山东省济宁市2015届高考数学专题复习 第4讲 函数及其表示练习 新人教A版

第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示[考情展望] 1.考查给定函数(或抽象函数)的定义域.2.以分段函数为载体，考查函数的求值、值域及参数的范围等问题.3.以新定义、新情景为载体，考查函数的表示方法、最值等问题．一、函数及映射的概念函数1．定义域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫做函数的定义域． 2．值域：函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． 3．相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 三、函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 四、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数三要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式． (3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．1．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一函数． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】 由函数的定义知①正确．∵满足f (x )＝x －3＋2－x 的x 不存在，∴②不正确．又∵y ＝2x (x ∈N)的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． 又∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确． 【答案】 A2．下列函数中，与函数y ＝x 相同的是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝(x )2C ．y ＝lg 10xD ．y ＝2log 2x【解析】 因为y ＝x 2x ＝x (x ≠0)；y ＝(x )2＝x (x ≥0)；y ＝lg 10x ＝x (x ∈R)；y ＝2log 2x ＝x (x ＞0)，故选C.【答案】 C3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.【解析】 令1x ＝t ，(t ≠0)，则x ＝1t，故f (t )＝1t 2＋5t ，所以f (x )＝1x 2＋5x(x ≠0)．【答案】1x2＋5x(x ≠0) 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝________.【解析】 由题意知f (3)＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.【答案】1395．(2013·陕西高考)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)【解析】 函数f (x )的定义域M ＝(－∞，1]，则∁R M ＝(1，＋∞)． 【答案】 B6．(2013·浙江高考)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. 【解析】 因为f (a )＝a －1＝3，所以a －1＝9，即a ＝10. 【答案】 10考向一 [010] 求函数的定义域(1)(2014·郑州模拟)函数y ＝lg 2－x 12＋x －x2＋(x －1)0的定义域是( )A ．[－3,1)∪(1,2]B ．(－3,2)C ．(－3,1)∪(1,2)D ．[－3,1)∪(1,2)(2)(2013·大纲全国卷)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【思路点拨】 (1)求解本例(1)可从以下几方面入手：①真数大于0；②分母不为0；③被开方数有意义；④(x －1)0有意义．(2)用2x ＋1代替f (x )中的x ，求解x 便可． 【尝试解答】 (1)要使函数有意义， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＞0，12＋x －x 2＞0，x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，－3＜x ＜4，x ≠1，所以－3＜x ＜2且x ≠1，故所求函数的定义域为{x |－3＜x ＜2且x ≠1}．(2)因为函数f (x )的定义域为(－1,0)，所以要使函数有意义，需满足－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 【答案】 (1)C (2)B 规律方法11.本例 1 在求解中，常因遗忘“00无意义”而错选B ；本例 2 在求解中；常因不理解f x 与f 2x ＋1 的关系而错选A 或C.2. 1 求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍., 2 对抽象函数：①若函数f x 的定义域为[a ，b ]，则函数f g x 的定义域由不等式a ≤g x ≤b 求出.②若已知函数f g x 的定义域为[a ，b ]，则f x 的定义域为g x 在x ∈[a ，b ]时的值域.对点训练 (1)函数f (x )＝ln 2＋x －x 2|x |－x 的定义域为( )A ．(－1,2)B ．(－1,0)∪(0,2)C ．(－1,0)D ．(0,2)(2)已知函数f (2x)的定义域是[－1,1]，则f (x )的定义域为________．【解析】 (1)f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x －x 2＞0，|x |－x ≠0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜2，x ＜0，∴－1＜x ＜0，∴f (x )的定义域为(－1,0)． (2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， 即－1≤x ≤1， ∴12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 考向二 [011] 求函数的解析式(1)已知f (x ＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )． 【思路点拨】 (1)用换元法，令x ＋1＝t ；(2)本题已给出函数的基本特征，可采用待定系数法求解． (3)用1x代入，构造方程求解．【尝试解答】 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝lg(t －1)． ∴f (x )＝lg(x －1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．规律方法2 求函数解析式常用以下解法：1 待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；2 换元法：已知复合函数f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；3 构造法：已知关于f x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f x .对点训练 (1)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式；(2)若函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是正比例函数，g (x )是反比例函数，且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，求F (x )的解析式．(3)已知2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，x ∈(－1,1)，求f (x )的解析式． 【解】 (1) 令t ＝1－cos x ，则cos x ＝1－t,0≤t ≤2， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t ， 即f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)．(2)由题意设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0)，则F (x )＝kx ＋m x.由F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8， 得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x.(3)∵2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)， ∴2f (－x )－f (x )＝lg(1－x )．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2f x －f －x ＝lg x ＋12f －x －f x ＝lg 1－x得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1＜x ＜1)．考向三 [012] 分段函数及其应用(1)(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈ －∞，1 ，x 2，x ∈[1，＋∞ ，若f (x )＞4，则x 的取值范围是________．【思路点拨】 (1)先计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，再计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. (2)在(－∞，1)及[1，＋∞)上分别解f (x )＞4，然后取并集；或者画出函数f (x )的图象，借助图象求解．【尝试解答】 (1)∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. (2)方法一：①当x ＜1时，由2－x＞4得x ＜－2. ②当x ≥1时，由x 2＞4得x ＞2.综上可知，所求x 的范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 方法二：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈ －∞，1x 2，x ∈[1，＋∞ .的图象如图所示，由图可知f (x )＞4的x 的取值范围是x ＞2或x ＜－2.【答案】 (1)－2 (2)(－∞，－2)∪(2，＋∞)．规律方法3应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.对点训练 (1)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x ＜A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1 －1≤x ＜0 ，－x ＋1 0＜x ≤1 .则f (x )－f (－x )＞－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12∪(0,1) 【解析】 (1)因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15，① 所以必有4＜A ，且c4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.(2)方法一：①当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1， 此时f (x )＝－x －1，f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， ∴f (x )－f (－x )＞－1化为－2x －2＞－1， 得x ＜－12，则－1≤x ＜－12.②当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1， ∴f (x )－f (－x )＞－1化为－x ＋1－(x －1)＞－1， 解得x ＜32，则0＜x ≤1.故所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1]． 方法二：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1 －1≤x ＜0－x ＋1 0＜x ≤1的图象如图所示．由图可知f (x )为奇函数，从而由f (x )－f (－x )＞－1，可知f (x )＞－12，解得－1≤x ≤－12或0＜x ≤1. 【答案】 (1)D (2)B思想方法之二 分段函数求值妙招——分类讨论思想分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点： (1)明确分段函数的分段区间．(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系． (3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．——— [1个示范例] ——— [1个对点练] ———(2014·洛阳模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【解析】 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2， 所以a ＝－34.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1. 因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)．综上，满足条件的a ＝－34.(2014·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．－3或1 C ．1D ．－1或3【解析】 ∵f (1)＝lg 1＝0，∴f (a )＝0. 当a ＞0时，lg a ＝0，a ＝1. 当a ≤0时，a ＋3＝0，a ＝－3. 所以a ＝－3或1. 【答案】 B。