2018学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测(二十二)不等式选讲理

课时跟踪检测（二十二） 不等式选讲
1．(2017·邢台模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|. (1)解不等式f (x )≥2；
(2)当x ∈R,0＜y ＜1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋1
1－y .
解：(1)当x ≥2时，由f (x )≥2，得4≥2，故x ≥2； 当－2＜x ＜2时，由f (x )≥2，得2x ≥2，故1≤x ＜2； 当x ≤－2时，由f (x )≥2，得－4≥2，无解． 所以f (x )≥2的解集为{x |x ≥1}． (2)证明：因为|x ＋2|－|x －2|≤4， 1
y
＋
11－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y 1－y ≥4⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当y ＝12时取等号， 所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋1
1－y
.
2．(2017·成都模拟)已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1. (1)求不等式f (x )≤6的解集；
(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求2a ＋b 的最小值． 解：(1)当－1≤x ＜3时，f (x )＝4； 当x ≥3时，f (x )＝2x －2.
∴不等式f (x )≤6等价于⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤x ＜3，
4≤6或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥3，
2x －2≤6.
∴－1≤x ＜3或3≤x ≤4. ∴－1≤x ≤4.
∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}．
(2)由(1)，得f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
4，－1≤x ＜3，
2x －2，x ≥3.可知f (x )的最小值为4，∴n ＝4.
∴8ab ＝a ＋2b ，变形得1b ＋2
a
＝8.
∵a ＞0，b ＞0，
∴2a ＋b ＝18(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2
2a
b ·2b a ＝98
. 当且仅当2a b ＝2b a ，即a ＝b ＝3
8时取等号．
∴2a ＋b 的最小值为9
8
.
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3
＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)≥4； (2)a ＋b ≤2.
证明：(1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)＝a 6
＋ab 5
＋a 5
b ＋b 6
＝(a 3
＋b 3)2
－2a 3b 3
＋ab (a 4
＋b 4
) ＝4＋ab (a 2
－b 2)2
≥4.
(2)因为(a ＋b )3
＝a 3
＋3a 2
b ＋3ab 2
＋b 3
＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋a ＋b
2
4
(a ＋b )
＝2＋
a ＋b
3
4
，
所以(a ＋b )3
≤8，因此a ＋b ≤2.
4．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －a |－1
2x (a ＞0)．
(1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )＜0；
(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )＜a 2
＋a
2恒成立，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12x ，即|x －3|－12x ＜0，原不等式等价于－x
2＜x －3
＜x
2
，解得2＜x ＜6，故不等式的解集为{x |2＜x ＜6}．
(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a
2，
原不等式等价于|x －a |－|x |＜a 2
， 由绝对值三角不等式的性质， 得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |， 原不等式等价于|a |＜a 2
， 又a ＞0，∴a ＜a 2
，解得a ＞1. ∴实数a 的取值范围为(1，＋∞)．
5．(2017·开封模拟)设函数f (x )＝|x －a |，a <0.
(1)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x ≥2；
(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1
2的解集非空，求a 的取值范围．
解：(1)证明：函数f (x )＝|x －a |，a <0，
设f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－1x
－a
＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x
＋a ≥⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪x －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
x ＋a
＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1
|x |
＝2(当且仅当|x |＝1时取等号)． (2)f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |，a <0. 当x ≤a 时，f (x )＋f (2x )＝a －x ＋a －2x ＝2a －3x ， 则f (x )＋f (2x )≥－a ；
当a <x <a
2时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋a －2x ＝－x ，
则－a
2
<f (x )＋f (2x )<－a ；
当x ≥a
2时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋2x －a ＝3x －2a ，
则f (x )＋f (2x )≥－a
2
，
则f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，若不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，则需12>－a 2， 解得a >－1，又a <0，所以－1＜a ＜0， 故a 的取值范围是(－1,0)．
6．(2017·洛阳模拟)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|. (1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；
(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4
b
≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围．
解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－x ＋2，x ＜－1，
－3x ，－1≤x ≤12，
x －2，x ＞1
2
，
函数f (x )的图象如图所示．
(2)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋4a b ≥5＋2
b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝1
3
，b ＝2
3
时等号成立． ∵1a ＋4
b
≥3(|2x －1|－|x ＋1|)恒成立，
∴|2x －1|－|x ＋1|≤3， 结合图象知－1≤x ≤5， ∴x 的取值范围是[－1,5]．。