全国大学生高等数学竞赛试题汇总及其规范标准答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看

一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=，

v u u v u u u y x y x x y

y x D D d d 1ln ln d d 1)

1ln()(⎰⎰⎰⎰--=

--++

⎰⎰⎰⎰----=---=10

2

1

0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u

v u u u u u ⎰

-=1

2

d 1u u

u （*） 令u t -=1，则2

1t u -=

dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，

⎰+--=0

1

42d )21(2(*)t

t t

⎰

+-=10

4

2

d )21(2t t t 1516513

2

21

053=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰

--

=20

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

解: 令⎰

=

20

d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，

A A x A x A 24)2(28d )23(20

2-=+-=--=

⎰

,

解得34=

A 。因此3

10

3)(2-=x x f 。 3．曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222

-+=y x z 在)

,(00y x 处

的

法

向

量

为

)

1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故

)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，

即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在

)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面

22

22-+=y x z 平行平面

022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则

=2

2d d x y

________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得

29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+

因)(29ln y f y xe e =，故

y y y f x

'=''+)(1

，即))(1(1y f x y '-=

'，因此 2

222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'

''+'--=''=

3

22

232)]

(1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x

e

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因

x

e

nx x x x x e nx x x x n

n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ΛΛ 故

nx

n e e e e x

e n n e e e A nx

x x x nx x x x -+++=-+++=→→ΛΛ2020lim lim

e n n n e n ne e e e nx x x x 2

1

212lim 20+=+++=+++=→ΛΛ

因此

e n A x

e

nx x x x e e n

e e e 2

1

20)(lim +→==+++Λ

三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰

=10

d )()(t xt f x g ，且A x

x f x =→)

(lim

，A 为常数，

求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

解 : 由A x x f x =→)(lim 0

和函数)(x f 连续知，0)

(lim lim )(lim )0(000===→→→x

x f x x f f x x x

因⎰

=

1

d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1

===⎰f t f g ，

因此，当0≠x 时，⎰=x

u u f x x g 0

d )(1)(，故

0)0(1

)

(lim

d )(lim

)(lim 0

====→→→⎰f x f x

u u f x g x x x x 当0≠x 时，

x

x f u u f x x g x

)

(d )(1)(0

2

+

-

='⎰， 200000d )(lim d )(1lim )0()(lim )0(x

t t f x t t f x x g x g g x x x

x x ⎰⎰→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 2

2d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200A

A A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='⎰⎰→→→→

这表明)(x g '在0=x 处连续.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）⎰⎰

-=---L

x y L

x y

x ye y xe x ye y xe

d d d d sin sin sin sin ；

（2）2sin sin 2

5

d d π⎰

≥--L

y y

x ye y xe

.

证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知