2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第14章 第73讲 几何概型

概率．
【 解 析 】 设 事 件 A： “函 数 f
x ＝ x ＋ a x＋ b
2
的 图 像 与 x 轴 有 公 共 点 ”， 区 域 D＝{ ( a， b ) | 0 a 1, 0 b 1}， 如 图 ， 要 使 事 件 A 发 生 ， 则 ＝ a－ 4 b 0， 所以区域 d ＝{ ( a， b ) | 0 a 1, 0 b 1 ， a－ 4 b 0}， 1 如 图 中 的 阴 影 部 分 P A ＝ 2 1 1 1 4＝1. 8
1．对于几何概型的应用题，关键是 构造出随机事件A对应的几何图形，利用
几何图形的测度来求随机事件的概率．根
据实际问题的具体情况，合理设置参数， 建立适当的坐标系．在此基础上将试验的 每一个结果一一对应于该坐标系的一点， 便可构选出度量区域．
2．分清古典概型与几何概型
的关键就是古典概型与几何概型中 基本事件发生的可能性都是相等的， 但古典概型要求基本事件有有限个， 而几何概型则是无限个．
R＝
3
4 3
3 ＝ 3 6 cm
3
3
＝ 3 6 m L ．
故 从 中 任 取 1 m L 水 ， 含 有 A ID S 病 毒 的 概 率 为 P＝ 1 3 6 0 .0 0 8 8 4.
把实际问题转化为数学模型
是解决问题的关键，这道题主要
是体积之间的关系．
1 3
4.在 半 径 为 1 的 圆 周 上 任 取 两 点 ， 连 接 两 点 成 一 条弦，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概 率为
1 3
.
5.向 边 长 为 1 的 正 方 形 内 随 机 投 一 粒 豆 子 ， 则 豆 子 到 正 方 形 的 顶 点 A的 距 离 不 大 于 的 概 率 是
2 2
所 以 a a 2 0 a 2 a 1 0
2
1 a 2. 所以P 3 10 0 .3.
3.在 面 积 为 S 的 V A B C 的 边 A B 上 任 取 一 点 P ， 则 V P B C的 面 积 大 于 S 4 的概率为
1 P A ＝ 2 P B ＝ 3 P C ＝
30 75 5
＝ ＝ ＝
2 5
； ； .
1 15 8 15
75 40 75
5.在 区 间 0 , 1 上 任 取 两 个 数 a， b， 求 使 函 数 f
x ＝ x ＋
2
a x＋ b的 图 象 与 x 轴 有 公 共 点 的
1 S圆 1
. 16

2 12
1
2
解析：P 4 4 S正方形


16
与长度有关的几何 概型
【例1】 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意 位置剪断，那么，剪得两段的长度都 不短于1 m的概率有多大？
【 解 析 】 如 图 所 示 ， 记 A＝{ 剪 得 两 段 绳 子 长 都 不 少 于 1 m }． 把 绳 子 三 等 分 ， 于 是 当 剪 断 位 置 处 在 中 间 一 段 上 时 ， 事 件 A发 生 ． 由 于 中 间 一 段 的 长 度 为1 ， 则 P A ＝ 段 的 长 度 都 不 短 于1 m 的 概 率 为 1 3 1 3 . .故 剪 得 两
， 又 正 方 体 A B C D－
1.(2 0 1 1 南 京 三 模 卷 ) 在 水 平 放 置 的 长 为 5 m 的 木 杆 上 挂 一 盏 灯 ， 则 悬 挂 点 与 木 杆 两 端 距 离 都 大 于 2m 的 概
1
率是
5
【解析】这是一个几何概型，其概率就是相 应 的 线 段 C D 、 A B的 长 度 的 比 值 ， 所 以 P 1 5 .
从每一个位置剪断绳子，都
是一个基本事件，剪断位置可以
是长度为3 m的绳子上的任意一点，
基本事件有无限多个，显然不能 应用古典概型计算，可考虑用几
何概型计算．
【变式练习1】
如图，A，B两盏路灯之间的距离是30米，
由于光线较暗，想在其间再随意安装一盏
路灯C，问A与C，B与C之间的距离都不小
于10米的概率是多少？
3 4
解 析 ： 如 图 ， 当 BM
1 4
B A时 ， M B C 的 面 积 为 V s 4 3
s 4
，而
当 P 在 M 、 A之 间 运 动 时 ， P B C 的 面 积 大 于 V
，而 AB
MA 3 4 .
3
A B， 则 V P B C 的 面 积 大 于 的 概 率 P 4 4 AB
2
由 几 何 概 型 的 定 义 得 P A ＝
2 3 2
＝
2 3
.
与体积有关的几 何概型
【例3】 一个球型容器的半径为3 cm，里面装有 纯净水．因为实验人员不小心混入了一 个AIDS病毒，从中任取1 mL水，含有 AIDS病毒的概率是多少？
【解析】病毒在水中的分布可以看作是随机的， 从 中 取 得1 m L水 可 看 作 构 成 事 件 的 区 域 ， 所 有 水可看作试验的所有结果构成的区域，可用体 积比公式计算其概率． 水的体积为 4 3
1.在 区 间 1, 3 上 任 取 一 数 ， 则 这 个 数 大 于 1. 5 的 概 率为 . 0.75
2.已 知 集 合 A x | 1 x 5 ， B { x |
x2 3 x
0}，
在 集 合 A 任 取 一 个 元 素 x， 则 事 件 “ x A B ”的
1
概率是
6
.
x2 解析： 0 3 x
x 2 x 3
0 2 x 3. 1 6
A B 2, 3 ， 故 x A B 的 概 率 为
3.如 图 ， A、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 是 圆 O 的 六 个 等 分 点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为
个时间随机地被送到，老王在下午6：00～7：
00之间的任何一个时间随机地开始晚餐． (1)晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之 后被送到哪一种可能性更大？ (2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
【解析】(1)晚报在5：30～6：30之间 送到或晚餐在6：30～7：00之间开始， 这两种情况都使得晚报的送达是在晚餐 开始之前，故晚报在晚餐开始之前被送 到的可能性大．
则 因 为 S 正 方 形 A B C D＝1 ， 所 以 h＝
记 " 四 棱 锥 M － A B C D的 体 积 小 于
即 可 使 四 棱 锥 M － A B C D的 体 积 小 于
1 6
. 1 2 的 1 2
因 为 满 足 点 M 到 平 面 A B C D的 距 离 小 于
点 组 成 一 个 以 正 方 形 A B C D为 底 面 ， 高 为 的长方体，其体积为 1 2 1 2＝1. A1 B1C 1 D 1的 体 积 为 1 ， 所 以 P A ＝ 1 2
本题的关键是设置晚报送到的
时间和晚餐开始的时间分别为直角
坐标系中的点的横坐标与纵坐标，
进而构造出对应的几何图形．
【变式练习2】 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2 ＝0，若a是从区间[0,3]内任取的一个 数，b是从区间[0,2]内任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．
【 解 析 】 设 事 件 A为 “ 方 程 x ＋ 2 a x＋ b ＝ 0 有 实 根 ， 当 a 0， b 0时 方 程 x ＋ 2 a x＋ b ＝ 0
2 2 2 2
有 实 根 的 充 要 条 件 为 a b， 试 验 的全部结果所构成的区域为
a， b | 0
a 3， b 2 ， 构 成 事 件 A的 区 域 0
为 { ( a， b ) | 0 a 3, 0 b 2 ， a b }， 如 图 ， 3 2 1 2
4.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为 40秒，当你到达路口时，看见下列三种
情况的概率各是多少？ (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
【 解 析 】 记 “ 到 达 路 口 看 见 红 灯 ” 为 事 件 A， “ 到 达 路 口 看 见 黄 灯 ” 为 事 件 B，到 达 路 口 “ 看 见 的 不 是 红 灯 ”为 事 件 C， 则 整 个 区 域 的 时 间 长 度 为 7 5 秒 ， 事 件 A所 占 时 间 长 度 为 30 秒 ， 事 件 B 所 占 时 间 长 度 为 5 秒 ， 事 件 C 所 占 时 间 长 度 为 40秒 ． 故
2.( 2 0 1 1 苏 北 四 市 期 末 卷 ) 在 区 间 5, 5 内 随 机 地 取 出 一 个 数 a， 则 使 得 1 { x | 2 x a x a ＞ 0 }的
2 2
概 率 为 0.3
【 解 析 】 因 为1 x | 2 x a x a 0 ，
【 变 式 练 习 3】 正 方 体 A B C D － A1 B1C 1 D 1的 棱 长 为 1 ， 在 正 方 体 内 随 机 取 一 点 M ， 求 使 四 棱 锥 M － ABCD 的体积小于 1 6 的概率．
【 解 析 】 设 点 M 到 平 面 A B C D的 距 离 为 h . 若 V M － A B C D＝ 1 3 S 正 方 形 A B C D h＝ 1 6 1 2 1 6 因 此 ， 只 要 点 M 到 平 面 A B C D的 距 离 小 于 1 2 ， " 为 事 件 A. . ，Biblioteka 2在平面上建立如右图的直角
坐 标 系 ． 图 中 直 线 x＝ 6 ， x＝ 7 ， y＝ 5.5 ， y＝ 6.5 围 成 一 个 正 方 形 区 域 G .设 晚 餐 在 x时 开 始 ， 晚 报 在 y时 送 达 (6 x 7 ， y 6.5)， 5.5 于 是 此 试 验 的 所 有 结 果 就 与 G中 的 所 有 点 一 一 对 应 ． 晚 报 在 晚 餐 前 送 达 当 且 仅 当 y x， 因 此 图 中 阴 影 区 域 g 就 表 示 “ 晚 报 在 晚 餐 前 送 达 ”． 易 求 得 g的 面 积 为 7 8 故 所 求 概 率 为 P＝ 7 8 . , G 的 面 积 为1 ，