【配套K12】江苏省宿迁市高中数学 第1章 导数及其应用导数 第3课时 瞬时速度与瞬时加速度导学案(无答案)
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(一)课件苏教版选修2_2
【解】 (1)因为物体在 t∈[3，5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2， 物体在 t∈[3，5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在 t∈[3，5]上的平均速度为ΔΔst＝428＝24(m/s)．
(2)因为物体在 t＝0 附近的平均变化率为 ΔΔst＝f(0＋ΔΔt)t－f(0)＝29＋3[(0＋Δt)－Δ3]t2－29－3(0－3)2 ＝3Δt－18， 因为 Δt 无限趋近于 0 时， ΔΔst＝3Δt－18 无限趋近于－18， 所以物体的初速度 v0 为－18 m/s.
曲线上某一点处的切线 已知曲线 y＝13x3 上一点 P2，83，求： (1)点 P 处的切线斜率； (2)点 P 处的切线方程．
【解】 (1)由 y＝13x3， ΔΔxy＝13(x＋ΔΔxx)3－13x3＝13×3x2Δx＋3xΔ(Δxx)2＋(Δx)3 ＝13[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]， 当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近于 x2， 所以点 P 处的切线的斜率等于 4. (2)在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)． 即 12x－3y－16＝0.
解
析
：
因
为
Δy Δx
＝
a(x＋Δx)2＋b(x＋Δx)－7－ax2－bx＋7 Δx
＝
aΔx
＋
2ax＋b，所以当 Δx→0 时，ΔΔxy＝2ax＋b，即点(1，1)处的切线的
斜率为 2a＋b.
由已知可得a2＋a＋b－b＝7＝4 1，解得 a＝－4，b＝12.
答案：－4 12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3．曲线 y＝x3－2x2－4x＋2 在点(1，－3)处的切线方程是______． 解析：因为 y＝x3－2x2－4x＋2，所以 ΔΔxy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)2－4(1＋ΔΔxx)＋2－(13－2×12－4×1＋2) ＝(Δx)3＋(ΔΔxx)2－5Δx＝(Δx)2＋Δx－5， 所以当 Δx→0 时，ΔΔxy→－5，所以点(1，－3)处切线斜率为－5， 所以切线方程为 y＋3＝－5(x－1)，即 5x＋y－2＝0. 答案：5x＋y－2＝0
高中数学第1章导数及其应用1_1_2瞬时变化率——导数互动课堂苏教版选修2-2
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导本节课重点是导数的定义和导数的几何意义，难点是利用定义求函数在某点处的导数和在开区间内的导数.一、函数y=f(x)在点x 0处的导数(变化率)是f′(x 0)或y′0|x x =，即 f′(x 0)=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00，它是函数的平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限值，如果极限不存在，我们就说函数在点x 0处不可导.疑难疏引 (1)函数应在点x 0的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，Δx 趋近于0可正、可负，但不为0，而Δy 可能为0. (3)xy∆∆是函数y=f(x)对自变量x 在Δx 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))及点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))的割线斜率. (4)导数f′(x 0)= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00是函数y=f(x)在点x 0处的瞬时变化率，它反映的函数y=f(x)在点x 0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率.因此，如果y=f(x)在点x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y-f(x 0)=f′(x 0)(x-x 0).(5)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x 0及其附近的函数值有关，与Δx 无关. (6)在定义式中，设x=x 0+Δx，则Δx=x -x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，导数的定义式可写成f′(x 0)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim x x →∆00)()(x x x f x f --. (7)若极限0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00不存在，则称函数y=f(x)在点x 0处不可导.(8)若f(x)在x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))有切线存在.反之不然，若曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0)有切线，函数y=f(x)在x 0不一定可导，并且，若函数y=f(x)在x o 不可导，曲线在点(x 0，f(x 0))也可能有切线，如切线平行与y 轴时. 一般地，0lim →∆x (a+bΔx)=a，其中a ，b 为常数.特别地，0lim →∆x a=a.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x).称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′，即 f′(x)=y′=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.函数y=f(x)在x 0处的导数y′0|x x =就是函数y=f(x)在开区间(a ，b)上导函数f′(x)在x 0处的函数值，即y′0|x x ==f′(x 0).所以函数y=f(x)在x 0处的导数也记作f′(x 0). 二、注意导数与导函数的区别与联系1.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内每一点都有导数则称函数y=f(x)在开区间(a ，b)内可导.2.导数与导函数都可称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在点x 0处的导数就是导函数f′(x)在点x 0的函数值.3.求导函数时，只需将求导数式中的x 0换成x 即可，即f′(x)=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.4.由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是： (1)求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x).(2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(. (3)取极限，得导数y′=0lim →∆x xy∆∆.三、导数与切线的理解 导数集数与形于一身，新教材在介绍导数几何意义时，利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.从代数角度看，平均变化率是由函数上的一点(x 0，f(x 0))到另一点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))函数值增量与自变量增量的比值，当Δx 无限趋近于零时，曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；从几何角度看过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，因此导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率.用运动变化的观念分析曲线C:y=f(x)上某点(x 0，y 0)的切线，从点(x 0，y 0)引割线，当另一交点无限趋近某点(x 0,y 0)时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点(x 0,y 0)的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为Δx→0时，k=x y∆∆=f′(x 0)，或x→x 0时，k=00x x y y --=f′(x 0).特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x 0.四、导数的物理意义瞬时速度是路程对时间的变化率，某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数. 活学巧用1.如果一个质点从定点A 开始沿直线运动的位移函数为y=f(t)=t 3+3. (1)当t 0=4且Δt=0.01时，求Δy 和ty ∆∆; (2)当t 0=4时，求0lim →∆t ty∆∆的值; (3)说明0lim →∆t ty∆∆的几何意义. 解析：(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)2=0.481 201， ∴t y ∆∆=01.0481201.0=48.120 1. (2)当Δt=0.001时，ty∆∆=48.012 01， 当Δt=0.000 1时，t y∆∆=48.001 201. 所以当Δt→0时，0lim →∆t ty∆∆=48.(3)Δy 是质点由固定点A 开始在Δt 这段时间内的位移，所以ty∆∆是质点A 在Δt 这段时间内的平均速度，而0lim →∆t ty∆∆是质点A 在时间t 0的瞬时速度. 2.已知y=f(x)=x2,求y′及y′|x=1.解析：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=xx ∆+2-x2=xx x x x x •∆+∆+-)(2,∴y′=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x x x x x x ∆••∆+∆+-)(2=0lim →∆x )()(2x x x x x x x x x x ∆++•∆••∆+∆--=0lim→∆x xx x x x x x x x 22)(2••-=∆++••∆+-=23--x.y′|x =1=f′(1)=23)1(--=-1.点评:函数的导数与在点x 0处的导数不是同一概念,在点x 0处的导数是函数的导数在x=x 0处的函数值.求函数的导数分三个步骤:(1)求函数增量Δy=f(x+Δx)-f(x); (2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(; (3)取极限并求极限值,得导数f′(x)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.3.如果曲线y=x 2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程. 解析：∵切线与直线y=3x+4平行，∴斜率为3. 设切点坐标为(x 0,y 0),则y′0|x x ==3. 又y′0|x x ==0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim →∆x xx x x x x x ∆+---∆++∆+33)()(020020 =0lim →∆x (Δx+2x 0+1)=2x 0+1,∴2x 0+1=3,从而得⎩⎨⎧-==.1,100y x∴切点坐标为(1，-1)，切线方程为3x-y-4=0.4.在曲线y=x 2+3的图象上取一点P(1，4)及附近一点(1+Δx，4+Δy)，求(1)xy∆∆；(2)Δx→0时，求xy∆∆的值；(3)在点P(1，4)的切线方程. 解析：(1)x y ∆∆=xf x f ∆-∆+)1()1(=xx ∆+-+∆+)31(3)1(22=2+Δx.(2)Δx→0时，xy∆∆=2+Δx→2, 即0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2+Δx)=2. (3)由(2)知过点P(1,4)的切线的斜率为2，故在点P(1，4)的切线方程为y-4=2(x-1)，即2x-y+2=0.5.(1)已知质点运动方程是s(t)=221gt +2t-1,求质点在t=4时的瞬时速度，其中s 的单位是m ，t 的单位是s.(2)已知某质点的运动方程是s(t)=3t 2-2t+1,求质点在t=10时的瞬时速度和动能.(设物体的质量为m)分析:瞬时速度是路程对时间的变化率，而动能U=221mv . 解：(1)质点在t=4时的瞬时速度为v (t=4)=0lim →∆t tt s t s ∆-∆+)()4(=0lim →∆t tg t t g ∆+⨯-•--∆++∆+1424211)4(2)4(2122=0lim →∆t ttt g t g ∆∆+∆+∆24212=0lim →∆t (21gΔt+4g+2)=4g+2, 所以质点在t=4时的瞬时速度为4g+2 (m/s). (2)质点在t=10时的瞬时速度为v (t=10)=0lim→∆t ts t s ∆-∆+)10()10(=0lim →∆t t t t ∆-⨯+⨯-+∆+-∆+11021031)10(2)10(322 =0lim →∆t tt t ∆∆+∆5832=0lim →∆t (3Δt+58)=58, 所以质点在t=10时的瞬时速度为v=58 m/s ；质点在t=10时的动能为 U=m mv 21212=×(58)2=1 682m J.。
江苏高中数学第一章导数及其应用112瞬时变化率导数课件苏教版选修2
[必备知识]
1．平均速度
运动物体的位移与_所__用__时__间__的比称为平均速度．
2．瞬时速度
一般地，如果当 Δt 无限趋近于 0 时，运动物体位移 S(t)的
平
均
变
化
率
St0＋Δt－St0 Δt
无
限
趋
近
于
_一__个__常__数__
，
那
么
_这__个__常__数__称为物体在___t_＝__t0___时的瞬时速度，也就是位移对 于时间的___瞬__时__变__化__率_______．
考点三 导数及其应用 [典例] 已知 f(x)＝x2－3. (1)求 f(x)在 x＝2 处的导数； (2)求 f(x)在 x＝a 处的导数． [解] (1)因为ΔΔxy＝f2＋ΔΔxx－f2 ＝2＋Δx2－Δx3－22－3＝4＋Δx， 当 Δx 无限趋近于 0 时，4＋Δx 无限趋近于 4， 所以 f(x)在 x＝2 处的导数等于 4.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°， ∴切线的斜率为 tan 45°＝1， 即 f′(x0)＝4x0＝1，得 x0＝14，该点为14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线 4x－y－2＝0， ∴切线的斜率为 4， 即 f′(x0)＝4x0＝4，得 x0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线 x＋8y－3＝0 垂直， ∴切线的斜率为 8， 即 f′(x0)＝4x0＝8，得 x0＝2，该点为(2,9)．
[课堂归纳领悟] 1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数 y＝f(x) 在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 y －y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐 标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而 求出切线方程．
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数温故知新 苏教版选修2-2-苏教版高二
1.1.2 瞬时变化率——导数温故知新新知预习1.如图所示：设曲线C 上一点P(x,f(x)),过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q(x+Δx,f (x+Δx)),则割线PQ 的斜率为K PQ =______________________=_____________________.当点Q 沿曲线C 向点P 运动,并无限趋近于点P 时,即Δx→0时,割线PQ 逼近点P 的切线V.从而割线的斜率逼近________________,xx f x x f ∆-∆+)()(0无限趋近于P(x,f(x))处的切线的_______________.2.一般地,运动物体位移的平均变化率tt S t t S ∆-∆+)()(00,如果当Δt 无限趋近于0时,_______,这个常数称为物体在t=t 0时的瞬时速度.我们可以看到,瞬时速度就是位移对时间的________.3.设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x 0∈(a,b),若Δx 无限趋近于0时,比值xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00无限_____________,则称f(x)在x=x 0处可导,并称_______________为函数f(x)在x=x 0的导数,记作f′(x 0).4.导数的意义(1)导数的几何意义：函数y=f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)就是曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的____________________，即___________________.(2)导数的物理意义：函数s=s(t)在点t 0处的导数_________________，就是当物体的运动方程为s=s(t)时，物体运动在时刻t 0时的瞬时速度v ，即v=s′(t 0).知识回顾1.切线定义的认识我们都知道与圆有且只有一个交点的直线是圆的切线，因此我们往往也会想当然地认为任意曲线的切线与该曲线都有且只有一个交点，而且与曲线有且只有一个交点的直线必是该曲线的切线，那么这个看法是否正确呢？让我们看两个例子.①直线x=1与曲线y=x 2有且只有一个交点，但显然它不是切线；②直线y=1与y=sinx 有无数个交点，但它却是切线.由此可见，我们对切线应该有一个全新的认识，认真理解教材中对切线的定义.2.平均变化率函数在某点的变化率定义为函数值的增量与自变量的增量之比，即x x f x x f ∆-∆+)()(00=xy ∆∆，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x 0,f(x 0))及点(x0+Δx,f(x0+Δx))的割线的斜率.3.函数变化率的应用用函数在一点附近的变化率，可以刻画函数图象的变化趋势.平均变化率可正可负也可以为零.一般地平均变化率的绝对值越大，曲线“越陡”——递增或递减的幅度越大.。
高中数学 第3章 导数及其应用 第3课时 瞬时速度与瞬时加速度教案 苏教版选修1-1
第三章 导数及其应用第3课时 瞬时速度与瞬时加速度教学目标：1.理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时 速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x 无限趋近于0的含义；2.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.教学重点：瞬时速度与瞬时加速度的定义教学难点：瞬时速度与瞬时加速度的求法教学过程：Ⅰ.问题情境Ⅱ.建构数学1.平均速度：2.位移的平均变化率：3.瞬时速度：4.瞬时加速度：Ⅲ.数学应用例1：一跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的，假设t s 后运动员相对于水面的高度为()105.69.42++-=t t t H ，试确定2=t s 时运动员的速度.练习：一质点的运动方程为52+=t s （位移单位：m ，时间单位：s ），试求该质点在3=t s的瞬时速度.例2：设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为()32+=t t v ，求0t t =s 时轿车的加速度.练习：1.一块岩石在月球表面上以s m /24的速度垂直上抛，t s 时达到的高度为2240.8h t t =-（单位：m ）.（1）求岩石在t s 时的速度、加速度；（2）多少时间后岩石达到最高点.2.质点沿x 轴运动，设距离为xm ，时间为t s ，1052+=t x ，则当t t t t ∆+≤≤00时，质点的平均速度为 ；当0t t =时，质点的瞬时速度为 ；当t t t t ∆+≤≤00时，质点的平均加速度为 ；当0t t =时，质点的瞬时加速度为 .Ⅳ.课时小结Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P 64 1,21.2.自由落体运动的位移s m 与时间t s 的关系为221gt s =（g 为常数）. （1）求0t t =时的瞬时速度；（2）分别求3,2,1=t s 时的瞬时速度. 中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
(江苏专用)高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数课件苏教版选修11
记作 f′(x) ．
6．函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，
f(x0))处的切线的斜率
．
[基础自测] 1．判断正误： (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( ) (3)在导数的定义中，ΔΔxy＞0.( )
无限趋近于
一个常数A
，则称 f(x)在点 x＝x0
处 可导 ，并称常数 A 为函数 f(x)在点 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)．
5．导函数
若函数 y＝f(x)对于区间(a，b)内任一点 都可导 ，则 f(x)在各点的导数也随自
变量 x 的变化而变化 ，因而也是自变量 x 的函数 ，该函数称为 f(x)的导函数，
[跟踪训练]
1．若一物体的运动方程为S＝7t2＋8，则其在t＝__________时的瞬时速度
为1. 【解析】
因为ΔΔst＝7t0＋Δt2＋Δ8t －7t20＋8＝7Δt＋14t0，
所以当Δt→0时，ΔΔst趋近于14t0，即14t0＝1，t0＝114.
【答案】
1 14
求函数在某一点处的导数
当Δx无限趋于0时，1－x＋1Δxx无限趋近于1－x12， 即f′(x)＝1－x12，故f′(1)＝0. 函数y＝x＋1x在x＝1处的导数为1－112＝0.
[规律方法] 由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤 如下：
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)； (3)求当Δx→0时，ΔΔyx的值，即f′(x0).
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数课件苏教版选修2-2
St0＋Δt－St0
Δt
无限 趋近 于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的
瞬时速度 ，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
vt0＋Δt－vt0
Δt
无限 趋近 于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时
加速度，也就是速度对于时间的瞬＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切 线的斜率．( ) (3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( ) (4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存 在．( )
ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 无限趋近
于一个 常数 A，则称f(x)在x＝x0处 可导 ，并
称该 常数 A为函数f(x)在x＝x0处的 导数 ，记作f′(x0)．
(2)导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 ．
2．导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x) 在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的 函数值 ．
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
江苏省宿迁市高中数学 第1章 导数及其应用导数 第4课时 导数导学案(无答案)苏教版选修22
课题：3.1.2导数的概念姓名_____________班级 日期：【学习任务】 1．了解导数的概念．2．掌握用导数的定义求导数的一般方法．3．在了解导数与几何意义的基础上，加深对导数概念的理解． 【课前预习】1、函数223y x x =+在3x =时的导数为 ，在x a =时的导数为2、导数的物理意义是指如果物体运动的规律是s=s(t)，那么物体在时刻t 的瞬时速度即为v (t )=3、函数()y f x =在点 经x 0处的导数0'()f x 的几何意义就是曲线()y f x =在点P(x 0,,0'()f x )处的 4、如图，函数()y f x =的图象在点Ｐ处的切线方程是8y x =-+，(5)f =______，'(5)f =【合作探究】例题１．已知 ()f x =2x +2. （1）求()f x 在x=1处的导数。
（2）求()f x 在x=a 处的导数。
变式１ 求下列函数在已知点处的导数：（１）31y x =+在3x =处的导数；（２）21y x =+在x a =处的导数；（３）1y x=在2x =处的导数．例题２ 已知曲线331x y =上一点⎪⎭⎫⎝⎛38,2P ．求：（1）点P 处的切线的斜率；（2）点P 处的切线方程．变式２ 已知曲线512++=x x y 上一点⎪⎭⎫⎝⎛219,2P ，求点P 处的切线方程．课题：3.1.2导数的概念当堂检测 姓名1. 已知过点P （2，0）的曲线2()24f x x x =-，则该曲线在点P 处的切线的斜率为2. 如右图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+，则(4)'(4)f f +的值为3. 设()4,f x ax =+若'(1)f =2，则a= .4. 若300(),'()3,f x x f x x ==则= __________5已知曲线2311y x y x =-=-与曲线在点x 0 处的切线互相平行，则x 0= ６过点P （—1，2），且与曲线2342y x x =-+在点M （1，1）处的切线平行的直线方程。
江苏高中数学第一章导数及其应用132极大值与极小值课件苏教版选修2
(2)由(1)知， f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)． f′(x)＝2x2－1＋4xx＋3，当 x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时， f′(x)>0，当 x∈(1,3)时，f′(x)<0， 所以 f(x)的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f(x)的单调减 区间是(1,3)．
[必备知识]
1．极大值与导数之间的关系如下表：
x f′(x)
x1左侧
f′(x) ___>___0
x1
f′(x) _＝___0
f(x)
增
极大值f(x1)
2．极小值与导数之间的关系如下表：
x f′(x)
x2左侧
f′(x) __<__0
x2
f′(x) _＝___0
f(x)
减
极小值f(x2)
x1右侧
f′(x) __<__0
范围是( )
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，3)
D．(－∞，3]
解析：选 C 由 y＝x3－3x2＋ax 可得 y′＝3x2－6x＋a.因
为函数 y＝x3－3x2＋ax 存在极值，所以 3x2－6x＋a＝0 有两个
不同的解，所以 Δ＝36－4×3×a＞0，解得 a＜3，即实数 a 的
取值范围是(－∞，3)，故选 C.
切线斜率为 0，即 f′(1)＝0，从而 a－12＋32＝0， 解得 a＝－1.
江苏省宿迁市泗洪中学高中数学3.2瞬时变化率教案1苏教
瞬时变化率—导数班级______________姓名_______________教学目标1．了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念2．在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点难点重点1．了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念2．在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点任务1：认真预习课本7970_P P 回答下列问题.问题1：平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，那么如何精确地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势呢？探究：如图所示，直线21,l l 为经过曲线上一点P 的两条直线。
（1） 试判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线。
（2） 在点P 附近你能作出一条比直线21,l l 更加逼近曲线的直线3l 吗？（3） 在点P 附近你能作出一条比直线21,l l ，3l 更加逼近曲线的直线4l 吗？问：怎样找到在曲线上一点P 处最逼近曲线的l 呢？结论：①平均变化率只能粗略地刻画曲线上某一点处的变化趋势.②瞬时变化率能更精细地刻画曲线上某一点处的变化趋势.【典型例题】例1.求2)(x x f =，求曲线2)(x x f =在下列各点出的切线的斜率。
（1）0=x ， （2）2-=x ， （3）2=x ， （4）3=x例2．用割线逼近切线的方法，求曲线x y 1=在1=x 处切线的斜率例 3. 函数2)(x x f =的图像在点)169,43(P 处的切线的斜率是多少？写出该直线切线的方程。
小结：归纳求在某点处切线的斜率。
《瞬时变化率》反馈练习1．函数xx x f 1)(+=在[]3,2上的平均变化率为 _____2.函数1ln )(+=x x f 从e 到2e 的平均变化率为 _____3.函数12)(+=x x f 在区间[]x ∆+2,2上的平均变化率为 _____4．质点运动规律为32+=t s ，则，质点在3=t 处切线的斜率为 _____ 5.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,则其在4s 处切线的斜率为_____________6.路灯距地面8米，一个身高为1.6米的人以84米每分钟的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 沿某直线离开路灯。
【高中】高中数学第1章导数及其应用132极值点互动课堂苏教版选修22
【关键字】高中高中数学第1章导数及其应用 1.3.2 极值点互动课堂苏教版选修2-2疏导引导1.可导函数极值的概念如图,观察图形,展示出图象在点(x1,f(x1))处的切线的变化.不难得出:曲线在极值点处切线的斜率为0,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正,得到可导函数极值的概念.疑难疏引对此概念的几点说明如下:(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义,是指在点x0及其左右邻域都有意义.(2)极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧邻域而言的.(3)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(4)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)(5)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有f′(x)=0.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小.假设x0使f′(x)=0，那么x0在什么情况下是极值点呢？如上图所示，若x0是f(x)的极大值点，则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x0)＞0.x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x0)＜0，同理，如下图所示，若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x0)＜0，在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x0)＞0，从而我们得出结论：若x0满足f′(x0)=0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f′(x0)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x0)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.2.求可导函数y=f(x)极值的步骤：(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化.由上面介绍的方法确定函数是否取得极值，以及极值是什么.活学巧用1.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.解析：f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，令f′(x)=0，解得x1=-1，x2=3.∴x＜-1时，f′(x)＞0,函数f(x)递加；-1＜x＜3时，f′(x)＜0,函数f(x)递减；x＞3时，f′(x)＞0，函数f(x)递加，∴f(x)极大值=f(-1)=10；f(x)极小值=f(3)=-22.2.求函数f(x)=-2的极值.解析：由f(x)=-2知函数f(x)的定义域为R.f′(x)=.令f′(x)=0,得x=-1,或x=1.当x=1时，函数有极大值，且f(1)==-1.3.已知函数f(x)=x3＋ax2+bx+c，当x=-1时，取得极大值7;当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.解析：f′(x)=3x2+2ax+b.据题意，-1，3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得：∴a=-3,b=-9∴f(x)=x3-3x2-9x+c∵f(-1)=7,∴c=2极小值f(3)=33-3×32-93+2=-25∴极小值为-25,a=-13,b=-9,c=2.4.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.解析：(1)f′(x)=3ax2+2bx-3，依题意，f′(1)=0，f′(-1)=0,即解得a=1,b=0.∴f(x)=x3-3x,则f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).令f′(x)=0,得x=1或x=-1.由上表可以看出，当x=-1时，函数f(x)取得极大值；当x=1时，函数f(x)取得极小值.(2)由(1)的计算可知曲线方程为y=f(x)=x3-3x,且点A(0,16)不在该曲线上，设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0=.又f′(x0)=,∴切线的方程为y-y0=()(x-x0).由于点A(0,16)在该切线上，从而有16-y0=()(-x0)，结合y0=，得x0=-2.∴y0=-2.∴适合题意的切线方程为9x-y+16=0.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用(第3课时)课堂探究 新人教A版选修
课堂探究新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用（第3课时）课堂探究新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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时)课堂探究 新人教A 版选修2-2探究一 求函数的最值求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导；（2)研究函数的单调性,正确确定函数的极值和端点的函数值；(3）比较极值与端点函数值的大小,有时需要利用作差或作商,甚至要分类讨论． 【典型例题1】求下列函数的最值：(1）f （x ）＝－x 3＋3x ，x ∈［－错误!,错误!]； (2)f （x )＝sin 2x －x ，x ∈错误!。
思路分析：按照求函数最值的方法与步骤，通过列表进行计算与求解． 解：（1）f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x －1）(x ＋1）． 令f ′（x ）＝0，得x ＝1,或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x ),f (x )的变化情况如下表：当x ＝1时，f (x )取得最大值，[f (x ）]max ＝f （1）＝2.当x ＝－1时,f （x ）取得最小值，［f （x )］min ＝f （－1)＝－2. （2)f ′(x )＝2cos 2x －1,令f ′(x )＝0，－错误!≤x ≤错误!，得x ＝－错误!或x ＝错误!. 当x 变化时，f ′(x ),f （x ）的变化情况如下表：当x＝－错误!时f(x)取得最大值f错误!＝错误!,当x＝错误!时f（x）取得最小值f错误!＝－错误!.探究二含参数的函数最值问题由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值变化．因此需要对参数进行分类讨论,分类时常见于讨论：①f′(x)的类型,如f′（x）＝ax2＋2x－1时,可以分a＞0,a＝0，a＜0三种情况讨论；②当f′（x)＝0时注意是否有解,若有解,则讨论根是否在定义域内，根的大小是否确定．③有时，可以用可能的极值或最值的大小关系分类．【典型例题2】已知函数f（x)＝（x－k）e x.（1)求f(x）的单调区间;(2)求f(x）在区间［0,1］上的最小值．解:(1）f′（x)＝（x－k＋1）e x.令f′（x）＝0，得x＝k－1.当x变化时,f(x）与f′（x)的变化情况如下:所以,f（x)1，＋∞）．（2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x）在［0,1］上单调递增，所以f（x)在区间[0，1］上的最小值为f(0）＝－k;当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x）在［0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f（x)在［0，1］上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1,即k≥2时,函数f(x)在［0,1]上单调递减，所以f(x)在区间［0，1]上的最小值为f（1)＝(1－k)e.探究三函数最值与不等式恒成立问题1．不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型,这种题型的解法有多种,其中最常用的方法就是分离参数,然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．2．一般地,若不等式a≥f(x）恒成立，a的取值范围是a≥［f(x）］max；若不等式a≤f（x)恒成立,则a的取值范围是a≤[f（x）]min。
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课题：３.1.2瞬时变化率与瞬时加速度
姓名_____________班级 日期：
【学习目标】
1. 了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；
2.了解求瞬时速度和瞬时加速的的方法
【课前预习】
1．设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t 到t+△t 这段时间内的平均速度为s t = ，如果△t 无限趋近于0，s t
无限趋近于某个常数v 0，这时v 0就是物体在时刻t 的
2．设物体运动的速度函数()v t ν=，则物体在t 到△t 这段时间内的平均变化率为v t = ，如果△t 无限趋近于0，v t
无限趋近于某个常数a ，这时a 就是物体在时刻t 的
3．已知一动点的运动规律满足等式232s t =-（t 的单位：s ，s 的单位：m ），则t=3s 的瞬时速度是
【合作探究】
例题1设一辆轿车在公路上做匀加速直线运动，假设t s 时的速度为2()3v t t =+，求0t t s =时轿车的速度．
例题２ 自由落体的运动的位移()S m 与时间()t s 的关系式为212
S gt =
（g 为常数）． （１）求0t t =s 时的瞬时速度；
（２）分别求0,1,2t s =时的瞬时速度．
课题：3. 1.2瞬时变化率与瞬时加速度当堂检测 姓名_____________
1. 一物体做直线运动，在时刻ts 时，该物体的位移是2182s t =-（单位：m ），则当t=3s 时物体的瞬时速度为
2. 已知某汽车的位移是2052
s v t t =-（t 的单位：s ，s(t)的单位：m ）,且当当t=10s 时，汽车的瞬时速度为8 m/s ，则o v =
3. .跳水运动员从10m 高跳台腾空入水，假设t s 后运动员相对于水面的高度 为2()
4.9 6.510H t t t =-++，则2t s =时的瞬时速度为___ _________
4．已知某质点按规律t t s 222
+=（米）作直线运动．求：
（1）该质点在运动前3秒内的平均速度；
（2）质点在2秒到3秒内的平均速度；
（3）质点在3秒时的瞬时速度．
9．已知质点的运动方程为S (t )＝5t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．
(1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度；
(2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度；
(3)求t 在t ＝3秒时的瞬时速度．
3．某物体走过的路程S (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：S ＝t 2－1，则该物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．。