线性相关与线性无关
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§2 线性相关与线性无关
向量 向量组与矩阵 线性相关性的概念 线性相关性的定理 小 结 思 考
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
1.线性相关与线性组合的关系定理
证："" 若向量组1， 2， ， m (m 2)线性相关，则一定存
k11 k 2 2 k m m 0 km k2 不妨设k1 0，于是有： 1 2 m k1 k1 不妨设 ""
在一组不全为零的数k1，k 2， ，k m , 使
k1, k2 ks 使
'
k1 k2 1 , 2 ,, s 0 k s
例 1 判断向量组
的线性相关性。 解 假设存在一组常数k1,k2,…,kn 使得
所以
即 k1=k2=…=kn=0
因此 线性无关。
例2：讨论1 (1,2,1), 2 (2,3,1),3 (4,1,1)的相关性
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例，几何意 义 是两向量共线；三个向 量相关的几何意义是三 向 量共面.
6当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非 零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
7当1 , 2 为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵 s
b 1 1 2 2 m m
则称向量是向量组 的线性组合或称向量 b A b能 向量组 线性表示。 A
向量组的等价
定义:
设有两个 n 维向量组
( I ) : 1 , 2 , , r ( II ) : 1 , 2 , , s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性 表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示； 若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示， 则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
二、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 注意 1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例。
定 理2.1' 向 量 组 1 , 2 ,, m m 2线 性 无 关 的 充 要 条 件 是 这 个 向组 中 的 任 何 向 量 都 不 能 量 由 其 余 1个 向 量 线 性 表 示 。 m
定理2：设向量组 1， 2， ， m 线性无关，而向量组 ，
k11 k 2 2 k 3 3 O 1 , 2 , 3线性相关。
例3
证
已知向量组1 , 2 , 3 线性无关, b1 1 2 ,
设有x1 , x2 , x3使
b2 2 3 , b3 3 1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关.
向量组 1 , 2 , …， m 称为矩阵A的行向量组．
T T
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 1 , 2 ,, m , 组 构成一个m n矩阵 A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
这里必有k 0，否则，有 k11 k 2 2 k m m 0
由向量组1， 2， ， m 线性无关知：
k1 k 2 k m 0 故 可由1， 2， ， m线性表示。
下证唯一
设 k11 k 2 2 k m m
定理 若两个齐次方程组 0, Bx 0的行 Ax
向量组等价则两个方程组同解。 ,
证明 设x是方程组 0的一个解因矩阵 的行 Ax , B
向量 组能用矩 阵的向 量组表示 ，故存 系 数 A 在 矩 阵K使B KA。因此 Bx K ( Ax ) K 0 0.
这 说 明 是 方 程 组 0的 解.反 之, 如x是 方 程 组 x Bx Bx 0的 解, 则 同 理 可 知也 是 方 程 组 0的 解. x Ax 故 是 方 程 组 0与Bx 0同 解 。 Ax
k1 j k2 j 1 , 2 ,, m ) （ , k mj
从而
k11 k 21 （ b1 , b2 ,, bs ) 1 , 2 ,, m ) （ k m1
Biblioteka Baidu
k12 k 22 km 2
1 n 0时, 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组 不是线性无关就是 , 线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
n维行向量组
T
a1 n a2n a in a mn
T 2
T 1
T i
T m
1T T 2 A T m
T T 1T , 2 m 可以排列成一个m×n分块矩阵
1 1 3 , 2 1 2 , 3 1 2 3
n维列向量组 1 , 2 n 可以排成一个m×n分块矩阵
A 1 , 2 , n
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
1 k 2 2 k m m
1 k 2 2 k m m O 即向量组1， 2， ， m (m 2)线性相关。
例如，向量组
是线性相关的，因为
对于只有两个向量 ，的向量组，由定理可得，，
线性相关的充分必要条件是， 的对应分量成比
x1b1 x2b2 x3b3 0 即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, x1 x 2 0, x x 0. 2 3
1， 2， ， m 线性相关，则 可由1， 2， ， m
线性表示且表示式惟一。
证： 向量组 , 1， 2， ， m 线性相关，则一定存在一组不
全为零的数 k , k1，k 2， ，k m , 使
k k11 k 2 2 k m m 0
例如, 对于向量组 ( A) 1 (1,1,1), 2 (1, 0,1), 3 (0,1,1) ( B) 1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0), 3 (0, 0,1) 显然有, 1 1 2 3 , 2 1 3 , 3 2 3 ;
l11 l 2 2 l m m
(k1 l1 )1 (k 2 l 2 ) 2 (k m l m ) m O
由向量组1， 2， ， m 线性无关知：
k i li , i 1,2,, m.
所以表示式惟一。
向量组的等价
b12 b1n b22 b2 n k s 2 k sn
同 时， 的 行向 量 组能 由的 行向 量 组线 性 表示 C B , A为 这一 表 示的 系 数矩 ： 阵
1T a11 T 2 a 21 a T m m1 a12 a 22 am 2 a1 s 1 T T a 2 s 2 T a ms s
解： 设 k11 k 2 2 k 3 3 O
k1 2k 2 4k 3 0
k1 k 2 k 3 0
1 2 4 系数行列式为 2 3 1 2k1 3k2 k3 0 1 1 1
3 2 8 12 4 1 0
故 方程组有非零解，即有非零的数 k1, k2 , k3 使
若记A 1 , 2 ,, m )和B b1 , b2 ,, bs ). B （ （ 能由A线性表示，即对每个向 b j ( j 1,2,, s )存 量 在数k1 j , k 2 j ,k mj , 使
b j k1 j 1 k2 j 2 kmj m
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组 x1 1 x 2 2 x m m b 有解.
三、相关性的判定及有关重要结论
定理1：向量组1， 2， ， m ( m 2)线性相关的充要条件是其中 至少有一个向量可由其余m 1各向量线性表示。
由于此方程组的系数行 列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1
故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
这个线性组合的组合系数
也可用矩阵形式表示：
若所给向量均为行向量，则有
若所给向量均为列向量，则有
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
k1 s k2s k ms
矩阵K m s ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵.
若C mn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示， 为这一表示的系数 B 矩阵：
b11 b21 （ c1 , c 2 ,, c n ) 1 , 2 ,, s ) （ b s1
复习：线性表示
定义 给定n维向量组 : 1 , 2 ,, m，对任 A 何一组数 1，k2， , km，向量 k
k1 1 k2 2 km m
称为向量组 的一个线性组合或一个 A 线性表示， k1，k2， , km 称为这个线性组合的系. 数
给定n维向量组 : 1 , 2 ,, m 和向量 , 如果 A b 存在一组数 1，2， , m，使
向量 向量组与矩阵 线性相关性的概念 线性相关性的定理 小 结 思 考
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
1.线性相关与线性组合的关系定理
证："" 若向量组1， 2， ， m (m 2)线性相关，则一定存
k11 k 2 2 k m m 0 km k2 不妨设k1 0，于是有： 1 2 m k1 k1 不妨设 ""
在一组不全为零的数k1，k 2， ，k m , 使
k1, k2 ks 使
'
k1 k2 1 , 2 ,, s 0 k s
例 1 判断向量组
的线性相关性。 解 假设存在一组常数k1,k2,…,kn 使得
所以
即 k1=k2=…=kn=0
因此 线性无关。
例2：讨论1 (1,2,1), 2 (2,3,1),3 (4,1,1)的相关性
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例，几何意 义 是两向量共线；三个向 量相关的几何意义是三 向 量共面.
6当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非 零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
7当1 , 2 为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵 s
b 1 1 2 2 m m
则称向量是向量组 的线性组合或称向量 b A b能 向量组 线性表示。 A
向量组的等价
定义:
设有两个 n 维向量组
( I ) : 1 , 2 , , r ( II ) : 1 , 2 , , s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性 表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示； 若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示， 则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
二、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 注意 1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例。
定 理2.1' 向 量 组 1 , 2 ,, m m 2线 性 无 关 的 充 要 条 件 是 这 个 向组 中 的 任 何 向 量 都 不 能 量 由 其 余 1个 向 量 线 性 表 示 。 m
定理2：设向量组 1， 2， ， m 线性无关，而向量组 ，
k11 k 2 2 k 3 3 O 1 , 2 , 3线性相关。
例3
证
已知向量组1 , 2 , 3 线性无关, b1 1 2 ,
设有x1 , x2 , x3使
b2 2 3 , b3 3 1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关.
向量组 1 , 2 , …， m 称为矩阵A的行向量组．
T T
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 1 , 2 ,, m , 组 构成一个m n矩阵 A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
这里必有k 0，否则，有 k11 k 2 2 k m m 0
由向量组1， 2， ， m 线性无关知：
k1 k 2 k m 0 故 可由1， 2， ， m线性表示。
下证唯一
设 k11 k 2 2 k m m
定理 若两个齐次方程组 0, Bx 0的行 Ax
向量组等价则两个方程组同解。 ,
证明 设x是方程组 0的一个解因矩阵 的行 Ax , B
向量 组能用矩 阵的向 量组表示 ，故存 系 数 A 在 矩 阵K使B KA。因此 Bx K ( Ax ) K 0 0.
这 说 明 是 方 程 组 0的 解.反 之, 如x是 方 程 组 x Bx Bx 0的 解, 则 同 理 可 知也 是 方 程 组 0的 解. x Ax 故 是 方 程 组 0与Bx 0同 解 。 Ax
k1 j k2 j 1 , 2 ,, m ) （ , k mj
从而
k11 k 21 （ b1 , b2 ,, bs ) 1 , 2 ,, m ) （ k m1
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k12 k 22 km 2
1 n 0时, 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组 不是线性无关就是 , 线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
n维行向量组
T
a1 n a2n a in a mn
T 2
T 1
T i
T m
1T T 2 A T m
T T 1T , 2 m 可以排列成一个m×n分块矩阵
1 1 3 , 2 1 2 , 3 1 2 3
n维列向量组 1 , 2 n 可以排成一个m×n分块矩阵
A 1 , 2 , n
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
1 k 2 2 k m m
1 k 2 2 k m m O 即向量组1， 2， ， m (m 2)线性相关。
例如，向量组
是线性相关的，因为
对于只有两个向量 ，的向量组，由定理可得，，
线性相关的充分必要条件是， 的对应分量成比
x1b1 x2b2 x3b3 0 即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, x1 x 2 0, x x 0. 2 3
1， 2， ， m 线性相关，则 可由1， 2， ， m
线性表示且表示式惟一。
证： 向量组 , 1， 2， ， m 线性相关，则一定存在一组不
全为零的数 k , k1，k 2， ，k m , 使
k k11 k 2 2 k m m 0
例如, 对于向量组 ( A) 1 (1,1,1), 2 (1, 0,1), 3 (0,1,1) ( B) 1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0), 3 (0, 0,1) 显然有, 1 1 2 3 , 2 1 3 , 3 2 3 ;
l11 l 2 2 l m m
(k1 l1 )1 (k 2 l 2 ) 2 (k m l m ) m O
由向量组1， 2， ， m 线性无关知：
k i li , i 1,2,, m.
所以表示式惟一。
向量组的等价
b12 b1n b22 b2 n k s 2 k sn
同 时， 的 行向 量 组能 由的 行向 量 组线 性 表示 C B , A为 这一 表 示的 系 数矩 ： 阵
1T a11 T 2 a 21 a T m m1 a12 a 22 am 2 a1 s 1 T T a 2 s 2 T a ms s
解： 设 k11 k 2 2 k 3 3 O
k1 2k 2 4k 3 0
k1 k 2 k 3 0
1 2 4 系数行列式为 2 3 1 2k1 3k2 k3 0 1 1 1
3 2 8 12 4 1 0
故 方程组有非零解，即有非零的数 k1, k2 , k3 使
若记A 1 , 2 ,, m )和B b1 , b2 ,, bs ). B （ （ 能由A线性表示，即对每个向 b j ( j 1,2,, s )存 量 在数k1 j , k 2 j ,k mj , 使
b j k1 j 1 k2 j 2 kmj m
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组 x1 1 x 2 2 x m m b 有解.
三、相关性的判定及有关重要结论
定理1：向量组1， 2， ， m ( m 2)线性相关的充要条件是其中 至少有一个向量可由其余m 1各向量线性表示。
由于此方程组的系数行 列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1
故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
这个线性组合的组合系数
也可用矩阵形式表示：
若所给向量均为行向量，则有
若所给向量均为列向量，则有
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
k1 s k2s k ms
矩阵K m s ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵.
若C mn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示， 为这一表示的系数 B 矩阵：
b11 b21 （ c1 , c 2 ,, c n ) 1 , 2 ,, s ) （ b s1
复习：线性表示
定义 给定n维向量组 : 1 , 2 ,, m，对任 A 何一组数 1，k2， , km，向量 k
k1 1 k2 2 km m
称为向量组 的一个线性组合或一个 A 线性表示， k1，k2， , km 称为这个线性组合的系. 数
给定n维向量组 : 1 , 2 ,, m 和向量 , 如果 A b 存在一组数 1，2， , m，使