大连市数学竞赛试题17-21届

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大连市第十九届高等数学竞赛试卷（A ）

一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）

1． 已知tan 2x y =，则dy =tan 22ln 2sec x xdx

2．

2

20

2x x dx -=

⎰

2

π 3． 21cos x t y t

⎧=+⎨=⎩，则22d y d x =3

sin cos __________4t t t t - 4． 设111()24x x

e

f x e

+=+，则0x =为()f x 的__________跳跃型间断点

5． 函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，则()y y x =的驻点为

____(1,1)______

6． 幂级数0

n n n a x ∞

=∑在2x =-处条件收敛，则此级数的收敛半径为_____2_____

7． 已知22

:14y L x +=，逆时针方向，则22

4L

xdy ydx

x y -=+⎰_____4_____π 8． 曲线2

x y e -=的凸区间为22_____(,)_____22

-

9． 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线只有

_____2_____条

10．

2

220

3()x

x

dx f x y dy +⎰

⎰化为极坐标系下的先对ρ后对θ的二次积分为

2sec 30

4

()d f d π

θ

πθρρρ-⎰⎰

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阅卷人

得 分

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分 数

二、（本题8分）已知30

1()sin 21

lim

21

x x f x x e →+-=-，求0lim ()x f x →.

解：因为30

1()sin 21

lim

21

x

x f x x e →+-=-， 又 30

lim(1)0x x e →-=，

所以0

lim(1()sin 21)0x f x x →+-=,0

lim ()sin 20x f x x →=，……………………2分

从而30

01()sin 21()sin 22lim

lim 123x x x f x x f x x

e x

→→+-==-⨯，…………………………4分 又0sin 2lim

12x x

x

→=，

所以0

lim ()6x f x →=…………………………………………………………..…2分

三、（本题9分）设()f x 在区间(,)-∞+∞内可导。求证：在(,)-∞+∞内,()f x 以

T 为周期的充要条件为'()f x 的周期为T 且(0)()f f T =。

证明：（⇒）设()f x 以T 为周期，则(,)x ∀∈-∞+∞，()()f x T f x +=，即(0)()f f T =。

又0

0()()()()

'()lim

lim

x x f x x f x f x T x f x T f x x x

→→+-++-+==='()f x T +， 所以，'()f x 的周期为T 。……………………………………………………………..3分

（⇐）设'()f x 的周期为T 且(0)()f f T =。 因为0()'()(0)x

f x f t dt f =+⎰，

所以0

()'()(0)x T

f x T f t dt f ++=+⎰

=0

'()T f t dt ⎰

'()x T T

f t dt ++⎰

(0)f +……………………………………3分

令t T u =+，则0

'()'()x T x T

f t dt f u T du +=+⎰

⎰=0

'()x f u du ⎰ =()(0)f x f -，……………2分

所以，()()(0)()(0)(0)f x T f T f f x f f +=-+-+=()f x 。命题成立。…………………1分

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四、

（本题8分）设1

()||(1)x

f x t t dt x -=≥-⎰

，求()f x 与x 轴所围

成的封闭图形D 的面积S 及D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 。

解 必须定出()f x 与x 轴的交点，()f x 的表达式及()f x 的符号。

(1)0f -=，(1)0f =（||t t 为奇，()f x 为偶）

， 所以()f x 与x 轴有两交点。………………………………………..….2分

'()||,0,'()0(10)f x x x x f x x =<<-<<，()f x 单调降，

10x -<<时，()(1)0f x f <-=；

0x >时，'()0,f x >所以，01x <<时，()(1)0f x f <=， 1x >时，()(1)0f x f >=。

()f x 与x 轴仅有两交点。……………………………………………..2分

1

1

()S f x dx -=

⎰

=0

1

2()f x dx -⎰

0x <时，2311

()(1)3x f x t dt x -=-=-+⎰，

1

2S =；121()7

V f x dx ππ-==⎰。……………………………………..4分

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