大连市第3-6届高等数学竞赛试题

大连市第三届大学生高等数学竞赛试题

1.（10分）求

2.（10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足f(1)-2,

求证在（0，1）内至少存在一点，使得f＇()= —。

3.（10分）设函数f(x)具有一阶、二阶导数，f(0)=f(1)=0,且

证明：

4.（10分）求函f(x)= 在[0，2]上的最大值与最小值。

5.（10分）设函数f(x)在区间（0，1）上可微，且0＜f＇(ｘ)≤１，f(0)=0证明

6.（10分）已知f(t)=(tg(tg(tg,求f＇（１）。

7.（10分）试求的和函数，并计算

8.（10分）一均质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8米，另一边垂下10米，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？

9.（10分）设f(x)=a1sin(x)+a2sin2x+…+a n sinnx,且|f(x)|≤｜sinx｜

求证：| a1+a2+…+a n|≤１

10.（10分）设半径为R的球的球心在半径为a的定球面上，问R为何值时，夹在定球内部的表面积最大，并求出最大的表面积的值。

大连市第四届大学生高等数学竞赛试题

1、设x=g(y)为y=f(x)的反函数，求。

2、设f(x)在（+）上有连续导函数，求

其中L是从点A（3，）到点B(1,2)的直线段。

3、设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，求证在（a,b）内存在,使得=（b-a）f()+(b-a) 。

4、设f(x)= 定义A(x)=

令A= A(1)+ A()+…+ A()+…,试证：＜Ａ＜１

５、设f(x)在（+）上有三阶连续导数，且等式f(x+h)=f(x)+hf’(x+)(0<<1)中，与h无关，则f(x)必为一个一次函数或二次函数。

6、函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证由

g(x)=所定义的g(x)有一阶连续导数。

7、若函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1), ||≤１，

试证：｜｜≤在［０，１］上成立。

８、设a(x)，b(x)，c(x)和d(x)都是x的多项式，

试证：-

可被（x-1）除尽。

９、设a、b、c为实常数，函数f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤１时满足｜f(x)｜≤１，

试证：当|x|≤１时有｜｜≤４。

１０、求由坐标平面与椭球面的一个切平面所界的最小体积。

大连市第五届大学生高等数学竞赛试题（理工类本科）

一、设当时, 求函数及.

二、知在的邻域内为可导函数,且求极限

三、设其中具有连续导数且

（１）试确定使连续;

（２）在1的结果下问是否连续(要求过程)

求

五、级数…+…的收敛并求其和．

六、设为连接的某一曲线弧，且与直线段所包围的图形面积为与除外无其它交点，自身也不相交，计算曲线积分

七、计算曲面积分是曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的外侧．

八、试利用函数对于证明以下不等式

九、设对于为一非负的增函数，证明　（１）当时，证明不等式　（２）

由此求

十．求用平面与椭圆柱面相交所成的椭圆的面积．

大连市大学生第六界高等数学竞赛试卷

　９６.６.３０　（本科）

一（１０分）设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ（１＋ｓｉｎｘ）（２＋ｓｉｎｘ）……（１９９６＋ｓｉｎｘ），求

二（１０分）求

三（１０分）设ｆ（ｘ）的原函数为，求不定积分

四（１０分）讨论ａ取何值，使及方程有一二三个实根

五（１０分）设连续，求证＝并计算

六（１０分）设在及的条件下，于处　取极值ｍ，证明三曲面，，在点处的三条法线共面。

七　（１０分）设连续，ｆ（１）＝２，ｆ（０）＝１，求

八（１０分）计算，：

九（１０分）计算，ｃ为正向

十（１０分）证明收敛，并求和