆的周长的1/2π。

2. 圆心角：圆心角是圆心所夹的两个半径所对应的角度。

一个圆的圆心角大小为360°或2π弧度。

在计算圆的弧长时，我们首先需要知道弧度制的概念。

通常情况下，我们可以利用以下公式计算弧长：s = rθ其中，s表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的大小（用弧度制表示）。

例如，如果半径为5cm的圆的圆心角大小为π/3弧度（即60°），那么可以通过代入公式计算出弧长：s = 5 * (π/3) ≈ 5.24cm二、圆的面积圆的面积是指圆内部所包围的平面部分的大小。

圆的面积计算公式是：A = πr²其中，A表示面积，r表示半径，π是一个数学常数，近似取3.14。

例如，如果半径为7cm的圆的面积可以通过代入公式计算出：A = 3.14 * 7² ≈ 153.86cm²三、相关计算除了圆的弧长和面积的计算外，还有一些相关的计算方法需要了解。

1. 弧长与角度之间的关系：我们已经知道，圆的周长等于2π 或360°。

因此，在计算弧长时，可以利用以下关系：弧长/周长 = 圆心角/360° = 弧度数/2π2. 弧长与半径之间的关系：如果已知圆心角度数和半径，可以利用以下关系计算弧长：弧长= (2π/360°) * 半径 * 圆心角度数3. 部分圆的弧长与面积的计算：如果我们考虑的不是完整的圆周，而是部分圆的弧长和面积，可以根据圆心角度数和半径利用上述公式进行运算。

九年级上册数学《圆》弧长和扇形面积-知识点整理

弧长和扇形面积一、本节学习指导本节中我们巩固几个公式，都比较复杂，我们需要用心记忆。

对于弦切角定理，切割线定理一定要先理解，总结中都有配图说明，希望能借此帮助大家理解。

二、知识要点1、弧长公式n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rn l π=2、扇形面积公式lR R n S 213602==π扇，其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积rl r l S ππ=•=221，其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

4、弦切角定理弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

如下图，切线AB 和弦AC 的夹角∠2等于弧AC 所对的圆周角，即：∠BAC=∠ADC5、切割线定理PA 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线，则PC PB PA •=2例：（2004•宿迁）如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA⊥OB，P 是OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，过点Q 的⊙O 的切线交OA 延长线于点R ．（Ⅰ）求证：RP=RQ ；（Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ 的长解：（1）证明：连接OQ∵RQ 是⊙O 的切线， ∴∠OQB+∠BQR=90° ∵OA ⊥OB ， ∴∠OPB+∠B=90° 又∵OB=OQ ， ∴∠OQB=∠B ∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ ∴RP=RQ（2）作直径AC ∵OP=PA=1 ∴PC=3 由勾股定理，得BP=22125+=由相交弦定理，得PQ•PB=PA•PC 即PQ×5=1×3∴PQ=355三、经验之谈：上面这个例题是对弦切角的运用，也考察了同学们的综合解题能力。

这种题涉及的知识点很广，因此需要我们大量的经验，平时一定要多练习。

尤其是初三我们要多练习这种综合类型的题目,达到把零碎的知识系统穿透起来。

中考数学总复习圆的弧长和图形面积的计算考点跟踪突破28含13年中考真题试题

卜人入州八九几市潮王学校考点跟踪打破28圆的弧长和图形面积的计算一、选择题〔每一小题6分，一共30分〕1.〔2021·〕假设圆锥的轴截图为等边三角形，那么称此圆锥为正圆锥，那么正圆锥的侧面展开图的圆心角是〔〕 A.90° B.120° C.150° D.180°2.〔2021·〕如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形〔阴影局部〕图案，那么树叶形图案的周长为〔〕 A.πa B.2πa C.21πa D.3a3.〔2021·〕钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是〔〕A.21πB.41πC.81πD.π4.〔2021·〕如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，那么图中阴影局部的面积是〔〕A.32π－23 B.32π－3 C.π－23 D.π－35.〔2021·〕如图，⊙A 与⊙∠CED ＝x °，∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，那么的长度是〔〕A.()9090R x -πB.()9090R y -πC.()90180R x -πD.()90180R y -π 二、填空题〔每一小题6分，一共30分〕6.〔2021·〕圆锥的侧面积为6π2cm ，底面圆的半径为2cm ，那么这个圆锥的母线长为cm .7.〔2021·〕如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影局部的面积为.〔结果保存π〕8.〔2021·〕如图，从半径为9cm 的圆形纸片上剪去31圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥〔接缝处不重叠〕，那么这个圆锥的高为cm . 9.〔2021·〕如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠局部的量角器弧〔〕对应的圆心角〔∠AOB 〕为120°，OC 的长为2cm ，那么三角板和量角器重叠局部的面积为.10.〔2021·〕把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线m 上，OA 边在直线m 上，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时，点O 运动到了点1O 处〔即点B 处〕，点C 运动到了点1C 处，点B 运动到了点1B 处，又将正方形纸片A 1O 1C 1B 绕1B 点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O 经过的总路程为，经过61次旋转后，顶点O 经过的总路程为.三、解答题〔一共40分〕11.〔10分〕〔2021·HY 〕如图，⊙O 的半径为4，CD 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，B 为CD 延长线上的一点，∠ABC ＝30°，且AB ＝AC.〔1〕求证：AB 为⊙O 的切线；〔2〕求弦AC 的长；〔3〕求图中阴影局部的面积.12.〔10分〕〔2021·〕如图，点B ，C ，D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝63cm.〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕求由弦CD，BD与弧BC所围成的阴影局部的面积.〔结果保存π〕13.〔10分〕〔2021·〕如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E.〔1〕求证：ON是⊙A的切线；〔2〕假设∠MON＝60°，求图中阴影局部的面积.〔结果保存π〕14.〔10分〕〔2021·〕如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3＋1，AD＝3.〔1〕如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，那么折痕AE的长为；〔2〕如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，那么四边形B′FED′的面积为；〔3〕如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长.〔结果保存π〕。

2025年贵州九年级中考数学一轮复习课件：第26节+与圆有关的计算

， .又，是等边三角形，. ，., ，
第5题解图
是等边三角形， , ， .
第5题解图
1.公式法
2.直接和差法
_
_
3.构造和差法
_
_
4.等积转化法
转化前
转化后
_
_
_
_
5.容斥原理
_
_
02
贵州真题随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点
1
弧长与扇形面积的计算（2024.10）
第1题图
1.（2024贵州10题3分）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
第2题图
2.（人教九上P116 T8改编）（2022毕节12题）如图，一件扇形艺术品完全打开后，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是( )
A. B. C. D.
√
√
命题点
2
圆锥的相关计算
3.（2021黔东南州18题）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是______度.
解：由（2）知， .，. ，，是等边三角形，
垂直平分，，，， .
例3题解图
变式3-1图
变式3-1 （2024重庆A卷改编）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为____________.
变式3-2图
变式3-2 如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点的旋转路径为.若，，则阴影部分的面积为_ ______.
第26节
与圆有关的计算
01
核心考点精讲练

附解析2015中考试题研究数学浙江精品复习考点跟踪突破26圆的弧长和图形面积的计算

附解析2015中考试题研究数学浙江精品复习考点跟踪突破26圆的弧长和图形面积的计算考点跟踪突破26 圆的弧长和图形面积的计算一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·襄阳)用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( B ) A .12 B ．1 C .32D ．2 2．(2013·河北)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C ＝30°，CD ＝23，则S 阴影＝( D )A ．πB ．2πC .23 3D .23π 3．(2014·金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是( A )A ．5∶4B ．5∶2C .5∶2D .5∶ 24．(2014·东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则图中弓形的面积为( C )A.4π－334B.π－34C.2π－334D.π－3325．(2013·山西)如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( B )A.23π－32B.23π－ 3C．π－32D．π－ 3二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·泰州)圆锥的底面半径为6 cm，母线长为10 cm，则圆锥的侧面积为__60π__cm2.7．(2013·重庆)如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA＝2，那么图中阴影部分的面积为__π－2__．(结果保留π)．,第7题图),第8题图)8．(2013·泸州)如图，从半径为9 cm的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为__35__ cm.9．(2013·昆明)如图，从直径为4 cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O，A，B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是__22__cm.10．(2013·烟台)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画AC︵，连接AF，CF，则图中阴影部分面积为__4π__．三、解答题(共40分)11．(10分)(2013·新疆)如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B 为CD延长线上的一点，∠ABC＝30°，且AB ＝AC.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)求弦AC的长；(3)求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：如图，连接OA.∵AB＝AC，∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∴在△ABO中，∠OAB ＝180°－∠ABO－∠AOB＝90°，即AB⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O 的切线(2)解：如图，连接AD.∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC＝90°.∵由(1)知，∠ACB＝30°，∴AD＝12CD＝4，则根据勾股定理知AC＝CD2－AD2＝43，即弦AC的长是4 3(3)由(2)知，在△ADC中，∠DAC＝90°，AD＝4，AC＝43，则S△ADC＝12AD·AC＝12×4×43＝8 3.∵点O是△ADC斜边上的中点，∴S△AOC ＝12S△ADC＝4 3.根据图示知，S阴影＝S扇形AOD ＋S△AOC＝60π×42360＋43＝83π＋43，即图中阴影部分的面积是83π＋4 312．(10分)(2014·滨州)如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠ACD ＝120°.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OC.∵AC ＝CD ，∠ACD＝120°，∴∠A ＝∠D ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠2＝∠A ＝30°.∴∠OCD ＝90°.∴CD 是⊙O 的切线(2)解：∵∠A ＝30°，∴∠1＝2∠A ＝60°.∴S 扇形BOC ＝60π×22360＝2π3.在Rt △OCD 中，∵CD OC ＝tan 60°，∴CD ＝2 3.∴S Rt △OCD ＝12OC·CD ＝12×2×23＝2 3.∴图中阴影部分的面积为23－2π313．(10分)(2014·襄阳)如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG.(1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC︵，AG︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC＝AD ＝2，∠ABC ＝90°，∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝EC ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°，∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，∴EC ∥FG ，∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG(2)解：∵AD ＝2，E 是AB 的中点，∴FE＝BE ＝12AB ＝12×2＝1，∴AF ＝AB 2＋BF 2＝22＋12＝5，由平行四边形的性质，△FEC ≌△CGF ，∴S △FEC ＝S △CGF ，∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S△ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG ＝90·π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90·π·（5）2360＝52－π414．(10分)(2013·龙岩)如图①，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3＋1，AD ＝ 3.(1)如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB 边上的D′处，压平折痕交CD 于点E ，则折痕AE 的长为__6__；(2)如图③，再将四边形BCED′沿D′E 向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B ′C′交AE于点F ，则四边形B ′FED′的面积为__3－12__； (3)如图④，将图②中的△AED′绕点E 顺时针旋转α角，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B ，求弧D′D″的长．(结果保留π)解：(2)由(1)知，C ′E ＝1＝C′F ，∴S 四边形B′FED′＝S矩形B′D′EC′－S△EC′F＝3－12(3)∵∠C＝90°，BC＝3，EC＝1，∴tan∠BEC＝BCCE＝3，∴∠BEC＝60°，由翻折可知：∠DEA＝45°，∴∠AEA′＝75°＝∠D′ED″，∴D′D″︵＝75×π×3180＝53 12π。

中考数学总复习第26讲圆的有关计算二次函数(基础讲

第26讲圆的有关计算考标要求考查角度1.会计算圆的弧长和扇形的面积．2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积．3．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考考查的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现.知识梳理一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝__________.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝__________或S＝12lr；扇形的周长＝2r ＋l.二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S侧＝12l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.三、正多边形和圆1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于__________．温馨提示(1)正多边形的各边、各角都相等．(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．四、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解． 3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解． 5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．自主测试1．已知圆柱的底面半径为2 cm ，高为5 cm ，则圆柱的侧面积是( )A ．20 cm 2B ．20π cm 2C ．10π cm 2D ．5π cm 22．(2012浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为3 cm ，母线长为10 cm ，则这个圆锥的侧面积为( )A ．15π cm 2B ．30π cm 2C ．60π cm 2D ．391 cm 23．(2012四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )A ．120° B．180° C．240° D．300°4．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm，则此扇形的半径是__________cm ，面积是__________cm 2.(结果保留π)5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOC ＝60°，OC ＝2.(1)求OE 和CD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．考点一、弧长、扇形的面积【例1】如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4 cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A ′B ′C ′的位置，且A ，C ，B ′三点在同一条直线上，则点A 所经过的最短路线的长为( )A ．4 3 cmB ．8 cmC ．163π cmD ．83π cm解析：点A 所经过的最短路线是以点C 为圆心、CA 为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过程如下：∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，A ，C ，B ′三点在同一条直线上， ∴∠ACA ′＝120°. 又AC ＝4，∴¼AA 的长l ＝120×π×4180＝83π(cm)．故选D ．答案：D方法总结当已知半径r 和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S 扇＝n πr 2360，当已知半径r 和弧长求扇形的面积时，应选用公式S 扇＝12lr ，当已知半径r 和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l ＝n πr180. 触类旁通1如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为9，贴纸部分的宽BD 为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是( )A ．24πB ．36πC ．48πD ．72π考点二、圆柱和圆锥【例2】一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是( ) A ．5π B．4π C．3π D．2π解析：侧面积是：12×π×22＝2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1，面积是π.则该圆锥的全面积是：2π＋π＝3π.故选C ．答案：C方法总结圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．触类旁通2如图，把一个半径为12 cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm.考点三、阴影面积的计算【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连接EF ，EO ，若DE ＝23，∠DPA ＝45°.(1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵直径AB ⊥DE ，∴CE ＝12DE ＝ 3.∵DE 平分AO ，∴CO ＝12AO ＝12OE .又∵∠OCE ＝90°，∴∠CEO ＝30°.在Rt△COE 中，OE ＝CE cos 30°＝332＝2.∴⊙O 的半径为2.(2)连接OF ，如图所示．在Rt△DCP 中，∵∠DPC ＝45°， ∴∠D ＝90°－45°＝45°. ∴∠EOF ＝2∠D ＝90°.∵S 扇形OEF ＝90360×π×22＝π，S △OEF ＝12×OE ×OF ＝12×2×2＝2.∴S 阴影＝S 扇形OEF －S △OEF ＝π－2.方法总结阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想： (1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解． (2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．(3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解． (4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．1. (2012湖南娄底)如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，则图中阴影部分的面积是( )A ．4π B．3π C．2π D．π 2．(2012湖南长沙)在半径为1 cm 的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是__________ cm.3．(2012湖南张家界)已知圆锥的底面直径和母线长都是10 cm ，则圆锥的侧面积为__________．4．(2012湖南郴州)圆锥底面圆的半径为3 cm ，母线长为9 cm ，则这个圆锥的侧面积为__________cm 2.(结果保留π)5．(2012湖南衡阳)如图，已知⊙O 的半径为6 cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为B ，弦BC ∥AO ，若∠A ＝30°，是劣弧»BC的长为__________cm.6. (2012湖南岳阳)如图所示，在⊙O 中，»»AD AC ，弦AB 与弦AC 交于点A ，弦CD 与弦AB 交于点F ，连接BC ．(1)求证：AC 2＝AB ·AF ；(2)若⊙O 的半径为2 cm ，∠B ＝60°，求图中阴影部分的面积．1. 如图，⊙O 半径是1，A ，B ，C 是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧»BC的长为( )A ．π5B ．2π5C ．3π5D ．4π52．已知圆锥底面圆的半径为6 cm ，高为8 cm ，则圆锥的侧面积为( )A ．48 cm 2B ．48π cm 2C ．120π cm 2D ．60π cm 23．如图，圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P 是母线BC上一点且PC ＝23BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋6π cm B ．5 cmC ．3 5 cmD ．7 cm4．如图，如果从半径为9 cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )A ．6 cmB ．3 5 cmC ．8 cmD ．5 3 cm5．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以A ，B ，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是__________．6．如图，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是2 cm ，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是__________ cm 2.7．如图，AB 为半圆O 的直径，C ，D ，E ，F 是A B 的五等分点，P 是AB 上的任意一点．若AB ＝4，则图中阴影部分的面积为__________．8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝5，∠BOC ＝50°，OE ⊥AC ，垂足为E .(1)求OE 的长；(2)求劣弧AC 的长(结果精确到0.1)．参考答案【知识梳理】一、1.n πr 180 2.n πr 2360二、1.矩形周长高h 2．扇形周长母线长三、1.相等也相等 2．各个顶点3．外接圆外接圆 4．距离5．外接圆 360°n导学必备知识自主测试 1．B2．B 因为底面半径为3 cm ，则周长为6π cm，所以圆锥的侧面积为6π×10÷2＝30π(cm 2)．3．B 设圆锥的底面半径为r ，母线为R ，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n ，则扇形的面积为12×2πr ×R ＝πrR .由题意得πrR ＝2πr 2，n πR 2÷360＝πrR ，则R ＝2r ，所以n ＝180°. 4．24 240π5．解：(1)在△OCE 中，∵∠CEO ＝90°，∠EOC ＝60°，OC ＝2，∴OE ＝12OC ＝1，∴CE ＝32OC ＝3，∵OA ⊥CD ，∴CE ＝DE ，∴CD ＝2 3.(2)∵S △ABC ＝12AB ·CE ＝12×4×3＝23，∴S 阴影＝12π×22－23＝2π－2 3.探究考点方法触类旁通1.C S ＝120π(92－32)360×2＝72π3×2＝48π.触类旁通2.4 因为扇形的弧长为13×2×12π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为8π2π＝4(cm)．品鉴经典考题1．D 由题意知，阴影部分的面积正好是圆面积的14，即14π·⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝π.2.23π l ＝n πr 180＝120·π·1180＝23π. 3．50π S 侧＝πrl ＝π×5×10＝50π. 4．27π S 侧＝πrl ＝π×3×9＝27π.5．2π 连接AO ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO . ∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°.∴∠BOC ＝180°－2×60°＝60°，∴弧BC 的长为60π×6180＝2π cm. 6．解：(1)证明：∵»»AD AC =，∴∠ACF ＝∠ABC . ∵∠A ＝∠A ，∴△ACF ∽△ABC .∴AC AB ＝AF AC. ∴AC 2＝AB ·AF .(2)连接OA ，OC ，作OE ⊥AC ，垂足为点E ，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°. ∴∠OAE=∠OCE=30°.在Rt△AOE 中，∠OAE ＝30°，OA ＝2， ∴OE ＝1，AE ＝ 3. ∴AC ＝2AE ＝2 3.∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △AOC ＝120×π×22360－12×23×1＝43π－ 3.研习预测试题 1．B 2.D 3.B4．B 留下的扇形的弧长为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×2×π×9＝12π，所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π. 则底面圆的半径为12π＝2πr ，所以r ＝6. 而圆锥的母线长为9，所以由勾股定理，得到圆锥的高为92－62＝35(cm)．5．8－2π 6.2π 7.25π8．解：(1)∵OE ⊥AC ，垂足为E ，∴AE ＝EC .∵AO ＝BO ，∴OE ＝12BC ＝2.5.(2)∠A ＝12∠BOC ＝25°，在Rt△AOE 中，sin A ＝OE OA ，∴OA ＝ 2.5sin 25°.∵∠AOC ＝180°－50°＝130°，∴劣弧AC 的长＝130×2.5π180sin 25°≈13.4.。

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圆的弧长和图形面积的计算
一、选择题(每小题6分，共24分)
1．(2014·襄阳)用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( B )
A .12
B ．1
C .3
2
D ．2
2．(2013·河北)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C ＝30°，CD ＝23，则S 阴影
＝( D )
A ．π
B ．2π
C .23 3
D .23
π 3．(2014·金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是( A )
A ．5∶4
B ．5∶2
C .5∶2
D .5∶ 2
4．(2014·东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则图中弓形的面积为( C )
A .4π－334
B .π－34
C .2π－334
D .π－332
二、填空题(每小题7分，共28分)
5．(2014·泰州)圆锥的底面半径为6 cm ，母线长为10 cm ，则圆锥的侧面积为__60π__cm 2.
6．(2013·重庆)如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为__π－2__．(结果保留π)．
,第6题图) ,第7题图)
7．(2013·泸州)如图，从半径为9 cm 的圆形纸片上剪去1
3圆周的一个扇形，将留下的
扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为cm .
解析：圆心角是360×(1－13)＝240°，则弧长是240π×9
180
＝12π(cm )．设圆锥的底面
半径是r ，则2πr ＝12π，解得r ＝6，则圆锥的高是92－62＝35(cm )
8．(2013·昆明)如图，从直径为4 cm 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形
OAB ，且点O ，A ，B 在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是2
cm . 三、解答题(共48分)
9．(12分)(2013·新疆)如图，已知⊙O 的半径为4，CD 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，B 为CD 延长线上的一点，∠ABC ＝30°，且AB ＝AC.
(1)求证：AB 为⊙O 的切线； (2)求弦AC 的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
(1)证明：如图，连接OA.∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°.∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∴在△ABO 中，∠OAB ＝180°－∠ABO －∠AOB ＝90°，即AB ⊥OA ，又∵OA 是⊙O 的半径，∴AB 为⊙O 的切线
(2)解：如图，连接AD.∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC ＝90°.∵由(1)知，∠ACB ＝30°，∴AD ＝1
2
CD ＝4，则根据勾股定理知AC ＝CD 2－AD 2＝43，即弦AC 的长是43
(3)由(2)知，在△ADC 中，∠DAC ＝90°，AD ＝4，AC ＝43，则S △ADC ＝12AD ·AC ＝1
2
×4
×43＝8 3.∵点O 是△ADC 斜边上的中点，∴S △AOC ＝1
2
S △ADC ＝4 3.根据图示知，S 阴影＝S 扇
形AOD ＋S △AOC
＝60π×42
360＋43＝83π＋43，即图中阴影部分的面积是8
3
π＋43
10．(12分)(2014·滨州)如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠ACD ＝120°.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
(1)证明：连接OC.∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°，∴∠A ＝∠D ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠2＝∠A ＝30°.∴∠OCD ＝90°.∴CD 是⊙O 的切线
(2)解：∵∠A ＝30°，∴∠1＝2∠A ＝60°.∴S 扇形BOC ＝60π×22360＝2π
3
.在Rt △OCD 中，
∵CD OC ＝tan60°，∴CD ＝2 3.∴S Rt △OCD ＝12OC ·CD ＝12
×2×23＝2 3.∴图中阴影部分的面积为23－2π
3
11．(12分)(2014·襄阳)如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG.
(1)求证：EF ∥CG ；
(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵
与线段CG 所围成的阴影部分的面积．
(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°，∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝EC ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°，∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，∴EC ∥FG ，∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG
(2)解：∵AD ＝2，E 是AB 的中点，∴FE ＝BE ＝12AB ＝1
2×2＝1，∴AF ＝AB 2＋BF 2＝22＋12
＝5，由平行四边形的性质，△FEC ≌△CGF ，∴S △FEC ＝S △CGF ，∴S
阴影
＝S
扇形BAC
＋S △ABF ＋S △FGC
－S 扇形FAG ＝90·π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90·π·（5）2360＝52－π
4
12．(12分)(2013·龙岩)如图①，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3＋1，AD ＝ 3.
(1)如图②，使点D 恰好落在AB 边上的D ′处，压平折痕交CD
于点E ，则折痕AE 的长为；
(2)如图③，再将四边形BCED ′沿D ′E 向左翻折，压平后得四边形B ′C ′ED ′，B ′C ′交AE 于点F ，则四边形B ′FED ′的面积为____；
(3)如图④，将图②中的△AED ′绕点E 顺时针旋转α角，得到△A ′ED ″，使得EA ′恰好经过顶点B ，求弧D ′D ″的长．(结果保留π)
(2)由(1)知，C ′E ＝1＝C ′F ，∴S
四边形B ′FED ′
＝S
矩形B ′D ′EC ′
－S △EC ′F ＝3－1
2
(3)∵∠C
＝90°，BC ＝3，EC ＝1，∴tan ∠BEC ＝BC
CE ＝3，∴∠BEC ＝60°，由翻折可知：∠DEA ＝
45°，∴∠AEA ′＝75°＝∠D ′ED ″，∴D ′D ″︵＝75×π×3180＝53
12
2015年名师预测 1．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( B )
A .23π－32
B .2
3π－ 3 C ．π－
3
2
D ．π－ 3
解析：连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴△ABD 的高为3，∵扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4＋∠5＝60°，∠3＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4，在△ABM 和△DBN 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠A ＝∠2，
AB ＝BD ，∠3＝∠4，
∴△ABM ≌△DBN (ASA )，∴四边形MBND 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是S
扇形EBF
－S △ABD ＝60π×4360－12×2×3＝2
3
π－3
,第1题图) ,第2题图)
2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在BC 上，四边形EFGB 也是正方形，以点B 为
圆心，BA 长为半径画AC ︵
，连接AF ，CF ，则图中阴影部分面积为__4π__．
解析：设小正方形的边长为x.∵S △AGF ＝12AG ·GF ＝12x (x ＋4)，S 梯形CBGF ＝1
2
(GF ＋BC )．BG
＝1
2
x (x ＋4)．∴S △AGF ＝S 梯形CBGF .设AF 与BC 相交于点O ，则S △ABO ＝S △CFO ，∴图中阴影部分面积＝S 扇形ABC ＝1
4
π·AB 2＝4π。