【真题】17年甘肃省兰州一中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

2016-2017学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}2．（5分）已知复数z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．﹣6 C．0 D．3．（5分）以下判断正确的是（）A．函数y=f（x）为R上可导函数，则f'（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件B．命题“”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”C．“”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数”的充要条件D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题4．（5分）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120 cm3B．80 cm3C．100 cm3D．60 cm35．（5分）由曲线y=x2+1，直线y=﹣x+3及坐标轴所围成图形的面积为（）A．B．C．D．36．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．38．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．（5分）已知函数f（x）=x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．10．（5分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（）A． B．C．D．11．（5分）椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.U13．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=．14．（5分）已知sin2α=，则cos2（α﹣）=．15．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，b=2，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值．19．（12分）随着苹果6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式，某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部苹果6，顾客分1期付款，其利润为1千元；分2期或3期付款，其利润为1.5千元；分4期或5期付款，其利润为2千元，以频率作为概率．（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一该手机的利润，求X的分布列及数学期望E（x）20．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且=m，求证：a+2b+3c≥9．2016-2017学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}【解答】解：由，得，解得0≤x＜1．所以{x|}={x|0≤x＜1}，又B={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，所以A∩B={x|0≤x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选：A．2．（5分）已知复数z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．﹣6 C．0 D．【解答】解：∵===是实数，则6﹣b=0，∴实数b的值为6，故选：A．3．（5分）以下判断正确的是（）A．函数y=f（x）为R上可导函数，则f'（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件B．命题“”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”C．“”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数”的充要条件D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题【解答】解：对于A，函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的比要不充分条件，如f（x）=x3，f′（x）=3x2，满足f′（0）=0，但0不是函数的极值点，故A错误；对于B，命题“”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，故B 错误；对于C，若，则f（x）=sin（ωx+φ）=sin（ωx+）=±cosωx，函数为偶函数，反之，若函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数，则ω×0+φ=，即，∴“”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数”的充要条件，故C正确；对于D，在△ABC中，“若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为：“若sinA＞sinB，则A＞B”，由正弦定理可知：在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB，逆命题为真命题，故D错误．故选：C．4．（5分）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120 cm3B．80 cm3C．100 cm3D．60 cm3【解答】解：由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，如图：所以几何体的体积为5×4×6=100cm3；故选：C．5．（5分）由曲线y=x2+1，直线y=﹣x+3及坐标轴所围成图形的面积为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图，由方程组，解得或．∴在第一象限内，曲线y=x2+1与直线y=﹣x+3交于（1，2）．∴所求围成的图形的面积S=（x2+1）dx+（﹣x+3）dx=（+x）+（3x﹣）=+1+3=．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，﹣a m=1，所以公差d=a m+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．）=﹣2，又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．7．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．8．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x﹣lnx，∴f′（x）=1﹣=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x），∴f′（x）=1﹣＞0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故选：A．10．（5分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（）A． B．C．D．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+φ）=sin[+（2x+φ）]=sin（2x++φ），∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）++φ）]=sin（2x﹣+φ），又f（x﹣）=sin（2x+），∴sin（2x﹣+φ）=sin（2x+），∴φ﹣=2kπ+，∴φ=2kπ+，又﹣π≤φ＜π，∴φ=．故选：A．11．（5分）椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），作图如右图：∵椭圆的焦距为2c，∴直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），又直线y=（x+c）与椭圆交于M点，∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．设|MF1|=x，则|MF2|=x，|F1F2|=2c=2x，故x=c．∴|MF1|+|MF2|=（+1）x=（+1）c，又|MF1|+|MF2|=2a，∴2a=（+1）c，∴该椭圆的离心率e===﹣1．故选：B．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0【解答】解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的交点为A，B，C，易知点B 的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.U13．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=﹣3．【解答】解：由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×（﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案为：﹣3．14．（5分）已知sin2α=，则cos2（α﹣）=．【解答】解：∵sin2α=，∴cos2（α﹣）==（1+sin2α）=，故答案为：．15．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，b=2，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：在△ABC中，∵a=bcosC+ccosB，又a=bcosC+csinB，b=2，∴cosB=sinB，∴tanB=1，B∈（0，π）．由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴4≥2ac﹣ac，当且仅当a=c时取等号．∴ac≤4+2．∴S=acsinB≤（4+2）×=+1．△ABC故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）∴f（x）的最小正周期为，令，则，∴f（x）的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接B1A交BA1于O，∵PB1∥平面BDA1，B1P⊂面AB1P，面AB1P∩面BA1D=OD，…（2分）∴B1P∥OD，又O为B1A的中点，∴D为AP中点，∴C1为A1P中点，…（3分）∴△ACD≌△PC1D，∴CD=C1D．…（4分）（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，∴AB⊥AC，…（5分）以A1为坐标原点，以A1B1，A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示．由（Ⅰ）知C1为A1P中点，∴A1（0，0，0），B1（1，0，0），，P（0，2，0），…（6分）∴，=（0，1，），设平面A 1B1D的法向量∵且，∴，取z=2，得y=﹣1，∴…（8分），，设平面PB1D的法向量，则，，∴，取x=2，得y=1，2，∴平面PB 1D的法向量…（10分）设二面角A1﹣B1D﹣P平面角为θ，则，…（11分）∴．…（12分）19．（12分）随着苹果6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式，某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部苹果6，顾客分1期付款，其利润为1千元；分2期或3期付款，其利润为1.5千元；分4期或5期付款，其利润为2千元，以频率作为概率．（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一该手机的利润，求X的分布列及数学期望E（x）【解答】解：（Ⅰ）由=0.15，得a=15，因为35+25+a+10+b=100，所以b=15，“购买该手机的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率：P（A）=．（6分）（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得ξ=1，2，3，4，5，P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，…（8分）并且P（X=1）=P（ξ=1）=0.35，P（X=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25．P（X=4）=1﹣0.35﹣0.25=0.4，…（10分）所以X的分布列为所以X的数学期望为E（X）=1×0.35+1.5×0.4+2×0.25=1.45（千元）．…（12分）20．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：设A（x 1，y1），B（x2，y2），把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，得x1+x2=．∵x N=x M==，∴N点的坐标为（，）．∵y′=4x，∴y′|=k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k．∵直线l：y=kx+2的斜率为k，∴l∥AB；（2）解：假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，∴|MN|=|AB|．由（Ⅰ）知y M=（y1+y2）=（kx1+2+kx2+2）=[k（x1+x2）+4]=（4+）=2+，由MN⊥x轴，则|MN|=|y M﹣y N|=2+﹣=，∵|AB|=•=•=•由=•∴k=±2，则存在实数k=±2，使AB为直径的圆M经过点N．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx﹣x．函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx；当x＞1时，f'（x）＞0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0．所以，f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx﹣ax所以方程f'（x）=0在x＞0上有两个不同根，即：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根，转化为：函数y=lnx与函数y=ax 的图象在x＞0上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），所以k=，又k=，所以，解得：x0=e，于是k=，所以，0＜a＜．（ⅱ）由（i）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．原不等式等价于令，则t＞1，设，，∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式成立，故所证不等式成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0…（5分）（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线C2的距离为d==，…（8分）当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R ，且=m，求证：a+2b+3c≥9．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．（Ⅱ）由a，b，c∈R ，且=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=1++++1++++1=3++++++≥3+6=9，当且仅当======1时，等号成立．所以a+2b+3c≥9赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。